第1章 有理数（知识清单）数学华东师大版2024七年级上册

第一章 有理数 1.大于0的数叫 正数 ，在正数的前面加上负号“-”的数叫 负数 ． 2.数0既不是 正数 ，又不是 负数 ． 3.在同一问题中，分别用正数和负数表示具有 相反 的意义． 4.人们常用正负数来表示一对具有 相反意义 的量． 5. 有理数及相关概念 可以写成分数形式的数 称为有理数， 其中 可以写成正分数形式的数 为正有理数， 可以写成负分数形式的数 为负有理数． 正整数 、 负整数 、 0 统称整数， 正分数 和 负分数 统称分数， 整数 和 分数 统称有理数. 注意：不是有理数 6. 有理数的分类方法 （1）按“整”与“分”来分类（即定义） （2）按正、负来分类（即数性） 7. 有理数“0”的不同意义 作用 举例 表示数的性质 0是 整数 ，是 非负整数 ，是 有理数 表示没有 3个人用+3表示，没有人用 0 表示 表示某种状态 0℃表示冰点 表示正数与负数的界点 0既不是 正数 ，也不是 负数 ，是一个中性数 8. 一般地，在数学中人们用画图的方式把数“直观化”，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做 数轴 . 9. 规定了 原点 、 正方向 、 单位长度 的直线叫做数轴. 10. 在数轴上表示数0的点叫 原点 ，正数在原点的 右 边，负数在原点的 左 边.如果设a是一个正数，则数轴上表示数a的点与原点的距离是 a 个单位长度；表示数-a的点与原点的距离是 a 个单位长度. 【注】所有的有理数都可以在数轴上表示出来，但数轴上的点并不都表示有理数. 11. 只有符号不同的两个数叫做互为 相反数 . 12. 在一个数前面加上“+”号，所得数是 原数 ；在一个数前面加上“－”号，表示求这个数的 相反数 . 13. –a表示的意义是 a的相反数 . 14. –(–a)表示的意义是 – a的相反数 ，它化简的结果是 a . 15. 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的 绝对值 ，记作 |a| . 16. 一个正数的绝对值是它的 本身 ；一个负数的绝对值是它的 相反数 ；0的绝对值是 0 ， 即：. 17. 正数 ＞ 0，0 ＞ 负数，正数 ＞ 负数. 18. 两个负数，绝对值大的 反而小 . 一、有理数的定义与分类 1.混淆有理数与整数 错误：认为“有理数就是整数”或“分数不属于有理数”． 注意：有理数包括整数和分数（形如，其中为整数，）． 例如：（可化为）也是有理数． 2.忽略“0”的特殊性 错误：认为“0既不是正数也不是负数，所以不是有理数”． 注意：0是有理数，也是整数，但它既非正数也非负数． 3.无限不循环小数不属于有理数 错误：将π、等误认为有理数． 关键：有理数必须能表示为有限小数或无限循环小数． 二、绝对值的非负性 在进行绝对值计算时，部分同学容易忽略绝对值的结果一定是非负的。 比如在化简绝对值表达式时，若没有对a的取值范围进行讨论，直接得出，这是错误的。当时，，根据绝对值的非负性，此时，只有当时，。 三、比较有理数的大小 1.忽略数轴上点的位置关系 —— 方向与正负混淆 错误：已知数轴上两点 A、B 表示的数分别为 a 和 b，求 A、B 之间的距离时，直接用大数减小数，忽略两点的相对位置。例如：A 表示 - 3，B 表示 5，错误计算距离为 - 3 - 5 = -8（未取绝对值），或直接认为距离是 5 - (-3) = 8（正确），但如果题目变为 “点 A 到点 B 的距离”，部分同学可能因方向混淆而误判符号。 核心误区：数轴上两点距离公式为，需明确距离是绝对值概念，与点的左右位置无关，但部分同学会将 “左减右” 或 “右减左” 作为固定规则，忽略绝对值的非负性。 2.动点问题中未分类讨论 —— 遗漏多种可能性 错误：已知数轴上点 P 表示的数为 x，点 A 表示 3，若 PA=5，求 x 的值。部分同学仅考虑点 P 在 A 右侧，得 x=3+5=8，忽略点 P 在 A 左侧的情况 x=3-5=-2，导致漏解。 3.距离与绝对值符号的误用 —— 化简规则出错 错误：化简含绝对值的距离表达式时，未判断绝对值内式子的正负。例如：数轴上点 P 表示 x，点 Q 表示 2，若 x<2，求 PQ 的距离时，错误写成，正确应为。符号化简误区：当时，；当时，。 部分同学直接去掉绝对值符号而不判断大小，导致结果错误。 4.多动点距离问题 —— 逻辑混乱与计算错误 错误：多个动点在数轴上运动时，未理清运动方向（向左 / 向右）、速度与时间的关系，导致距离计算错误。例如：点 A 从 - 1 出发向右以 2 个单位 / 秒的速度运动，点 B 从 3 出发向左以 1 个单位 / 秒的速度运动，t 秒后求 AB 的距离。错误解法：直接用初始距离 4 减去 (2t + t)，得 4 - 3t，但未考虑当 t>4/3 时，两点相遇后距离变为 3t - 4，未分段讨论。 解题关键：先求动点 t 秒后的位置：A 表示 - 1 + 2t，B 表示 3 - t；距离为，需分（即）和（即）讨论，结果为。 四、有理数运算顺序错误 1.混合运算顺序颠倒 错误：未遵循 “先乘除，后加减，有括号先算括号内” 的规则。 例：计算，错误解法：（先算乘法）； 正确解法：乘除同级运算从左到右，即。 2. 括号展开时漏乘或符号错误 错误：去括号时未将系数乘遍括号内所有项，或符号处理错误． 例：计算，错误解法：（漏乘 - 2 到 + 1，且 - 4y 乘 - 2 应为 + 8y）； 正确解法：。 题型01 有理数的分类 1．（2025七年级下·全国·专题练习）在这几个数中，正数有( )，负数有( )． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数的判断．根据正数大于0，负数小于0判断即可． 【详解】解：这几个数中， 正数有， 负数有， 故答案为：；． 2．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）把下列各数填在相应的集合中： 正有理数数集合：｛ ……｝ 负分数集合：｛ ……｝ 非负整数集合：｛ ……｝ 有理数集合：｛ ……｝ 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，化简多重符号，根据有理数的分类逐一填写即可． 【详解】解： 正有理数数集合：｛，……｝ 负分数集合：｛，，……｝ 非负整数集合：｛，……｝ 有理数集合：｛，，，，，，……｝ 3．（19-20七年级上·新疆·期中）下列说法中，错误的有（   ） ① 是负分数；② 不是整数；③ 非负有理数不包括；④ 不是有理数；⑤是最小的有理数；⑥正整数、负整数统称为有理数 ． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的分类，根据有理数的两种分类方法判断即可． 【详解】解：① 是负分数，故①正确； ②是分数，不是整数，故②正确； ③非负有理数是大于或等于零的有理数，故③错误； ④是有理数，故④错误； ⑤没有最小的有理数，故⑤错误； ⑥有理数包括整数和分数，故⑥错误； 故选：D． 4．（24-25七年级上·福建漳州·期中）把下列各数填写在相应的集合中． ，7， ，，，，，0 ， (1)整数集合：； (2)分数集合：； (3)正数集合：； (4)非负数集合：． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了有理数的分类，正确把握相关定义是解题关键． （1）根据整数的定义即可得出答案； （2）根据分数的定义即可得出答案； （3）根据正数的定义即可得出答案； （4）根据非负数的定义即可得出答案； 【详解】（1）解：整数集合：， 故答案为：； （2）解：分数集合：， 故答案为：； （3）解：正数集合：， 故答案为：； （4）解：非负数集合：， 故答案为：． 5．（24-25六年级上·上海·期中）在以下各数中：；；；；；；；0；；．属于负分数的有 个． 【答案】6 【分析】本题主要考查了分数的定义，负分数是小于0有限小数和无限循环小数的统称，据此可得答案． 【详解】解：在数；；；；；；；0；；中，属于负分数的，，，，，，， 共6个， 故答案为；6． 6．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列各数中：，，0，，，，，（每相邻两个2之间0的个数逐次加1），其中正有理数有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数的定义和分类，熟练掌握有理数的定义是解题的关键； 有理数是整数（正整数、、负整数）和分数的统称，正有理数是大于的有理数，据此解答即可． 【详解】解：：是正分数，属于正有理数； ：是负整数，小于，不是正有理数； ：既不是正数也不是负数，不是正有理数； ：是负数，不是正有理数； ，是正整数，属于正有理数； ：是无限不循环小数，不是正有理数； ：是有限小数，可化为分数，且大于，属于正有理数； （每相邻两个之间的个数逐次加）：是无限不循环小数，不是正有理数； 综上，正有理数有，和，共3个． 故答案为：3． 题型02 绝对值的非负性 7．（24-25七年级上·湖南长沙·期末），则a和b各为（    ） A．， B．1，3 C．1， D．，3 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的非负性，先根据，得，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8．（24-25七年级下·北京·期中）已知实数a，b满足则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据得，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故答案为：1 9．（24-25九年级下·广东湛江·阶段练习）如图，数轴上两点、对应的数分别是、，其中、满足， (1)求、的值，并在数轴上标出、两点； (2)数轴上有一动点，当时，请直接写出点对应的数的值． 【答案】(1)，，数轴上标出、两点见解析 (2)或 【分析】本题考查了非负数的性质，用数轴上的点表示数，数轴上两点间的距离公式，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据非负数的性质求出、的值，再在数轴上标出、两点即可； （2）根据数轴上两点间的距离公式可得，，结合即可求解． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，， 数轴上标出、两点如下： （2）、两点对应的数分别为和，点对应的数为， ，， ， ， 解得：或． 10．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）若为有理数，下列判断：①总是正数，②总是正数；③的最小值为9；④的最大值是1；其中错误的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的非负性，熟练掌握该知识点是解题关键，直接利用绝对值的非负性，分别分析即可得出答案． 【详解】解：①若，则，故①错误； ②， 总是正数，故②正确； ③， ，则的最小值为9，故③正确； ④， ，则的最小值是1，故④错误； 错误的是①④，共2个 故选：B． 11．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）下列结论：①若为有理数，则；②若，则；③若，则；④若，则，则其中正确的结论的是 （填序号）． 【答案】② 【分析】此题主要考查了有理数的运算，非负数的性质和绝对值的意义，理解绝对值的意义，非负数的性质，熟练掌握有理数的运算是解决问题的关键． 根据为有理数得，由此可对该结论进行判断； 根据非负数的性质得，，则，由此可对该结论进行判断； 根据得，当时，，当时，没有意义，由此可对该结论进行判断； 根据得：（Ⅰ）当、、中有两正一负时，不妨假设、为正，为负，则，(Ⅱ)当、、都是负数时，则，由此可对该结论进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵为有理数， ∴， 故结论①不正确； ②∵，，， ∴，， ∴， 故结论②正确； ③∵， ∴， ∴当时，，当时，没有意义， 故结论③不正确； ④∵， ∴有以下两种情况， （Ⅰ）当、、中有两正一负时，不妨假设、为正，为负， ∴，，， ∴； (Ⅱ)当、、都是负数时，则，，， ∴， 故结论④不正确； 故答案为：②； 12．（24-25七年级上·广西贵港·期末）如果为有理数，式子存在最小值，则这个最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据得出当时，式子存在最小值． 【详解】解：∵， ∴当时，即当时，式子存在最小值，这个最小值是， 故选：A． 13．（18-19七年级上·重庆綦江·期末）如图，已知点A，B，C是数轴上三点，O为原点．点C对应的数为6，，．    (1)求点A，B对应的数； (2)动点P，Q分别同时从A，C出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动．M为的中点，N在线段上，且，设运动时间为． ①求点M，N对应的数（用含t的式子表示）； ②t为何值时，． 【答案】(1)点A表示的数是，点B表示的数是 (2)①表示的数是，N表示的数是②秒或秒 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，熟练掌握题中的数量关系是解答本题的关键． （1）由， 得的长，再根据数轴上两点之间的距离的计算方法，即得答案； （2）①先求出，的长，再求，的长，再根据数轴上两点之间的距离的计算方法，即得答案； ②分点M在点O的左侧和右侧两种情况，分别求出，的长，再根据列方程并求解，即得答案． 【详解】（1）因为， ， 所以， 所以点A表示的数是，点B表示的数是； （2）①由已知得，， 因为M为的中点， ， 所以，， 则点M对应的数为，点M，N对应的数； ②由题意知，， 当点M在点O的左侧时，， 若，则， 解得， 当点M在点O的右侧时，， 若，则， 解得； 综上所述，当秒或秒时，． 题型03 数轴上的点距离问题 14．（23-24七年级上·浙江台州·期中）已知点，在数轴上分别表示有理数，，、两点之间的距离可以表示为，比如式子表示有理数的点与表示数3的点之间的距离． 请回答以下问题： (1)若表示一个有理数，，则______． (2)若表示一个有理数，的最小值_____． (3)在一工厂流水线上依次排列了个工作台（工作台在同一直线上），第1个工作台安排了2名工人，其他每个工作台安排了1名工人，现在要在流水线上设置一个工具台，以方便这名工人从工作台到工具台拿取工具，为了让工人们拿取工具所走路程之和最短，请直接说出工具台设置在什么位置． 【答案】(1)或4 (2)3 (3)当为偶数时，工作台可设置在第个工作台处；当为奇数时，工作台可设置在第个和第个工作台之间任何位置（包括第个和第个工作台的位置） 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数以及数轴上两点之间的距离等知识，解题关键是理解题意，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）根据题意，由数轴上与表示有理数1的点之间的距离为3的点的位置，即可获得答案； （2）根据题意，可知表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，表示有理数的点与表示有理数2的点之间的距离，作出图形，分情况讨论，即可获得答案； （3）分别分析计算当有2个、3个、4个、5个、6个工作台时，工具台应放置的位置，找出规律，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，表示有理数的点与表示有理数1的点之间的距离， 如下图， 若， ∵数轴上与表示有理数1的点的距离为3的点有两个，分别为表示有理数的点和表示有理数4的点， ∴或4； 故答案为：或4； （2）∵， ∴表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离， 又∵表示有理数的点与表示有理数2的点之间的距离， ∴当表示有理数的点在表示有理数的点左侧时，如下图， 此时， 当表示有理数的点与表示有理数的点重合时，如下图， 此时， 当表示有理数的点在表示有理数的点与表示有理数2的点中间时，如下图， 此时， 当表示有理数的点与表示有理数2的点重合时，如下图， 此时， 当表示有理数的点在表示有理数2的点右侧时，如下图， 此时． 综上所述，的最小值． 故答案为：3； （3）①如下图，当流水线上排列了2个工作台时， 工具台可设置在第1个工作台处，此时工人们拿取工具所走路程之和最短，为1； ②如下图，当流水线上排列了3个工作台时， 工具台可设置在第1个工作台与第2个工作台之间任何位置（包括第1个和第2个工作台的位置），此时工人们拿取工具所走路程之和最短，为3； ③如下图，当流水线上排列了4个工作台时， 工具台可设置在第2个工作台处，此时工人们拿取工具所走路程之和最短，为5； ④如下图，当流水线上排列了5个工作台时， 工具台可设置在第2个工作台与第3个工作台之间任何位置（包括第2个和第3个工作台的位置），此时工人们拿取工具所走路程之和最短，为8； ⑤如下图，当流水线上排列了6个工作台时， 工具台可设置在第3个工作台处，此时工人们拿取工具所走路程之和最短，为11； ……； 综上所述，当为偶数时，工作台可设置在第个工作台处；当为奇数时，工作台可设置在第个和第个工作台之间任何位置（包括第个和第个工作台的位置）． 15．（23-24七年级上·重庆·阶段练习）阅读下面材料：若点在数轴上分别表示实数，则两点之间的距离表示为，且； 回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是 ； ②在①的情况下，如果，那么为 ； (2)代数式取最小值时，相应的的取值范围是 ． (3)若点在数轴上分别表示数，是最大的负整数，且， ①直接写出的值． ②点同时开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．    【答案】(1)①②或5 (2) (3)①，，②不变，2 【分析】（1）①根据两点之间的距离公式可得； ②根据距离公式得出关于的绝对值方程，求解即可； （2）的最小值，意思是到的距离与到2的距离之和最小，那么应在和2之间的线段上； （3）①先根据是最大的负整数，求出，再根据，即可求出；②先求出，，从而得出． 【详解】（1）解：①数轴上表示和2的两点和之间的距离是； ②如果，即， ∴， ∴或． 故答案为：①；②或5； （2）∵， ∴即为数轴上某点到的距离与该点到2的距离之和，如下图，   的最小值，即表示某点到的距离与到2的距离之和最小， 所以，当时，最小值是3． 故答案为：； （3）①∵是最大的负整数， ∴， ∵， 又∵，， ∴，， ∴，，； ②的值不随着时间的变化而改变，其值是2． 理由如下： ∵点都以每秒1个单位的速度向左运动，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了绝对值方程、数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题等知识，理解题意，运用数形结合的思想分析问题是解题关键． 16．（21-22七年级上·广东广州·期末）如图，在数轴上点A表示的数为﹣6，点B表示的数为10，点M、N分别从原点O、点B同时出发，都向左运动，点M的速度是每秒1个单位长度，点N的速度是每秒3个单位长度，运动时间为t秒． （1）求点M、点N分别所对应的数（用含t的式子表示）； （2）若点M、点N均位于点A右侧，且AN＝2AM，求运动时间t； （3）若点P为线段AM的中点，点Q为线段BN的中点，点M、N在整个运动过程中，当PQ+AM＝17时，求运动时间t． 【答案】（1）点M、点N分别所对应的数分别为，；（2）；（3）t=1或18 【分析】（1）根据题意进行求解即可； （2）由（1）所求，根据数轴上两点距离公式可得，，再由，得到，由此即可得到答案； （3）分当M、N均在A点右侧时，当N在A点左侧，M在A点右侧时，当M、N都在A点左侧时，三种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：点M、点N分别所对应的数分别为，； （2）∵点A表示的数为-6，点M、点N分别所对应的数分别为，， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）如图1所示，当M、N均在A点右侧时， 由（1）（2）得点M、点N分别所对应的数分别为，， ∵点P为线段AM的中点，点Q为线段BN的中点， ∴点P和点Q表示的数分别为，， ∴ ∵， ∴， ∴； 如图2所示，当N在A点左侧，M在A点右侧时， 同图1可知点P和点Q表示的数分别为，， ∴ ∵， ∴， ∴，不符合题意； 如图3所示，当M、N都在A点左侧时， 同图1可得点P和点Q表示的数分别为，， ∴，， ∵， ∴，此时方程无解； 如图4所示，当M、N都在A点左侧时， 同理可得点P和点Q表示的数分别为，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴综上所述，当，t=1或18． 【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，熟知数轴的相关知识是解题的关键． 题型04 有理数运算 17．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （2）先将带分数拆成整数和分数两部分，然后利用加法的交换律和结合律，整数和整数相结合，同分母分数相结合，进行计算即可． （3）将带分数转化为假分数再进行有理数加减乘除运算即可； （4）乘方后，计算小括号部分，再运算乘除即可； （5）将带分数转化为假分数再进行有理数乘除运算即可； （6）先计算前两项，再与后一项运算即可． 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握分数与小数的转化是关键． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 18．（24-25七年级下·重庆·自主招生）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，设，则，据此可求出，进一步可得，则可证明，据此求解即可． 【详解】解：设， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴． 19．（24-25七年级上·湖北恩施·期末）对于整数x，规定，例如：，求：的值． 【答案】 【分析】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，代数式求值，解答本题的关键是熟练掌握题目中的新规定，有理数混合运算的顺序和法则．根据所给新定义计算出若干的值，得到，再求所求的式子的值即可． 【详解】解：∵， ∴，则； ，则； ，则； …， ； ∴ ． 20．（21-22七年级上·山东临沂·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是求一个数的绝对值，加法的运算律，乘法的运算律，含乘方的有理数的混合运算，掌握有理数加减乘除，乘方运算的运算法则与运算顺序是解题的关键. （1）利用加法的运算律，把分母相同的两个数先加，从而可得答案； （2）利用乘法的分配律把原式化为：，再计算乘法，最后计算加减运算即可； （3）先计算括号内的运算，同步计算乘方运算，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可； （4）先计算乘方运算，同步计算除法与绝对值，再计算乘法运算，最后计算加减运算即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： . 21．（24-25七年级下·四川成都·期中）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果： ； 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，把除方运算写成幂的形式： ，（） ． （3）算一算：． 【答案】（1）；（2）；；（3） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是根据除方运算的计算法则计算． （1）根据即可解答； （2）根据即可解答；根据定义即可解答． （3）按照除方的计算法则计算即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：． （2）； ． （3） ． 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 有理数 1.大于0的数叫 ，在正数的前面加上负号“-”的数叫 ． 2.数0既不是 ，又不是 ． 3.在同一问题中，分别用正数和负数表示具有 的意义． 4.人们常用正负数来表示一对具有 的量． 5. 有理数及相关概念 称为有理数， 其中 为正有理数， 为负有理数． 、 、 统称整数， 和 统称分数， 和 统称有理数. 注意：不是有理数 6. 有理数的分类方法 （1）按“整”与“分”来分类（即定义） （2）按正、负来分类（即数性） 7. 有理数“0”的不同意义 作用 举例 表示数的性质 0是 ，是 ，是 表示没有 3个人用+3表示，没有人用 表示 表示某种状态 0℃表示冰点 表示正数与负数的界点 0既不是 ，也不是 ，是一个中性数 8. 一般地，在数学中人们用画图的方式把数“直观化”，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做 . 9. 规定了 、 、 的直线叫做数轴. 10. 在数轴上表示数0的点叫 ，正数在原点的 边，负数在原点的 边.如果设a是一个正数，则数轴上表示数a的点与原点的距离是 个单位长度；表示数-a的点与原点的距离是 个单位长度. 【注】所有的有理数都可以在数轴上表示出来，但数轴上的点并不都表示有理数. 11. 只有符号不同的两个数叫做互为 . 12. 在一个数前面加上“+”号，所得数是 ；在一个数前面加上“－”号，表示求这个数的 . 13. –a表示的意义是 . 14. –(–a)表示的意义是 ，它化简的结果是 . 15. 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的 ，记作 . 16. 一个正数的绝对值是它的 ；一个负数的绝对值是它的 ；0的绝对值是 ， 即：. 17. 正数 0，0 负数，正数 负数. 18. 两个负数，绝对值大的 . 一、有理数的定义与分类 1.混淆有理数与整数 错误：认为“有理数就是整数”或“分数不属于有理数”． 注意：有理数包括整数和分数（形如，其中为整数，）． 例如：（可化为）也是有理数． 2.忽略“0”的特殊性 错误：认为“0既不是正数也不是负数，所以不是有理数”． 注意：0是有理数，也是整数，但它既非正数也非负数． 3.无限不循环小数不属于有理数 错误：将π、等误认为有理数． 关键：有理数必须能表示为有限小数或无限循环小数． 二、绝对值的非负性 在进行绝对值计算时，部分同学容易忽略绝对值的结果一定是非负的。 比如在化简绝对值表达式时，若没有对a的取值范围进行讨论，直接得出，这是错误的。当时，，根据绝对值的非负性，此时，只有当时，。 三、比较有理数的大小 1.忽略数轴上点的位置关系 —— 方向与正负混淆 错误：已知数轴上两点 A、B 表示的数分别为 a 和 b，求 A、B 之间的距离时，直接用大数减小数，忽略两点的相对位置。例如：A 表示 - 3，B 表示 5，错误计算距离为 - 3 - 5 = -8（未取绝对值），或直接认为距离是 5 - (-3) = 8（正确），但如果题目变为 “点 A 到点 B 的距离”，部分同学可能因方向混淆而误判符号。 核心误区：数轴上两点距离公式为，需明确距离是绝对值概念，与点的左右位置无关，但部分同学会将 “左减右” 或 “右减左” 作为固定规则，忽略绝对值的非负性。 2.动点问题中未分类讨论 —— 遗漏多种可能性 错误：已知数轴上点 P 表示的数为 x，点 A 表示 3，若 PA=5，求 x 的值。部分同学仅考虑点 P 在 A 右侧，得 x=3+5=8，忽略点 P 在 A 左侧的情况 x=3-5=-2，导致漏解。 3.距离与绝对值符号的误用 —— 化简规则出错 错误：化简含绝对值的距离表达式时，未判断绝对值内式子的正负。例如：数轴上点 P 表示 x，点 Q 表示 2，若 x<2，求 PQ 的距离时，错误写成，正确应为。符号化简误区：当时，；当时，。 部分同学直接去掉绝对值符号而不判断大小，导致结果错误。 4.多动点距离问题 —— 逻辑混乱与计算错误 错误：多个动点在数轴上运动时，未理清运动方向（向左 / 向右）、速度与时间的关系，导致距离计算错误。例如：点 A 从 - 1 出发向右以 2 个单位 / 秒的速度运动，点 B 从 3 出发向左以 1 个单位 / 秒的速度运动，t 秒后求 AB 的距离。错误解法：直接用初始距离 4 减去 (2t + t)，得 4 - 3t，但未考虑当 t>4/3 时，两点相遇后距离变为 3t - 4，未分段讨论。 解题关键：先求动点 t 秒后的位置：A 表示 - 1 + 2t，B 表示 3 - t；距离为，需分（即）和（即）讨论，结果为。 四、有理数运算顺序错误 1.混合运算顺序颠倒 错误：未遵循 “先乘除，后加减，有括号先算括号内” 的规则。 例：计算，错误解法：（先算乘法）； 正确解法：乘除同级运算从左到右，即。 2. 括号展开时漏乘或符号错误 错误：去括号时未将系数乘遍括号内所有项，或符号处理错误． 例：计算，错误解法：（漏乘 - 2 到 + 1，且 - 4y 乘 - 2 应为 + 8y）； 正确解法：。 题型01 有理数的分类 1．（2025七年级下·全国·专题练习）在这几个数中，正数有( )，负数有( )． 2．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）把下列各数填在相应的集合中： 正有理数数集合：｛ ……｝ 负分数集合：｛ ……｝ 非负整数集合：｛ ……｝ 有理数集合：｛ ……｝ 3．（19-20七年级上·新疆·期中）下列说法中，错误的有（   ） ① 是负分数；② 不是整数；③ 非负有理数不包括；④ 不是有理数；⑤是最小的有理数；⑥正整数、负整数统称为有理数 ． A．个 B．个 C．个 D．个 4．（24-25七年级上·福建漳州·期中）把下列各数填写在相应的集合中． ，7， ，，，，，0 ， (1)整数集合：； (2)分数集合：； (3)正数集合：； (4)非负数集合：． 5．（24-25六年级上·上海·期中）在以下各数中：；；；；；；；0；；．属于负分数的有 个． 6．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列各数中：，，0，，，，，（每相邻两个2之间0的个数逐次加1），其中正有理数有 个． 题型02 绝对值的非负性 7．（24-25七年级上·湖南长沙·期末），则a和b各为（    ） A．， B．1，3 C．1， D．，3 8．（24-25七年级下·北京·期中）已知实数a，b满足则 ． 9．（24-25九年级下·广东湛江·阶段练习）如图，数轴上两点、对应的数分别是、，其中、满足， (1)求、的值，并在数轴上标出、两点； (2)数轴上有一动点，当时，请直接写出点对应的数的值． 10．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）若为有理数，下列判断：①总是正数，②总是正数；③的最小值为9；④的最大值是1；其中错误的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）下列结论：①若为有理数，则；②若，则；③若，则；④若，则，则其中正确的结论的是 （填序号）． 12．（24-25七年级上·广西贵港·期末）如果为有理数，式子存在最小值，则这个最小值是（    ） A． B． C． D． 13．（18-19七年级上·重庆綦江·期末）如图，已知点A，B，C是数轴上三点，O为原点．点C对应的数为6，，．    (1)求点A，B对应的数； (2)动点P，Q分别同时从A，C出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动．M为的中点，N在线段上，且，设运动时间为． ①求点M，N对应的数（用含t的式子表示）； ②t为何值时，． 题型03 数轴上的点距离问题 14．（23-24七年级上·浙江台州·期中）已知点，在数轴上分别表示有理数，，、两点之间的距离可以表示为，比如式子表示有理数的点与表示数3的点之间的距离． 请回答以下问题： (1)若表示一个有理数，，则______． (2)若表示一个有理数，的最小值_____． (3)在一工厂流水线上依次排列了个工作台（工作台在同一直线上），第1个工作台安排了2名工人，其他每个工作台安排了1名工人，现在要在流水线上设置一个工具台，以方便这名工人从工作台到工具台拿取工具，为了让工人们拿取工具所走路程之和最短，请直接说出工具台设置在什么位置． 15．（23-24七年级上·重庆·阶段练习）阅读下面材料：若点在数轴上分别表示实数，则两点之间的距离表示为，且； 回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是 ； ②在①的情况下，如果，那么为 ； (2)代数式取最小值时，相应的的取值范围是 ． (3)若点在数轴上分别表示数，是最大的负整数，且， ①直接写出的值． ②点同时开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．    16．（21-22七年级上·广东广州·期末）如图，在数轴上点A表示的数为﹣6，点B表示的数为10，点M、N分别从原点O、点B同时出发，都向左运动，点M的速度是每秒1个单位长度，点N的速度是每秒3个单位长度，运动时间为t秒． （1）求点M、点N分别所对应的数（用含t的式子表示）； （2）若点M、点N均位于点A右侧，且AN＝2AM，求运动时间t； （3）若点P为线段AM的中点，点Q为线段BN的中点，点M、N在整个运动过程中，当PQ+AM＝17时，求运动时间t． 题型04 有理数运算 17．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 18．（24-25七年级下·重庆·自主招生）计算： 19．（24-25七年级上·湖北恩施·期末）对于整数x，规定，例如：，求：的值． 20．（21-22七年级上·山东临沂·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 21．（24-25七年级下·四川成都·期中）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】（1）直接写出计算结果： ； 【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上面的算式，把除方运算写成幂的形式： ，（） ． （3）算一算：． 4 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$