第1章 一元二次方程 能力提优卷 -2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 苏科版九年级上册第1章一元二次方程能力提优卷，适配单元复习，通过基础巩固、实际应用与创新探究，培养数学思维与模型意识，覆盖方程求解、根与系数关系等核心知识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|根的求解、根与系数关系、实际应用（如疫情传播、合同签订）|结合社会热点（疫情防控），考查运算能力与推理意识| |填空题|6|最值问题、构造方程、根的性质|设置开放题（构造方程），培养创新意识| |解答题|7|解方程、代数综合、应用题（乡村振兴、销售利润）、几何动态、数学文化（杨辉三角）|融合几何动态与数学文化，体现模型应用与文化传承，梯度覆盖基础到创新|

第1章一元二次方程能力提优卷-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（2024） 一、单选题 1．一元二次方程的根是（    ） A． B． C．， D．， 2．若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．中考在即，同学们要注意加强锻炼，保证睡眠，增强体质，抵抗病毒．据市疾控中心调查：有一种病毒，一人患病，经过两轮传染后共有144人患病，请你帮忙计算每轮平均一人传染（）人． A．人 B．人 C．人 D．人 4．若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 5．参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，若有x家公司共签订了45份合同，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．已知关于的一元二次方程的两实数根分别为和，则的值等于（   ） A． B． C． D． 7．将一元二次方程转化为的形式，则的值为（    ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 8．为助力乡村振兴，河南某乡村合作社售卖铁棍山药，已知山药进价为15元/斤，销售单价x （元/斤）与月销售量y （斤）满足一次函数关系：， 若合作社每月销售山药获利3000元，并让顾客得到最大优惠，则销售单价为（   ） A．20元 B．25元 C．30元 D．35元 9．有一块长30米、宽20米的矩形空地，现要在空地上修建两条纵向平行的小路和一条横向的小路（小路宽度均相等），纵向小路为平行四边形，剩余空地用于铺设塑胶跑道．已知塑胶跑道的面积为504平方米，设小路宽度为米，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 10．对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则； 其中正确的（    ） A．②④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 二、填空题 11．当______时，二次三项式有最大值，最大值为______． 12．写出一个常数项不为0，有一个根为2的一元二次方程：_______________． 13．已知方程的两个根为，，且，则________． 14．若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程的其中一个根为___________． 15．某音乐播放器原来每个售价元，经过连续两次降价后，现在每只售价为元，设平均每次降价的百分率为，则可列方程为______． 16．我们用符号表示，两实数中较小的数，如，若，则_______． 三、解答题 17．解一元二次方程： (1)； (2)． 18．已知 ． (1)化简； (2)若为方程的解，求的值． 19．已知关于的一元二次方程． (1)讨论该一元二次方程实数根的情况； (2)当时，方程是否有两个不相等的实数根？若有，设这两个根都是不大于的正整数，求出满足条件的所有的值；若没有，请说明理由． 20．某商场经营某种品牌的童装，进价为每件70元，根据市场调研，在一段时间内，当童装的销售定价为每件110元时，可售出20件，而每件定价每降低1元，销售量就增加2件． (1)当童装销售定价为每件100元时，销售量为________件； (2)直接写出销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式为________； (3)为了尽可能地让利于顾客，该童装销售定价为每件多少元时，商场销售该品牌童装可盈利1200元？ 21．对于一元二次方程（），若满足，则我们把这样的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． (1)当，，时，求相应的“勾系一元二次方程”的根； (2)求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． 22．如图，在中，，．点在边上，以的速度由点向点运动，同时，点在边上，以的速度由点向点运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动．设运动时间为． (1)当时，求的面积． (2)当的面积为时，求的值． (3)的面积能否达到？若能，求出的值；若不能，说明理由． 23．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”便是其中一例．下面是某学习小组开展《探寻杨辉三角的奥秘》主题学习活动的过程，请仔细阅读并解决问题． 活动一：初识“杨辉三角”如图，图1是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和． (1)根据以上规律，如图1，第6行中________，_______； 活动二：初探“杨辉三角”从第二行起，每行第二个数恰好构成正整数数列；而从第三行起，每行第三个数构成如下数列，1，3，6，，…，其中第3行第三个数，第4行第三个数，第5行第三个数，… (2)第8行第三个数为________，第行第三个数为_________； (3)若第行第三个数为36，则的值为________； 活动三：再探“杨辉三角”若将“杨辉三角”数阵中所有的奇数记为“1”，所有的偶数记为“0”，则前4行如图2，前8行如图3． (4)前16行中奇数的个数为________． 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《第1章一元二次方程能力提优卷-2026-2027学年数学九年级上册苏科版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A B A D A B B D B 1．B 【分析】利用直接平方法求解即可． 【详解】解： 直接开平方得：， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握直接平方法求解是解题关键． 2．A 【分析】先将一元二次方程整理为一般形式，再根据根与系数的关系，得到两根之和m和两根之积n，代入得到一次函数解析式，再根据一次函数的性质判断图象不经过的象限即可． 【详解】解：整理原一元二次方程得 ， ∵两根之和为 ，两根之积为 ， ∴， ， ∴一次函数解析式为 ， ∵一次项系数 ，常数项 ， ∴该一次函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 3．B 【分析】设每轮平均一人传染的人数为未知数，根据两轮传染后的总患病人数列一元二次方程，舍去不符合实际意义的负根后得到结果． 【详解】解：设每轮平均一人传染人， ∵最初有人患病， ∴第一轮传染后患病总人数为， 第二轮中每个现有患者再传染人，第二轮新增患病人， ∴两轮传染后患病总人数为， 根据题意列方程得：， 解得或， ∵传染人数为正整数， ∴舍去， ∴， 即每轮平均一人传染人． 4．A 【分析】根据方程根的定义，只需将选项中的值代入方程左边，验证是否能得到的形式，结合已知条件，即可判断方程必有的根． 【详解】解：当时，代入方程左边得： ， ， 满足方程，因此方程必有一根为． 5．D 【分析】解题思路为：明确每家公司的签约数量，去掉重复计算的部分，根据总签约合同数列出等量关系即可得到方程． 【详解】解：∵共有家公司参加商品交易会，每两家公司之间签订一份合同， ∴每家公司要和除自身外的家公司签订合同， ∵同一份合同会被两家公司各重复计算一次， ∴所有公司签订合同的总份数为， 已知总合同数为45份，因此可列方程． 6．A 【分析】先根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再将所求式子利用完全平方公式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵ 对于一元二次方程 ，若 是方程的两个实数根，则 ，， 已知方程为 ， ∴ ，，， ∴ ，， 又∵ ， 代入得：． 7．B 【详解】解： ∴， ∴． 8．B 【分析】利用“总利润=每斤利润×销售量”列方程求解，结合让顾客得到最大优惠取合适的解即可． 【详解】解：∵每斤利润为元，月销售量， ∴， 展开整理得：， 因式分解得：， 解得， ∵销售需给顾客优惠，选择更低的销售单价， ∴销售单价为25元． 9．D 【详解】解：根据题意及平移规则可知，若设小路的宽度为米，则剩余部分可合成长为米，宽为米的矩形， ∴可列方程为． 10．B 【分析】由，可判断必有一个根为，从而判断①；由方程有两个不相等的实根，则，从而判断②；由，需考虑是否为，从而判断③；用求根公式表示出即可判断④． 【详解】解：①若，则必有一个根为，则，故①正确； ②若方程有两个不相等的实根，则， 则的判别式为， ∴方程必有两个不相等的实根；故②正确； ③若c是方程的一个根，则， 当时，，故③错误； ④若是一元二次方程的根，则或， ∴或， ∴；故④正确． 综上所述，正确的有①②④． 11． 1 【分析】根据配方法的步骤把代数式通过配方变形为，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴时，代数式有最大值，其最大值为． 12．（答案不唯一） 【详解】解：常数项不为0，有一个根为2的一元二次方程可以是： ．（答案不唯一） 13．． 【分析】运用直接开平方法求出，，从而求出． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴，， ∴． 14．2026 【分析】将方程整理为，再利用已知方程的根求出所求方程的根即可． 【详解】解：由方程得到：， 由于方程的其中一根为， 则， 解得， 因此，关于x的方程的其中一个根为2026． 15． 【分析】根据平均每次降价百分率依次表示出两次降价后的价格，结合已知现售价找到等量关系，即可列出方程． 【详解】解：已知原价为元，平均每次降价的百分率为， 根据降价过程，第一次降价后的价格为， 第二次降价在第一次降价后的价格基础上降价，因此第二次降价后的价格为， 因此可列方程为：． 16．或4 【分析】本题需依据的定义，分两种情况讨论，分别令对应较小的式子等于9，求解后验证解是否满足该式子为两数中较小值的前提，舍去不符合条件的解，进而得到的值． 【详解】解：根据表示两实数中较小数的定义，分以下两种情况分析： 1．当时，， 根据有理数的乘方运算，解得或， 验证：当时，，，此时，不满足的前提，舍去， 当时，，，此时，满足前提条件，故是有效解； 2．当时，， 用直接开平方法解方程，得或， 即或， 验证：当时，，，此时，满足的前提，故是有效解， 当时，，，此时，不满足的前提，舍去， 综上，或， 故答案为：或4 17．(1)， (2)， 【分析】（1）先因式分解转化为两个因式的乘积，即可求得答案； （2）先提取公因式转化为两个因式的乘积，即可求得答案． 【详解】（1）解：因式分解，得， ，； （2）解：提取公因式，得， 即， ，． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）根据方程的解的定义得到，再根据计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵为方程的解， ∴， ∴， ∴． 19．(1)当时，该方程有两个不相等的实数根，当时，该方程有两个相等的实数根； (2)有，所有的值为：，， 【分析】（1）整理方程为一般形式，再利用根的判别式的值的情况讨论即可． （2）当时，可得， 求解，再进一步分析求解即可． 【详解】（1）解：， 方程化为一般式：， ∴， ∴当时，该方程有两个不相等的实数根， 当时，该方程有两个相等的实数根； （2）解：当时，，方程有两个不相等的实数根， ∵， 解得：， ∵这两个根都是不大于的正整数， ∴，， 解得． 又∵这两个根都是正整数， 为的倍数， 的值为，，． 20．(1)40 (2) (3)每件元 【分析】（1）根据当童装的销售定价为每件元时，可售出件，而每件定价每降低元，销售量就增加件，列出算式，即可求解； （2）根据题意列出函数关系式，即可求解； （3）根据利润等于单件利润乘以销售数量，列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：（件） 故答案为：． （2）解：依题意， 故答案为：． （3）解：设童装的销售定价为每件元时，商场销售该品牌童装可盈利元，则， 解得：， 由于要尽可能让利于顾客，故取童装的销售定价为每件元． 答：童装的销售定价为每件元时，商场销售该品牌童装可盈利元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一次函数的应用，根据题意列出函数关系式与方程是解题的关键． 21．(1)， (2)证明：是勾系一元二次方程， ，   ， ， ， ∴关于的勾系一元二次方程必有实数根． 【分析】（1）先根据“勾系一元二次方程”的定义求出，再解一元二次方程即可； （2）先根据“勾系一元二次方程”的定义求出，然后利用根的判别式解答即可． 【详解】（1）解：∵方程是勾系一元二次方程，且，， ． ， （负舍），   ∴原方程为：．   ， ， ，． （2）略． 22．(1) (2)的值为2或8秒 (3)的面积不能达到，理由见解析 【分析】（1）根据，可得，的长，即可求解； （2）由题意得，，，则，即可求解； （3）由（2）可得，令，进行判断即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴． （2）解：由题意得，，， ∴， 整理，得， 解得． 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意；∴ ∴的值为2或8秒． （3）解：不能．理由如下： 由（2）可知，， 令， 整理，得， ∵， ∴无实数根， ∴的面积不能达到． 23．(1)10，1 (2)21， (3)10 (4)81 【分析】（1）根据“杨辉三角”数阵的规律即可求解； （2）观察前5行的第三个数，结合题意得出一般性规律，即可求解； （3）根据（2）中的规律列出方程，求出的值即可； （4）观察数阵可知，前8行中奇数的个数是前4行中奇数的个数的3倍，同理可得：前16行中奇数的个数是前8行中奇数的个数的3倍，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，； （2）解：第8行第三个数为， 第行第三个数为； （3）解：∵第行第三个数为36， ∴， 整理得：， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴的值为10； （4）解：前4行中奇数的个数为9， 观察数阵可知，前8行中奇数的个数是前4行中奇数的个数的3倍，即； 同理可得：前16行中奇数的个数是前8行中奇数的个数的3倍，即， ∴前16行中奇数的个数为81． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $