第1章 一元二次方程 上分攻略-【实验班】 2026-2027学年九年级上册数学提优训练（苏科版·新教材）

答案6D详解 第1章一元二次方程 ③若三边为1、1、3，.1十1<3，.此情况不存在； 例1-2例2D ④若三边为1、3、3，则△ABC的周长为7. 综上，△ABC的周长为3或9或7. 例3(1)x1=1,x2=-9. 4.(1)x1=-8,x2=1. 2x,=-1+压，x,=-1, 3 3 (2)x,-3+17 2· 例4A[解析]：关于x的一元二次方程x2+ 1 5. 2x十p=0两根为x1,x2, [解析]根据题意，得x1十x2=一2m,x1x2= .x1+x2=-2,x1x2=. 受x+=最(m+)-2红=高 3 :1+1=3+4=-3,即2-3， X1T2 m=m= 3 3 .4m2-m= 解得力=一 号故法入 解出力后还需验证一下方程是香有解 a=16m-8m>0m>2或m<0, 例5(1)设通道的宽是x米， dm=不合题意，含去，∴m=一日 3 由题意，得(50-2x)(30-2x)=1056, 旧纳总结与一元二次方程根与系数的关系相关的 解得x1=3,x2=37(舍去). 公式：x7+x=(x1十x2)2-2x1x2,x1-x2|= 故通道的宽是3米 (2)设每个车位的月租金上涨y元，则每个车位的月 1+1_x1十x2 √x十z2)-4x1x2'元1x2x1x2 租金为(20+y)元，可租出(64-)个车位，则 6.士6[解析].关于x的一元二次方程x2-mx十 (20+y)64-0)=1440, 3=0有两个实数根x1,x2, .x1十x2=m,x1x2=3. 解得y1=40,y2=400, 又x1十x2|=2x1x2, 要优惠大众，.y=40. ∴.m=6,解得m=土6， 故每个车位的月租金应上涨40元. 且满足（一m)2-4×1×3≥0，.m=±6. 饥固特训 7.(1).关于x的-元二次方程x2-2(m-1)x十m2=0 1.D 有实数根，∴.[-2(m一1)]2-4m2=4-8m≥0， 2.B 3.(1).关于x的一元二次方程(a一3)x2一4x十 解得m≤号 3=0有两个不相等的实数根， (2),关于x的一元二次方程x2-2(m-1)x十 1a-3≠0， m2=0的两个根分别为x1,x2, 16-4a-30×320 解得a<且a≠8. .x1+x2=2m-2,x1x2=m2. (2)由(1)，得a的最大整数为4， ,x十x=8-3x1x2, ∴.x2-4x十3=0，解得x1=1,x2=3. .(x1十x2)2-2x1x2=8-3x1x2, ,△ABC的三条边长均满足关于x的一元二次 即5m2-8m-4=0, 方程(a-3)x2-4x十3=0， ∴.①若三边都为1，则△ABC的周长为3； 解得m1=号m=2(会去). 2 ②若三边都为3，则△ABC的周长为9； ∴m的值为一号 41 易错警示对于含参的一元二次方程，需要注意 为m,n, b2-4ac是否大于等于0，否则容易多解. 3 1 .'.m十n= 2,mn=- 2, 举反白 1.D +113 六m2+n2=(m十)2-2mn=9 4 2.(1)801600 (3)实数s,t满足2s2+3s一1=0,2t2+3t一1= (2)设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是 0且s≠t, [100-2(x一50)门件，根据题意， ∴.s,t是一元二次方程2x2+3x一1=0的两个实 得(x-40)[100-2(x-50)]=1350, 数根， 解得x1-55,x2-85>65(舍去). s十t=- 21 故每件工艺品售价应为55元. 2 (3)设每件工艺品售价为y元，则每天的销售量是 (:-)=+)2-4=(-2)}°-4× [100-2(y-50)]件， 根据题意，得(y一40)[100-2(x-50)]=2000, 2 整理，得y2-140y+5000=0, △=1402-4×5000<0，∴.方程无解. 11t-s t =士17. 故利润不能达到2000元. st x+2>3, 3.(1)方程x2-3x十2=0是不等式组 x-20 第2章 反比例函数 的“半隐二次方程”.理由如下： ⑤例DA[解析]：反比例函数y=2k=2>0, .x2-3x+2=0,.(x-1)(x-2)=0, ∴图象位于第一、三象限，在每一个象限内y随着x x-1=0或x-2=0,.x1=1,x2=2. 的增大而减小，当x>1时，0<y<2, 解不等式组 z+23·得1<x<2, x-2≤0， ∴选项B,C,D错误，不符合题意； .x2=2满足不等式组的解集，x1=1不满足不等 当=2时y=号-1图象必经过点2,1》， 式组的解集，.方程x2一3x十2=0是不等式组 ∴选项A正确，符合题意.故选A x+2>3, 的“半隐二次方程”. 方法技巧先根据反比例函数的性质分析函数的 x-20 图象所在象限及增减性，再判断各选项是否符合 (2)x2-a.x=2x,x2-a.x-2x=0, 题意 x(x-a-2)=0,.x1=0,x2=a+2. 例2D[解析]：一次函数y=x十2十1中， x+2≥2x-1 解不等式组 得3， I>a, x>a. k2+1>0,.直线与y轴的交点在正半轴，故A,B不 合题意，C,D符合题意. 若使不等式组有解，则a<3. C.由一次函数的图象过第一、二、四象限可知k<0, ①若x1不是不等式组的解，x2是不等式组的解， 由反比例函数的图象在第二、四象限可知k>0,两结 则a≥0，a十2≤3，.0≤a≤1； 论相矛盾，故选项C错误； ②若x1是不等式组的解，x2不是不等式组的解， D.由一次函数的图象过第一、二、三象限可知>0， 则a<0,a十2>3或a十2a,∴.a无解. 由反比例函数的图象在第二、四象限可知k>0,故选 综上所述，a的取值范围为0≤a≤l. 项D正确.故选D. 4.- 3 1 例3D[解析]如图，延长DC,BA交于点E, (2),一元二次方程2x2+3x一1=0的两根分别设CD=a(a>0). 42第1章 一元二次方程 知识梳理导图 等号两边都是整式，且只含有一个 未知数，未知数的最高次数是2的方 方程有两个不 程叫作一元二次方程 4>0←→相等的实数根 方程有两个相 根的判别式： 4=0←一等的实数根 明确二次项系数、一次项系数、常数项 4=b2-4ac 4<0←→方程无实数根 ax2十bx十c=0(a≠0) 般 一元二 若方程ax2十bx十c=0(a≠0) 直接开 x2=(p≥>0) 平方法 次方程 元二次方 有两个实数根x,x2, 程根与系数 b (x十n)2=p(p≥0)。配方法 则十x2=一名，1x=台 的关系 因式 若a.b=0,则a=0或b=0分解法 解 注意根据实际问题 -b±√b2-4ac 法 判断根的合理性 x=- 用一元二次方 2a 程解决问题 数学建模思想 (b2-4ac≥0) 公式法 重难疑点解法 分上分点个一元二次方程的定义 的一元一次方程，解关于m的方程即可. 例1(2025·扬州中学期末)已知(k-2)x1+2x- 归纳总烤 一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次 3=0是一元二次方程，则实数k= 方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程 名师启发根据x的最高次数是2，且二次项系 的解.又因为只含有一个未知数的方程的解也叫作 数不等于0列式求解即可. 这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元 方法技巧 二次方程的根， 在探究方程的性质时，需要区分不同方程的定 上分点3一元二次方程的解法 义若要使其为一元一次方程，则需二次项系数为零 且一次项系数不为零；而要使其为一元二次方程，只 例3(2026·扬州宝应月考)解方程： 需保证二次项系数不为零。 (1)x2+8x-9=0; (2)3x2=4-2x. 名师启发(1)利用配方法或因式分解法解 分上分点2一元二次方程的解 元二次方程即可；(2)利用公式法进行求解即可. 例2(2026·盐城亭湖区期中)若一元二次方程 x2+mx一5=0有一个根是x=1,则m的值是(). A.-2B.-1C.2 D.4 名师启发把x=1代入原方程得到关于m 14 实验班提优训练数学九年级上JSK) 型归纳总跨 出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出； 因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移 每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车 项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为 位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大 两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得 众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程， 50米 它们的解就是原方程的解. 上分点4 一元二次方程根的判别式及根 与系数的关系 例4(2026·上海宝山区期中)若关于x的一元二 名师启发(1)设通道的宽是x米，根据题意 次方程x2+2x十力=0两根为x122,且1+1=3， 列出方程，解出x的值即可； “1x2 (2)设每个车位的月租金上涨y元，根据题意列 则p的值为( 出方程，解出y的值，结合优惠大众选择较小的y的 A号 R号 C.-6 D.6 值即可. 名师启发由根与系数的关系可得x1十 x2=一2，x1x2=p,再结合所给的条件求解， 竹方法技巧 常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两 个根；②已知方程及方程的一个根，求另一个根及 未知数；③不解方程求关于根的式子的值，如求 x十x号等或确定字母的取值. 2上分点5 一元二次方程在实际问题中的 应用 例5(2026·徐州铜山区期中)某校新建一个三层 停车楼，每一层布局如图所示.已知每层长为50米， 宽30米.阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其 余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为1056平方米. 女方法技巧 列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意 (1)求通道的宽是多少米. 设未知数，列出方程，解所列方程，检验和作答」 (2)据调查分析，停车场多余64个车位可以对外 易错易混辨析 )易错点】忽视二次项系数不为零 :9+8k-1)=8k+1≥0，解得≥g 例1(2026·徐州期中)已知关于x的一元二次 又该方程为一元二次方程，.k一1≠0，即k≠1， 方程(k一1)x2一3x一2=0有实数根，则的取值范 围是 >- 且k1 解析一元二次方程有实数根， .(-3)2-4X(k-1)×(-2)≥0， 答暴之君且质灯 2 第1章 辨析伯纳-一 (1)求a的取值范围； 解决这类问题需要注意隐含条件.若题干中只 (2)当a取最大整数时，△ABC的三条边长均满 说明是方程，则需考虑一元一次方程和一元二次方 足关于x的一元二次方程(a一3)x2-4x十3=0， 程，若题干中说明是一元二次方程，则需考虑二次 求△ABC的周长. 项系数不为0. 例2(2026·广东深圳光明实验学校期中)若关于 x的一元二次方程x2-2x十3=0有两个实数根，则 k的取值范围是(). A对 R及≤时 C<号且60 )易错点2解方程时方法不当而失根 例2解方程：(x十3)2=(2-2x) D且老0 解答两边开方，得x十3=士(2-2x), 解析.x2-2x十3=0是关于x的一元二次 方程，∴k≠0. 即x+3=2-2,解得x1=: 方程有两个实数根， 或x十3=-(2-2x),解得x2=5. 1 (一2》-X3≥0，每得≤行， 故方程的解为x1=一 3x2=5. k的取值范围是k≤名且及≠0， 辨析归纳--------. 解一元二次方程时，注意观察方程的形式，选 答案D 择适当的方法，此题若先将其化为一般式，则比较 辨析伯纳 繁琐，利用直接开平方法时注意得到的是两个一元 由一元二次方程有两个实数根可得两个结论： 一次方程，切勿漏解。 一是根的判别式大于或等于0，二是二次项系数不 为0. 巩固特划 4.(2025·四川成都期末)解下列一元二次方程： 列店特训 (1)x2+7x-8=0; 1.已知方程(m一1)x2+√mx+1=0是关于x的一 元二次方程，则m的取值范围是( A.m≠1 B.m>1 C.m≥0 D.m≥0且m≠1 2.若关于x的一元二次方程ax2十2x一1=0有两个 (2)x2-3x=2. 不相等的实数根，则a的取值范围是(). A.a≠0 B.a>-1且a≠0 C.a≥-1且a≠0D.a>-1 3.已知关于x的一元二次方程(a一3)x2-4x十3= 0有两个不相等的实数根. 3 实验班提优训练数学九年级上JSK) )易错点3 利用根与系数的关系时，忽略 了方程是否有实数根 个不同的实数根x1x,且x+=,则 例4已知x1,x2是关于x的一元二次方程 m= x2+(2m+1)x+m2+1=0的两个实数根，当x号+ 6.已知关于x的一元二次方程x2一mx+3=0有两 x号=15时，求m的值. 个实数根x1,x2,若x1,x2满足x1十x2= 2x1x2,则m= 解答因为方程有两个实数根，所以b2一4ac≥ 7.(2025·苏州期中)已知关于x的一元二次方程x2一 0,即(2m+1D:-4X1Xm2+1D≥0，解得m≥由 2(m一1)x十m2=0有实数根. 根与系数的关系，得x1十x2=-(2m十1)，x1x2 (1)求m的取值范围； =m2+1,所以x十x号=(x1十x2)2一2x1x2= (2)设此方程的两个根分别为x1,x2,若x1十x?= [-(2m+1)]2-2(m2+1)=2m2+4m-1.又x号+ 8-3x1x2,求m的值 x号=15，所以2m2+4m-1=15,即m2+2m-8=0, 所以m1=一4（不合题意，舍去），m2=2,故m的值为2. 辨析归纳 -- 在处理这类问题时，首先需考虑方程是否有实 数根，这是运用根与系数的关系解答问题的前提 条件 巩固特 5.关于x的一元二次方程2x2+4mx十m=0有两 素养考向提分 新情境 ©点拨】 列 一元二次方程解应用题的“六字诀”： 例①(2026·广东清远英德期末)英德市某商铺销 审、设、列、解、验、答 售一批品牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利 40元，为扩大销售、增加盈利并尽快减少库存，商铺 举反白 决定降价促销，经调查发现，每件衬衫每降价1元，平 1.(2026·无锡二泉中学月考)为促进消费，某超市对部 均每天可多售出2件，若商铺平均每天要盈利1200元， 分商品进行“折上折”（两次打折数相同）优惠活 每件衬衫应降价多少元？ 动，已知一件原价700元的服装，优惠后实际仅需 解析设每件衬衫降价x元，则每天售出(20十 448元.设该服装打x折，则可列出的方程为 2x)件，根据商场每天要盈利1200元，列出一元二次 (). 方程，解之取符合题意的值即可. A.700(1-2x)=448 答案设每件衬衫应降价x元，则每天售出 B.700(1-x)2=448 (20+2x)件， 由题意，得(20十2x)(40-x)=1200, C.70(1-6)》°=48 整理，得x2一30x+200=0, 解得x1=20,x2=10. D.70(6)°=48 .要减少库存，∴.x=20. 2.(2026·山西运城万荣期末)某公司设计了一款工艺 故每件衬衫应降价20元. 品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场 第1章 进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天 的方式制作储物盒。 的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天 长方形纸板①制作方式：裁去角上4个相同的小 就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元. 正方形，折成一个无盖长方体储物盒 (1)若销售单价为每件60元，则每天的销售量为 长方形纸板②制作方式：将纸片四个角裁去4个 件，销售利润为 元 相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒， (2)要使每天销售这种工艺品盈利1350元，每件 A D 工艺品售价应为多少元？ a cm Bi--L (3)公司每天销售这种工艺品获利能否达到2000元？ 50 cm E(H) 请说明理由。 a cm 6 F(C) 100cm 请你帮助小艾完成下列项目任务： 任务一：按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒 能够无缝隙的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则 长方形纸板宽a为 cm; 任务二：利用任务一计算所得的数据a,进一步 探究 (1)按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便 地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空 间，当储物盒的底面积是936cm时，求裁去角上4个 相同的小正方形的边长； (2)按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒， 新考法 若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底 例2下面是小艾进行数学学科项目学习时记 61 面积为702cm,求小长方形的边FJ的长 录的部分内容。 解析任务一：求出长方形纸板①制作方式中四 项目主题：如何利用闲置纸板箱制作储物盒， 角裁去的小正方形的边长，即可解决问题； 项目探究：如图(1)是小艾家放置储物盒的区域， 任务二：(1)设裁去的小正方形的边长为ycm, 该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图(2) 根据储物盒的底面积是936cm2,列出一元二次方程， 所示 解之取符合题意的值即可； (2)设小长方形的边FJ的长为xcm,且0<x< 储物盒 区域 40 cm 20,则小长方形的另一边的长为0cm,根据盒子 30 cm 的底面积为702cm,列出一元二次方程，解之取符合 题意的值即可 (1) (2) 答案任务一：40提示：长方形纸板①制作方 如图(3)是用闲置纸板箱拆解出的长方形纸板 式中的四角裁去小正方形的边长为(50一40)÷2= ①、②，两种长方形纸板宽均为acm(a<50cm). 5(cm), D ② '.a=储物盒的宽十2×小正方形的边长=30十 cm cm 2X5=40(cm). 50 cm 100cm (3) 任务二：(1)设裁去的小正方形的边长为ycm, 项目成果：小艾分别将长方形纸板①和②以不同 由题意，得(50-2y)(40-2y)=936, 54 实验班提优训练数学九年级上JSK) 整理，得y2-45y+266=0, 4.(2026·福建福州平潭一中期中)阅读材料： 解得y1=7,y2=38(不合题意，舍去). 材料1：关于x的一元二次方程ax2十bx十c=0 故裁去角上4个相同的小正方形的边长为7cm. (a≠0)的两个实数根x1,x2和系数a,b,c有如下 (2)设小长方形的边FJ的长为xcm,且0<x< 关系：x1十x4=-6, 20,则小长方形的月一边的长为士0 a cm, 材料2：已知一元二次方程x2一x一1=0的两个实 由题意，得0-2x10-2x空9）=7他， 数根分别为m,n,求mn十m2的值， 解：.m,n是一元二次方程x2一x一1=0的两个 解得x1=11,x2=59(不合题意，舍去). 实数根， 故小长方形的边FJ的长为11cm. .m+n=1,mn=-1. 的点拔本题主要考查了一元二次方程的应用， 故m2n+wm2=m(m十n)=-1X1=-1. 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： 找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题 (1)应用：一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实 的关键. 数根为x1,x2,则x1十x2= ，x1x2= 样反自 3.(2025·浙江宁波镇海区蛟川书院期末)定义：如果一个 (2)类比：已知一元二次方程2x2十3x一1=0的两 一元二次方程有两个解，其中一个是一元一次不 个实数根为m,n,求m2十n2的值； 等式组的解，而另一个不是，那么称该一元二次方 (3)提升：已知实数s,t满足2s2+3s一1=0,2t2十 程为该不等式组的“半隐二次方程”.例如：方程 3-1=0且s≠，求}的值 x2=4的解为x1=2,x2=一2，不等式组 1x-4<0, 的解集为1<x<4,因为-2<1<2< 3x>3 1x-4<0, 4,所以称方程x2=4是不等式组 的半隐二 3x>3 次方程 (1)方程x2-3x十2=0是不是不等式组 x+2>3, 的半隐二次方程？请说明理由， x-2≤0 (2)若关于x的一元二次方程x2-ax=2x是不 x+2≥2x-1, 等式组{ 的半隐二次方稻 x>a 取值范围. 6