第2章 实数初步认识 能力提优卷- 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 苏科版八年级上册实数初步认识单元提优卷，立足基础概念，通过情境化问题与探究性任务，分层考查无理数、平方根等核心知识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|无理数判断、算术平方根、立方根表示等|第8题数值转换器考查运算逻辑，第10题新定义“根号整数”培养抽象能力| |填空题|6|实数分类、估算、平方根性质等|第16题结合无理数整数与小数部分，体现数学思维| |解答题|7|计算、应用题、尺规作图等|第20题“混天绫”面积问题渗透模型意识，第23题数轴表示无理数强化几何直观，第22题模仿探索过程发展推理能力|

第2章实数初步认识能力提优卷-2026-2027学年数学八年级上册苏科版（2024） 一、单选题 1．下列各数是无理数的是（     ） A． B． C． D． 2．4的算术平方根是（   ） A．2 B． C．4 D． 3．“的立方根”用数学符号表示为（   ） A． B． C． D． 4．下列四个数中，最小的数是（   ） A． B．0 C． D． 5．下列式子正确的是（      ） A． B． C． D． 6．估计无理数的值是在（    ）． A．到之间 B．到之间 C．到之间 D．到之间 7．如果在数轴上的点到原点的距离是，那么表示点的实数为（   ） A． B． C． D．5 8．一个数值转换器的原理如图．当输入的为时，输出的是（   ） 　 A． B． C． D． 9．已知．若为整数且，则的值为（   ） A．35 B．34 C．33 D．32 10．定义：对于自然数，我们用【】表示不大于的最大整数，称之为的根号整数．例如的根号整数，的根号整数．那么满足的自然数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．实数的立方根是____，49 的算术平方根是____，144 的平方根是_____ ． 12．用四舍五入将数精确到十分位为_______． 13．比较大小_________ 1． 14．已知，则的值是________． 15．一个正数的平方根是和，则的值是______． 16．已知a是的整数部分，b是的小数部分，那么的值为_____． 三、解答题 17．把下列各数分别填入相应的圈内： ，0，15，，，，，，，． 18．计算：． 19．求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)． 20．动画电影《哪吒闹海》中，哪吒在镇压妖的时候使用的是“混天绫”，假设用“混天绫”恰好能围成一个面积为25m2的正方形“封妖阵”，后因妖怪反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 21．（1）已知一个正数的两个不相等的平方根与，求这个正数的值； （2）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的平方根． 22．期中复习，小李同学利用《数的开方》和《整式的乘除》知识，探索的近似值，过程如下： ∵面积为86的正方形的边长是，且， ∴可设，其中，画出示意图，如图所示． 根据示意图，可得图中正方形的面积， 又，． ，可忽略，得， 解得，． 仿照小李的探索过程，解答下列问题： (1)的整数部分为________； (2)求的近似值（要求：画出示意图，标注数据，并写出求解过程）． 23．阅读与思考 下面是莉莉同学的学习笔记．请仔细阅读，并完成相应的任务． 在数轴上确定表示无理数的点今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实． 要在数轴上分别找到表示和的点，关键是在数轴上构造线段． 如图1，点与数轴的原点重合，点表示的数为1，过点作的垂线段，使得，连接，则（依据）． 以原点为圆心，斜边的长为半径画弧，与数轴分别交于点，则，点对应的数为，点对应的数为． …… 任务： (1)学习笔记中的“依据”是指____________． (2)如图2，利用尺规在数轴上分别画出表示的点和表示的点．（保留作图痕迹，标明字母，不写作法） (3)拓展：在材料的基础上，莉莉同学经过探索，知道了如何在数轴上画出表示数的点，请你在图3的数轴上，利用尺规作图帮助莉莉同学画出点．（保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《第2章实数初步认识能力提优卷-2026-2027学年数学八年级上册苏科版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A A A B C A B C 1．B 【分析】根据无理数、有理数的定义即可判断． 【详解】解：A、是分数，是有理数，故选项不符合题意； B、是无限不循环小数，是无理数，故选项符合题意； C、是有限小数，是有理数，故选项不符合题意； D、是整数，是有理数，故选项不符合题意． 2．A 【分析】本题考查了求解算术平方根，准确的计算是解决本题的关键． 根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：由题意得，4的算术平方根是2， 故选A． 3．A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，熟练掌握立方根定义是解题的关键．根据立方根定义表示出的立方根即可． 【详解】解：“的立方根”用数学符号表示为． 故选：A． 4．A 【分析】本题考查实数大小的比较，实数大小比较原则是：正数大于零，零大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小．根据实数大小比较法则求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，，，， ∴， ∴最小的数是， 故选：A． 5．A 【分析】本题考查平方根和立方根的概念，注意算术平方根是非负的，而立方根有唯一实数值. 【详解】解：A选项：，，故A选项正确； B选项：根据算术平方根的定义可得：，故B选项错误； C选项：根据算术平方根的定义可得：，故C选项错误； D选项：根据平方根的定义可得：，故D选项错误． 故选：A． 6．B 【分析】此题考查了估算无理数的大小，弄清估算无理数的方法是解本题的关键． 先算出，，，，再进行比较即可． 【详解】解：∵， ∵，，， ∴， ∴． 故选：B． 7．C 【分析】根据数轴上点到原点的距离等于该点所表示实数的绝对值． 本题考查数轴上距离与绝对值的性质，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：∵点A到原点的距离是， ∴， ∴． 故选：C． 8．A 【分析】根据数值转换器的原理，输入后先取算术平方根，若结果为有理数则继续取算术平方根，若结果为无理数则输出，据此逐步计算即可求解． 【详解】解：当时，是有理数， ∴需重新输入进行计算， 是无理数， ∴输出． 9．B 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算．根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵，且， ∴，即， ∵， ∴． 故选：B 10．C 【分析】本题结合新定义“根号整数”考查估计算术平方根，关键是根据定义转化为不等式，再结合自然数的范围确定的取值． 【详解】解：根据“根号整数”的定义，若， 则； 两边平方，得． ∵是自然数， ∴的取值为1、2、3，共3个． 故选：C． 11． 7 【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根，熟练掌握这几个定义是解题的关键． 根据平方根、立方根、算术平方根的定义逐个计算即可． 【详解】解：的立方根是，49的算术平方根是7，144的平方根是， 故答案为：，，． 12． 【分析】本题考查近似数． 对百分位上的数字进行四舍五入即可． 【详解】解：用四舍五入将数精确到十分位为． 故答案为：． 13．< 【分析】本题主要考查了实数比较大小，解题的关键在于能够熟练掌握：两个正数比较大小的方法．根据实数比较大小的方法求解即可． 【详解】解：1可写为，与分母相同，因此比较分子和3， 由于，故 ， 所以． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查非负性，求一个数的算术平方根，将原等式化为非负数的和为0的形式，求出的值，再根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴， ∴， ∴． 15． 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的性质是解题的关键． 根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数，得出，即可求出的值． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故答案为：． 16．/ 【分析】本题考查了无理数的估算．先估算的范围，确定其整数部分和小数部分，再代入进行计算． 【详解】解：因为，即， 因为a是的整数部分，b是的小数部分， 所以，． 则． 故答案为：． 17．如图 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，实数的分类，根据整数和分数统称为有理数，无限不循环小数即为无理数，大于的实数为正实数，小于的实数为负实数，进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：， 18． 【分析】本题主要考查了实数的运算，熟知实数的运算法则是解题的关键． 先计算立方根和算术平方根，乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解原式 ． 19．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了立方根的定义，掌握立方根的定义是解题的关键． （）根据立方根的定义求解即可； （）根据立方根的定义求解即可； （）根据立方根的定义求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 20．(1)20m (2)能，理由： 设宽为，则长为． 可得：， 解得：（因为长度为正，舍去负根）， 长为：， ， ． 答：混天绫长度足够完成新阵法． 【分析】本题考查了正方形和长方形的周长与面积计算，解题的关键是根据面积公式求出边长（长、宽），再计算周长． （1）先由正方形面积求出边长，再计算正方形周长得到“混天绫”总长度； （2）设长方形宽为，根据长与宽的比表示出长，结合面积求出长和宽，计算长方形周长，与“混天绫”长度比较判断是否足够． 【详解】（1）解：因为， 所以正方形的边长为． 所以正方形的周长为． 答：混天绫的总长度是． （2）略 21．（1）；（2）． 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据平方根求原数． （1）一个正数的两个平方根互为相反数，据此可得，解方程求出平方根，即可求出这个数； （2）根据平方根的定义得到，，据此求出a、b的值，进而求出的值，最后根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不相等的平方根与， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵的平方根是，的算术平方根是4， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根为． 22．(1)13 (2) 【分析】本题考查了估计无理数的大小，理解示例并合理解答是解题关键． （1）判断出，即可解答； （2）仿照示例画出图形，可得，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为13， 故答案为：13； （2）解：示意图如图所示： ∵面积为176的正方形边长为， 且， ∴设，其中， 根据示意图，可得图中正方形面积为， ∵， ∴， 当时，可忽略， 得：，解得：， 即． 23．(1)勾股定理 (2) 如图，点P，Q即为所求． (3) 如图，点即为所求， 【分析】本题考查的是实数与数轴，勾股定理的应用． （1）根据勾股定理可得答案． （2）利用数轴作一个直角边长为，的直角三角形，再进一步画图即可． （3）利用数轴作一个直角边长为，的直角三角形，再进一步画图即可． 【详解】（1）解：学习笔记中的“依据”是：勾股定理． （2）略 （3）略 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $