3.2.1函数单调性（知识点+12题型）讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦函数单调性核心知识点，系统梳理单调性定义（含条件、结论及注意点）、单调区间判定、定义法证明步骤，延伸至单调性应用（求参数范围、解不等式）及函数最值（定义、与单调性关系），构建从概念到应用的完整学习支架。 该资料亮点在于题型分层设计，涵盖12类典型题，如单调性证明题培养逻辑推理（数学思维），图象分析题提升几何直观（数学眼光），解不等式题强化数学语言表达。课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺，巩固知识应用。

3.2.1 函数单调性 知识要点梳理 知识点1 函数的单调性 1.函数的单调性 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 结论 f(x)在区间I上单调递增.特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 f(x)在区间I上单调递减.特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图示 注意点： (1)区间I可以是整个定义域D，也可以是定义域的真子集.即应在函数的定义域内研究单调性. (2)同区间性，即x1，x2∈I. (3)任意性，即不可以用区间I上的特殊值代替. (4)有序性，即要规定x1<x2. (6)单调递增(递减)是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质. 2.单调区间 如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y=f(x)的单调区间. 3.利用定义证明函数的单调性 利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2. (2)作差变形：作差f(x1)-f(x2)或f(x2)-f(x1)，通过配方、通分、因式分解、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形，一般化为积的形式. (3)定号：确定f(x1)-f(x2)或f(x2)-f(x1)的符号，必要时，进行分类讨论. (4)结论：根据定义确定单调性. 知识点2 函数单调性的简单应用 角度1　已知单调性求参数的范围 已知函数单调性求解析式中参数的值(或范围)时，重点在于找到影响函数单调性的因素，具体如下：若为二次函数，先判断开口方向与对称轴，再利用单调性确定参数满足的条件；若为一次函数，则由一次项系数的正负决定单调性；若为分段函数，则数形结合，每一段的函数的单调性均要考虑，并注意临界值的大小，探求参数满足的条件. 角度2　应用单调性解不等式 (1)利用函数的单调性可以比较函数值的大小，此时要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上. (2)利用函数的单调性可以求解不等式，若不等式的两边具备“同构形式”(如f(a)>f(b))，则可以依据函数单调性的定义，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域. 知识点3 函数的最大值和最小值 1.函数的最值 - 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 ∀x∈D，都有 f(x)≤M ∀x∈D，都有 f(x)≥M ∃x0∈D，使得f(x0)=M 结论 M是函数y=f(x)的最大值 M是函数y=f(x)的最小值 几何 意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 函数的最大值和最小值统称为最值. 注意点： (1)并不是所有的函数都有最大(小)值. (2)一个函数至多有一个最大(小)值，但取得最大(小)值时的x0可以有多个. (3)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性. (4)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M(f(x)≥M)，那么M不一定是函数f(x)的最大(小)值，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)=M时，M才是函数的最大(小)值，否则不是.比如f(x)=-x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值. 2.利用函数的单调性求函数的最值 (1)利用单调性求最值的一般步骤 ①判断函数的单调性. ②根据单调性找到最值点，并计算出最值. (2)函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b). ②若函数在闭区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a). ③若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，则f(x)在区间[a，c]上的最大值是f(b)，最小值是f(a)与f(c)中较小的一个. ④若函数f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则f(x)在区间[a，c]上的最小值是f(b)，最大值是f(a)与f(c)中较大的一个. ⑤求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值. 考点题型突破 一、题型一 根据图象求单调区间 1．（25-26高一上·海南·期中）下列图象表示的函数为减函数的是（   ） A．   B．   C．   D．   2．（25-26高一上·广东潮州·阶段检测）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 3．（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）已知函数的图象如图所示，则（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 4．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知函数的图象如图所示，则其单调递减区间是_______.    二、题型二 求已知函数的单调区间 6．（25-26高二·全国·暑假作业）下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·广东深圳·期中）关于函数，下列判断正确的是（ ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 8．（25-26高一上·浙江杭州·期末）若关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（   ） A． B．函数在上单调递减 C． D．不等式的解集为 9．（26-27高一上·全国·课堂例题）函数的单调递减区间是________，单调递增区间是________. 10．（25-26高一上·重庆·期末）函数的单调递增区间是__________. 三、题型三 单调性的证明 11．（2026高一·全国·专题练习）已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 12．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论． (2)求该函数在区间上的最大值与最小值． 13．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数且经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递增. 14．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数满足，. (1)求 (2)用定义法判断在上的单调性，并求在上的值域. 四、题型四 复合函数的单调区间 15．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 16．（26-27高三上·四川遂宁·开学考试）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 17．（2026高一·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 18．（25-26高二下·天津·阶段检测）函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________ 19．（专题06期末真题百练通关03高一数学上学期沪教版必修第一册）函数的增区间是______． 五、题型五 已知单调性求参数 20．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，则（    ） A． B． C． D． 21．（2026·河北沧州·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高二下·河北衡水·期末）设函数，已知对任意恒成立，则（    ） A．曲线过定点 B．的取值范围是 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 23．（2024高二下·福建·学业考试）已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是________ 24．（24-25高一上·四川宜宾·期中）若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知在上满足，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 26．（25-26高二下·甘肃·期末）已知函数对任意的，总满足以下不等关系：，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 六、题型六 利用单调性求最值 27．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 28．（2026·山东济南·模拟预测）已知表示，中的最小者，则函数的最大值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 29．（26-27高一上·黑龙江黑河·开学考试）若时，则的最大值与最小值分别是（    ）． A．， B．， C．， D．， 30．（26-27高一上·全国·课后作业）函数在上的最大值和最小值分别是________. 31．（2026高一上·全国·专题练习）已知函数， (1)求的值域． (2)，求的最小值． (3)，求的值域． 32．（25-26高一下·安徽阜阳·开学考试）已知函数，且. (1)用定义证明函数在上是增函数； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 33．（25-26高一上·广西玉林·期中）已知函数（）． (1)对都有成立，求实数取值范围； (2)求在上的最小值； (3)求（2）中函数的最大值． 七、题型七 根据最值求参数 34．（2026高一·全国·专题练习）函数在区间上的最大值为4，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 35．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）若函数在区间上的最大值为1，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 36．（25-26高二下·广东汕尾·期末）函数在上的最大值与最小值之和为，则实数_________． 37．（2025高一上·北京海淀·专题练习）已知二次函数，当时，函数有最大值，则______． 38．（25-26高一上·北京·期中）已知函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为______. 39．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知函数. (1)若，判断在上的单调性，并证明； (2)当时，的最大值为1，求实数的值. 八、题型八 根据单调性比较大小 40．（2026高一·全国·专题练习）若函数在上单调递减，则下列一定成立的是（ ） A． B． C． D． 41．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知二次函数的最大值为，则（   ） A． B． C． D． 42．（25-26高一上·四川南充·期中）已知函数，且不等式的解集为，若，，，则，，的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 43．（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知函数在R上严格单调递增，且，则（   ） A． B． C． D． 44．（安徽省天一大联考2024-2025学年高一上学期12月联考数学试卷）若，则（   ） A． B． C． D． 45．（25-26高一上·四川广安·期中）已知函数，且，则与的大小关系是______. 46．（25-26高一上·河南·阶段检测）已知函数． (1)用定义法证明：是增函数； (2)证明：． 九、题型九 根据单调性解不等式 47．（2026·广西崇左·二模）已知函数在上单调递增，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 48．（25-26高一下·湖南娄底·开学考试）已知定义在上的函数满足任意，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 49．（2026·陕西榆林·模拟预测）定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 50．（2026高三·全国·专题练习）已知函数为R上的减函数，若，则______；若，则实数x的取值范围是______． 51．（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知函数. (1)用定义证明函数在定义域上为增函数； (2)求解不等式. 52．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）已知函数， (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)试比较与的大小关系； (3)若，求实数的取值范围． 十、题型十 恒（能）成立问题 53．（25-26高二下·广东深圳·期末）若关于的不等式在时有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 54．（25-26高二下·北京延庆·期末）已知不等式对任意的都成立，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 55．（26-27高三上·北京·开学考试）不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C．8 D．10 56．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 57．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知函数． (1)，求实数的取值范围； (2)，使得，求实数的值； (3)，求实数的取值范围． 十一、题型十一 分段函数的单调性问题 58．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 59．（25-26高二下·河北·期末）已知函数若，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 60．（26-27高二上·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）若函数，在满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 61．（25-26高一上·重庆·期末）已知函数. (1)求的值； (2)画出函数的图象，并写出函数的单调递增区间. 62．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）设函数，则不等式的解集为______． 63．（25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）已知函数. (1)若的最大值为4，求实数a的值； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (3)若，求实数a的取值范围. 十二、题型十二 抽象函数的单调性 64．（2026高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域为，满足，且对于任意实数有，当时，． (1)求的值； (2)求证在定义域上是单调递增函数． 65．（25-26高一下·陕西西安·开学考试）已知函数满足，，，且当时． (1)求的值； (2)证明：，； (3)判断的单调性并用单调性定义给出证明． 66．（25-26高一下·陕西安康·期中）已知函数的定义域为，对任意正实数，，恒有，且当时，. (1)求证：，且当时，； (2)判断在上的单调性； (3)若存在，使得，求实数的取值范围. 67．（25-26高一下·广东江门·阶段检测）已知函数的定义域为，且，当时，． (1)求，判断的正负，并给出证明； (2)判断在上的单调性，并给出证明； (3)若关于x的不等式有解，求实数a的取值范围． 68．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知函数满足：对任意实数，，，，且当时，． (1)求的值； (2)证明：是上的单调递减函数； (3)若对，，求实数的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1 函数单调性 知识要点梳理 知识点1 函数的单调性 1.函数的单调性 条件 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，当x1<x2时 都有f(x1)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 结论 f(x)在区间I上单调递增.特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 f(x)在区间I上单调递减.特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图示 注意点： (1)区间I可以是整个定义域D，也可以是定义域的真子集.即应在函数的定义域内研究单调性. (2)同区间性，即x1，x2∈I. (3)任意性，即不可以用区间I上的特殊值代替. (4)有序性，即要规定x1<x2. (6)单调递增(递减)是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质. 2.单调区间 如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y=f(x)的单调区间. 3.利用定义证明函数的单调性 利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2. (2)作差变形：作差f(x1)-f(x2)或f(x2)-f(x1)，通过配方、通分、因式分解、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形，一般化为积的形式. (3)定号：确定f(x1)-f(x2)或f(x2)-f(x1)的符号，必要时，进行分类讨论. (4)结论：根据定义确定单调性. 知识点2 函数单调性的简单应用 角度1　已知单调性求参数的范围 已知函数单调性求解析式中参数的值(或范围)时，重点在于找到影响函数单调性的因素，具体如下：若为二次函数，先判断开口方向与对称轴，再利用单调性确定参数满足的条件；若为一次函数，则由一次项系数的正负决定单调性；若为分段函数，则数形结合，每一段的函数的单调性均要考虑，并注意临界值的大小，探求参数满足的条件. 角度2　应用单调性解不等式 (1)利用函数的单调性可以比较函数值的大小，此时要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上. (2)利用函数的单调性可以求解不等式，若不等式的两边具备“同构形式”(如f(a)>f(b))，则可以依据函数单调性的定义，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域. 知识点3 函数的最大值和最小值 1.函数的最值 - 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 ∀x∈D，都有 f(x)≤M ∀x∈D，都有 f(x)≥M ∃x0∈D，使得f(x0)=M 结论 M是函数y=f(x)的最大值 M是函数y=f(x)的最小值 几何 意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 函数的最大值和最小值统称为最值. 注意点： (1)并不是所有的函数都有最大(小)值. (2)一个函数至多有一个最大(小)值，但取得最大(小)值时的x0可以有多个. (3)研究函数最值需先研究函数的定义域和单调性. (4)对于定义域内的任意x都满足f(x)≤M(f(x)≥M)，那么M不一定是函数f(x)的最大(小)值，只有定义域内存在一点x0，使f(x0)=M时，M才是函数的最大(小)值，否则不是.比如f(x)=-x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值. 2.利用函数的单调性求函数的最值 (1)利用单调性求最值的一般步骤 ①判断函数的单调性. ②根据单调性找到最值点，并计算出最值. (2)函数的最值与单调性的关系 ①若函数在闭区间[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b). ②若函数在闭区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a). ③若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，则f(x)在区间[a，c]上的最大值是f(b)，最小值是f(a)与f(c)中较小的一个. ④若函数f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则f(x)在区间[a，c]上的最小值是f(b)，最大值是f(a)与f(c)中较大的一个. ⑤求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值. 考点题型突破 一、题型一 根据图象求单调区间 1．（25-26高一上·海南·期中）下列图象表示的函数为减函数的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据图象和减函数定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，该函数随着的增大，的取值在减小，符合减函数定义，A正确； 对于B，该函数随着的增大，的取值在增大，不符合减函数定义，B错误； 对于C，该函数在轴右侧，随着的增大，的取值在增大，不符合减函数定义，C错误； 对于D，该函数在轴左侧，随着的增大，的取值在增大，不符合减函数定义，D错误. 故选：A. 2．（25-26高一上·广东潮州·阶段检测）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 【答案】D 【分析】利用函数的图象逐项判断即可. 【详解】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确； 对于B，当时，，B正确； 对于C，当时，，C正确； 对于D，由图象可知：的单调递增区间为和，但并非严格单调递增，不能用“”连接，D错误. 故选：D. 3．（25-26高三下·青海西宁·阶段检测）已知函数的图象如图所示，则（    ） A．在区间上单调递减 B．在区间上单调递增 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【答案】AD 【分析】利用数形结合思想即可判断. 【详解】由图可知函数在区间和上单调递增， 在区间和上单调递减．故AD选项正确． 4．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】讨论，当时由反比例函数找到可能图像；当时，时由基本不等式得到函数存在最值找到可能图象；当时，由函数在上的单调性找到函数图像. 【详解】当时，，B可能； 当时，，函数中，， 则，当且仅当时取等号，D可能； 当时，，函数在上单调递减，在上单调递减， 因此函数在上单调递减，C可能， 无论取何值，选项A都不可能. 故选：BCD. 5．（25-26高一上·天津滨海新区·期中）已知函数的图象如图所示，则其单调递减区间是_______.    【答案】和 【分析】根据图象，呈下降趋势所对应的区间为单调递减区间. 【详解】观察图象可知，的单调递减区间为和. 故答案为：和. 二、题型二 求已知函数的单调区间 6．（25-26高二·全国·暑假作业）下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，在R上单调递减，故A错误； 对于B，易知开口向上，对称轴为， 所以在区间上单调递增，故B正确； 对于C，开口向下，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递减，故C错误； 对于D，开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，故D错误． 7．（24-25高一上·广东深圳·期中）关于函数，下列判断正确的是（ ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】AC 【分析】通过分离常数+反比例函数平移的方法，结合初中已学的反比例函数单调性规律来分析. 【详解】将整理得： ， 该函数的定义域为， 其图象是由反比例函数的图象向左平移1个单位、再向下平移1个单位得到的. 当时，随增大而递增且恒为正，随增大而递减， 因此在上单调递减，A正确、B错误. 当时，随增大而递增且恒为负，随增大而递减， 因此在上单调递减，C正确、D错误. 8．（25-26高一上·浙江杭州·期末）若关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（   ） A． B．函数在上单调递减 C． D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】利用三个二次的关系，将条件转化成方程的根的情况，判断a的符号，利用韦达定理得到a，b，c的数量关系，再根据选项一一判断或求解不等式即可. 【详解】对于A选项：由题意，方程有两根为和2，且，A正确； 由韦达定理，，即. 对于B选项：， 因，故该函数在上单调递增，B错误. 对于C选项：因，且， 故，C正确； 对于D选项：，，则，则，解得，D正确. 故选：ACD 9．（26-27高一上·全国·课堂例题）函数的单调递减区间是________，单调递增区间是________. 【答案】 【详解】，故其对称轴为，结合函数图象知其单调递减区间是，单调递增区间是. 10．（25-26高一上·重庆·期末）函数的单调递增区间是__________. 【答案】 【分析】根据对勾函数的单调性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以对勾函数的单调递增区间是. 故答案为： 三、题型三 单调性的证明 11．（2026高一·全国·专题练习）已知函数， (1)用定义法判断在区间上的单调性； (2)求出该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明：，且， 则 , 因，则， 则，即， 则在区间上单调递增. (2)最小值为，最大值为. 【分析】（1）利用定义法，设，再化简求得即可判断； （2）由的单调性即可判断最值. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知在区间上单调递增， 则的最小值为，最大值为. 12．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数， (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论． (2)求该函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1) 在上的单调递增，证明如下： 在内任取，且， ， 因为，所以， 所以，即， 所以在上的单调递增. (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据单调性的定义，按照取值、作差、整理、定号，得结论的步骤，证明即可. （2）根据的单调性，结合条件，代入数据，即可得答案. 【详解】（1）略 （2）由（1）得在上的单调递增， 所以的最大值为，的最小值为. 13．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数且经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递增. 【答案】(1) (2)证明：任取，且， 则 ， 因为，且， 所以， 故， 故， 所以在上单调递增. 【分析】（1）将已知两点坐标代入解析式后求解； （2）根据单调性的定义证明：任取，且，利用作差法证明. 【详解】（1）将点，的坐标代入解析式得， 解得，故. （2）略 14．（25-26高一下·山东潍坊·期中）已知函数满足，. (1)求 (2)用定义法判断在上的单调性，并求在上的值域. 【答案】(1) (2)在上单调递减，在上的值域为 【分析】（1）利用换元法求解函数的解析式； （2）利用定义法证明的单调性，并求解值域. 【详解】（1）令，则，将其代入得 ，将替换为，得； （2）任取，且，则 因为，所以，因为，所以，即 分母恒成立， 因此，即，所以在上单调递减。 由单调性可知，在上单调递减，最大值在左端点处取得： 最小值在右端点处取得： 所以在上的值域为. 四、题型四 复合函数的单调区间 15．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，可知函数在上单调递增， 设，可作出函数图像： 可知函数在上单调递减，在上， 则的定义域为. 根据复合函数同增异减原则，可知在上单调递减，D正确. 16．（26-27高三上·四川遂宁·开学考试）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数的定义域，设，分别判断内外函数的单调性，利用复合函数的性质即得. 【详解】由解得或，所以函数的定义域为， 设，函数在上单调递增， 二次函数的开口向上，对称轴为直线， 则二次函数在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数的“同增异减”的性质，可知函数的单调递增区间为. 17．（2026高一·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，此时函数单调递增， 当时,，此时函数单调递减， 即函数的单调递减区间为. 18．（25-26高二下·天津·阶段检测）函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________ 【答案】 【分析】先求解函数的定义域，再利用复合函数“同增异减”的单调性规则，结合二次函数的性质确定的取值范围． 【详解】由已知，，解得或，所以函数的定义域为， 令，其对称轴为，结合函数定义域可知， 在上单调递减，在上单调递增， 因为在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，要使函数在区间上单调递减， 则函数也要在区间上单调递减，且， 所以，所以 19．（专题06期末真题百练通关03高一数学上学期沪教版必修第一册）函数的增区间是______． 【答案】 【分析】由偶次根式有意义,可得定义域为,再根据复合函数的同增异减法则可得. 【详解】函数是由函数复合而成的， 在其定义域上为增函数， 要求函数的增区间即求函数的增区间， 由于函数的增区间为， 又由函数的定义域为, 故函数的增区间是. 故答案为：． 五、题型五 已知单调性求参数 20．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知函数的单调递减区间为，单调递增区间为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用韦达定理求解即可. 【详解】由题知，当时，或， 所以可得，即， 所以. 21．（2026·河北沧州·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】函数的单调递增区间为， 依题意，，则，解得， 因此的可能取值是，ABD是，C不是. 22．（25-26高二下·河北衡水·期末）设函数，已知对任意恒成立，则（    ） A．曲线过定点 B．的取值范围是 C．在区间上单调递减 D．在区间上单调递增 【答案】ABC 【分析】由二次函数的基本性质，结合函数过定点的判定、恒成立条件下参数范围求解、单调性与对称轴的关系逐一分析选项. 【详解】对于A：将整理为，令，可得，取值与无关， 因此曲线恒过定点，A正确； 对于B：是开口向上的二次函数，对任意恒成立， 则判别式，解得，即，B正确； 对于C：二次函数的对称轴为，由得对称轴范围是， 区间内的所有值均小于，即全部在对称轴左侧，开口向上的二次函数在对称轴左侧单调递减， 因此在上单调递减，C正确； 对于D：当时，对称轴为，区间在对称轴左侧，此时在上单调递减，D错误. 23．（2024高二下·福建·学业考试）已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是________ 【答案】 【详解】的对称轴为，开口向上，递减区间为. 所以，所以. 24．（24-25高一上·四川宜宾·期中）若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在上单调，且开口向下，在区间上不可能单调递减， 函数在上不可能单调递减，故在上单调递增， ，解得， 的取值范围是． 25．（25-26高二下·辽宁辽阳·期末）已知在上满足，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由得出在上单调递增，因为其中二次函数的系数，故分和两类讨论，结合一次函数单调性，二次函数单调性列出不等式可求得的范围. 【详解】由题意知，在上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，得， 所以． 26．（25-26高二下·甘肃·期末）已知函数对任意的，总满足以下不等关系：，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得： 当时，有， 当时，有， 说明在上严格单调递减. 已知， 可知是一个斜率为的一次函数，在上单调递减， 是一个开口向下的二次函数，对称轴为轴， 在上单调递减，故满足即可实现在上严格单调递减. ，，则， 解得. 六、题型六 利用单调性求最值 27．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求二次函数的对称轴，根据单调性确定闭区间上的最值. 【详解】函数的对称轴为， 在单调递减，在单调递增， 所以，， 当，， 故原函数的值域为. 28．（2026·山东济南·模拟预测）已知表示，中的最小者，则函数的最大值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】C 【详解】令，整理得一元二次方程，解得或. 当或时，，因此； 当时，，因此. 求分段函数的最大值： 时，； 时，是递减函数，； 时，是递增函数，. 综上，当时的最大值为3. 29．（26-27高一上·黑龙江黑河·开学考试）若时，则的最大值与最小值分别是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】通过换元将含根式的函数转化为二次函数，利用二次函数在闭区间上的最值性质求解． 【详解】令，由可得，且， 代入原函数得，，该函数为开口向下的二次函数，对称轴为， 将代入函数，得； 开口向下的二次函数在闭区间上的最小值在端点处取得， 分别代入端点： 当时，； 当时，； 比较得， 因此当时，函数取最大值，最大值为， 当时，函数取最小值，最小值为. 30．（26-27高一上·全国·课后作业）函数在上的最大值和最小值分别是________. 【答案】，1 【分析】对分式函数分离常数，判断区间上单调性，再代入区间端点求得最值. 【详解】， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以，. 31．（2026高一上·全国·专题练习）已知函数， (1)求的值域． (2)，求的最小值． (3)，求的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）函数在上单调递减，所以，即，所以值域为. （2）函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. （3）函数在在上单调递增， 所以，即，所以值域为. 32．（25-26高一下·安徽阜阳·开学考试）已知函数，且. (1)用定义证明函数在上是增函数； (2)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)证明:因为函数，且，所以，解得， 故. 任取，且， 则， 因为，所以，则， 所以，即， 故函数在上为增函数. (2)最大值为5，最小值为4 【分析】（1）先由条件求出的值，再利用函数的单调性定义证明； （2）利用函数的单调性计算即得函数在给定区间上的最值. 【详解】（1）略； （2）由（1）知，函数在上为增函数，则其在上为增函数， 则， 故函数在区间上的最大值为5，最小值为4. 33．（25-26高一上·广西玉林·期中）已知函数（）． (1)对都有成立，求实数取值范围； (2)求在上的最小值； (3)求（2）中函数的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据计算； （2）分、、三种情况讨论； （3）根据分段函数的单调性求最值. 【详解】（1）由题意得，对恒成立， 则，得， 故的取值范围为； （2）对称轴为，且开口朝上， 则在上单调递减，在上单调递增， 当，即时，； 当，即时，； 当，即时，， 则； （3）由（2）可知，当时，； 当时，； 当时，， 故的最大值为. 七、题型七 根据最值求参数 34．（2026高一·全国·专题练习）函数在区间上的最大值为4，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】显然， 若，则函数在区间上是减函数， 则，解得，不满足，舍去； 若，则函数在区间上是增函数，则，解得. 综上，. 35．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）若函数在区间上的最大值为1，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 【答案】A 【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类讨论即可. 【详解】函数， 当时，，不满足函数在区间上最大值为1，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递减， 所以最大值为，不符合题意； 当时，函数在区间上单调递增， 所以最大值为，解得； 综上所述，实数. 故选：A 36．（25-26高二下·广东汕尾·期末）函数在上的最大值与最小值之和为，则实数_________． 【答案】 【分析】分，，，四种情况讨论，结合条件，利用的单调性，即可求解. 【详解】若，易知在区间上单调递增， 由题知，解得，不合题意， 若，即时，在区间上单调递增， 由题知，解得，不合题意， 若，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，，， 当，即时， 由题有，解得，又，则，所以满足题意， 当，即时，由题有，解得， 又，则，不合题意， 若，即时，在区间上单调递减， 由题知，解得，不合题意， 综上所述，实数. 37．（2025高一上·北京海淀·专题练习）已知二次函数，当时，函数有最大值，则______． 【答案】 【分析】对二次项系数分类讨论并结合二次函数的性质建立方程，进而求解参数即可. 【详解】对于二次函数，先讨论的正负， 当时，对于，对称轴为，此时最大值在端点处取得， 当时，， 当时，， 因为，所以，即最大值为， 而函数有最大值，则，解得， 当时，最大值在对称轴处取得， 当时，， 可得，解得，不符合题意，排除， 综上，的值为. 故答案为： 38．（25-26高一上·北京·期中）已知函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】由对勾函数的单调性得到在和的单调性上，讨论与情况下，的最大值和最小值，再根据的值域为，列出的方程或不等式，求解即得. 【详解】， 由对勾函数的单调性知， 时，单调递减；时，单调递增； ∴在处取得极小值 若，则在上单调递减，，， 因为的值域为，所以，解得； 若，则在上单调递减，在上单调递增， ，， 因为的值域为，所以，解得， 又，所以. 综上， 故答案为：. 39．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知函数. (1)若，判断在上的单调性，并证明； (2)当时，的最大值为1，求实数的值. 【答案】(1) 若，则，在上单调递减.证明如下： 设，则 ， 因为，所以， 所以，所以， 所以，即， 所以在上单调递减. (2). 【分析】（1）利用定义法，按照取值，作差，整理，定号，得结论的步骤，结合解析式，化简计算，即可得证. （2）令，令，为开口向下，对称轴为的抛物线，分别讨论、和三种情况，根据二次函数的性质，分别求出的最大值，结合条件，求出a值，综合即可得答案. 【详解】（1）略 （2）令，则，因为，所以， 则令，为开口向下，对称轴为的抛物线， ①当时，函数在上单调递减， 所以，解得，不符合题意，舍去； ②当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得舍去）； ③当时，函数在上单调递增， 所以，解得，不符合题意，舍去. 综上，实数的值为. 八、题型八 根据单调性比较大小 40．（2026高一·全国·专题练习）若函数在上单调递减，则下列一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上单调递减，且， 所以. 41．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知二次函数的最大值为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对称性得出，再结合函数的单调性即可. 【详解】由题意可知，的图象关于直线对称，所以， 又在上是减函数，所以. 故选：C. 42．（25-26高一上·四川南充·期中）已知函数，且不等式的解集为，若，，，则，，的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式的解集确定参数值，再由二次函数的区间单调性及对称性判断大小关系即可. 【详解】由题设是的两个根，且，则，可得， 所以，其图象开口向下且对称轴为， 所以在上单调递增，且，而， 所以，即. 故选：B 43．（24-25高一上·安徽淮北·期末）已知函数在R上严格单调递增，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由条件，可推得且，再结合单调性逐一分析选项. 【详解】因为，所以. 因为在R上严格单调递增， 所以. 选项A：例如，，满足， 但，故A错误. 选项B：由，得，即，故B正确. 选项C：由，得，即，故C错误. 选项D：由且，两式相加得：，故D正确. 44．（安徽省天一大联考2024-2025学年高一上学期12月联考数学试卷）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，根据定义法分析的单调性，然后将问题转化为“” ，结合单调性可知结果. 【详解】设函数，任取， 则 ， 因为，且， 所以，所以， 所以，所以，所以在上单调递减， 由，可得， 即，所以，即. 故选：B. 45．（25-26高一上·四川广安·期中）已知函数，且，则与的大小关系是______. 【答案】 【分析】由绝对值的几何意义，结合二次函数的性质，即可得解. 【详解】由绝对值的几何意义可知，在数轴上表示到的距离比到1的距离更近， 而，该二次函数的对称轴为，且开口朝上，易知到对称轴的距离越近，函数值越小，故， 故答案为：. 46．（25-26高一上·河南·阶段检测）已知函数． (1)用定义法证明：是增函数； (2)证明：． 【答案】(1)证明： 任取，且， 则 ， 因为，所以， 所以，即， 所以在R上单调递增. (2)证明： 由（1）得在R上单调递增，且， 所以，则，得证. 【分析】（1）根据定义法证明单调性的步骤，取值、作差、整理、变形、得结论，结合解析式，化简整理，即可得证. （2）由（1）得在R上单调递增，所以，代入解析式，即可得证. 【详解】（1）略； （2）略. 九、题型九 根据单调性解不等式 47．（2026·广西崇左·二模）已知函数在上单调递增，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数在上单调递增，，所以，解得，故B正确. 48．（25-26高一下·湖南娄底·开学考试）已知定义在上的函数满足任意，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定函数单调性，通过和两类情况讨论求解即可. 【详解】由条件对任意成立，可知是定义在上的单调递减函数， 则等价于两种情况： 情况1： ， 因为单调递减，等价于， 解得，又，得：； 情况2： ， 因为单调递减，等价于， 解得，又，解集为， 综上：不等式的解集为. 49．（2026·陕西榆林·模拟预测）定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题确定函数的单调性，通过和两类情况讨论求解即可. 【详解】由题知函数在上单调递增， 当时，不等式可化为，即，解得； 当时，不等式可化为 ，即，此时无解. 综上，不等式 的解集为. 50．（2026高三·全国·专题练习）已知函数为R上的减函数，若，则______；若，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为函数是上的减函数，且， 根据减函数的性质：自变量越大，函数值越小，可得，故①处填. 由，且是上的减函数， 可得自变量满足，同时分式有意义需. 解不等式，即，等价于且， 解得或，故②处填. 51．（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知函数. (1)用定义证明函数在定义域上为增函数； (2)求解不等式. 【答案】(1) 设任意； 因为，所以， 所以，即， 所以在上是增函数； (2) 【分析】（1）根据增函数的定义，作差证明即可； （2）根据第一问结论，列出不等式组证明即可. 【详解】（1）略 （2）是上的增函数且. 解得 所以不等式的解集为 52．（25-26高一上·四川巴中·阶段检测）已知函数， (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)试比较与的大小关系； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)任取 ，且 ， 则 因为 ，所以 ，，，因此 ， 即分子分母都为正，故 ，即， 所以函数在区间上是增函数； (2) (3) 【分析】（1）根据单调性的定义，结合作差法即可求解； （2）利用单调性来判断大小即可； （3）根据函数的单调性，结合函数定义域，即可列不等式求解.. 【详解】（1）略 （2）因为，且函数在区间上是增函数， 所以； （3）因为 定义域为，且在 上是增函数， 所以由不等式可得： ，解得， 即 或 ， 故实数 的范围为：. 十、题型十 恒（能）成立问题 53．（25-26高二下·广东深圳·期末）若关于的不等式在时有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数在区间上的最小值，再根据有解条件确定的取值范围即可. 【详解】设，，则不等式在上有解等价于. 对任意，有，当且仅当，即时等号成立. 因为，故在上的最小值为，所以. 故的取值范围为. 54．（25-26高二下·北京延庆·期末）已知不等式对任意的都成立，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意. 设，则. 若，则方程的解为； 若，由方程有解， 可得且. 综上.所以. 所以实数的最小值为2. 55．（26-27高三上·北京·开学考试）不等式对任意恒成立，则的最小值是（    ） A． B． C．8 D．10 【答案】D 【详解】对任意，不等式恒成立， 而函数在上单调递减，则，因此 所以的最小值是10. 56．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，， 当时，，此时， 当时，， 所以的最大值为． 因为对任意恒成立， 所以，即， 整理得，用数轴穿根法解得或， 即实数的取值范围是． 57．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）已知函数． (1)，求实数的取值范围； (2)，使得，求实数的值； (3)，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）将问题转化为两个函数的最值问题，解不等式 即可； （2）将问题转化为两个函数与在上值域关系，列式计算即可； （3）设得到在上单调递减，再根据减函数的定义即可求出. 【详解】（1）因为， 因为， 当时，， 因为，当时，， 因为， 所以，即， 所以； （2）由（1）知， 因为，所以， 由题意， 则，所以； （3）， 设，所以， 即在上单调递减， 所以， 根据定义法，设， 所以， 即在上恒成立， 因为，所以，所以， 所以． 十一、题型十一 分段函数的单调性问题 58．（25-26高一下·贵州毕节·期中）已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】条件可转化为函数在R上单调递增，结合一次函数单调性、二次函数单调性列不等式可求的范围. 【详解】由题意知，在R上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，需满足，解得，所以. 综上，. 59．（25-26高二下·河北·期末）已知函数若，则t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算出的值，再根据的取值范围分和两种情况，分别代入分段函数对应的解析式列不等式求解，最后将两种情况的解集合并得到的取值范围. 【详解】， 当，即时，，由，得； 当，即时，，由，得，解得， 综上，，即的取值范围为. 60．（26-27高二上·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）若函数，在满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分段函数的特点进行求解. 【详解】对任意实数，都有成立， 所以在上单调递增， 当时，若使单调递增，则需满足； 当时，若使单调递增，需满足二次函数的对称轴，即：， 若在上单调递增，则需满足，即：， 所以实数的取值范围为. 61．（25-26高一上·重庆·期末）已知函数. (1)求的值； (2)画出函数的图象，并写出函数的单调递增区间. 【答案】(1) (2) 函数的单调递增区间为. 【分析】（1）根据分段函数计算函数值； （2）先画出函数图象，再根据函数图象判断函数的单调递增区间. 【详解】（1）； （2） 由图象知函数的单调递增区间为. 62．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）设函数，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】分析分段函数的单调性，然后分类讨论求解不等式即可. 【详解】当时，单调递减，； 当时，是常数函数. 当且，即时，由不等式可得， 即，解得或，所以； 当且，即时，， 故不等式的解为； 当且，即时，， 不等式恒成立，所以不等式的解为； 当且，即时，， 不等式成立，所以不等式的解为； 综上，不等式的解集为. 故答案为：. 63．（25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）已知函数. (1)若的最大值为4，求实数a的值； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (3)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别求和时的取值范围，结合反比例函数和一次函数，比较两段的最值，结合最大值为4建立关于的方程求解； （2）根据分段函数在上单调递增，可得各段函数分别单调递增，且左段函数在处的函数值不大于右段函数在处的函数值，再根据单调性条件建立关于的不等式求解； （3）判断和与0的大小关系，分情况讨论，分别利用单调性、函数值大小建立不等式求解. 【详解】（1）当时，，取不到4， 所以时，的最大值为4，                 因为在上单调递增， 所以，则. （2）当时，单调递增；                 当时，单调递增，                 因为在上单调递增，只需，则，                 所以实数a的取值范围为. （3）易知， 当，即， 因为在上单调递增，所以成立；                 当，即， 因为在上单调递增，所以成立；                 当时，，， 所以，， 所以，不符合题意. 综上所述，实数a的取值范围为. 十二、题型十二 抽象函数的单调性 64．（2026高一上·全国·专题练习）已知函数的定义域为，满足，且对于任意实数有，当时，． (1)求的值； (2)求证在定义域上是单调递增函数． 【答案】(1) (2)当时，． 即，由于对于任意实数，，有， 则，即有时，． 设，则，， 则由， 得，即． 故在定义域上是单调递增函数． 【分析】（1）利用赋值法即可求得答案； （2）先由题意推出时，．继而设，可得，，则由，推出，即可证明结论. 【详解】（1）由于对于任意实数，有， 令，则，即， 再令，则， 由于，则； （2）略 65．（25-26高一下·陕西西安·开学考试）已知函数满足，，，且当时． (1)求的值； (2)证明：，； (3)判断的单调性并用单调性定义给出证明． 【答案】(1) (2)证明：①当时，显然，有，符合题意； ②当时，令，则，所以， 因为，所以，所以， 所以当时，，此时，符合题意； ③当时，则，，符合题意． 综上所述，，． (3)单调递增.     证明：设任意，，且， 则 ， 由（2）可知，对，， 又，得， 所以，即， 所以函数在上单调递增． 【分析】（1）根据赋值法代入求解即可. （2）结合已知条件，分情况证明即可. （3）根据单调性的定义判断证明即可. 【详解】（1）将，代入得， 即， 因为当时，，所以， 所以．     （2）略 （3）略 66．（25-26高一下·陕西安康·期中）已知函数的定义域为，对任意正实数，，恒有，且当时，. (1)求证：，且当时，； (2)判断在上的单调性； (3)若存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) 由题可知，所以， 因为，则，又， 所以， 所以当时，； (2)单调递增 (3) 【分析】（1）利用已知条件，对自变量赋值可证且当时； （2）根据函数单调性的定义判断； （3）利用（2）的单调性和函数的定义域建立不等式组，求解； 【详解】（1）略 （2）任取，则，则， 又， 所以， 所以在上的单调递增； （3）由题意，需满足定义域条件 ，解得，且， 由（2）知 单调递增，原不等式等价于 ， 要使该不等式有解，只需 小于 在其定义域 上的最大值， 令，则， 所以，解得， 所以的取值范围为 67．（25-26高一下·广东江门·阶段检测）已知函数的定义域为，且，当时，． (1)求，判断的正负，并给出证明； (2)判断在上的单调性，并给出证明； (3)若关于x的不等式有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) 令，则， 因为当时，，所以； 令，则， 若，则，，则， 故对于，为正； (2) 在上单调递增，证明如下： 任取，且，则，则， 则， 因为，所以，即， 故在上单调递增； (3) 【分析】（1）令，求出，再令，结合时的正负性判断； （2）利用定义判断单调性； （3）利用单调性结合一元二次函数的性质判断. 【详解】（1）令，则， 因为当时，，所以； 令，则， 若，则，，则， 故对于，为正； （2）在上单调递增，证明如下： 任取，且，则，则， 则， 因为，所以，即， 故在上单调递增； （3）因为关于x的不等式有解，且在上单调递增， 所以有解，即在上有解， 故，得或， 故实数a的取值范围为. 68．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知函数满足：对任意实数，，，，且当时，． (1)求的值； (2)证明：是上的单调递减函数； (3)若对，，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)任取，且，则， 由条件知， 所以. 所以，故是上的单调递减函数； (3) 【分析】（1）由赋值法求解； （2）由函数单调性的定义求解； （3）由二次不等式恒成立求解． 【详解】（1）令，可得，结合知； （2）略 （3）令，知，，故. 又因为是上的单调递减函数，所以，等价于，， 即对，恒成立． 当时，不恒成立，舍去； 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $