3.2.1 单调性题型总结讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教版A版必修第一册

本讲义聚焦高中数学单调性核心知识点，系统梳理定义法证明步骤（取值、变形、定号、结论），单调函数等价形式，性质运算（加减乘除及复合函数“同增异减”法则），构建递进式学习支架覆盖判定与应用。 以“数学思维”培养为核心，通过定义法证明题（如证明函数在区间增减性）强化推理能力，复合函数题型结合定义域考查体现“数学眼光”严谨性。详解规范“数学语言”表达，课中辅助分层教学，课后助力巩固提升查漏补缺。

3.2.1单调性 ●知识梳理 1.定义法证明单调性的步骤： (1)取值：设x，是fx定义域内一个区间上的任意两个量，且x1<x2: (2)变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形： (3)定号：判断差的正负或商与1的大小关系： (4)得出结论. 2.单调函数的定义有以下两种等价形式： 对任意的X1,X2∈D,且X1≠x2 fx-fx>0fx在D上是增函数： X1-X2 fx-fx,<0fx在D上是减函数： X1-X2 x1-x2fx-fx2>0fx在D上是增函数； x-x2fx-f引x2<0÷fx在D上是减函数. 3.单调函数的性质运算 若函数fx，gx在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质： 1fx与fx+C(C为常数)具有相同的单调性. (2)fx与afx，当a>0时具有相同的单调性，当a<0时具有相反的单调性. 3)当fx恒为正值或负值时，fx与f 具有相反的单调性， (4)在fx，gx的公共区间上，有如下结论： flx) gx fx +gx f(x)-g(x) 增函数 增函数 增函数 不能确定单调性 flx) gx fx +g(x flx]-g(x) 增函数 减函数 不能确定单调性 增函数 减函数 减函数 减函数 不能确定单调性 减函数 增函数 不能确定单调性 减函数 4.复合函数的单调性 1.对于复合函数y=fgx),若称t=gx为内层函数，y=ft为外层函数，则复 合函数的单调性符合下表： 外层函数y=ft的单调 函数y=fgx的单调 性 内层函数t=gx的单调性 性 增 增 增 减 减 减 增 减 减 增 即复合函数的单调性符合“同增异减”的法则 注意：求复合函数的单调区间时应首先求出函数的定义域 ● 题型训练 题型一常见函数的单调性 1.在区间0，+0)上不是增函数的函数是（) A.y=x B.y=3x2+1 C.y=2 D.y=2x2+x+1 2.函数y=(2m-1)x+b在R上是减函数，则m的取值范围？ 3.函数y=x2-2x,x∈[0,3]的值域为？ 4.函数f(x)=-x+2x-1在[-2,2]上的值域为？（用区间表示） 5.如果函数fx)=x+2ax+2在区间-0,4」上是单调递减的，那么实数a的取值范围 是？ 6.函数f(x)=4x+kx-1在区间[1,2]上是单调函数，则实数k的取值范围是？ 题型二分段函数 1.已知函数fx)=《3a,1)x+4a,x<1 10g。X,X≥1是-o,+o)上的减函数，则实数a的取值范 围是？ 2.若函数f(x)=2,x+1,x≤1 x2+ax,x>1 在R上是单调递增函数，则a的取值范围为？ 题型三定义法证明单调性 1已知函数rx=x+安 (1)用定义法求证：(x)在(1，+∞)上是增函数： (2)求f(x在[2,4]上的最值. 2已知函数fx-X+员(X40)判断两数fx在0，+w上的单调性并用定义证 明. 3.设函数f(x)=X+2 x-1 (1)用定义证明函数fx)在区间(1，+∞)上是单调递减函数： (2)求f(x在区间[3,5]上的最值. 已知函数f,xe02,先证时x在xe0,2]的单调，再求龄大位 和最小值， 5.已知函数fx)=+2x+3(x>3),试判断它的单调性： X 6.已知函数f(x)=1+xX 1-x2 (1)求函数f(x)的定义域： (2)用函数单调性定义证明f(x)在(1，+∞)上是增函数. 题型四求抽象函数的参数取值范围 1.已知函数y=f(x)在R上是增函数，且f(2m-1)>f(m+1),则m的取值范围是？ 2.已知函数fx)是定义域为R的单调增函数. (1)比较fa+2)与f(2a)的大小： (2)若f(a)>f(a+6),求实数a的取值范围. 3定义在R上的函数x对任意两个不相等实数a,b总有fa)二fb>0成立，则必 a-b 有() A.函数f(x)是先增加后减少B.函数fx)是先减少后增加 C.f(x)在R上是增函数D.f(x)在R上是减函数 4.已知函数fx)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x1>x2>1时， [f(x2)-f(x1)]小：(x2-x)<0恒成立，设a=f(-2),b=f(2),c=f(3),则a,b,c的 大小关系为() A.c>a>b B.c>b>a C.a>c>b D.b>c>a 题型五复合函数 1.函数f(x)=Vx+4x-5的单调增区间是() A.（-0,-5]B.（-0,-2]C.[-2,+∞)D.[1,+∞) 2.已知函数f(x=1,g(x)=x+2x+3,则函数f(g(x)的单调递减区间为() A.[-1,+oB.（-o,0]C.[0,+∞D.(-∞，-1] 答案 ·题型训练 题型一常见函数的单调性 1.在区间0，+∞)上不是增函数的函数是() A.y=x B.y=3x2+1 C.y=2 D.y=2x2+x+1 ·答案：C ·详解：A选项y=x是正比例函数，斜率为1>0，在(0，+0)上是增函数： B选项y=3x2+1是二次函数，对称轴为X=0,开口向上，在(0，+o)上是增函数 c透项 ,反比例函数，在(0，+∞)上单调递减： D远项y=2X+x+1,对称轴X=-京，开口向上，在0，+)上是增函数 因此答案为C。 2.函数y=(2m-1)x+b在R上是减函数，则m的取值范围？ 。答案：m<分 ·详解：一次函数y=kx+b,当k<O时，函数在R上单调递减。 本题中k=2m-1,所以2m-1<0,解得m<2 3.函数y=x2-2x,x∈[0,3]的值域为？ ·答案：[-1,3] 。详解：函数y=x2-2x可化为y=(x-12-1,对称轴为x=1,开口向上。当x=1 时，ymin=-1; 当x=3时，y=32-2×3=3:当x=0时，y=0, 所以值域为[-1,3]。 4.函数f(x)=-x+2x-1在[-2,2]上的值域为？（用区间表示） 。答案：[-9,0] 。详解：函数fx)=-x+2x-1=-(x-12,对称轴为x=1,开口向下。当x=1 时，fx)max=0: 当x=-2时，f(-2)=-(-22+2×(-2)-1=-4-4-1=-9: 当x=2时，f(2)=-4+4-1=-1,所以值域为[-9,0]。 5.如果函数f(x)=x+2ax+2在区间-∞，4]上是单调递减的，那么实数a的取值范围 是？ ·答案：a≤-4 ·详解：函数fx)=x+2ax+2的对称轴为x=-a,开口向上，单调递减区间为 （-∞，-a]。已知函数在(-∞，4]上单调递减，所以4≤-a,解得a≤-4。 6.函数f(x)=4x+kx-1在区间[1,2]上是单调函数，则实数k的取值范围是？ ·答案：k≤-8或k≥-16 ·详解：函数fx)=4+kx-1的对称轴为x=合，开口向上。若函数在1,2上单 调，则对称幼需在区间左侧或右侧，印合≤1或合≥2，解得2-8：或k≤-16 ,所以取值范围是k≤-16或k≥-8。 题型二分段函数 1.己知函数fx)= 3a-1)x+4a,x<1 logax, x≥1 是(-oo,+o∞)上的减函数，则实数a的取值范 围是？ 。 答案： ●详解：分段函数单调递减需满足： ①左段-次函数单调速减：30-1<0，解得0宁： ②右段对数函数单调递减：0<a<1; ③左段在x=1处的函数值大于等于右段在x=1处的函数值： 13a-1x1+40≥l0g.1,即7a-120,解得a.综上，a号 2.若函数f(x)= 2x+1,x≤1 x+ax,x>1 在R上是单调递增函数，则a的取值范围为？ 。答案：a≤-1 ·详解：分段函数单调递增需满足： ①左段一次函数单调递增（已满足，斜率2>0） ②右段二次函数单调递增：对称轴x=-号≤1，解得02-2： ③左段在x=1处的函数值小于等于右段在x=1处的函数值：2×1+1≤1+a×1,即 3≤1+a,解得a≥2 综上，a≥2。 题型三定义法证明单调性 1.已知函数f(x)=x+1 X (1)用定义法求证：fx)在(1，+∞)上是增函数： (2)求f(x)在[2,4]上的最值. 。答案：)证明见详解：冈最小值5，最大值好 ·详解：(1)任取x1,X2∈(1，+0)，且X1<x2, 则fx)-fx=x+-(x+)=(x-x+=(x-x01-X。因为 X1X2 x<x,所以xX≥0：又x,x>1,所以xx>1,1-X>0,故fx,-fx0 X1X2 ,即f(x)在(1，+∞)上是增函数。 (2)由（知fx)在[2,4上单调递增，所以f(x=f2)=2+2- +22, fxx=f(4)=4+1=12 44 2.已知函数f(x=-x+2(x≠0)，判断函数f(x)在0，+∞)上的单调性并用定义证 明， ·答案：单调递减，证明见详解 。详解：任取X1,X2∈(0，+00)，且X1<X2, 则fx)-fx(-x+3-(-x+2)=(xx+2x=x-%101+2 X1 X1X2 X1X2 因为X%2,所以X为0：又x>0,所以1+XX0 故f(x2)-f(x1)<0,f(xz)<f(x1),即f(x)在(0，+o)上单调递减。 3.设函数f(x)=x+2 X-1 (1)用定义证明函数f(x)在区间(1，+∞)上是单调递减函数： 2)求f(x)在区间[3,5]上的最值. 5 。答案：（①）证明见详解；(2)最小值4最大值 。详解：(1)任取x1,x2∈(1，+∞)，且X1<X2, xfx-X25t2,--x+2,-一3 （x2-1(x1-1) (x2-1)(x1-1)9 因为X1<x2,所以x2-x1>0;又1，x2>1,所以(x2-1)(X1-1)>0, 故f(x2)-f(x1)<0,即f(x)在(1，+o)上单调递减。 B阅由)rx3.5j止单调递减，所以fxm=f13-是-多 f51-子 已知函数fxx名，x∈0,2引。先证明x在×∈0,2]的单词性，再求最大位 和最小值. 】 ·答案：单调递减，最大值2，最小值 。详解：任取x1,x2∈[0,2]，且X1<x2,则 1发-f 因为x1<x2,所以x1-x3<0:又x1,x2∈[0,2]，所以x2+1(X1+1)>0, 故f(x2)-f(x1)<0,即f(x)在[0,2]上单调递减。 最太值f0品-2，最小值f22异号. 5.已知函数fx=+2x+3(x>3),试判断它的单调性： 。答案：在3，+o∞)上单调递增： 。详解：)化简)=x+是2，行以3<x6 f)fx(1x X1X2 因为XX≥3，所以Xx>3,1-3>0,故fx)f(x>0,单调递增。 X1X2 6.已知函数fx)=1+x 1-X (1)求函数f(x)的定义域： (2)用函数单调性定义证明f(x)在(1，+∞)上是增函数. ·答案：(1)x≠±1；(2)证明见详解 ·详解：1)由1-x≠0，解得x≠±1，所以定义域为-∞，-1)U(-1,1)U(1,+o∞) (2)任取x1,X2∈(1，+0)，且x1<x2, 则fx)》-fx=1+发1+，2号)2&x0x+x刘 1-x31-x3(1-x2)(1-x)(1-x2)(1-x1)9 因为X1<x2,所以x2-X1>0:又x1,x2>1,所以x2+x1>0,1-x<0,1-x<0,故分母 (1-x2)(1-x)>0,所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x)在(1，+∞)上是增函数。 题型四求抽象函数的参数取值范围 1.已知函数y=f(x)在R上是增函数，且f(2m-1)>f(m+1),则m的取值范围是？ ●答案：m>2 ·详解：增函数，所以2m-1>m+1,解得m>2。 2.已知函数f(x)是定义域为R的单调增函数. (1)比较f(a2+2)与f(2a的大小： (2)若f(a2)>f(a+6),求实数a的取值范围. ·答案：(1)f(a+2)≥f(2a:(2)a<-2或a>3 。详解：(1)因为a2+2-2a=(a-1?≥0，所以a2+2≥2a。又f(x)是增函数，所以 fa2+2)≥f(2a). (3)由增函数性质，a2>a+6,即a2-a-6>0,解得(a-3)(a+2)>0,所以a<-2或 a>3。 3定义在R上的函数fx)对在意两个不相等实数如，b,总有fa二fb0成立，则必 a-b 有() A.函数f(x)是先增加后减少B.函数f(x)是先减少后增加 C.f(x)在R上是增函数D.f(x)在R上是减函数 ·答案：C 。详解：由fafb0可知，当a>b时，fa>fb；当a<b时，f1a<fb。 a-b 符合增函数的定义，所以fx)在R上是增函数。 4.已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x>x2>1时， [f(x2)-fx)](x2-x)<0恒成立，设a=f(-2),b=f(2),c=f(3),则a,b,c的 大小关系为() A.c>a>b B.c>b>a C.a>c>b D.b>c>a ·答案：D ·详解：函数f(x)向左平移1个单位后关于y轴对称，说明f(x)的对称轴为x=1, f(4)=f(-2). 当x1>x2>1时，[f(x2)-f(x1](为-x)<0,即f(x)-f(x)<0,所以f(x)在(1，+o) 上单调递减。 所以f2)>f(3)>f(4)=f(-2),即b>c>a,对应选项D。 题型五复合函数 1.函数f(x)=Vx2+4x-5的单调增区间是() A.（-0,-5]B.（-∞，-2]C.[-2,+∞)D.[1,+∞) 。答案：D ·详解：先求定义域，x+4x-5≥0，解得x≤-5或x≥1。令u=x2+4x-5,则 f(x)=Vu,f(x)的单调性由u的单调性决定，Vu是增函数，所以f(x)的增区间即 u的增区间。u=x2+4x-5的对称轴为x=-2,开口向上，在[1，+o∞)上增，所以 f(x)的增区间为[1，+o∞)。 2.已知函数f(x)=文，gx)=X+2x+3,则函数f(g(x)的单调递减区间为() A.[-1,+∞)B.(-0,0]C.[0,+0)D.（-∞，-1] ·答案：A ·详解：fgx川=x+2x+3令=2+2x+3,则ru u=X+2x+3=(x+12+2>0恒成立，u的增区间为[-1，+∞)，减区间为-∞，-1] 。根据复合函数“同增异减”，fu)减，所以f(g(x)的减区间即u的增区间 [-1,+00)。