第26章 二次函数 综合压轴题 专题训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第26章二次函数综合压轴题题型分类解答题专题训练

一、特殊四边形问题

1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，且关于直线对称．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)点是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．

2．如图，已知二次函数的图象经过点，与x轴分别交于点A，点．点P是直线上方的抛物线上一动点．

(1)求二次函数的表达式；

(2)连接，，并把沿y轴翻折，得到四边形．若四边形为菱形，请求出此时点P的坐标；

(3)当点P运动到什么位置时，的面积最大？求出此时P点的坐标和的最大面积．

3．如图，抛物线与轴交于，两点，直线与抛物线交于，两点，其中点的横坐标为2．

(1)求抛物线的解析式；

(2)是线段上的一个动点（与，不重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，求面积的最大值；

(3)点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点坐标；如果不存在，请说明理由．

(4)若直线为抛物线的对称轴，抛物线与轴交于点，直线与轴交于点，点为直线上一动点，则在轴上是否存在一点，使的值最小？最小值为______．

4．如图，二次函数的图象过点，与轴交于点A，，与轴交于点C．

(1)求二次函数解析式；

(2)D为线段上的一个动点，交于点E，交抛物线于点F，连接和，当直线把的面积分成两部分时，求出点D的坐标；

(3)若点P在直线上，Q是平面内一点，是否存在点Q，使以A，B，P，Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

5．如图，抛物线与x轴交于A，C两点，与y轴交于点B，且．

(1)直接写出点A，B，C的坐标；

(2)求抛物线的函数表达式；

(3)连接，点是线段上一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，且四边形为平行四边形．请直接写出所有符合条件的点的坐标．

6．综合与探究

如图（a），抛物线与轴交于点，直线经过点，与轴交于点，与抛物线交于点．

(1)求抛物线的函数表达式．

(2)如图（b），过点作轴，垂足为，是线段上方抛物线上的一个动点，连接，交于点，过点作轴，垂足为交线段于点，连接．

①设点的横坐标为，当为何值时，的面积取得最大值？并求出这个最大值．

②已知为轴上的一点，为平面直角坐标系内的一点，当以点，，，为顶点的四边形为正方形时，求点的坐标．

二、角度问题

7．抛物线：过点，点，与轴交于点，对称轴与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式及点坐标；

(2)如图，连接，在直线上方的抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)将抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得抛物线，若时，直线与图象有唯一公共点，求的取值范围．

8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．