26.3二次函数的图象和性质（提高篇）2026-2027学年九年级数学人教版

**基本信息** 聚焦二次函数图象与性质，以15类题型构建从基础到综合的知识网络，通过问题链培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念与性质|1-4（16题）|坐标特征、系数符号判断|从点坐标到图象性质，构建“数-形”对应关系| |函数综合判断|5-6（8题）|一次/二次函数图象辨析|结合系数符号推理图象特征，发展逻辑思维| |解析式求法|7-9（12题）|一般式/顶点式/交点式应用|依据已知条件选择最优表达式，强化模型意识| |图象变换|10-12（12题）|对称、平移、翻折|通过变换规律深化函数对称性理解| |应用与最值|13-15（12题）|取值范围、最短路径|综合性质解决实际问题，提升应用能力|

26.3 二次函数的图象和性质（提高篇） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 【题型1 二次函数y=ax²+bx+c图象上点的坐标特征】 1．已知二次函数的图象与x轴有两个交点．若其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线与轴两交点关于对称轴对称的性质求解，无需计算的值． 【详解】解：∵二次函数中，， ∴对称轴为直线， ∵抛物线与轴的两交点关于对称轴对称，其中一个交点为， ∴另一交点的横坐标为， 即坐标为． 2．已知二次函数的顶点坐标为，则（1）的值为________； （2）当时，若y的最小值与最大值之和为12，则a的值为________． 【答案】 3 4 【分析】（1）根据二次函数的顶点坐标公式，列式计算即可得解； （2）分两种情况进行讨论：①当时；②当时；分别计算即可求出的值． 【详解】解：（1）二次函数的顶点坐标为， ， ， ； 故答案为：3； （2）由（1）可知：， 抛物线的对称轴为直线， ①当时，的最大值为，显然不符合题意； ②当时，的最小值为，的最大值为， 由得 ， 或（舍去） 故； 故答案为：4． 【点睛】此题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标、对称轴与运用分类思想与数形结合思想求函数的最值是解答此题的关键． 3．把二次函数变形为的形式，则的值为______ ． 【答案】4 【分析】先把二次函数化为顶点式，再求出，的值，进而可得出结论． 【详解】， ，， ． 4．如果抛物线的顶点到轴的距离是，那么的值等于(   ) A．7 B．15 C．7或15 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质和把二次函数解析式化为顶点式；抛物线顶点到轴的距离是，即顶点纵坐标的绝对值为． 先配方把二次函数解析式化为顶点式，求出顶点纵坐标表达式，解方程即可． 【详解】解：∵ ∴顶点坐标为 依题意， 解得：或 故选：C． 【题型2 二次函数y=ax²+bx+c的性质】 5．二次函数（）的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有________个． 【答案】２ 【分析】先根据抛物线开口方向判断的符号，因为对称轴公式为，所以可推导的符号，再根据抛物线与轴交点位置判断的符号，验证结论①；由对称轴，变形后可验证结论②；把结论③的不等式变形为，因为该式对应时的函数值，结合抛物线对称性和已知零点判断函数值符号，验证结论③；先根据抛物线开口方向确定离对称轴越近的点函数值越大，再分别计算三个点到对称轴的距离，比较距离大小后判断的大小关系，验证结论④． 【详解】解：由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴为直线， ， ， ，①错误，②正确； ∵图象过点，对称轴为直线， ∴图象过点， 当时，， ， 即，③错误； ∵点、点、点在该函数图象上，对称轴为直线， ∴点离对称轴最远， ∴最小， 点B离对称轴最近， ∴最大， ，④正确， ∴正确的结论有2个． 6．点，，是抛物线上的三个点，若，则，，的值可以为（     ） A．0，2，4 B．1，3，4 C．1，4，5 D．1，2，4 【答案】C 【分析】先求出抛物线对称轴为，再根据“抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大”逐项判断即可． 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为直线， 抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， 选项A：三点到对称轴的距离分别为2、0、2，则，不符合题意； 选项B：三点到对称轴的距离分别为1、1、2，得，不符合题意； 选项C：三点到对称轴的距离分别为1、2、3，得，符合题意； 选项D：三点到对称轴的距离分别为1、0、2，得，不符合题意． 7．当时，最大值与最小值的差为，则的值________． 【答案】或/或 【分析】二次函数开口向上，对称轴，根据对称轴与区间的位置关系分情况讨论，分别求出最大值和最小值，根据差为计算，舍去不符合条件的解． 【详解】解：∵ 中， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线， 又∵ ， ∴ ，分情况讨论： ①当对称轴在区间的右侧，即时，得，此时函数在上，随的增大而减小， ∴ 当时，取得最大值；当时，取得最小值， 由题意得 ， 解得 ，不符合，故舍去； ②当，即时，此时最小值在对称轴处， ∴的最小值为， ∵抛物线开口向上， ∴离对称轴越近，函数值越小， 又∵， ∴当时，取得最大值， 由题意得 ， 整理得 ， 解得 或（其中与题设矛盾，舍去）； ③当，即时， 同理，此时的最小值为， ∵， ∴  当时，取得最大值， 由题意得 ， 整理得 ， 解得 或（其中与题设矛盾，舍去）； 综上，的值为或． 8．在二次函数（a，b，c为常数，）中，与的部分对应值如表所示． 4 0 给出下列结论：①；②；③若，且，则；④若点均在二次函数图象上，则．其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】先利用待定系数法求出二次函数的解析式，据此可判断①和②；再根据二次函数的对称性和增减性判断③和④即可． 【详解】解：将点代入得：， 解得， ∴二次函数的解析式为， ，结论①正确； ，， ∴，结论②正确； 二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴， 又∵， ∴在这个二次函数的图象上，横坐标为、的两个点关于对称轴对称， ∴， ∴，结论③正确； 由二次函数的性质可知，当时，随的增大而减小， ∵点在二次函数的图象上， ∴由二次函数的对称性可知，时的函数值与时的函数值相等，即点也在这个二次函数的图象上， 又∵点在二次函数的图象上，且， ∴，结论④错误； 综上，结论正确的是①②③． 【题型3 二次函数y=ax²+bx+c的图象】 9．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 【答案】D 【分析】由抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断符号及关系；利用对称性求出抛物线与轴另一交点坐标，进而判断代数式符号；利用二次函数性质比较函数值大小及最值问题． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线，，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过， 即，故⑤不正确； 把代入得，即，故②正确； ∵，且开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值， 当时，，且， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 10．已知某二次函数（）的部分图象如图所示，下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象性质逐一判断即可． 【详解】解：由图象可知：函数的图象开口向上、对称轴在y轴右侧， ，对称轴、且， 对称轴， ， ， 故①错误； 函数的对称轴为，函数和x轴的一个交点是， 另外一个交点为， 当时，， 故②错误； 函数的对称轴为， ， 故③正确； 由②③得，，， ， ，即， ， 故④正确， 综上所述，正确的有③④，共2个． 11．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①②④ 【答案】D 【分析】抛物线开口向下，且交轴于正半轴及对称轴为，推导出，，以及与之间的关系：，即可判断①；根据二次函数图象经过点，及对称轴为，可得出抛物线经过，再把点代入解析式，结合即可判断②⑤；再由二次函数的对称性，当时，距离对称轴越远所对应的越小，即可判断③；由抛物线开口向下，对称轴是直线，可知当时，有最大值，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过， 即，故②正确，⑤不正确； ∵，且开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确，不符合题意； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值， 当时，，且， ∴，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的结论是①②④． 12．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】先将二次函数解析式配方，得到抛物线的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结合判断两点横坐标的位置，即可比较与的大小． 【详解】解：对函数解析式配方得， ， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ， ， ． 【题型4 二次函数图象与各项系数符号】 13．已知二次函数的图象如图，有下列结论：①；②；③，其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据抛物线开口方向，抛物线的对称轴，以及抛物线交轴于负半轴分别得出a，b，c的大小，进而解答①；再根据①可将抛物线的解析式化为，然后根据时，解答②；接下来根据抛物线的对称性可知：关于对称轴的对称点是，再结合当时，，所以当时，也有，即可解答③． 【详解】解：由抛物线开口向上得； ∵抛物线的对称轴为，则，故； ∵抛物线交轴于负半轴得， ，故①正确； 根据①可将抛物线的解析式化为， 由函数的图象知，当时，，即，故②正确； 根据抛物线的对称性可知：关于对称轴的对称点是， 当时，， 所以当时，也有，即，故③正确． 所以正确的有3个． 14．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①②③④，下列选项正确的是（     ） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①② 【答案】C 【分析】由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图可知，抛物线与轴有两个不同的交点， 则，故①正确． ②③由图可知，抛物线的开口向上，则， 抛物线的对称轴为，，故③正确； ，， 抛物线交轴于负半轴，可得：， ，故②正确． ④由图可知，当时，，故④不正确． 综上所述：以上结论正确的有①②③． 15．二次函数的图象如图所示，则下列结论：①，②，③，④，⑤中正确的是（    ） A．②④⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①③④⑤ 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点位置判断的符号及关系；利用时的函数值及对称轴公式进行推导验证各结论． 【详解】解：①由图象可知：抛物线开口向下，则； 对称轴在轴右侧，则，故； 抛物线与轴交点在轴上方，则． ，故此结论正确； ②当时，图象在轴下方，即， ，故此结论错误； ③由对称轴为直线可知，当时的函数值与时的函数值相等． 时， 当时，，故此结论正确； ④对称轴为直线， ． 又当时，， ， 即， ，故此结论正确； ⑤抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，取最大值， 即． ，即，故此结论错误． 综上所述，正确的结论是①③④． 16．如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】由题意可知抛物线开口向上，结合对称轴及点 坐标可得 ，利用的范围求的范围，利用顶点纵坐标为最小值判断不等式及方程根的情况． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向上， ， 对称轴为直线 ， ∴ ， ∴ ， 故①错误； ∵抛物线过点 ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故②正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时， 有最小值 ， ∴对于任意实数，都有 ， ∴ ，即 ， 故③正确； 抛物线顶点坐标为 ，且开口向上， ∴ 的最小值为， ∴直线 与抛物线 没有交点， ∴关于的方程 没有实数根， 故④错误． 综上所述，正确的结论有②，共2个． 【题型5 一次函数的图象综合判断】 17．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与一次函数图象的综合．根据二次函数和一次函数图象的性质依次进行判断即可． 【详解】解：观察四个图形，抛物线的对称轴都在原点右侧， ∴和异号， 当时，则， 对于直线经过一、三、四象限，则选项B正确，符合题意； 当时，则， 对于直线经过一、二、四象限，则没有选项符合题意； 故选：B． 18．一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象的综合判断，根据一次函数经过的象限可得，进而可得二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，据此结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，即对称轴在y轴左侧， ∴四个选项中，只有C选项中的函数图象符合题意， 故选：C． 19．当时，和大致图像可能是（　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一次函数与二次函数图象，可先根据一次函数的图象判断a、b的符号，再判断二次函数图象是否相符即可． 【详解】解：A、由一次函数的图像可知，则二次函数对称轴应为，该选项图像错误，不符合题意； B、由一次函数的图像可知，则二次函数对称轴，该选项图像错误，不符合题意； C、由一次函数的图像可知，而二次函数图像开口方向和对称轴位置均正确，符合题意； D、由一次函数的图像可知，而二次函数的图像开口向上，即，故图像错误，不符合题意． 故选：C． 20．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点与其系数的关系．先求出二次函数图象与x轴的交点，一次函数图象与x轴的交点，得出一次函数图象与二次函数图象有一个交点正好在x轴上，且不是原点，然后进行判断得出即可． 【详解】解：令， 解得：，， ∴二次函数与x轴的交点坐标为或， 令， 解得：， ∴一次函数与x轴的交点坐标为， ∴一次函数图象与二次函数图象有一个交点正好在x轴上，且不是原点， 四个选项中，只有C选项中符合一次函数图象与二次函数图象有一个交点在x轴上， ∴二次函数与一次函数的图像可能C选项中的图象． 故选：C． 【题型6 两个二次函数图象的综合判断】 21.已知与是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设， ， 由图象知，， ， y的图像开口向上，与y轴负半轴相交，选项D，不符合题意； 由图象知： 时，，，，选项C，不符合题意； 时，与相交，即， ∴时，，即与x轴交点是，选项B，不符合题意； 所以选A． 22.已知二次函数和，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时 【答案】B 【分析】分两种情况讨论，通过解不等式和，可对各项进行判断． 【详解】解：当时，， 整理得， ， ，解得或； 当时，， 整理得， ， ，解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与不等式组：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 23.抛物线y1＝（x-h）2＋k与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正确结论是： ①；②点（，m）、（，n）及（，p）都在y1上，则p＜n＜m；③y1≥y2，则x≤1；④PQ＝． A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据题意得：抛物线y1＝（x-h）2＋k与的对称轴分别为直线和，设直线和分别交BC于点M、N，则MN=h+3，根据BC=10，可得MN=5，从而得到h=2，可得得到，进而得到点A（1，3），继而得到，故①错误；根据点（，P）关于对称轴x=2的对称点为，且，可得P＜n＜m，故②正确；根据y1≥y2，可得或，故③错误；分别求出点，可得，故④正确；即可求解． 【详解】解∶ 根据题意得：抛物线y1＝（x-h）2＋k与的对称轴分别为直线和， 如图，设直线和分别交BC于点M、N，则MN=h+3， ∴AM=BM，AN=CN， ∴， ∵BC=10， ∴MN=5， ∴h+3=5， ∴h=2， ∵点B（3，3）， ∴3＝（3-2）2＋k，解得： ， ∴， ∵BC∥x轴， ∴点A、C的纵坐标为3， 令，则， 解得：， ∴点A（1，3）， 把点A（1，3）代入，得： ，解得： ，故①错误； ∵，且对称轴为直线x=2， ∴当x＞2时，y1随x的增大而增大；当x＜2时，y1随x的增大而减小， ∵， ∴， ∵点（，p）关于对称轴x=2的对称点为， ∴p＜n＜m，故②正确； ∵， ∴， ∵y1≥y2， ∴， 整理得：， 解得：或，故③错误； ∵，， 当x=0时，，， ∴点， ∴，故④正确； ∴正确的有②④． 故选：A 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键． 24.在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图象可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两个函数的开口方向及第一个函数与y轴的交点，第二个函数的对称轴可得相关图象． 【详解】解：A、两个函数的开口方向都向上，那么a＞0，b＞0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于正半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误； B、两个函数的开口方向都向下，那么a＜0，b＜0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交于负半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误； C、D、两个函数一个开口向上，一个开口向下，那么a，b异号，可得第二个函数的对称轴在y轴的右侧，故C错误，D正确． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数图象的性质，用到的知识点为：二次函数的二次项系数大于0，开口方向向上，小于0，开口方向向下；二次项系数和一次项系数同号，对称轴在y轴的左侧，异号在y轴的右侧；一次项系数为0，对称轴为y轴；常数项是二次函数与y轴交点的纵坐标． 【题型7 用“一般式”求二次函数解析式】 25．如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 【答案】(1) (2)当点的坐标为时，的周长最小 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，先求出抛物线的对称轴为直线，根据题意可得，关于抛物线的对称轴对称，则，得到的周长为，当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求，再求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）如图，连接， ，， ，， ， 抛物线的对称轴为直线， ，， ，关于抛物线的对称轴对称， ， 的周长为， 当、、三点共线时，最小，最小值为的长，此时的周长取得最小值，点即为所求， 设直线的解析式为，将、两点代入，得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 当点的坐标为时，的周长最小． 26．已知二次函数，它与x轴的交点坐标为，，与y轴的交点坐标为． (1)求出，，的值，并写出此二次函数的解析式； (2)求顶点坐标，画出函数图象，并求当时函数的最大值和最小值． 【答案】(1)， (2)顶点坐标为 当时，函数最大值为，最小值为 【分析】（1）利用待定系数法求出，，的值，即可得到二次函数的解析式； （2）把二次函数的解析式整理成顶点坐标式即可得到抛物线的顶点坐标，根据解析式画出抛物线，由函数图象可知当时，函数的最大值即为抛物线顶点的纵坐标，当时，有最小值，最小值为． 【详解】（1）解：将，，代入， 可得：， 解得：， ； （2）解：， 抛物线顶点坐标为，抛物线开口向下， 当时，函数最大值为， 当时，有最小值，最小值为， 图略． 27．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点C，与抛物线交于点A，此抛物线与x轴的正半轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一点．过点P作垂直于x轴于点D，交线段于点E，使． ①求点P的坐标； ②在直线上是否存在点M，使为以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①点P的坐标为；②存在，点M的坐标为或 【分析】（1）根据题意，分别求出点C的坐标，利用求出点A的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）①设点P的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式，用含a的式子表示出点E的坐标，用含a的式子表示出和的长度，由，得到关于a的方程，求得a的值，即可得到点P的坐标； ②设点M的坐标为，分别求得、、的长度，根据是以为直角边的直角三角形，所以可分为两种情况：一是为斜边，二是为斜边，利用勾股定理列出关于m的方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵直线与抛物线交于点， ∴点坐标为， 把点、坐标代入解析式 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：①∵是直线上方的抛物线上一点 ∴设点的坐标为 设直线解析式： 将点、坐标代入解析式，得 解得： ∴ ∵轴于，交于点，如图， ∴点坐标为 ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去）， 当时， ∴点坐标是 ②∵点M在直线上， ∴设点M的坐标为 ∵点，点， ∴， ∵为以为直角边的直角三角形， Ⅰ：当为斜边时，可得：， ∴， ∴， ∴点M的坐标为， Ⅱ：当为斜边时，可得：， ∴， ∴ ∴点M的坐标为 综上所述，符合题意的点M的坐标为或． 28．如图，抛物线y11与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知，则以下结论： ①两抛物线的顶点关于原点对称； ②； ③； ④． 其中正确结论是（     ） A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 【答案】B 【分析】根据抛物线顶点式确定顶点坐标，利用抛物线的轴对称性求出点的坐标，代入解析式求及、坐标，逐一判断即可． 【详解】解：由得顶点为，由得顶点为(−3,−1)，两点关于原点对称，故①正确； ∵，抛物线对称轴为直线，点、关于直线对称， ∴点A的横坐标为，即，故②错误； 把代入得，解得， ∵抛物线对称轴为直线，点A、C关于直线对称， ∴点C的横坐标为，即，故③正确； 令，则，， ∴，故④错误； 综上所述，正确的结论是①③． 【题型8 用“顶点式”求二次函数解析式】 29.二次函数：已知抛物线的顶点坐标为，且过点． (1)求此抛物线的解析式； (2)请画出抛物线的图象（只画图，并标出其中三个关键点的坐标）； (3)试说明将抛物线经过怎样的平移，可以得到此抛物线的图象． 【答案】(1) (2)见解析 (3)将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度（或先向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度） 【分析】本题考查了待定系数法求解函数解析式，画二次函数图象，二次函数图象的平移问题． （1）设顶点式解析式，再代入点即可求解； （2）按照列表、描点、连线的步骤作图即可； （3）根据抛物线的平移规律：上加下减、左加右减求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为 ∴设抛物线的解析式为 ∵抛物线经过点 ∴把，代入得， 解得 ∴此抛物线的解析式为； （2）解：列表 …… 2 …… …… 7 7 …… 描点、连线，如图： （3）解：当时，原抛物线为，所求抛物线为 ∴将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到 或先将抛物线向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到 ， ∴平移方式为先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度（或先向上平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度）． 30．在平面直角坐标系中，抛物线（m为常数）的顶点为A． (1)当时，点A的坐标是 ，抛物线与y轴交点的坐标是 ； (2)若点A在第一象限，且，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围； (3)当时，若函数的最小值为3，求m的值； 【答案】(1)点A的坐标为，抛物线与y轴交点的坐标为． (2)抛物线对应的二次函数表达式为；函数值y随x的增大而减小时x的取值范围是． (3)m的值为或． 【分析】（1）将代入直接可以求出顶点A的坐标，令中求出与y轴交点坐标； （2）顶点，由点A在第一象限，且即可求出的值，进而求出解析式，再由开口向上可知在对称轴左侧y随x的增大而减小，由此即可求解； （3）分和时讨论：当且时，函数的最小值为时取得；当，且时，时，函数的最小值为时取得． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数顶点坐标， 当时，顶点坐标为， 此时抛物线解析式为：，令， ∴， ∴抛物线与y轴交点的坐标为； （2）解：∵顶点坐标， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵A点在第一象限， ∴， ∴此时抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为，且抛物线开口向上， ∴在对称轴左侧y随x的增大而减小， ∴y随x的增大而减小时的取值范围为：； （3）解：∵， ∴函数的对称轴为，且开口向上， 当，且时，时，函数有最小值为， ∵函数的最小值为3， ∴， 解得， 当，且时，时，函数有最小值为， ∵函数的最小值为3， ∴， 解得或(正值舍去)， 故m的值为或． 31．已知抛物线，直线． (1)当直线经过抛物线的顶点时，求k的值． (2)（a）若，当时，二次函数的最大值为，求n的值； （b）在（a）的条件下，若将该抛物线沿x轴向右平移个单位长度，平移后的图象所对应的函数在的范围内有最大值2，求h的值． 【答案】(1)2 (2)（a）或；（b）2 【分析】（1）由题意，可知抛物线的顶点坐标为，代入直线解析式求解即可． （2）（a）分，，三种情况，结合函数的增减性，确定取得最值的位置点，建立方程求解即可； （b）根据平移，得到新抛物线的表达式为．确定对称轴为直线，且当时，函数取得最大值，且最大值为3，结合函数在的范围内有最大值2，判定不在中，，判定一定在直线的左侧，且y随x的增大而增大，得到在处取得最大值，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：（1）由题意，可知抛物线的顶点坐标为． ∵直线经过抛物线的顶点， ∴将点代入直线中，得，解得． （2）（a）解：由题意，，此时抛物线的解析式为． ∵， ∴抛物线开口向下，且当时，y有最大值3，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 当时，二次函数的最大值为． ①当，即时，， 解得或（舍去）； ②当，根据题意，得最大值为3，与二次函数的最大值为矛盾，不存在； ③当时，，解得或（舍去）． 综上所述，n的值为或． （b）解：∵，∴抛物线的表达式为． ∵抛物线向右平移h个单位长度， ∴新抛物线的表达式为． ∴对称轴为直线，且当时，函数取得最大值，且最大值为3， ∵函数在的范围内有最大值2， ∴不在中， ∵， ∴一定在直线的左侧，且y随x的增大而增大， ∴在处取得最大值， ∴， 解得或0（舍去）． ∴． 32．已知抛物线：（，），其顶点为，且与轴交于点，将抛物线沿直线翻折，得到抛物线． (1)当时，①求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标． ②点在抛物线上，延长至使得，若点落在抛物线上，求的坐标． (2)过点作直线垂直于轴，与抛物线的对称轴交于点，交抛物线于点（在对称轴右侧）、若，求的值． 【答案】(1)①，；②或 (2) 【分析】（1）①利用待定系数法求出抛物线解析式，进而可得顶点坐标； ②求出翻折后的抛物线顶点坐标为，则翻折后的抛物线解析式为，设，可证明点D为的中点，则，代入，解方程即可得到答案； （2）根据题意可得，则，，同理可得抛物线的解析式为：，则，再由，联立求解即可． 【详解】（1）解：①当时，抛物线的解析式为， 把代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点A的坐标为； ②∵翻折前抛物线顶点坐标为， ∴翻折后的抛物线顶点坐标为， ∵翻折前后两个抛物线的形状相同，但是开口方向相反， ∴翻折后的抛物线解析式为， 设， ∵， ∴点D为的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵在抛物线的图象上， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， ∴点D的坐标为或； （2）解：∵轴交对称轴于点M， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得抛物线的解析式为：， ∵点Q在抛物线上， ∴，即①， 又点在抛物线上， ∴，即②， 把②代入①得， 解得：． 【题型9 用“交点式”求二次函数解析式】 33.在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点，求此抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，设出合适的解析式是解本题的关键，根据题意设，再代入即可得到函数解析式． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于，， ∴设抛物线为， 把代入得，， 解得， ∴抛物线的表达式为：； 34．已知，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是第一象限抛物线上一点，连接交轴于点，设点横坐标为，线段长为，求与的函数关系式； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）作轴于点，设，证明，求得，即可得到； 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∵抛物线交轴于点，， ∴设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：作轴于点，设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 35．已知抛物线经过，对称轴是直线，且关于的方程有两个相等的实数根． (1)求抛物线的解析式． (2)设是抛物线上的两点，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为． (2)当时，；当时，；当时，，理由： 是抛物线上的两点， ∴ 故当时，； 当时，； 当时，． 【分析】（1）将点坐标代入函数解析式，对称轴代入，由方程具有两个相等的实数根得到，从而得出关于参数的方程组，解方程组求出参数的值，即得到表达式； （2）根据题目条件代入计算，故可由的正负判断结论． 【详解】（1）将点的坐标代入抛物线表达式得： ①， 由函数的对称轴为，即  ②， 关于x的方程有两个相等的实数根，则  ③， 联立①②③，得 解得， 故抛物线的表达式为． （2）略． 36．如图，已知抛物线 的对称轴为，且抛物线经过， (1)若直线经过两点，求直线所在直线的解析式； (2)抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出此点的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的对称轴，经过，运用待定系数法得到抛物线的解析式，由此得到，再运用待定系数法得到一次函数解析式； （2）根据题意，点A关于的对称点为点B，当点三点共线时点到点的距离与到点的距离之和最小，结合一次函数解析式即可求解； 【详解】（1）解：抛物线 的对称轴为，且抛物线经过， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴， ∵直线经过两点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：点A关于的对称点为点B，如图所示， ∴， ∴， 当点三点共线时，取等号， ∴当时，在直线上得，， ∴. 【题型10 二次函数关于点或直线对称的解析式】 37.在平面直角坐标系中，抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为(　 　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，利用原抛物线上的关于轴对称的点的特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数就可以解答． 【详解】解：抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为， 即解析式为：． 故选：A． 38．如图，抛物线与轴相交于，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点为抛物线上第一象限内一动点，当面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接，，过点P作轴交于H，先求得直线的表达式为，设，则，，可得，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于，与轴交于点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式是； （2）解：如图，连接，，过点P作轴交于H， 设直线的表达式为， 将，代入，得，解 得， ∴直线的表达式为， 设，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，最大，此时， ∴当面积最大时，点的坐标为． 39．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线，点D为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上C、D两点之间的距离是 ； (3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值； (4)点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4)或，或或 【分析】（1）先由题意得出A，B的坐标，再用待定系数法求出解析式即可； （2）根据两点的距离公式即可求出的长度； （3）先设出E的坐标，然后将的面积表示出来，求出最大值即可； （4）根据对角线的情况分三种讨论，再由矩形的性质求出点Q的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵抛物线的对称轴为， ∴， 将，代入解析式，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：抛物线的解析式为， 当时，，当时，， ∴，， ∴． （3）解：如图，过点作轴于点，交于点，过点作于点， 设直线BC的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴直线BC的解析式为， 设，且，则， ∴， ∴ ， ∵， 当时，S△BCE有最大值为． （4）解：设，， 由（1）知，由（2）可知， 如图，当为矩形的对角线时， ∵四边形是矩形， ∴与互相平分，， ∴由中点坐标公式，得， 解得， ∵，， ∵，即， ∴， 解得或， ∴或， 如图，当为矩形的对角线时， 同理，由中点坐标公式得， 解得， ∴，， 同理， ∴， 解得， ∴， 如图，当为矩形的对角线时， 同理，由中点坐标公式得， 解得：， ∴，， 同理，， ∴， 解得， ∴， 综上，点Q的坐标为或，或或． 40．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，连接，点为抛物线对称轴上的动点，点E在点D的下方，且，连接．当的面积取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； 【答案】(1) (2)；的最小值为 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）利用铅锤高，水平宽，得到当的面积取得最大值时取最大值，即可求得点；利用轴对称的性质求得的最小值； 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线， ，解得， 把代入， 可得，解得， ∴ （2）解：令， 解得， ， 令，可得， ， 设直线的解析式为， 把，代入， 可得， 解得， 所以直线的解析式为， 如图，过点作轴，交于点， ， 当最大时，的面积取得最大值， 设点，则， ， 当时，的面积取得最大值， 此时， 如图，将向下平移个单位到，使点与点重合，作关于对称轴直线的对称点，连接， ， 根据平移可得， 根据对称可得， ， 即的最小值为； 【题型11 二次函数图象的平移】 41．如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点，．若曲线段扫过的面积为20（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（   ）   A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接,,则可知图中阴影部分的面积即为平行四边形的面积，由题意易得点、的水平距离即为该平行四边形的高，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：连接,, ∴阴影部分的面积为平行四边形， ∵，， ∴点的水平距离为， ∴, ∴， ∴抛物线向上平移4个单位长度，则平移后的抛物线解析式为． 42．若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点“平衡点”．现将抛物线向右平移个单位长度得到的新抛物线，若为“平衡点”，则p的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图像的平移和二次函数图像上点的坐标特征，理解“平衡点”的定义，掌握二次函数图像的平移的规律是解题关键．根据平移方式“左加右减”可得出抛物线的解析式，再根据点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，即将点代入两个解析式求值即可． 【详解】解：依题意得抛物线的解析式为：， ∵为“平衡点”， ∴既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上， ， 解得或， ， ∴． 故选：B． 43．在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移个单位长度，平移后的抛物线与轴的交点为，则平移后的抛物线的顶点的纵坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据抛物线平移的左加右减规律得到平移后的解析式，再利用已知交点坐标求出参数的值，最后通过配方法求出平移后抛物线顶点的纵坐标． 【详解】解：抛物线向左平移个单位长度， 平移后的抛物线解析式为， 平移后的抛物线过点， 将，代入解析式，得， 整理得， 解得或， ， ， 将代入平移后的解析式，得， 整理得， 配方得， 平移后抛物线顶点的纵坐标为． 44．将抛物线进行平移得抛物线，点在抛物线上，对应点在抛物线上，则点的横坐标可以是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据两个抛物线的顶点坐标确定平移规律，然后用含的代数式表示出点的坐标，再将点的坐标代入抛物线的方程，即可求出点的横坐标． 【详解】解：抛物线的顶点为，抛物线的顶点为， 平移规律为：向左平移3个单位，向下平移4个单位， 点在抛物线上，平移后对应点为， 的坐标为，即， 在抛物线上， 将代入得： ， 整理得， 解得或， 则的值可以是或， 因此点的横坐标可以是或，选项A符合． 【题型12 二次函数的对称性】 45．已知抛物线经过三点，若，则的取值范围是__________． 【答案】或 【分析】由抛物线，可知抛物线开口向上，与轴的交点为，由抛物线经过，，三点，得出对称轴为直线，然后根据点的坐标特征得出或，解不等式（组即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线， 抛物线开口向上，与轴的交点为， 抛物线经过，，三点， 对称轴为直线， ， 或， 解得或． 故的取值范围是或． 故答案为：或． 46．已知二次函数的图象与轴交于，两点．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数对称轴的公式可得，由可得，根据不等式的性质进行化简即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于，两点， ∴对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 47．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣2，抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论：①4a﹣2b＋c﹣3＝0；②9a﹣3b＋c＞0；③关于x的方程ax2＋bx＋c＝4有两个不相等实数根；④b＝4a．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据顶点坐标即可判断①；当x＝﹣2时，y＝3，即可判断②；当x＝﹣3时，y＞0，即可判断③；根据对称轴即可判断④． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线x＝﹣2，函数的最大值为3， ∴顶点为（﹣2，3）， ∴4a﹣2b＋c＝3， ∴4a﹣2b＋c﹣3＝0，故①正确； ∵抛物线开口向下，且与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间， ∴当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b＋c＞0，故②正确； ∵抛物线开口向下，顶点为（﹣2，3）， ∴抛物线与直线y＝4没有交点， ∴关于x的方程ax2＋bx＋c＝4没有实数根，故③错误； ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2， ∴b＝4a，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）：抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 48．定义：点是轴上一点，将函数的图象位于直线右侧部分，以轴为对称轴翻折，得到新的函数的图象，我们称函数是函数的相关函数，函数的图象记作，函数的图象未翻折部分记作，图象和合起来记作图象． 例如：函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为 ． (1)如图，函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为 ； (2)函数的解析式为（）． ①已知点、的坐标分别为、，当，且图象与线段只有一个公共点时，结合函数图象，求的取值范围； ②若，点是图象上任意一点，当时，的最大值始终保持不变，求的取值范围（直接写出结果）． 【答案】(1) (2)或或；或 【分析】（1）根据相关函数的定义即可求解； （2）根据题意先求出图象的函数解析式，再分类讨论：当图象的顶点在线段下方，图象与线段只有一个公共点时；当图象的顶点在线段上时，图象与线段无交点时；当图象在其对称轴左侧的部分与线段只有一个公共点时；结合图象即可求解； 根据题意先求出解析式，根据点是图象上任意一点，当时，的最大值始终保持不变，列不等式求解即可． 【详解】（1）解：由相关函数的定义可知，当时，的相关函数的解析式为； （2）解：函数的解析式为，， 图象的函数解析式为， 把代入，得； 把代入，得，即图象与轴的交点坐标为； 把代入，得． 图象的顶点坐标为． 当图象的顶点在线段下方，图象与线段只有一个公共点时，如图1： 由题意，得， 解得． 当图象的顶点在线段上时，图象与线段无交点时，如图2： ∵图象的顶点坐标为， ∴，此时，图象与轴的交点坐标为，即图象在线段上方，符合题意； 当图象在其对称轴左侧的部分与线段只有一个公共点时，如图3： 由题意，得， 解得． 综上所述，的取值范围是或或； ， ， 令，则， 解得，， 与轴交于，， ， 的顶点坐标为， 点是图象上任意一点，当时，的最大值始终保持不变， 当的最大值始终为时，， 解得； 当的最大值为时，， 解得， 的取值范围是或． 【题型13 二次函数的最值】 49．已知二次函数的图象经过点和点，当时函数取得最小值，则的值为_______ 【答案】 【分析】根据点A和点B的纵坐标相同求出对称轴为直线，根据函数图象开口向上时，在对称轴处取得最小值可确定对称轴为直线，据此建立方程求解即可． 【详解】解：∵二次函数图象经过点和点， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵在中，， ∴该二次函数的图象开口向上， ∴在对称轴处函数有最小值， 又∵当时函数取得最小值， ∴该函数的对称轴为直线， ∴， ∴． 50．已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． (1)求，的值． (2)当时，求的最大值． (3)当时，若的最大值与最小值之差为9，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)6 (3) 【分析】（1）通过待定系数法求解． （2）由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． （3）由抛物线解析式可得时的值为，由（2）中函数最大值可得，再由抛物线的对称性求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得； （2）解：由（1）得， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，时，取最大值， 将代入， 得， 的最大值为6； （3）解：将代入得， 抛物线经过， 抛物线对称轴为直线，抛物线经过，， 在给定取值范围内，函数需要取最大值6，取最小值， 时，符合题意． 51．若函数在的最大值是，最小值是，则（     ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 【答案】B 【分析】将二次函数配方后，分情况讨论对称轴与的位置关系，计算即可判断结果． 【详解】解：对二次函数配方得，，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当，即 时，函数在，随着的增大而增大， ∴当时，有最小值，时，有最大值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数在，随着的增大而减小， 当时，有最大值，时，有最小值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含， 综上，所有情况的都只与有关，不含，因此与有关，与无关． 52．已知抛物线，点在抛物线上，其中．若的最小值是，则的最大值是______． 【答案】2 【分析】先确定出当时，的最小值为，进而求出，再判断出当时，取最大值，即可求出答案． 【详解】解：对抛物线解析式配方得：， 二次项系数， 抛物线开口向上，对称轴为直线. ， 当时，取得最小值， 由的最小值为，得，解得， 此时的取值范围为，对称轴为，抛物线开口向上， 则离对称轴越远，函数值越大， ，，， 则当时，取得最大值， 将，代入解析式得：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是根据题意，确定出当时，取得最小值，从而求得． 【题型14 二次函数的取值范围】 53．抛物线的对称轴为直线，若直线与抛物线在的范围内有交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据对称轴求出抛物线解析式，再找出的范围内的最高点和最低点，从而求出m的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， 在的范围内， 当时，有最小值， 当时，有最大值6， ∵直线与抛物线在的范围内有交点， ∴． 54．已知抛物线的对称轴是，且（m为实数）在范围内有实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线y=x2+bx+1的对称轴为直线x=1，可以求得b的值，然后即可得到该函数的解析式，再根据二次函数的性质，即可得到当0＜x＜3时，y的取值范围，另y=m，即可转化为方程x2+bx+1-m=0，从而可以得到m的取值范围． 【详解】解：∵抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1， ∴-=1，得b=-2， ∴y=x2-2x+1=（x-1）2， ∴当0＜x＜3时，y的取值范围是0≤y＜4， 当y=m时，m=x2+bx+1，即x2-2x+1-m=0， ∵关于x的一元二次方程x2-2x+1-m=0（m为实数）在0＜x＜3的范围内有实数根， ∴m的取值范围是0≤m＜4， 故答案为：D． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 55．已知二次函数的图象经过点，，在范围内有最大值为，最小值为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把，代入，求出函数解析式，然后结合在范围内有最大值为，最小值为，求出a的临界值即可． 【详解】解：把，代入，得 ， 解得， ∴ ， ∴抛物线开口向下，当时，y取得最大值4， ∵在范围内有最大值为， ∴． 解，得 ， ∴当时，抛物线在范围内有最大值为，最小值为． 故选B． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 56．已知，是抛物线上不同的两点，当时，恒有，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意和二次函数的对称轴可得抛物线的对称轴为，结合二次函数的图象和性质可求得，即得到抛物线的解析式；求得当时，；当时，，即可以推得抛物线与轴的交点坐标和其关于对称轴对称的点的坐标，推得当时，，结合题意即可求解． 【详解】解：∵，是抛物线上不同的两点， ∴抛物线的对称轴为， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴函数在时有最小值， ∴当或时，， 如图： ∵当时，恒有，即点A和点B在上， ∴t最大取到2，最小取到1， 又∵时，点A和点B重合，不符合题意； ∴t的取值范围是， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键． 【题型15 利用二次函数的对称性求最短路径】 57．如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线经过B，C两点，则_______， ________； (3)在抛物线的对称轴上找一点E，使得的值最小，求出点E的坐标． 【答案】(1) (2)1，4 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，一次函数的解析式，轴对称与线段和最值问题，掌握好二次函数的性质并运用数形结合思想是解题关键． （1）将和代入，求出b和c的值； （2）将和代入，求出m和n的值； （3）根据轴对称的性质，，则．当B、E、C三点共线时，最小，用（2）的一次函数解析式求出点E的坐标 ． 【详解】（1）解：将和代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：将和代入得， ，解得， ∴，，； （3）解： 由对称轴公式可得，抛物线的对称轴为直线， ∵点A和点B关于抛物线的对称轴对称， 又∵点在抛物线对称轴上， ∴由轴对称的性质可得，， ∴， 当B、E、C三点共线时，最小，即最小， 将代入得， ， ∴点E的坐标为． 58．已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． ()待定系数法求函数解析式即可； ()根据的周长等于，以及为定长，得到当的值最小时，的周长最小，根据抛物线的对称性，得到关于对称轴对称，则：，得到当三点共线时，，进而求出点坐标，即可得解； 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）在，当时， ∴ ∵抛物线解析式为 ∴抛物线的对称轴为直线 ∵的周长等于，为定长， 当的值最小时，的周长最小， ∵关于对称轴对称， ∴ ， ∴， 当三点共线时，的值最小，为的长，此时点为直线与对称轴的交点， 设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 59．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．    (1)求抛物线的函数解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使得的值最小，求此时点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由直线与坐标轴的交点得到、，再由抛物线对称性求出抛物线与轴交点，再利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案； （2）根据动点最值问题-将军饮马模型的解法，利用对称性、结合三角形三边关系得到的值最小为线段的长，即可确定取最小值时对称轴上的点，将代入直线的函数解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：将代入，得，即， 将代入，得，解得，即， 对称轴为直线，点关于对称轴对称， ， 设抛物线的函数解析式为，将代入，得，解得， ， 抛物线的函数解析式为； （2）解：点与点关于直线对称，点在直线上，， 当点是线段与抛物线对称轴的交点时，的值最小，即的值最小为线段的长， 将代入直线的函数解析式，得， 此时． 【点睛】本题考查抛物线综合，涉及直线与抛物线综合问题、待定系数法确定函数、抛物线与动点最值问题、将军饮马模型等知识，熟记二次函数图像与性质是解决问题的关键． 60．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P是抛物线的对称轴上一动点，连接，，则当的值最小时，点P的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，轴对称求最小值问题；连接，得出，点A，P，C三点共线时，取得最小值，最小值为，令和分别求得的坐标，求出直线的解析式，进而可求出点P的坐标． 【详解】解：如图所示，连接， ∵抛物线与轴交于，两点， ∴点A和点B关于对称轴直线对称， ∴， ∴， ∴点A，P，C三点共线时，取得最小值，最小值为， ∵当时，，则 当时，， 解得：， ∴， 设的解析式为：， 则， 解得： 则的解析式为：， 令，则， 则， 故答案为： 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 26.3 二次函数的图象和性质（提高篇） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 【题型1 二次函数y=ax²+bx+c图象上点的坐标特征】 1．已知二次函数的图象与x轴有两个交点．若其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．已知二次函数的顶点坐标为，则（1）的值为________； （2）当时，若y的最小值与最大值之和为12，则a的值为________． 3．把二次函数变形为的形式，则的值为______ ． 4．如果抛物线的顶点到轴的距离是，那么的值等于(   ) A．7 B．15 C．7或15 D．或 【题型2 二次函数y=ax²+bx+c的性质】 5．二次函数（）的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有________个． 6．点，，是抛物线上的三个点，若，则，，的值可以为（     ） A．0，2，4 B．1，3，4 C．1，4，5 D．1，2，4 7．当时，最大值与最小值的差为，则的值________． 8．在二次函数（a，b，c为常数，）中，与的部分对应值如表所示． 4 0 给出下列结论：①；②；③若，且，则；④若点均在二次函数图象上，则．其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【题型3 二次函数y=ax²+bx+c的图象】 9．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 10．已知某二次函数（）的部分图象如图所示，下列结论中正确的有（     ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①②④ 12．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．若，则________（填“”“”或“”）． 【题型4 二次函数图象与各项系数符号】 13．已知二次函数的图象如图，有下列结论：①；②；③，其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 14．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①②③④，下列选项正确的是（     ） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①② 15．二次函数的图象如图所示，则下列结论：①，②，③，④，⑤中正确的是（    ） A．②④⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①③④⑤ 16．如图，抛物线 与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在，之间（包含端点），下列结论：① ；② ；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型5 一次函数的图象综合判断】 17．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 18．一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 19．当时，和大致图像可能是（　） A． B． C． D． 20．在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【题型6 两个二次函数图象的综合判断】 21.已知与是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 22.已知二次函数和，，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时 23.抛物线y1＝（x-h）2＋k与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正确结论是： ①；②点（，m）、（，n）及（，p）都在y1上，则p＜n＜m；③y1≥y2，则x≤1；④PQ＝． A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④ 24.在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图象可能是(　　) A． B． C． D． 【题型7 用“一般式”求二次函数解析式】 25．如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若在该函数图象的对称轴上有个动点，求当点坐标为何值时，的周长最小． 26．已知二次函数，它与x轴的交点坐标为，，与y轴的交点坐标为． (1)求出，，的值，并写出此二次函数的解析式； (2)求顶点坐标，画出函数图象，并求当时函数的最大值和最小值． 27．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点C，与抛物线交于点A，此抛物线与x轴的正半轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上的一点．过点P作垂直于x轴于点D，交线段于点E，使． ①求点P的坐标； ②在直线上是否存在点M，使为以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，说明理由． 28．如图，抛物线y11与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知，则以下结论： ①两抛物线的顶点关于原点对称； ②； ③； ④． 其中正确结论是（     ） A．①② B．①③ C．③④ D．②④ 【题型8 用“顶点式”求二次函数解析式】 29.二次函数：已知抛物线的顶点坐标为，且过点． (1)求此抛物线的解析式； (2)请画出抛物线的图象（只画图，并标出其中三个关键点的坐标）； (3)试说明将抛物线经过怎样的平移，可以得到此抛物线的图象． 30．在平面直角坐标系中，抛物线（m为常数）的顶点为A． (1)当时，点A的坐标是 ，抛物线与y轴交点的坐标是 ； (2)若点A在第一象限，且，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围； (3)当时，若函数的最小值为3，求m的值； 31．已知抛物线，直线． (1)当直线经过抛物线的顶点时，求k的值． (2)（a）若，当时，二次函数的最大值为，求n的值； （b）在（a）的条件下，若将该抛物线沿x轴向右平移个单位长度，平移后的图象所对应的函数在的范围内有最大值2，求h的值． 32．已知抛物线：（，），其顶点为，且与轴交于点，将抛物线沿直线翻折，得到抛物线． (1)当时，①求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标． ②点在抛物线上，延长至使得，若点落在抛物线上，求的坐标． (2)过点作直线垂直于轴，与抛物线的对称轴交于点，交抛物线于点（在对称轴右侧）、若，求的值． 【题型9 用“交点式”求二次函数解析式】 33.在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点，求此抛物线的解析式． 34．已知，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴于点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是第一象限抛物线上一点，连接交轴于点，设点横坐标为，线段长为，求与的函数关系式； 35．已知抛物线经过，对称轴是直线，且关于的方程有两个相等的实数根． (1)求抛物线的解析式． (2)设是抛物线上的两点，请比较与的大小，并说明理由． 36．如图，已知抛物线 的对称轴为，且抛物线经过， (1)若直线经过两点，求直线所在直线的解析式； (2)抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出此点的坐标； 【题型10 二次函数关于点或直线对称的解析式】 37.在平面直角坐标系中，抛物线关于轴对称的抛物线的解析式为(　 　) A． B． C． D． 38．如图，抛物线与轴相交于，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点为抛物线上第一象限内一动点，当面积最大时，求点的坐标． 39．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线，点D为此抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上C、D两点之间的距离是 ； (3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值； (4)点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标． 40．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，连接，点为抛物线对称轴上的动点，点E在点D的下方，且，连接．当的面积取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； 【题型11 二次函数图象的平移】 41．如图，将函数的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点，平移后的对应点分别为点，．若曲线段扫过的面积为20（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（   ）   A． B． C． D． 42．若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点“平衡点”．现将抛物线向右平移个单位长度得到的新抛物线，若为“平衡点”，则p的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 43．在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移个单位长度，平移后的抛物线与轴的交点为，则平移后的抛物线的顶点的纵坐标为（     ） A． B． C． D． 44．将抛物线进行平移得抛物线，点在抛物线上，对应点在抛物线上，则点的横坐标可以是（     ）． A． B． C． D． 【题型12 二次函数的对称性】 45．已知抛物线经过三点，若，则的取值范围是__________． 46．已知二次函数的图象与轴交于，两点．若，则（     ） A． B． C． D． 47．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣2，抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论：①4a﹣2b＋c﹣3＝0；②9a﹣3b＋c＞0；③关于x的方程ax2＋bx＋c＝4有两个不相等实数根；④b＝4a．其中正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 48．定义：点是轴上一点，将函数的图象位于直线右侧部分，以轴为对称轴翻折，得到新的函数的图象，我们称函数是函数的相关函数，函数的图象记作，函数的图象未翻折部分记作，图象和合起来记作图象． 例如：函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为 ． (1)如图，函数的解析式为，当时，它的相关函数的解析式为 ； (2)函数的解析式为（）． ①已知点、的坐标分别为、，当，且图象与线段只有一个公共点时，结合函数图象，求的取值范围； ②若，点是图象上任意一点，当时，的最大值始终保持不变，求的取值范围（直接写出结果）． 【题型13 二次函数的最值】 49．已知二次函数的图象经过点和点，当时函数取得最小值，则的值为_______ 50．已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． (1)求，的值． (2)当时，求的最大值． (3)当时，若的最大值与最小值之差为9，求的取值范围． 51．若函数在的最大值是，最小值是，则（     ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 52．已知抛物线，点在抛物线上，其中．若的最小值是，则的最大值是______． 【题型14 二次函数的取值范围】 53．抛物线的对称轴为直线，若直线与抛物线在的范围内有交点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 54．已知抛物线的对称轴是，且（m为实数）在范围内有实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 55．已知二次函数的图象经过点，，在范围内有最大值为，最小值为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 56．已知，是抛物线上不同的两点，当时，恒有，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型15 利用二次函数的对称性求最短路径】 57．如图，已知抛物线经过，两点，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)若直线经过B，C两点，则_______， ________； (3)在抛物线的对称轴上找一点E，使得的值最小，求出点E的坐标． 58．已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 59．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线．    (1)求抛物线的函数解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使得的值最小，求此时点的坐标． 60．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P是抛物线的对称轴上一动点，连接，，则当的值最小时，点P的坐标为______． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $