专题01+第一章空间向量与立体几何专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以题型为纲构建空间向量与立体几何方法体系，通过“方法提炼+典例解析+变式训练”实现从概念到应用的逻辑递进，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间向量共面和四点共面|1典例+7变式|3种共面判定方法（向量表达式、系数关系）|从向量共面到四点共面，构建基底应用基础| |空间基底的判断与应用|1典例+6变式|零向量排除法、共面方程组判定法|深化基底概念，为空间向量运算奠基| |求平面的法向量|1典例+5变式|四步求法（取向量、设坐标、列方程、定常数）|连接向量运算与立体几何位置关系| |投影向量与投影|1典例+5变式|向量投影公式、平面投影几何法|沟通向量数量积与空间几何度量| |点到直线的距离|1典例+5变式|方向向量叉积公式、异面直线公垂线法|从平面距离拓展到空间距离计算| |点到面的距离|1典例+4变式|向量法（法向量公式）、几何法（等体积法）|综合应用法向量与体积公式，实现方法迁移|

立体几何空间寻迹，静心想象，构建解题模型 专题01 第一章空间向量与立体几何（核心题型清单） 考点预览 目录 题型01 空间向量共面和四点共面 1 题型02 空间基底的判断与应用 3 题型03 求平面的法向量 4 题型04 投影向量与投影 6 题型05 点到直线的距离 7 题型06 点到面的距离 9 题型01 空间向量共面和四点共面 对于空间四点P,M,A,B,可通过证明下列结论来证明P,M,A,B四点共面. (1)存在实数x,y,使=x+y成立. (2)对空间中一点O,存在实数x,y,使 =+x+y成立. (3)对空间中一点O,有=x+y+z(x+y+z=1). 【典例1】（25-26高二上·天津西青·阶段检测）在以下命题中： ①若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则共线； ②对空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面 ③若是两个不共线的向量，且，则构成空间的一个基底： ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底． 其中真命题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练】1．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知，，，为空间中四点，为坐标原点，若且，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·陕西宝鸡·期中）已知，，，是空间不共面的四点，点满足：，则（  ） A．，，，四点共面 B．，，，四点共面 C．，，，四点共面 D．，，，四点共面 3．（25-26高二上·天津西青·阶段检测）已知是空间的一组基底，其中，，.若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知是空间的一个基底，向量，，，且A，B，C，D四点共面，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·山东·阶段检测）(多选)关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则与的夹角是钝角 C．若向量是不共面的向量，则也是不共面的向量 D．若对空间中任意一点，有，则四点共面 6．（24-25高二下·江苏·期中）已知为空间中任意一点，，，，四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为_______. 7．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知四面体中，，，，，空间一点M满足，若四点共面，则（   ） A． B． C． D． 题型02 空间基底的判断与应用 三个向量能否构成基底的判断方法： (1)首先应考虑三个向量是否是零向量,其次判断三个非零向量是否共面. (2)如果从正面难以入手判断三个向量是否共面,可假设三个向量共面,利用向量共面的充要条件建立方程组,若方程组有解,则三个向量共面;若方程组无解,则三个向量不共面. 【典例2】（24-25高二上·天津滨海新区·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】1.（25-26高二上·天津·阶段检测）已知正四面体的棱长为1，点在上，且，点为中点，则用基底表示为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·天津北辰·阶段检测）关于空间向量，以下说法错误的是（   ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若对空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 C．已知是空间向量的一个基底，则也是空间的一个基底 D．若，则是钝角 3．（25-26高二上·天津南开·期中）已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数m的值为（    ）． A． B．0 C．5 D． 4．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）如图，M，N分别是四面体的棱OA，BC的中点，是上靠近点的三等分点，，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知在四面体中，，，.点在棱上，满足，点在棱上，满足.若，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·江西吉安·期末）如图，三棱锥中，，且，则（   ）    A． B． C． D． 题型03 求平面的法向量 求平面法向量的方法与步骤 (1)求平面ABC的法向量时,要选取平面内两个不共线向量,如,. (2)设平面的法向量为n=(x,y,z). (3)联立方程组并求解. (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系,设定一个坐标为常数(常数不能为0),便可得到平面的一个法向量. 【典例3】（25-26高二下·广东深圳·期末）已知向量，，，平面的法向量为，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练】1．（25-26高二下·山西临汾·期末）在空间直角坐标系中，向量为平面的一个法向量，向量为直线l的一个方向向量，则“”是“”的（   ） A．充分条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高二下·上海·期末）已知和是直线上两个不同的点，是平面的一个法向量，则“”是“”的（     ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分又非必要 3．（25-26高二下·湖南·期中）设是直线的方向向量，是平面的法向量，则“与相交”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）(多选)以下命题正确的是（    ） A．若是平面的一个法向量，直线 上有不同的两点A，B，若 ，则 B．已知A、B、C三点不共线，对于空间任意一点O，若，则P、A、B、C四点共面 C．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D． ， ，则在上的投影向量为 5．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知平面的一个法向量为，若直线平面，则___________. 题型04 投影向量与投影 　　1.投影向量 (1)向量a在向量b上的投影 先将向量a与向量b平移到同一平面α内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量b共线的向量c,如图1,向量c称为向量a在向量b上的投影向量.c=|a|cos<a,b>=b (2)向量a在平面β上的投影 如图3,分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A',B',则向量(c)称为向量a在平面β上的投影向量. 【典例3】（25-26高二下·江苏宿迁·期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】1．（2026·甘肃张掖·二模）已知非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江西宜春·期末）(多选)给出下列命题，其中错误的是（    ） A．若空间向量，且，则实数 B．若，则存在唯一的实数，使得 C．若空间向量，则向量在向量上的投影向量是 D．点关于平面对称的点的坐标是 3．（25-26高二上·安徽·期末）已知三棱锥中，平面的一个法向量为，若，则向量在法向量上的投影向量为____________． 4．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）在空间直角坐标系中，向量在平面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为__________. 5．（2026·山西太原·二模）已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 题型05 点到直线的距离 点到直线的距离：若点为直线外一点，为直线上一点，直线的方向向量为， 则. 异面直线的距离：已知直线与为异面直线，与与均垂直的向量为，直线与上各取一点形成， 【典例5】（25-26高二上·浙江温州·期末）在棱长为2的正方体中，为平面的中心，则点到直线的距离为（    ） A．1 B． C． D． 【变式训练】1．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·福建宁德·期末）在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·福建厦门·期末）若的三个顶点分别为，，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·福建厦门·期中）(多选)下列选项正确的是（    ） A．向量是直线的一个方向向量 B．过点且在轴上的截距是在轴上截距的2倍的直线的方程为 C．已知空间向量，，则在方向上的投影向量为 D．点是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是 5．（26-27高三·全国·一轮复习）(多选)如图，在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且．则下列结论正确的是（     ） A．线段是异面直线与的公垂线段 B．异面直线与的距离为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 题型06 点到面的距离 用向量法求点到平面的距离向量法： 若点为平面外一点，点为平面内任一点，平面的法向量为， 则. （几何法）：等体积法是利用四面体（三棱锥）的体积不变性来求点到平面距离的方法，核心思想是“同一个四面体用不同底面和高计算体积时结果相等”. 对于四面体，若要求点  到平面的距离 ，可： （1）以平面 ABC 为底面，P 到平面 ABC 的距离 h 为高，计算体积； （2）再选择另一个易求高的面（如、 或 ）作为底面，计算同一四面体的体积 ； （3）通过体积相等 ，解方程求出. 【典例6】（25-26高二下·湖北鄂州·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】1．（25-26高二上·山东烟台·期中）已知正方体的棱长为2，，为线段的中点，则点到面的距离为（   ） A． B． C．1 D． 2．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）(多选)下列命题中正确的是（   ） A．，，，是空间中的四点，若不能构成空间的基底，则，，，四点共面 B．，，三点不共线，为平面外的任一点，当时，点与点，，共面 C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 D．已知，C，，则点到平面的距离为4 3．（24-25高二上·内蒙古·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为线段AB，的中点． (1)求F点到的距离； (2)求点F到平面的距离. 4．（23-24高三上·天津武清·阶段检测）如图，在圆锥中，底面圆的半径为2，线段是圆的直径，顶点到底面的距离为，点为的中点，点是底面圆上的一个动点，且不与A，B重合. (1)证明：直线平面； (2)若二面角的余弦为， （i）求线段的长； （ii）求点到平面的距离. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $立体几何空间寻迹，静心想象，构建解题模型 专题01 第一章空间向量与立体几何（核心题型清单） 考点预览 目录 题型01 空间向量共面和四点共面 1 题型02 空间基底的判断与应用 6 题型03 求平面的法向量 10 题型04 投影向量与投影 13 题型05 点到直线的距离 16 题型06 点到面的距离 21 题型01 空间向量共面和四点共面 对于空间四点P,M,A,B,可通过证明下列结论来证明P,M,A,B四点共面. (1)存在实数x,y,使=x+y成立. (2)对空间中一点O,存在实数x,y,使 =+x+y成立. (3)对空间中一点O,有=x+y+z(x+y+z=1). 【典例1】（25-26高二上·天津西青·阶段检测）在以下命题中： ①若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则共线； ②对空间任意一点和不共线的三点，若，则四点共面 ③若是两个不共线的向量，且，则构成空间的一个基底： ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底． 其中真命题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据空间向量基底的定义，逐一判断即可得到结论. 【详解】①由空间基底的定义知，若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线，故①正确； ②由，根据共面向量定理知四点不共面，故②错误； ③由，则向量与向量，共面，则不能构成空间的一个基底，故③错误； ④由于为空间的一个基底，则不共面， 设， 则无解，所以不共面， 所以能构成空间的一个基底，故④正确. 故选：C. 【变式训练】1．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知，，，为空间中四点，为坐标原点，若且，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量基本定理得到，进而得到，根据待定系数法求解即可. 【详解】由题意可知，若，，，四点共面，则，， 即， 所以， 又，所以，，， 可得，即，所以. 故选：A. 2．（25-26高二上·陕西宝鸡·期中）已知，，，是空间不共面的四点，点满足：，则（  ） A．，，，四点共面 B．，，，四点共面 C．，，，四点共面 D．，，，四点共面 【答案】C 【分析】根据已知向量的线性关系式得，结合向量共面定理即可得结论. 【详解】因为，所以， 即，故， 所以P，B，C，D四点共面且其中任意三点不共线，故C正确； 若A正确，则在平面中，而平面中，在故在直线上，矛盾，故A错误， 若B正确，则在平面中，而平面中，在故在直线上，矛盾，故B错误， 若D正确，则在平面中，而平面中，在故在直线上，矛盾，故D错误。 故选：C 3．（25-26高二上·天津西青·阶段检测）已知是空间的一组基底，其中，，.若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，设存在唯一的实数对，使得，结合向量的数乘运算和相等向量的概念计算，即可求解. 【详解】由题意，设存在唯一的实数对，使得， 即， 则， 则x=2，，，解得. 故选：D. 4．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知是空间的一个基底，向量，，，且A，B，C，D四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四点共面可得存在实数，使得，结合空间向量基本定理运算求解. 【详解】因为A，B，C，D四点共面， 则存在实数，使得， 又因为是空间的一个基底，且， 则，解得. 故选：B. 5．（25-26高二上·山东·阶段检测）(多选)关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则与的夹角是钝角 C．若向量是不共面的向量，则也是不共面的向量 D．若对空间中任意一点，有，则四点共面 【答案】ACD 【分析】A利用共线定理和共面定理可判断A；考虑共线反向可判断B；利用反证法判断C；利用空间向量共面的推论判断D. 【详解】A选项，因空间中任意两个向量是共面的， 故若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确； B选项，若，则与的夹角是钝角或者平角，故B错误； C选项，若是共面的向量，则存在实数使得， 即，则向量是共面的向量， 与向量是不共面的向量矛盾， 所以是不共面的向量，故C正确； D选项，因，则由空间向量共面的推论可知，四点共面， 故D正确. 故选：ACD 6．（24-25高二下·江苏·期中）已知为空间中任意一点，，，，四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为_______. 【答案】 【分析】根据向量共面的基本定理计算即可求解. 【详解】， 因为四点共面，且为空间中任意一点， 所以，解得. 故答案为： 7．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知四面体中，，，，，空间一点M满足，若四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量的和差整理得到与的关系式，由四点共面求得系数的值，然后由向量的数量关系求得，代入即可求得结果. 【详解】由，得， 所以． 由四点共面，知，解得． 又，， ∵， ∴ ． 故选：B． 题型02 空间基底的判断与应用 三个向量能否构成基底的判断方法： (1)首先应考虑三个向量是否是零向量,其次判断三个非零向量是否共面. (2)如果从正面难以入手判断三个向量是否共面,可假设三个向量共面,利用向量共面的充要条件建立方程组,若方程组有解,则三个向量共面;若方程组无解,则三个向量不共面. 【典例2】（24-25高二上·天津滨海新区·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用共面向量基本定理逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A，由于，则，，共面； 对于B，因为，则、、共面， 对于C，假设存在实数，使得， 则， 因为构成空间的一个基底， 所以不存在实数，使成立， 所以不共面； 则，，不共面； 对于D，因为，则共面. 故选：C. 【变式训练】1.（25-26高二上·天津·阶段检测）已知正四面体的棱长为1，点在上，且，点为中点，则用基底表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量基本定理进行求解即可. 【详解】因为为的中点，则，所以，则， 因为，所以，因此. 故选：C 2．（25-26高二上·天津北辰·阶段检测）关于空间向量，以下说法错误的是（   ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若对空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 C．已知是空间向量的一个基底，则也是空间的一个基底 D．若，则是钝角 【答案】D 【分析】利用共线定理和共面定理可判断A；利用共面定理的推论可判断B；假设共面，利用共面定理可否定假设，从而可判断C；考虑共线反向可判断D. 【详解】对A，向量中，若存在，显然满足题意，所以都是非零向量， 不妨设向量共线，则存在实数，使得，故， 由共面向量定理可知，向量共面，正确； 对B，因为，所以，由共面定理的推论可知，P，A，B，C四点共面，正确； 对C，设，则， 因为是空间向量的一个基底，所以， 显然上述方程组无实数解，所以向量不共面，可以作为空间向量的基底，正确； 对D，当时，向量有可能反向，此时若，不是钝角，错误. 故选：D 3．（25-26高二上·天津南开·期中）已知向量，若不能构成空间的一个基底，则实数m的值为（    ）． A． B．0 C．5 D． 【答案】C 【分析】根据题意得到存在使得，从而得到方程组，得到答案. 【详解】因为不能构成空间的一个基底， 所以共面， 故存在使得， 即， 故，解得. 故选：C 4．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）如图，M，N分别是四面体的棱OA，BC的中点，是上靠近点的三等分点，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量基本定理，以为基底表示出即可. 【详解】易知 . 故选：D 5．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知在四面体中，，，.点在棱上，满足，点在棱上，满足.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的加减、数乘运算化简即可. 【详解】由题意得，， 所以， 故，则. 故选：B 6．（25-26高二上·江西吉安·期末）如图，三棱锥中，，且，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，再结合即可求解. 【详解】 . 故选：D 题型03 求平面的法向量 求平面法向量的方法与步骤 (1)求平面ABC的法向量时,要选取平面内两个不共线向量,如,. (2)设平面的法向量为n=(x,y,z). (3)联立方程组并求解. (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系,设定一个坐标为常数(常数不能为0),便可得到平面的一个法向量. 【典例3】（25-26高二下·广东深圳·期末）已知向量，，，平面的法向量为，则的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】平面的法向量与平面内所有向量垂直，故， 解得，故． 【变式训练】1．（25-26高二下·山西临汾·期末）在空间直角坐标系中，向量为平面的一个法向量，向量为直线l的一个方向向量，则“”是“”的（   ） A．充分条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据题意，利用平面的法向量与直线的方向向量的关系，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由向量为平面的一个法向量，向量为直线l的一个方向向量， 若，则，所以，解得，所以充分性不成立； 反之：若，可得，此时， 可得与不垂直，所以与不平行，所以必要性不成立， 所以是的既不充分也不必要条件. 2．（25-26高二下·上海·期末）已知和是直线上两个不同的点，是平面的一个法向量，则“”是“”的（     ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分又非必要 【答案】B 【详解】若，由于是直线的方向向量，这意味着直线的方向向量与平面的法向量垂直。 此时直线可能与平面平行，但也可能在平面内，因此不能推出，故充分性不成立； 若，则直线的方向向量必定与平面的法向量垂直，即一定成立，故必要性成立， 综上，“”是“”的必要不充分条件. 3．（25-26高二下·湖南·期中）设是直线的方向向量，是平面的法向量，则“与相交”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】 若与相交，说明既不平行于，也不在内，因此不垂直于，可得，充分性成立. 若，说明不垂直于，因此既不平行于，也不在内，故一定与相交，必要性成立. 因此“与相交”是“”的充要条件. 4．（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）(多选)以下命题正确的是（    ） A．若是平面的一个法向量，直线 上有不同的两点A，B，若 ，则 B．已知A、B、C三点不共线，对于空间任意一点O，若，则P、A、B、C四点共面 C．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D． ， ，则在上的投影向量为 【答案】BC 【分析】根据线面位置关系的向量形式判断A；根据共面向量定理的推论判断B；根据基底的概念判断C；结合数量积的坐标运算，利用投影向量公式求解判断D. 【详解】对于A，因为 ，所以，则或，故 A错误； 对于B，因为，， 所以由空间向量共面定理可知：P、A、B、C四点共面，B正确； 对于C，假设存在实数使得， 因为是空间的一个基底，所以线性无关， 则有，故线性无关，即也是空间的一个基底，C正确； 对于D，，， 则在上的投影向量为，故D错误． 5．（25-26高二上·安徽安庆·期末）已知平面的一个法向量为，若直线平面，则___________. 【答案】1 【分析】由直线平面得到，则存在实数使得，计算得解. 【详解】因为直线平面，所以，又， 所以存在实数使得， 即，所以， 解得，所以． 故答案为：. 题型04 投影向量与投影 　　1.投影向量 (1)向量a在向量b上的投影 先将向量a与向量b平移到同一平面α内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量b共线的向量c,如图1,向量c称为向量a在向量b上的投影向量.c=|a|cos<a,b>=b (2)向量a在平面β上的投影 如图3,分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A',B',则向量(c)称为向量a在平面β上的投影向量. 【典例3】（25-26高二下·江苏宿迁·期末）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的计算方法求解即可. 【详解】由题意得，， 所以向量在向量上的投影向量是. 【变式训练】1．（2026·甘肃张掖·二模）已知非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，因此， 向量在向量上的投影向量， 故B正确. 2．（25-26高二上·江西宜春·期末）(多选)给出下列命题，其中错误的是（    ） A．若空间向量，且，则实数 B．若，则存在唯一的实数，使得 C．若空间向量，则向量在向量上的投影向量是 D．点关于平面对称的点的坐标是 【答案】BCD 【分析】根据空间向量平行的坐标表示判断A；根据向量共线定理判断B；求出向量在向量上的投影向量，判断C；求出点关于平面对称的点的坐标，判断D. 【详解】对于A，若，则，所以，所以A说法正确； 对于B，当时，恒成立，而实数不唯一或不存在，所以B说法错误； 对于C，向量在向量上的投影向量是，所以C说法错误； 对于D，点关于平面对称的点的坐标是，所以D说法错误. 故选：BCD. 3．（25-26高二上·安徽·期末）已知三棱锥中，平面的一个法向量为，若，则向量在法向量上的投影向量为____________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得. 【详解】向量，，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为： 4．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）在空间直角坐标系中，向量在平面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为__________. 【答案】 【分析】先由投影向量的概念求出的坐标，再利用向量夹角的余弦公式求解即可. 【详解】向量在平面上的投影向量为， 向量在向量上的投影向量为， 则，因，则. 故答案为：. 5．（2026·山西太原·二模）已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出在法向量上的投影向量，结合平行四边形法则得到答案 【详解】向量在法向量上的投影向量为 ， 设向量在平面上的投影向量，由平行四边形法则可得， 故. 题型05 点到直线的距离 点到直线的距离：若点为直线外一点，为直线上一点，直线的方向向量为， 则. 异面直线的距离：已知直线与为异面直线，与与均垂直的向量为，直线与上各取一点形成， 【典例5】（25-26高二上·浙江温州·期末）在棱长为2的正方体中，为平面的中心，则点到直线的距离为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，应用空间向量法求解点到直线的距离. 【详解】在棱长为2的正方体中， 以点为坐标原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图）. 于是，，， 所以，， 所以点到直线的距离为. 故选：B. 【变式训练】1．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】建立如图空间直角坐标系，    则， ，. 故点到直线的距离. 2．（25-26高二下·福建宁德·期末）在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出和直线的方向向量即可由点到直线向量法距离公式直接计算求解. 【详解】由题意，平面，， 因此以为原点，分别以、、方向为轴建立空间直角坐标系： 则，，，，， 直线​的方向向量， ， 点到直线的距离. 3．（25-26高二上·福建厦门·期末）若的三个顶点分别为，，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量求解即可. 【详解】由题意可得 则与同向的单位向量， 设点到直线的距离为， 则. 故选：A. 4．（24-25高二上·福建厦门·期中）(多选)下列选项正确的是（    ） A．向量是直线的一个方向向量 B．过点且在轴上的截距是在轴上截距的2倍的直线的方程为 C．已知空间向量，，则在方向上的投影向量为 D．点是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是 【答案】ACD 【分析】A选项由方向向量的定义判断；B选项分过原点与不过原点两种情况求截距满足2倍关系的直线；C选项用投影向量公式计算；D选项用点到直线距离公式计算验证. 【详解】对于A，直线的斜率为， 故是直线的一个方向向量，故A正确； 对于B，当直线过原点时，方程为， 当直线不过原点时，设方程为，则，解得，所以直线方程为， 综上，所求直线方程为或，故B错误； 对于C，，， 在方向上的投影向量为，故C正确， 对于D，，是直线的一个单位方向向量， ∴点到直线的距离为，故D正确. 故选：ACD 5．（26-27高三·全国·一轮复习）(多选)如图，在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且．则下列结论正确的是（     ） A．线段是异面直线与的公垂线段 B．异面直线与的距离为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量运算可得，即可对A判断求解；由题可得异面直线与的公垂线的一个方向向量为从而可对B求解判断；利用点到直线的向量法即可对C、D求解判断；利用点到平面的向量法即可对D求解判断. 【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，，，， 则，，所以，． A：，，， 所以，， 即，，所以线段是异面直线与的公垂线段，故A正确； B：由正方体的性质可得异面直线与的公垂线的一个方向向量为，又， 所以异面直线与的距离为，故B错误； C：，， 所以在方向上的投影向量的长度为， 所以点到直线的距离为，故C正确； D：设平面的一个法向量为，， 则，即，令，得，， 所以，又， 所以点到平面的距离，故D正确. 故选：ACD. 题型06 点到面的距离 用向量法求点到平面的距离向量法： 若点为平面外一点，点为平面内任一点，平面的法向量为， 则. （几何法）：等体积法是利用四面体（三棱锥）的体积不变性来求点到平面距离的方法，核心思想是“同一个四面体用不同底面和高计算体积时结果相等”. 对于四面体，若要求点  到平面的距离 ，可： （1）以平面 ABC 为底面，P 到平面 ABC 的距离 h 为高，计算体积； （2）再选择另一个易求高的面（如、 或 ）作为底面，计算同一四面体的体积 ； （3）通过体积相等 ，解方程求出. 【典例6】（25-26高二下·湖北鄂州·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题设有，设平面的法向量为， 则，故，取， 而，故点到平面的距离为. 【变式训练】1．（25-26高二上·山东烟台·期中）已知正方体的棱长为2，，为线段的中点，则点到面的距离为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式求解. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，得，由为线段的中点，得， 而，则， 设平面的法向量，则，取，得， 所以点到平面的距离为. 故选：D 2．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）(多选)下列命题中正确的是（   ） A．，，，是空间中的四点，若不能构成空间的基底，则，，，四点共面 B．，，三点不共线，为平面外的任一点，当时，点与点，，共面 C．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 D．已知，C，，则点到平面的距离为4 【答案】AB 【分析】根据基底概念判断A，根据向量的减法及共线向量判断B，根据数量积知向量垂直可判断C，根据点到平面距离的向量公式求解判断D. 【详解】不能构成空间的基底，则共面，所以，，，四点共面，故A正确； 由可得，即， 所以四边形为平行四边形，因此四点共面，故B正确； 因为，所以直线或，故C错误； ， 设平面的法向量，则，令，则， 即，则，故D错误. 故选：AB 3．（24-25高二上·内蒙古·期中）如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别为线段AB，的中点． (1)求F点到的距离； (2)求点F到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用点到直线距离公式进行求解； （2）求出平面的法向量，利用点到平面的向量距离公式进行求解. 【详解】（1）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 已知正方体棱长为，则，，， 可得，， ，，， 设点到的距离为， 则； （2）设平面的法向量为，，，， 则，. 设， ，令，解得，，所以， 又，，， 点到平面的距离为. 4．（23-24高三上·天津武清·阶段检测）如图，在圆锥中，底面圆的半径为2，线段是圆的直径，顶点到底面的距离为，点为的中点，点是底面圆上的一个动点，且不与A，B重合. (1)证明：直线平面； (2)若二面角的余弦为， （i）求线段的长； （ii）求点到平面的距离. 【答案】(1)证明： 因为点是的中点，点是的中点， 所以. 又平面，平面， 故平面. (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由点是的中点，点是的中点，得到，再利用线面平行的判定定理证明； （2）（i）分别以，，方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，设点的坐标为，求得平面的一个法向量为，是平面的一个法向量，由求解；（ii）由点到平面的距离为求解. 【详解】（1）略 （2）（i）解：如图，在底面内过作直线垂直于交圆于. 分别以，，方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系. 则，，，. 由已知，设点的坐标为. 可得，. 设平面的一个法向量为， 则有即 令，可得. 显然，是平面的一个法向量. 由已知有， 所以， 整理得，，解得（舍），或， 由此可得的坐标为，这时，可得. 所以，二面角的余弦为时，线段的长为. （ii）解：由（i）有，为平面的一个法向量， ， 由此可得点到平面的距离为. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $