3.5 点与圆、直线与圆的位置关系(7)---三角形的内切圆 课件 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“三角形的内切圆”，系统讲解内心定义、性质、作法及与外心的区别。通过“剪最大面积圆”问题导入，引导学生从“圆心到三边距离相等”探究内心是角平分线交点，构建前后知识联系的学习支架。 其亮点在于以问题驱动和活动探究培养数学眼光（几何直观），通过角关系推导、半径公式（如r=2S/c）强化数学思维（推理能力），用表格对比、“勾股容圆”实例提升数学语言（模型意识）。助力学生深化理解，教师可高效开展教学。

3.5 点与圆、直线与圆的位置关系(7)---三角形的内切圆 第三章 圆 盐城市北蒋实验学校 九年级数学备课组 苏科版2024 • 九年级 • 数学 • 上学期 1 问题引入 要从一张三角形纸片中剪一个圆，如何使剪得的圆面积最大？ ● ● ● 当这个圆与三角形的各边都相切时，剪得的圆面积最大. 新课讲解 1、当圆与三角形的各边都相切时，圆心有什么特点？ 活动一：作三角形的内切圆 ● 圆心到三条边的距离相等（都等于半径）． 2、到一个角两边距离相等的点，在哪条线上？ 在这个角的平分线上． 3、如何找一个点，使它到三角形三边的距离相等？ 三角形两条角平分线的交点． 新课讲解 已知：△ABC（如图）． 求作：和△ABC的各边都相切的圆． 活动一：作三角形的内切圆 作法 图形 M O N D ┛ ① 分别作∠ABC，∠ACB的平分线BM， CN，BM与CN的交点为O． ② 过点O作 OD⊥BC，垂足为D． ③ 以点O为圆心，OD长为半径作⊙O． ⊙O 就是所求的圆． 要作出这个圆，我们首先需要确定哪两个要素？圆心怎么找？半径又该怎么定？ 这样的圆能作几个？ 新课讲解 活动一：作三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆．内切圆的圆心叫作三角形的内心，是三条角平分线的交点，这个三角形叫作圆的外切三角形． 如图，⊙O是△ABC的内切圆，△ABC是⊙O的外切三角形． 点O叫作△ABC的内心，它是三条角平分线的交点，它到△ABC三边的距离相等. 尝试练习 已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的内切圆． ● ● ● (1)通过画图，我们发现三角形内心的特征是： ①三角形的内心是                        的交点； ②三角形的内心到                          相等； ③三角形的内心一定在三角形的           部. (2)三角形的内心和外心有什么区别？ 三条角平分线 三边的距离 内 新课讲解 图形 圆的名称 三角形名称 圆心名称 确定圆心的方法 圆心的性质 三角形的内心与外心的区别 三角形的内切圆 三角形的外接圆 圆的外切三角形 圆的内接三角形 三角形的内心 (一定在三角形内部) 三角形的外心(不一定在三角形内部) 三角形的三条 角平分线的交点 三角形的三边 垂直分线的交点 到三角形的 三边距离相等 到三角形的三 个顶点距离相等 例题讲解 1、探究三角形内几个角之间的数量关系 (书本第98页例6)如图，⊙O是△ABC 的内切圆，切点分别为D、E、F，∠B＝60°，∠C＝70°，求∠EDF的大小． 连接OE、OF． 在△ABC中， ∠A＝180°－(∠B＋∠C) ＝180°－(60°＋70°)＝50°． ∵⊙O是△ABC 的内切圆， ∴AB⊥OF，AC⊥OE． 在四边形AFOE中， ∵∠EOF＝360°－(∠AEO＋∠AFO＋∠A) ＝ 360°－( 90°＋90°＋50°)＝130°， ∴∠EDF＝∠EOF ＝× 130° ＝65°． 例题讲解 1、探究三角形内几个角之间的数量关系 (书本第98页例6)如图，⊙O是△ABC 的内切圆，切点分别为D、E、F，∠B＝60°，∠C＝70°，求∠EDF的大小． 知识拓展： （1）若∠A＝50°，则∠EDF＝       ，∠BOC＝        ； （2）若∠A＝80°，则∠EDF＝     ，∠BOC＝        ； （3）若∠A＝α,   则∠EDF＝        ，∠BOC＝        ； （4）∠A与∠EDF的数量关系是：              ； ∠A与∠BOC的数量关系是：              ； （5）若∠FDE＝70°，则∠FOE＝       ，∠A＝      ，∠BOC＝       . 65° 115° 50° 130° 90°－∠α 90°+∠α ∠EDF=90°－∠A ∠BOC=90°+∠A 140° 40° 110° 例题讲解 2、探究三角形的内切圆半径公式 （1）等腰△ABC中，AB＝AC＝17，BC＝16，求△ABC的内切圆的半径.． 连接AE，则AE必过点O，连OB． 在△ABC中， 因为AB=AC，AE平分∠BAC， 所以AE⊥BC于点E ∴BE=CE=BC=×16=8 ∴AE==15 设⊙O的半径为r， ∴S△ABC=AB·r+AC·r+BC·r=BC·AE 即：(17+17+16)·r=×16×15 ∴r= 例题讲解 2、探究三角形的内切圆半径公式 （2）已知△ABC的三条边的长度分别为3、4、5，求△ABC的内切圆的半径. 因为32+42=52， 所以△ABC是直角三角形， 则S△ABC=AC⋅BC==AB·r+AC·r+BC·r (3+4+5)·r=×3×4 ∴r=1 例题讲解 2、探究三角形的内切圆半径公式 （3）如图，⊙O是△ABC的内切圆，内切圆半径为r，△ABC的周长为c，面积为S， 则r与c、S之间的数量关系为 . S=c⋅r 重要公式：三角形内切半径r＝． 尝试练习 (1)(书本第98页练习第1题)《九章算术》中有一道“勾股容圆”问题：“今有勾八步，股十五步．问勾中容圆径几何？”实际上就是解决下列问题：已知直角三角形的两直角边分别长为15，8，求其内切圆的直径．请你解决这个问题． 解：如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝15，∠C＝90°，内切圆⊙O分别与边AB、 BC、CA相切于点D、E、F，设内切圆⊙O的半径为r．连接OE、OF． 由勾股定理，得 AB＝＝＝17． ∵⊙O分别与边BC、CA相切于点E、F，∴ OE⊥BC，OF⊥AC， ∵∠C＝90º，∴四边形OECF是矩形． ∵ OE＝OF， ∴四边形OECF是正方形． ∴ CE＝CF＝OE＝OF＝r． 则 BE＝BC－CE＝15－r，AF＝AC－CF＝8－r． ∵⊙O分别与边AB、BC、CA相切于点D、E、F， ∴AD＝AF＝8－r，BD＝BE＝15－r， ∵BD＋AD＝AB，∴15－r＋8－r＝17，解得r＝3．2r＝6． 答：内切圆的直径为6． 重要公式：直角三角形内切半径r＝． (2)(书本第98页练习第2题)如图，点C、 D分别在射线OA、OB上，用直尺和圆规作作⊙P，使它与OA、OB、CD都相切． 尝试练习 O B A D C P1 P2 解：如图，满足条件的⊙P有2个. 拓展提升 如图，O是△ABC的内心，AO的延长线交△ABC的外接圆于点D， (1)BD与OD相等吗？为什么？ 解：(1)连接BO． ∵ O是△ABC的内心， ∴AO平分∠BAC，BO平分∠ABC， ∴∠BAD＝∠CAD，∠ABO＝∠CBO， 又∵∠CAD＝∠CBD， ∴∠CBD＝∠BAD． ∵∠BOD＝∠ABO＋∠BAD，∠DBO＝∠CBO＋∠CBD， ∴∠BOD＝∠DBO， ∴BD＝OD． 如图，O是△ABC的内心，AO的延长线交△ABC的外接圆于点D， (2) 连接BO、CO，求证：点D是△BOC的外心． (2) 证明：如图，连接DC， ∵∠BAD＝∠CAD， ∴ BD＝CD． ∵ OD＝BD， ∴ BD＝CD＝ID， ∴点D是△BOC的外心． 拓展提升 课堂作业 1、如图，⊙O是△ABC的内切圆，切AB，AC于点D、E，∠DOE＝110°，则∠BOC的度数为（　　） A．115° B．120° C．125° D．135° C 2、如图：⊙I是直角△ABC的内切圆，切点为D、E、F，若AF，BE的长是方程x2﹣13x+30＝0的两根，则△ABC的面积为　 　 ． 课堂作业 30 3、如图，⊙O分别切△ABC的边AB、BC、CA于点D、E、F，∠B＝70°，∠C＝60°，M是上的动点（与点D、F不重合），∠DMF的大小一定吗？若一定，求∠DMF的度数；若不一定，请说明理由． 解：∠DMF的大小一定． 理由：连接OD，OF． ∵B＝70°，∠C＝60°， ∴∠A＝50°． ∵⊙O分别切△ABC的边AB、BC、CA于点D、E、F， ∴OD⊥AB，OF⊥AC． ∵∠A＝50°， ∴∠DOF＝130°． ∴∠DMF＝65°． 课堂作业 课堂小结 这节课，你的收获是--- $