第一章勾股定理单元测试卷2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学勾股定理单元复习卷，全面覆盖定理应用、证明及实际问题，梯度设计合理，融合文化素材与核心素养，适配单元知识巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|勾股定理逆定理（1）、折叠问题（6）、空间最短路径（10）|文化传承（梅文鼎证明4、赵爽弦图13），几何直观（网格三角形3）| |填空题|5|直角三角形面积（11）、动态最值（12）、弦图面积（13）|运算能力（11），模型意识（15折断木杆问题）| |解答题|5|定理证明（20）、综合应用（19折叠矩形）、实际测量（16四边形边长）|推理能力（18尺规作图），应用意识（10长方体路径）|

第一章 勾股定理 单元测试卷 一、单选题 1．下列各组数中，能围成直角三角形的是（    ） A．1， 1， 2 B．2， 3， 4 C．3， 4， 5 D．6， 8， 9 2．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（    ） A．72 B．36 C．66 D．42 3．如图，在的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 4．《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10，那么的长是（   ） A．5 B．6 C． D． 5．如图，在中，，，是内的一点，且，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 6．如图，，将边沿翻折，使点A落在上的点D处；再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点E、F，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 7．如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，．若，则图中阴影部分的面积为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 8．如图，将一张边长为的正方形纸片折叠，使点落在的中点处，点落在点处，折痕为，则线段长的平方为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（   ） A．29 B．32 C．36 D．45 10．如图是一个长、宽、高的长方体玻璃水槽，用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖，外侧P处的小蚂蚁想去吃糖，则小蚂蚁所走的最短路径长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．车间新造了一个三角形零件，测得三角形零件的三边长分别为9，12，15，则三角形零件的面积是____． 12．在中，于点，，，，，点是线段上一动点，分别过点，作直线的垂线，垂足为，，则的最大值为______． 13．如图是“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，H是的中点．若的长为5，则阴影部分的面积为________． 14．如图，中，，点在上，点为的中点，，相交于点，且．若，则的度数是______________． 15．如图，高度为米的平台上有一根长为米的木杆垂直于台面，在一降大风后，木杆从点处折断，依然垂直于，木杆顶端落在地面的点处，已知，米，米，则木杆依然直立的部分的长为______． 三、解答题 16．四边形如图所示，已知，，，，，求的长． 17．如图，在中，，、、是的三边长． (1)已知，，求的值； (2)若，，求，的值． 18．如图，在中，． (1)尺规作图：在边上找出点D，使得(不写作法，保留作图痕迹)； (2)在（1）条件下，连接，若，求的长． 19．如图，长方形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，且． (1)求证：； (2)求的长． 20．如图①是边长分别为a，b的两个正方形，经如图②所示的割补可以得到边长为c的正方形，且面积等于割补前的两个正方形的面积之和．利用这个方法可以验证勾股定理． 请根据上述信息，回答下列问题： (1)图②所示的割补过程为：割①补________，割________补⑥，割③补________； (2)将图②完成拼接后得到图③，已知小正方形的边长为2，大正方形的边长为，试计算其中一个直角三角形的周长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第一章 勾股定理 单元测试卷》参考答案 1．C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，要验证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、因为，所以不能构成三角形，故此选项不符合题意； B、因为，所以不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C、因为，所以能构成直角三角形，故此选项符合题意； D、因为，所以不能构成直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．B 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，先根据勾股定理求出的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， 在中，， ∴是直角三角形， ∴ ． 故选：B． 3．A 【分析】本题主要考查了网格与勾股定理，直角三角形的判定，先利用网格与勾股定理分别求出各边长，然后按照勾股定理逆定理依次判断即可． 【详解】解：．∵，，，∴，则为直角三角形，故该选项符合题意； ．∵，，，∴，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； ．∵，，，∴，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； ．∵，，，∴，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：A． 4．D 【分析】本题主要考查勾股定理的证明， 完全平方公式的应用，三角形的面积，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 根据题意由4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积为以为边长的正方形面积减去两个直角三角形的面积，建立方程求解出的值，再利用完全平方公式变形即可解答． 【详解】解：已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10， 根据题意：，， 则， ，， ， （负值舍去），即， 故选：D． 5．B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出等腰直角三角形和直角三角形是解题的关键． 将绕点旋转，根据旋转的性质可得出，根据勾股定理可证出，从而可得出答案． 【详解】如图，将绕点旋转，得，连接， 由旋转的性质可知：，， ∴，，， ∴，且， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选B． 6．B 【分析】依据勾股定理以及面积法即可得到的长，再根据是等腰直角三角形，即可得到的长；利用勾股定理求得的长，即可得到的长，进而得出的长．本题考查了折叠问题，我们常常设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案． 【详解】解：中，，，， 由勾股定理可得， 将边沿翻折，使点落在上的点处， ，， ， ， ， 在中，， 将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处， ，， ， ， 又， ， ， ， ， 故选：B． 7．A 【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积，由勾股定理得再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：是以为斜边的直角三角形， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积为， 故选：A． 8．B 【分析】本题考查折叠问题，正方形的性质，勾股定理，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．连接，作交于点，根据折叠的性质，在中，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出的长．在中，有，在中，有，根据这两个式子可求得，得到，，在中，运用勾股定理求出． 【详解】解：如图，连接，作交于点， 由四边形是正方形及折叠性知， ，，，， 在中，， ∵，为的中点， ∴， ∴， 解得， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， 在中， ， 故选：B． 9．D 【分析】在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，在Rt△BDM及Rt△CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果． 【详解】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中， BD2＝AB2−AD2，CD2＝AC2−AD2， 在Rt△BDM和Rt△CDM中， BM2＝BD2＋MD2＝AB2−AD2＋MD2，MC2＝CD2＋MD2＝AC2−AD2＋MD2， ∴MC2−MB2＝（AC2−AD2＋MD2）−（AB2−AD2＋MD2） ＝AC2−AB2 ＝45． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握． 10．D 【分析】作点P关于的对称点A，则，由于用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖，故展开图中，，连接，交于点E，此时最短，解答即可． 本题考查了长方体的展开图，勾股定理，轴对称，熟练掌握定理和展开图是解题的关键． 【详解】解：作点P关于的对称点A，则， 由于用一个玻璃板（厚度忽略不计）卡在中间把水槽分成两个大小相等的长方体，若在玻璃板右侧的对角线交点Q处有一滴糖， 故展开图中，， 连接，交于点E，此时最短， 且 故选：D    ． 11．54 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，求三角形的面积， 先说明这个三角形是直角三角形，再根据面积公式得出答案. 【详解】解：因为， 所以这个三角形是直角三角形. 因为， 所以这个三角形的面积. 故答案为：54. 12． 【分析】本题主要考查了三角形的面积，垂线段最短，勾股定理的应用，依据，可知，然后设，，代入整理即可求解，依据得到的关系式是解题的关键． 【详解】解： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵与成反比， ∴当时，有最大值， ∴， ∴， ∴的最大值为， 即的最大值为， 故答案为：． 13．15 【分析】本题考查勾股定理，求阴影部分面积等．根据题意设，则，根据勾股定理列式，继而得到，即可得到本题答案． 【详解】解：由“赵爽弦图”可知， ∴设，则， ∵，的长为5， ∴，解得：， ∴阴影部分的面积：， 故答案为：15． 14．/105度 【分析】根据，可知为直角三角形，根据斜边上的中线等于斜边的一半，可知，利用等边对等角，可求得，，接着利用外角，推出，最后利用求得答案． 【详解】解： 中，，不妨设，，， ，，， ， ， 点为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，等腰三角形的性质，三角形外角的定义，斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 15． 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，延长交延长线于点，证明四边形是矩形，则，，故有，设，则，，由勾股定理得：，即，然后求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交延长线于点， ∵，， ∴， 由， 则有， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 设，则，， 由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查的是勾股定理的应用．先利用勾股定理求解， 再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，，， ∴． 17．(1) (2)， 【分析】本题考查了勾股定理； （1）直接利用勾股定理计算即可； （2）设，，然后利用勾股定理列式求出，进而可得答案． 【详解】（1）解：在中，； （2）∵， ∴设，， 在中，， ∴（负值已舍去）， ∴，． 18．(1) 如图所示，点即为所求； (2) 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、垂直平分线的尺规作图、勾股定理等知识点，理解垂直平分线的性质成为解题的关键． （1）作线段的垂直平分线，与的交点即为所求； （2）设，由（1）知，进而得到、，再根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设， 由（1）知， ∴， ， ，， ， ， ，解得， ． 19．(1) 证明：四边形是长方形， ，，， 将沿翻折至，与相交于点，与相交于点， ，， 在和中， ， ， ，； (2)2.4． 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，解题的关键是灵活运用这些性质． （1）根据折叠的性质可得，，，结合，可证明，得到，； （2）推出，设，则，，推出，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ， 即， ， 设，则，， ，， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ． 20．(1)④；⑤；② (2) 【分析】本题考查面积法验证勾股定理，完全平方公式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由图可知，割①补④，割⑤补⑥，割③补②； （2）设题图③中直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，利用图中大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积，列出方程可求，再利用完全平方公式求出，则题目可解． 【详解】（1）解：如图所示，割①补④，割⑤补⑥，割③补②； （2）解：设题图③中直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为， 由题意可知中间小正方形的边长为， ∵大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积， ∴， 所以． 由勾股定理，得， ∴． ∵， ∴， 则一个直角三角形的周长． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $