第一章勾股定理单元练习2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 勾股定理单元卷，含选择（10）、填空（5）、解答（5）题，融合秋千、无人机等实际情境及赵爽弦图、《算法统宗》文化素材，覆盖定理应用、逆定理等核心知识，通过基础到综合的梯度设计，培养几何直观、推理能力与应用意识，适配单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|勾股数判断、实际应用（山坡栽树、铅笔长度）|结合多地开学考真题，基础巩固与情境应用结合| |填空题|5题|折叠问题、最短路径、正方形面积关系|融入网格、对称等几何直观，考察空间观念| |解答题|5题|实际问题（秋千绳索、无人机巡查）、综合证明（全等与勾股结合）|文化传承（《算法统宗》）与科技情境（无人机），培养推理能力与应用意识|

第一章勾股定理 单元练习 一、单选题 1．（26-27九年级上·福建福州·开学考试）下列四组线段中，不可以构成直角三角形的是（     ） A．3，4，5 B．8，15，17 C．14，48，49 D．5，12，13 2．（26-27九年级上·海南省直辖县级单位·开学考试）若3，4，a为勾股数，则a的值为（     ） A．7 B．5 C．6 D．2 3．（26-27九年级上·黑龙江绥化·开学考试）如图，山坡的高，水平距离，若在山坡上每隔栽一棵茶树，则从上到下共可栽茶树（   ） A．17 B．18 C．20 D．21 4．（26-27八年级上·山东青岛·开学考试）五个正方形和两个直角三角形按如图所示的方式排列，三个正方形内的数3、8和22表示它们的面积，问含有问号的那个正方形的面积是多少？（     ） A．12 B．14 C．15 D．17 5．（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高．若这支铅笔长为，则这支铅笔在笔筒外面部分长度的最小值为（     ）． A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·湖北武汉·开学考试）若m，n是正整数且，由m，n的值可确定勾股数a，b，c，其中，，，则下列勾股数不能由m，n确定的是（     ） A．5，12，13 B．9，12，15 C．8，15，17 D．7，24，25 7．（26-27八年级上·湖南衡阳·开学考试）如图，在中，，，，将沿射线折叠，使点与边上的点重合，为射线上的一个动点，当的周长最小时，的长为（    ） A．7 B．8 C． D． 8．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）如图，沿折叠直角三角形纸片，使两个锐角顶点B和C重合，，，求的长．设，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点出发，翻过木块到达点处，则蚂蚁爬行的最短路径长为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形（，，，）与一个小正方形组成的一个大正方形，连接交于点，已知正方形的面积为，，下列结论正确的是（     ） A．正方形的面积为 B． C．是的中点 D． 二、填空题 11．（26-27九年级上·北京·开学考试）在中，，，则的长为__________． 12．（25-26八年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在一棵树离地面10米高的处有两只猴子，在离树底20米的池塘边的处有水果．为了吃水果，一只猴子爬下树跑到处，另一只爬到树顶后直接跳到处（路径以直线计算），如果两只猴子所经过的路程相等，那么这棵树高为_________米． 13．（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）如图，中，，，，平分．M、N分别是、上的点，则的最小值是________． 14．（26-27八年级上·陕西西安·开学考试）如图，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，正方形A、D、E的面积依次是7、3、12，则正方形B的面积是______． 15．（2022·宁夏银川·一模）长方形的边在轴上，边在轴上，，，点是直线上的一个动点，若将沿折叠后，点的对应点落在了轴上，则点的坐标为 __． 三、解答题 16．（24-25八年级下·广东湛江·期末）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千绳索悬挂于点，静止时竖直下垂，点为踏板位置，踏板离地高度为一尺（尺）．将它往前推进两步（于点，且尺），踏板升高到点位置，此时踏板离地五尺（尺），则秋千绳索（或）长多少尺． 17．（25-26八年级下·吉林·期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)画线段且使，连接； (2)的长为____________； (3)为______三角形； (4)根据所画的图形，可以求出四边形的面积为______（平方单位）． 18．（25-26八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，四边形为某林场种植树林的区域，．经测量，，，． (1)护林员操控一架无人机从处沿直线飞行到处进行巡查，求无人机飞行路径的长； (2)试判断的形状，并说明理由． 19．（25-26八年级下·贵州安顺·期末）为了防止电线杆倾斜、倒伏，一般会用钢丝绳将其固定．如图，钢丝绳一端固定在电线杆的点处，另一端固定在地面上的点处，电线杆垂直于地面．已知，（钢丝绳不可拉伸，始终处于紧绷状态）． (1)求钢丝绳的长度． (2)为了提升安全性能，有关部门将钢丝绳与地面的固定点由点调整为点（点在的延长线上），点的位置不变．若，两点的距离为，求钢丝绳增加的长度． 20．（25-26八年级下·湖北·阶段检测）如图1，在中，，，E，F是边上的两点，且．过点A作，且，连接．求证： (1)； (2)； (3)如图2，点P为等腰直角内一点，，请直接写出线段之间的数量关系． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第一章勾股定理 单元练习2026-2027学年北师大版数学八年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D D B B C C D C 1．C 【分析】通过比较每组线段中两较短线段的平方和与最长线段的平方是否相等，判断能否构成直角三角形. 【详解】解：，A、B、D均可以构成直角三角形. ，， ，C不可以构成直角三角形. 2．B 【分析】未明确最大边时，分为斜边、4为斜边两种情况，结合勾股数为正整数的条件求解． 【详解】解：分两种情况讨论： 当为斜边长时，，解得， ∵为正整数， ∴； 当为斜边长时，，解得， 此时不是正整数，不符合勾股数要求，舍去． 综上所述，a的值为5． 3．D 【分析】首先利用勾股定理求得线段的长，然后除以株距即可求得结果． 【详解】解：山坡的高，水平距离， ， 每隔栽一棵茶树， 棵， ∴从上到下共21棵． 4．D 【分析】如图，先根据正方形面积公式和勾股定理求出，则，然后根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意，得，，，，，， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴含有问号的那个正方形的面积是17． 5．B 【分析】 铅笔在笔筒外面的长度=铅笔长度铅笔在笔筒内的长度；铅笔在笔筒外面的长度最小时，在笔筒内的长度最长，即斜放在圆柱形笔筒内的时候，用勾股定理求解即可． 【详解】 解：如图所示：铅笔斜放在圆柱形笔筒内的时候，铅笔在笔筒外面的长度最小， ，，， 由勾股定理得：， （负值已舍去）， ， 答：铅笔在笔筒外面部分长度的最小值是． 6．B 【分析】根据勾股数的定义分别判断即可． 【详解】解：A、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项A不符合题意； B、∵，，，，，， ∴， 解得：，， ∵m、n无正整数解，故选项B符合题意； C、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项C不符合题意； D、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项D不符合题意． 7．C 【分析】连接，由折叠的性质可得，，，则，因此的周长等同于，当、、三点共线时，取得最小值．设，则，由勾股定理的逆定理可得，从而得到，在中，使用勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知，与关于射线对称， ∴， ∴， ∵为射线上的一个动点， ∴， ∴， ∴的周长为，当、、三点共线时，取得最小值， 当、、三点共线时，如图，设，则， ∵， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴． 8．C 【分析】利用折叠的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠得， 设，则， ， ， ，在中，， ． 9．D 【分析】将木块的表面展开，利用勾股定理计算的长即可． 【详解】解：将蚂蚁经过的表面展开如下： 由题意可知，，， 由勾股定理可得，． 10．C 【分析】设，则，由题意及勾股定理列方程求出即可判断A、B；结合三角形全等的判定与性质即可判断C；结合前面的推导得出，直接计算即可判断D． 【详解】解：A、设，则， 在中，， 正方形的面积为， ，则， 解得， 四个相同的直角三角形（，，，）， ， 则正方形的面积为，选项结论错误； B、在中，，选项结论错误； C、在正方形中，，则， ， ， 由A的推导过程可知，则， ，即是的中点，选项结论正确； D、由前面的求解过程可知，，则，选项结论错误． 11．或 【详解】解：当为斜边时，和为直角边， ∵ 在中，，， ∴ 由勾股定理得：； 当为斜边时，和为直角边， ∴ 由勾股定理得：； 当为斜边时，，斜边长度小于直角边，此种情况不存在，舍去； 综上，的长为或． 12．15 【分析】设这棵树高米，即米，根据题意可得，米，米，从而可得米，再求出米，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：设这棵树高米，即米， 由题意得：，米，米， ∴米， ∵两只猴子所经过的距离相等， ∴，即， ∴（米）， 在中，，即， 解得， 即米， 答：这棵树高米． 13． 【分析】在上截取，连接，证明，根据题意，得，故当H，M，B三点共线时，取得最小值，且最小值为，根据垂线段最短，当时，取得最小值，设，则，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 当H，M，B三点共线时，取得最小值，且最小值为， 根据垂线段最短，当时，取得最小值， 设，则， 由勾股定理，得，， 故， 解得， 故， 故的最小值是12． 14． 【分析】根据勾股定理并结合图形可得，，代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形， ∴，， ∵正方形A、D、E的面积依次是7、3、12， ∴，， ∴， ∴． 15．或 【分析】分两种情况①当点E在线段上时，设，则，由勾股定理求出x的值即可得出答案．②当点E在线段的延长线上时，设，则，由勾股定理求出x的值即可得出答案． 【详解】解：四边形是长方形， ，，， 由折叠得可知：， 分以下两种情况讨论： ①当点E在线段上时， ， ， 由折叠可知：， 设，则， ， 解得， 点； ②当点E在线段的延长线上时， ， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴点． 故答案为：或． 16． 【分析】设，在中利用勾股定理构建方程即可解决问题． 【详解】解：设， 根据题意得：，，， ∴， ∵，， ∴， 在中，，，， ∵， ∴， 解得：， ∴秋千绳索（或）长尺． 17．(1)解：如图所示，即为所求； (2)5 (3)直角 (4)10 【分析】（1）根据题意结合网格的特点作图即可； （2）利用勾股定理求解即可； （3）利用勾股定理求出对应三角形三边的长，再利用勾股定理的逆定理求解即可； （4）利用割补法求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由勾股定理和网格的特点可得； （3）解：由勾股定理和网格的特点可得，，， ∴， ∴是直角三角形； （4）解：． 18．(1) (2)解：是直角三角形， 理由如下： 在中，，，， ，即， 是直角三角形． 【分析】（1）根据题中已知条件，在中，由勾股定理直接求解即可； （2）根据已知条件及（1）中求出的，在中，由勾股定理的逆定理直接求解即可． 【详解】（1）解：， ， 在中，，，则由勾股定理得， ∴无人机飞行路径的长为； （2）略 19．(1)钢丝绳的长度为 (2)钢丝绳增加的长度为 【分析】（1）在中，利用勾股定理求解即可； （2）先求出的长，再在中，利用勾股定理求出的长，由此即可得． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，， 答：钢丝绳的长度为． （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴钢丝绳增加的长度为， 答：钢丝绳增加的长度为． 20．(1) ∵，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， (2) 连接， 由（1）得：，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴； (3)， 证明如下： 根据题意得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定即可证明； （2）连接，根据全等三角形的判定得出，再利用勾股定理求解即可； （3）根据全等三角形的判定得出，确定，再由等腰直角三角形的性质及勾股定理得出，再证明，则，可证得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $