四川省成都市第十二中学(四川大学附属中学)　2026-2027学年高三上学期开学考试数学试卷

川大附中2026—2027学年上期高三入学考试试题 数学 （时间：120分钟 分值：150分） 第Ⅰ卷 选择题 共58分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求．） 1．集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．对四组数据进行统计获得如下散点图并对其相关系数进行比较，正确的是（ ） A． B． C． D． 3．已知函数，则（ ） A．1 B．0 C．2 D． 4．已知圆，直线与圆相交于，两点．若，则实数（ ） A． B． C． D． 5．如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论中，正确的有（ ） A．直线与直线是相交直线 B．直线与直线共面 C．直线与直线平行 D．直线与直线垂直 6．的展开式中二项式系数和为32，则含项的系数为（ ） A． B．10 C． D．80 7．已知数列满足，，则（ ） A． B． C． D． 8．过双曲线（，）的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线右支于，两点，若，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，多选错选得0分．） 9．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 10．现有甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行选修课报名，该学期共有三门课程：文学鉴赏、科学探索、艺术实践．每人必须且只能选一门课．记事件为“有三名同学选同一门课（其余两人各自选不同的课）”，记事件为“同学甲单独选择文学鉴赏”．则下列说法正确的是（ ） A．5名同学的报名情况共有种 B．三门课都有人选的报名情况共有150种 C．三门课程中最终只有两门课程被选的概率为 D． 11．如图，为阿基米德三角形．抛物线上有两个不同的点，，以，为切点的抛物线的切线，相交于点．给出如下结论，其中正确的为（ ） A．若弦过焦点，则为直角三角形且 B．的边上的中线与轴平行（或重合） C．的边所在的直线方程为 D．点的坐标是 第Ⅱ卷 非选择题 共92分 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．根据成对样本数据建立变量关于的成对数据如下表所示： 1 2 3 4 5 4 7 9 10 若由该数据得到的线性回归方程为，则的值为__________． 13．已知数列的前项和为，且，，则_______________． 14．如图，圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，为底面中心，为中点，动点在圆锥底面内（包括圆周）．若，则点形成的轨迹长度为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．如图，三棱锥中，点在上，，，． （1）证明：； （2）若，，，，求直线与平面所成角的正弦值． 16．已知数列满足，，． （1）令，证明是等比数列，并求的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 17．已知椭圆（）的离心率为，左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，过右焦点的直线交椭圆于点，，且的周长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）当的长度为时，求直线斜率； （3）记直线、的斜率分别为，，证明：为定值 18．近年来人工智能与机器人技术快速发展，智能巡检机器人已成为智慧城市安防的重要装备．某科技公司研发的智能巡逻机器人，在、两个核心区域间按如下规则巡逻：若当前在区，则下一时刻巡逻到区的概率为，巡逻到区的概率为；若当前在区，则下一时刻巡逻到区的概率为，巡逻到区的概率为．已知机器人第次巡逻时，在区和区的概率均为．记第次巡逻时，机器人在区的概率为． （1）求第次巡逻时，机器人在区的概率； （2）求的表达式（用表示）． 19．函数，存在两个不同的零点，（其中是自然对数的底数）． （1）求实数的取值范围； （2）证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $