精品解析：四川省大数据智学领航联盟2027届高三上学期入学定时模拟训练数学试题

四川省大数据智学领航联盟2027届高三上学期入学定时模拟训练 数学试题 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，能被整除”的否定是（ ） A. ，不能被整除 B. ，能被整除 C. ，不能被整除 D. ，不能被整除 【答案】C 【解析】 【详解】命题“，能被整除”的否定是： “，不能被整除”． 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】． 3. 已知为纯虚数，且的实部为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设且， 则， 所以，解得 ， 则． 4. 函数的图象在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，， 所以函数的图象在处的切线方程为， 即． 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】， 所以． 6. 若是等差数列，表示的前n项和，，则中最小的项是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的前n项和公式可得，再结合等差数列的性质判断处的符号，即可得出答案. 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 所以公差， 故当时，，当时，， 所以当时，取得最小值， 即中最小的项是. 故选：B. 7. 若对任意，恒成立，则有（ ） A. 最大值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最小值 【答案】A 【解析】 【分析】将齐次不等式换元为单变量函数，求函数最大值后得到参数约束关系，进而确定的最值. 【详解】由题意知，原不等式对任意恒成立，变形得： 由于右侧为一次齐次式，令，则， 代入右侧得： 要使不等式恒成立，需， 对求导得： 令，解得正根（负根舍去）， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 故， 因此，解得，即的最大值为. 8. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，进而得到，，再根据，可得，然后可得，结合数量积的定义计算即可． 【详解】因为， 设 ，且，解得， 所以，因为， 所以， 所以 ． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线的两个焦点分别为，，则（ ） A. B. ，在轴上 C. 的离心率为 D. 直线与没有公共点 【答案】ACD 【解析】 【详解】双曲线中，故A正确； 在轴上，故B错误； 离心率，故C正确； 是的渐近线，与没有公共点,故D正确． 10. 已知集合，则（ ） A. 满足的有个 B. 集合中有个元素 C. 当时， D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，易知或；对于B，由题可得该集合中的元素有共5个，对于C，可求得，再根据交集计算即可；对于D，根据交集的结果可得，然后判断条件即可． 【详解】或有2个，故A错误； 该集合中的元素有共5个，故B正确; 因为，即， 所以，故C正确； 当时， 或或或或， 解得， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确． 11. 已知函数，定义域为，则（ ） A. 在区间上单调递减 B. 的所有极大值按对应极大值点从小到大排列，构成公比为的等比数列 C. 在区间上的最大值为 D. 方程在区间上恰有两个解 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求函数的导数可知A正确； 极大值点为极大值点是公差为的等差数列，不是等比数列，故错误； 由B知，故正确; 结合单调性，分析可知当时，，故正确. 【详解】求导得 令 即， 解得, 又故或 令即解得 故在区间上单调递增， 在区间上单调递减，故正确； 由知极大值点为对应的极大值 则，故错误； 因为单调递减， 单调性可知， 因此在定义域上的最大值是，故正确； 由知在区间上单调递增，在区间上单调递减， 因为所以直线与曲线在区间上恰有两个交点. 当时，, 即 所以方程在区间上恰有两个解，故正确. 【点睛】本题考查了学生以导数为工具解决函数的单调性的数学能力，结合单调性解决函数的值，得到函数的变化规律，辅助解题，还考查了离散型极值的单调性的判断. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆：，直线：，若与相切，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先从圆方程读出圆心与半径，利用直线与圆相切时圆心到直线距离等于半径这一核心关系，套用点到直线距离公式列式，化简求解参数． 【详解】圆：的圆心，半径， 圆心到直线：的距离， 因为直线与圆相切，所以， 即，解得． 13. 已知椭圆：及点，，点是上与不共线的动点，若周长的最大值为，则________. 【答案】21 【解析】 【分析】先根据椭圆的方程求出焦点，发现点就是椭圆右焦点；写出三角形周长表达式，固定，转化为求的最大值；利用椭圆的定义替换，结合三角形两边之差小于第三边，得到最大值等式，解方程求出． 【详解】 因为，所以椭圆的焦点在轴上， 因为，即， 所以椭圆的两个焦点为，，即是右焦点， 因为，，所以， 的周长， 已知的周长的最大值为，所以的最大值为， 椭圆上动点满足：，这里， 所以， ， 由三角不等式，当取延长线与椭圆的交点时，等号成立， ， 所以最大值为，解得． 14. 在正方体中，，的中点分别为，，且该正方体所有顶点都在球的表面上，若点到平面的距离为2，则球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正方体的结构特征，利用平面性质作出平面截正方体所得的截面，将点到平面的距离转化为点到直线的距离，在直角三角形中，利用等面积法求得正方体的棱长，进而求得外接球的表面积. 【详解】如图 设正方体的棱长为a，球为其对角线的中点， 延长与交于点，则点为的中点，取的中点， 则平面就是平面，取的中点， 则平面截正方体所得的截面就是正六边形， 设，则点到平面的距离就是点到平面的距离， 即点到直线的距离， 在直角三角形中，， 所以点到直线的距离为，所以， 所以球的表面积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知抛物线经过点． （1）求的方程； （2）若的焦点为，为坐标原点，直线与交于另一点，直线与的准线交于点，证明：直线轴． 【答案】（1） （2）证明：由已知及(1)知，直线轴,所以， 设，由共线得，所以， 所以直线的斜率为，即直线 轴． 【解析】 【小问1详解】 因为经过点,所以， 解得,故的方程为． 【小问2详解】 略 16. 具身智能是基于物理身体开展感知与行动的智能系统，是新质生产力发展的重要驱动力．已知2018~2025年中国具身智能产业中的机器人与自动驾驶的市场规模（单位：千亿元）如下表（数据经过加工处理）． 年份 年 年 年 年 年 年 年 年 机器人市场规模 自动驾驶市场规模 （1）求2018~2025年中国机器人市场规模的中位数与自动驾驶市场规模的分位数； （2）从2018~2025年中任取个年份，记自动驾驶市场规模比机器人市场规模多亿元以上的年份个数为，求的分布列与期望． 【答案】（1）中位数为；分位数是 （2）的分布列为 ． 【解析】 【小问1详解】 这两组数据都是按照从小到大排列的， 可得年中国机器人市场规模的中位数为， 因为，所以自动驾驶市场规模的分位数是第个数； 【小问2详解】 年中自动驾驶市场规模比机器人市场规模多亿元以上的年份如下， 有年、年、年、年共个年份， 所以的可能取值分别为， ， ， 所以的分布列为 ． 17. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，三棱锥是底面边长为的正三棱锥． （1）证明：； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求． 【答案】（1）证明：如图，取的中点，连接， 由三棱锥是正三棱锥，可得， 所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为在平行四边形中， 所以． （2）或 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，易得，进而得到平面，则，然后可证； （2）以为原点建立空间直角坐标系，设，分别求出平面、平面的一个法向量，然后构建方程求出，再根据勾股定理求边长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在线段上取点，使得，连接，则为三棱锥的高， 以为原点，直线为轴，过点与平行的直线为轴， 直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为是边长为的正三角形，所以， 设，则， 所以， 设平面的法向量， 则，即， 取，得， 设平面的法向量， 则，即， 取，得， 设平面与平面的夹角为， 则， 解得或， 所以或． 18. 已知数列的前项和为，，． （1）证明：数列是等比数列； （2）若，求数列的最大值； （3）设，求数列的前项和． 【答案】（1）证明：因为， 所以， 所以， 又， 所以数列是首项为、公比为的等比数列． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题可得，进而化为即可证明； （2）由（1）可得， ，然后作差得到数列的单调性，结合单调性得到最值即可． （3）由题可得，再裂项相消求和即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由(1)得，， 所以， 则， 所以当时，，当时，， 当时，． 所以， 所以数列的最大值为； 【小问3详解】 因为， 所以 ， 所以 ． 19. 已知函数的定义域为，导函数为，定义集合． （1）若为偶函数，证明：； （2）若，，，且，求的取值范围（结果用表示）； （3）若（，且，为正奇数），且对任意，，当时，有，求的取值范围（结果用表示）． 【答案】（1）因为定义域为的为偶函数，所以， 两边求导得，所以， 所以 （2）； （3）（为正奇数）． 【解析】 【分析】（1）求导后再根据补集的含义即可证明； （2）求导后再结合函数奇偶性和周期性即可得到的取值范围； （3）分析得，再分别讨论和的情况，再设，对进行分类讨论即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由, 得, 是偶函数，且是周期为2的周期函数，且时，， 因为， 所以由函数的单调性及对称性可得的取值范围是． 【小问3详解】 对任意，当时，有， 即时，， 所以在任一区间上都不单调递减， 设，则． 因为， 所以， 所以, 当时，恒有， 当时，由得，即， 即， 设， 则当时，，不满足题意， 当时，， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，又， 所以， 所以的取值范围是（为正奇数）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省大数据智学领航联盟2027届高三上学期入学定时模拟训练 数学试题 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，能被整除”的否定是（ ） A. ，不能被整除 B. ，能被整除 C. ，不能被整除 D. ，不能被整除 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知为纯虚数，且的实部为，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若是等差数列，表示的前n项和，，则中最小的项是（ ） A. B. C. D. 7. 若对任意，恒成立，则有（ ） A. 最大值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最小值 8. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线的两个焦点分别为，，则（ ） A. B. ，在轴上 C. 的离心率为 D. 直线与没有公共点 10. 已知集合，则（ ） A. 满足的有个 B. 集合中有个元素 C. 当时， D. “”是“”的必要不充分条件 11. 已知函数，定义域为，则（ ） A. 在区间上单调递减 B. 的所有极大值按对应极大值点从小到大排列，构成公比为的等比数列 C. 在区间上的最大值为 D. 方程在区间上恰有两个解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知圆：，直线：，若与相切，则________． 13. 已知椭圆：及点，，点是上与不共线的动点，若周长的最大值为，则________. 14. 在正方体中，，的中点分别为，，且该正方体所有顶点都在球的表面上，若点到平面的距离为2，则球的表面积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知抛物线经过点． （1）求的方程； （2）若的焦点为，为坐标原点，直线与交于另一点，直线与的准线交于点，证明：直线轴． 16. 具身智能是基于物理身体开展感知与行动的智能系统，是新质生产力发展的重要驱动力．已知2018~2025年中国具身智能产业中的机器人与自动驾驶的市场规模（单位：千亿元）如下表（数据经过加工处理）． 年份 年 年 年 年 年 年 年 年 机器人市场规模 自动驾驶市场规模 （1）求2018~2025年中国机器人市场规模的中位数与自动驾驶市场规模的分位数； （2）从2018~2025年中任取个年份，记自动驾驶市场规模比机器人市场规模多亿元以上的年份个数为，求的分布列与期望． 17. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，三棱锥是底面边长为的正三棱锥． （1）证明：； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求． 18. 已知数列的前项和为，，． （1）证明：数列是等比数列； （2）若，求数列的最大值； （3）设，求数列的前项和． 19. 已知函数的定义域为，导函数为，定义集合． （1）若为偶函数，证明：； （2）若，，，且，求的取值范围（结果用表示）； （3）若（，且，为正奇数），且对任意，，当时，有，求的取值范围（结果用表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $