山东淄博市张店区第七中学2026-2027学年上学期初四开学数学学情调研试题（9.4）

张店七中初四数学学情调研试题（开学考）2026.9.4 选择题（共10小题) cos60°的值等于() A.V3 B.v2 C. 2 D 1-2 2. 若sina= 2’ 则锐角a的度数为() B A.30 B.45 C.60° D.75° 3.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13,BC=12,则下列三角函数表示正确的是() 13 A.sinA= 5 B.c034-号 C.tan4= 号 D.tamB=号 12 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三边都放大2倍，则siA的值( A.缩小2倍 B.放大2倍 C.不变 D.无法确定 5.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，设∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则( A.a=b·sinA B.b=c·cosB C.a=b·tanA D.a=b·tanB 6.当锐角A<45°时，cosA的值( 本号 B.大 2 2 D.大 7.已知a为锐角，且cos(a-20）=号 则a等于() A A.45 B.55 C.60 D.65 8.如图，把一个矩形卡片ABCD放在每格宽度为1的横格纸中，恰好四个顶点都 在横格线上（横格线都相互平行）.已知tam21= 则AD的长为() 4.6 20 B.4 C.5 D. 4 3 9.已知△ABC的三个内角分别为∠A,∠B,∠C,在下列条件：①∠A+∠B=∠C;②∠A:∠B:∠C=1:2:3: ®cosA-号，tamB-号，④A-<B=号C:⑤∠A=∠B=C中，能确定ABC为直角三角形的条件 有() A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 10.某限高曲臂道路闸口如图所示，AB垂直地面11于点A,BE与水平线2的夹角为@(0°≤Q≤90°)，EF∥11∥ 12,若AB=1.4米，BE=2米，车辆的高度为h(单位：米)，不考虑闸口与车辆的宽度： ①当a=90°时，h小于3.3米的车辆均可以通过该闸口： ②当a=45°时，h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口； ③当a=60°时，h等于3.1米的车辆不可以通过该闸口. 则上述说法正确的个数为() E F C D A A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 二.填空题（共5小题） 11.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5,BC=3,则tanA的值是 C 12.如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标为(6，)，且0P与x轴正半轴的夹角为a.若ama=专 则OP= 2 P(6,y) 13.如图，菱形ABCD的对角线交于点O,过点A作AB⊥BC于点E,连接EO.若AC=6,BD=8,则cos∠AEO A D B E 14.正方形ABCD的边长为2，点P在CD边所在直线上，若DP=1,则tan∠BPC的值是 15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=67.5°，则tanB等于 C B 三.解答题（共8小题） 16.(1)tan260°-4sim45°cos45°： (2)c0s30°·cos60°-sin30°tan45°. 17.在△ABC中，∠C=90°，b叶c=24,∠A-∠B=30°，解这个直角三角形. 18.如图，在Rt△BC中，∠B=90,AD平分∠BAC,tamC=是BC=4. (1)求AC的长： (2)求tan∠BAD的值. ⊙ D 19.如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE,试求sin∠ECM的值. A M E B C 20.如图，在正方形ABCD外作等腰直角三角形CDE,∠CED=90°，DE=CE,连接BE,求出tan∠DEB的值. D E B 21.亲爱的同学们，在我们进入高中以后，将还会学到三角函数公式： sin(a+β)=sinacosβ+cosasinβ，cos(a+阝)=cosacosβ-sinasinβ 例：si血75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+os30°sin45°=2+6 4 (1)试仿照例题，求出cos75°的准确值： (2)我们知道：tan=ng,试求出tan75°的准确值： cosa (3)根据所学知识，请你巧妙地构造一个合适的直角三角形，求出t75°的准确值（要求分母有理化），和(2) 中的结论进行比较. 22.学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角 的大小之间可以相互转化，类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与 、腰的比叫做顶角的正对(5adD.如图，在△4ABC中，4B=4C,顶角4的正对记作sad4,这时sadA三产=6容 易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的， 根据上述对角的正对定义，解下列问题： (1)sad60°的值为()： 1 A.2 B.1 D.2 2 (2)对于0°<A<180°，则∠A的正对值sad1的取值范围是 (3)已知cosA-号，其中∠A为锐角，求aA的值. 23.综合与实践： 如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C,DN和EC相交于点P,求tanm∠CPN的值， 方法归纳：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形.观察发现问题中∠CPN 不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M,N,可得MN∥EC,则 ∠DM=∠CPN,连接DM,那么∠CPN就变换到Rt△DMN中. Q B 图1 图2 图3 数学思考： (1)如图中tan∠CpN= (2)如图2，M,N,P,Q四点均在边长为1的正方形网格的格点上，MN与PQ相交于点R,求cos∠MRQ的 值； 深入探究： (3)如图3，A,M,B,C,N五点均在边长为1的正方形网格的格点上，AN交CM的延长线于点P,求sn∠ CPN的值， 张店七中初四数学学情调研试题（开学考）2026.9.4 参考答案与试题解析 选择题（共10小题） 题号 1 3 5 6 个 8 10 答案 D B C C A D C B C 选择题（共10小题） 1. cos60°的值等于() A.V3 B.V2 2 c.2 D 1-2 【答案】D 【解答】解：cos60=2 故选：D 2. 若sina= 2, 则锐角a的度数为() A.309 B.45 C.60° D.75 【答案】B 【解答】解：sina= 2 ∴.锐角a的度数是45°. 故选：B 3. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13,BC=12,则下列三角函数表示正确的是() B 13 12 A.sinA= 5 B.cos= 2 C.tand= 12 D.tanB= 12 3 5 【答案】C 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°， ,AB=13,BC=12, ..AC=VAB2 -BC2 V132-122=5, n4-%-器co4-铝-高mA-器-号am透-能-是 BC 12 因此选项A、B、D是错误的，选项C是正确的， 故选：C 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三边都放大2倍，则sinA的值() A.缩小2倍 B.放大2倍 C.不变 D.无法确定 【答案】C 【解答】解：，把△ABC的三边都放大2倍后，所得的三角形与△ABC是相似三角形， ∠A的大小不变， ∴.sinA的值不变， 故选：C 5.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，设∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则() A.a=bsinA B.b=ccosB C.a=btanA D.a=btanB 【答案】C 【解答】解：A.simA=名则a=c~sin4,本选项说法错误，不符合题意， B.c0sB=名则a=ccosB,.本选项说法错误，不符合题意： C.tanM=号则a=btan,本选项说法正确，符合题意； D.tamB一会则b=tan8,本选项说法错误，不符合题意： 故选：C 6. 当锐角A<45°时，cosA的值（) A.小 2 2 B.大于 2 C.小 2 D.大 【答案】A 【解答】解：：cos45°= 2 二锐角4<45°时，co4的值小于号 故选：A 7.已知a为锐角，且c0s(a-20°)=5， 则a等于() A.45 B.55 C.60° D.65 【答案】D 【解答】解：：已知a为锐角，cos(a-20°)= 2 .0-20°=45°， .0=65°， 故选：D 8.如图，把一个矩形卡片ABCD放在每格宽度为1的横格纸中，恰好四个项点都在横格线上（横格线都相互平行）.己 知tam∠1-圣则AD的长为（） B D C 15 A. B.4 C.5 D. 4 0 【答案】C 【解答】解：过点D作DNLAE于点N,交CF于点M,则∠AND=90°， B M ,AE∥CF, ∴.∠CMD=180°-∠AND=90°， ∴.∠AND=∠CMD=90°， ,∠ADC=90°， ∴.∠1=∠2=90°-∠3， amk2=tam41=景-0 .DN=4, .AN=3, .AD =VAN2 DN2 =5, 故选：C .已知△ABC的三个内角分别为∠A,∠B,∠C,在下列条件：①∠A+∠B=∠C;②∠A:∠B:∠C=1:2:3: 9 ③cosA-号，tmB-号：@∠A=专B-C:⑤∠A=∠B-C中，能确定△ABC为直角三角形的条件 有() A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 【答案】B 【解答】解：根据三角形内角和是180°逐项分析判断如下： 条件①：∠A+∠B=∠C,代入得∠C+∠C=180°，则∠C=90°，能确定直角三角形： 条件②：设∠A=k、∠B=2k、∠C=3k,则+2k+3k=180°，则k=30°，∠C=90°，能确定直角三角形， 符合题意： 条件@：co3A=号则∠4=45，mB=怎则∠n=30°，则∠C=1804530=10s°+90， 不能确定直角三角形，不符合题意； 条件④：设∠A=k、∠B=2k、∠C=3k,则+2+3k=180°，则k=30°，∠C=90°，能确定直角三角形， 符合题意； 条件⑤：设∠A=∠B=k,则∠C=2k,则k++2k=180°，则k=45°，∠C=90°，能确定直角三角形，符合 题意； 故选：B 10.某限高曲臂道路闸口如图所示，AB垂直地面l1于点A,BE与水平线12的夹角为a(0°≤a≤90°)，EF∥11∥ 12,若AB=1.4米，BE=2米，车辆的高度为h(单位：米)，不考虑闸口与车辆的宽度： ①当a=90°时，h小于3.3米的车辆均可以通过该闸口； ②当a=45°时，h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口： ③当a=60°时，h等于3.1米的车辆不可以通过该闸口. 则上述说法正确的个数为() C A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】C 【解答】解：由题知， 限高曲臂道路闸口高度为：1.4+2×sina, ①当a=90°时，h<(1.4+2)米，即h<3.4米即可通过该闸口， 故①正确： ②当a-45s时，h<14+2x受)米，即h<1.4计V2米即可通过该闲口， 2.9>1.4+V2, .h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口， 故②正确： 国当a=60时，M<(1.4+2x号)米，即h<14+V3米即可通过该闸口， ,3.1<1.4+3, ∴.h等于3.1米的车辆可以通过该闸口， 故③不正确： 故选：C 二.填空题（共5小题） 11.如图，在△4BC中，∠C=90°，AB=5,BC=3,则aM的值是_年 C 【答案1子 【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，AB=5,BC=3, ∴AC=V√AB2-BC2=V52-32=4, BC 3 .taA=A元=4 故答案为：之 4 12.如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标为(6，y),且OP与x轴正半轴的夹角为a.若tn= 则OP=10. P(6,y) 0 【答案】10. 【解答】解：过P作PH⊥x轴于H,如图： P(6,y) OH tna=景 .PH 4 0H=3 P(6,y), 治 解得y=8, P(6,8), ∴.0P=V62+82=10: 故答案为：10. 13.如图，菱形ABCD的对角线交于点O,过点A作AB⊥BC于点E,连接EO.若AC=6,BD=8,则cos∠AEO 4 5■ A D E 【答案】5 【解答】解：，菱形ABCD,AC=6,BD=8, ∴AC⊥BD,OA=OC=3,OB=OD=4, ∴.BC=VOB2+0C7=V42+32=5, :cos∠CB0=e=5 OB 4 ,AE⊥BC, ∴.∠AEC=∠BOC=90°， .∠CAE+∠ACB=90°，∠CBOH∠ACB=90°， .∠CAE=∠CBO, .∠AEC=90°，OA=OC, ∴.OE=OA, ∴.∠AEO=∠CAE, ∴.∠AEO=∠CBO, ∴cos∠AB0=cs∠CB0= 4 故答案为： 14.正方形ABCD的边长为2，点P在CD边所在直线上，若DP=1,则tam∠BPC的值是2或号 【答】2号 【解答】解：(1)如图，当点P在CD上时， A D p B ,BC=2,DP=1,∠C=90°， tam∠Brc=e=2: PC (2)如图，当点P在射线CD上时， B c .DP=1,DC=2, .PC=3, 又，BC=2,∠C=90°， .tan∠BPC= BC 2 P元=3 故答案为：2号 15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=67.5°，则tanB等于2-1 A ū B 【答案】2-1. 【解答】解：如图，在BC上取点D,使得AD=BD, A ch ⊙ B .∠C=90°，∠A=67.5°， .∠B=180°-∠BAC-∠C=180°-90°-67.5°=22.5°， .AD=BD, .∠B=∠BAD=22.5°， .∠ADC=∠B+∠BAD=22.5°+22.5°=45°， .∠CAD=180°-∠ADC-∠C=45°， ∴.△ACD是等腰直角三角形， 设AC=CD=x, .BD=AD=√2x, .BC=CD+BD=(1+2)x, tamB-瓷Fat -=V2-1. 故答案为：√2-1. 三.解答题（共8小题） 16.(1)tan260°-4sin45°cos45°； (2)c0s30°·cos60°-sin30°tan45°. V31 【答案】(1)1：(2) 4-2 【解答】解：(1)尿式=(-4×号×号 =3-2 =1: (2)原式号×名x1-g- 4-2 17.在△ABC中，∠C=90°，b什c=24,∠A-∠B=30°，解这个直角三角形. 【答案】见试题解答内容 【解答】解：，∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°， .∠A-∠B=30°， .∠A=60°，∠B=30°， ..c=2b, ,b+c=24, .3b=24, .b=8, ∴.c=16, ∴.a=8v3 18.如图，在R△ABC中，∠B=0,AD平分∠BAC,amC-是BC=4. (1)求AC的长： (2)求tan∠BAD的值. B 0 C 【答案】(1)5； a号 【解答】解：(1)：∠B=90°， :.tanC= AB 3 BC4 .BC=4, AB=3, 由勾股定理得到：AC=VAB2+BC2=5; (2)过D作DH⊥AC于H, .∠B=90°， .DB⊥AB, ,AD平分∠BAC ..DH=DB, :△ADC的面积-DC~AB-C~D, DC=BC-BD=4-BD, ∴.3×(4-BD)=5XBD, ∴BD-是 AB=3, tan∠BAD= BD 1 AB2 H B D C 19.如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AB,试求sin∠ECM的值. AM D E ⊙ C 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设AE=x,则BE=3x,BC=4x,AM=2x,CD=4x, EC=V3x)2+(4x)2=5x, EM=x2+(2x)2=V5x, CM=V2x)2+(4x)Z=2V5x, .'.EM+CM=CE2, .△CEM是直角三角形， .sin /CM- 20.如图，在正方形ABCD外作等腰直角三角形CDE,∠CED=90°，DE=CE,连接BE,求出tan∠DEB的值. D ◇E B 【答案】2. 【解答】解：连接BD,如图所示： D -- ◇E B ,△CDE是等腰直角三角形，∠CED=90°，DE=CE, ∴.设DE=CE=a,∠CDE=45°， 由勾股定理得：CD=VDE2+CE2=Va2+a2=V2a, ,四边形ABCD是正方形，BD是对角线， ∴.BC=CD=√2a,∠BDC=45°， .△BCD是直角三角形， 由勾股定理得：BD=VBC2+CD2-J(W2a)2+(W2a)2=2a, ,'∠BDE=∠BDC+∠CDE=90°， ∴.△BDE是直角三角形， 在R△BDE中，am∠D8B-2-号-2， ∴.tan∠DEB的值为2. 21.亲爱的同学们，在我们进入高中以后，将还会学到三角函数公式：sin(o+B)=sinacos+cosasinB,cos(a+B) =cosacosβ-sinasinβ 例：sin75°=sim(30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°=2+6 4 (1)试仿照例题，求出cos75°的准确值： (2)我们知道：tana=sng试求出tan75°的准确值： cosa (3)根据所学知识，请你巧妙地构造一个合适的直角三角形，求出tn75°的准确值（要求分母有理化），和(2) 中的结论进行比较， 【答案】见试题解答内容 【解答】解：(1)，cos(+B)=cosacosβ-sinosinβ， ∴.cos75°=cos（30°+45°)=cos30°c0s45°-sin30°sin45°， -号×号-×号-6平 4日 (2).tana=sina cosa sin750 V2+W6 .tan75°= 4 cos750 6-√2 =2+V3: 4 (3)如图：tam75°=tan∠cBD=0=3a+2=V5+2. BC 8 150 2a A 2a D 30° 22.学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角 的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与 腰的比叫做顶角的正对(adD,如图，在△ABC中，AB=AC,顶角A的正对记作au4,这时sadA二=5容 易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的. 根据上述对角的正对定义，解下列问题： (1)sad60°的值为(B)； 1 A.2 B.1 2 D.2 (2)对于0°<A<180°，则∠A的正对值sadA的取值范围是0≤sadA≤2； (3)已知cosA=号：其中∠A为锐角，求sadM的值. B 【答案】(1)B: (2)0<sadA<2: (3) V10 5 【解答】解：(1)根据正对定义，当顶角为60°时，等腰三角形的底角为60°，则三角形为等边三角形， sad60°=底边 腰 1 故答案为：B; (2)当∠A接近0°时，等腰三角形的底边接近0，故sadA接近0， 当∠A接近180°时，等腰三角形的底边接近于腰的2倍，故sadA接近2， 故对于0°<A<180°，则∠A的正对值sadA的取值范围是0<sadA<2, 故答案为：0<sdA<2; (3)在△ABC中，∠ACB=90°，cOsA=专如图，在AB上取点D,使AD=AC,作DHLAC,.H为垂足， B D C H 令AD=AC=4k,AB=5k, 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：BC=VAB2-AC2=√C52-(42=3k, :sinA=g沿=5 BC3 在△1DH中，∠AD=90,siA=8-子casA-- ∴DH=ADsA=4k×2-号k,AH=AD.cosA=4k×号9， 在R△CDH中，CH=AC-AH=4k-k=言k, 由勾股定理得：CD=V+D原=√（信P+(号2-4 5 在△MCD中，AD=AC-4cD-4k。 代方=0k1可 由正对的定义可得：sadA=CD= 4k= 5 23.综合与实践： 如图l,在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C,DN和EC相交于点P,求tan∠CPN的值. 方法归纳：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形.观察发现问题中∠CPN 不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M,N,可得MN∥EC,则 ∠DMM=∠CPN,连接DM,那么∠CPN就变换到Rt△DN中. 图1 图2 图3 数学思考： (1)如图中tan∠CPN=2: (2)如图2，M,N,P,Q四点均在边长为1的正方形网格的格点上，MN与PQ相交于点R,求cos∠MRQ的 值； 深入探究： (3)如图3，A,M,B,C,N五点均在边长为1的正方形网格的格点上，AN交CM的延长线于点P,求sn∠ CPN的值. 【答案】见试题解答内容 【解答】解：(1)，CE、MN是正方形小方格的对角线， ∴.∠CEN=∠ENM=45°， ..CE∥MN, ∴.∠CPN=∠DMM, 由图得： ∠DME=45°， DM=V22+22=2√2， MN=V12+1z=√2， ∴.∠DMN=∠DME+∠EMN =90°， ∴tanLDNM= MN 2W = =2 故答案为：2： (2)如图，取格点N,连接NQ,PN, 1M R 1 P 由图得： ∠PNQ=∠PGR =45°+45° =90°， NQ=V22+2z=2W2, PQ=V42+6z=210, ∴.GMI∥QN, ∴.∠MRQ=∠PON, cas2PQN-贤 =22 2W10 COs-MRQ-5 : (3)如图，取格点H,连接HN,AH,过点H作HKLAN于点K. B 图3 ∴.MH∥CN,H=CN, ∴.四边形MNC是平行四边形， .MC∥N, .∠CPN=∠ANH, SAMB-ANKH-3X3-X1X3-x1X2-x2X3, 又，AW=√22+32=√13，W=V12+22=√5， ..HK=7/13 13 7V13 sin∠CPV=sin∠W= 7W65 NH 13 √5 65