精品解析：江苏南通市启东市2026-2027学年上学期九年级期初质量监测数学试题

九年级期初质量监测数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上． 1. 小明同学到超市购买矿泉水，如图是收银机打印的购物小票部分内容，在购物过程中，他发现付款金额随购物数量的变化而变化，则其中的常量是（ ） A. 商品名称 B. 数量 C. 单价 D. 金额 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了常量与变量，根据常量是固定不变的量即可得解，熟练掌握常量的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵付款金额随购物数量的变换而变化， ∴单价是常量， 故选：C． 2. 在平行四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行四边形对角相等的性质，将求转化为求，再结合邻角互补与已知角的数量关系求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 3. 我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成这四个图案中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．根据中心对称图形的概念求解．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：B． 4. 模型的能力与其训练数据量密切相关．假设在某研发阶段，模型的初始训练数据量为360万亿个标记．研发团队通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到640万亿个标记，求这两次数据扩容的平均增长率．设两次数据扩容的平均增长率为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的增长率问题，解决本题的关键是由等量关系建立等式． 根据初始数据量、平均增长率及两次扩容后的最终数据量，利用增长率的增长规律列方程即可． 【详解】解：∵初始训练数据量为360万亿，每次平均增长率为x， ∴第一次扩容后的数据量为万亿， ∴第二次扩容后的数据量为万亿， 又∵最终数据量达到640万亿， ∴可列方程． 故选：D． 5. 为加强体育管理，某校规定学生的学期体育综合成绩计算办法为：平时成绩占，期中成绩占，期末成绩占．小华同学的三项成绩依次为，则他的学期体育综合成绩是（ ） A. 90 B. 93 C. 88 D. 91 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵ 学期体育综合成绩为各项成绩乘以对应权重的和， ∴ 小华的综合成绩为： ． 6. 手机的屏幕尺寸是指其屏幕对角线的长度，通常以英寸（1英寸）为单位．某5.8英寸的手机，有可能用以下哪种尺寸的长方形口袋完全装下（ ） A. 宽，长的口袋 B. 宽，长的口袋 C. 宽，长的口袋 D. 宽，长的口袋 【答案】D 【解析】 【分析】长方形内最长线段为对角线，先将手机对角线换算为厘米单位，再用勾股定理计算各选项口袋的对角线长度，比较后判断即可． 【详解】解：手机对角线长度为， A选项，口袋对角线长，小于，不符合； B选项，口袋对角线长，小于，不符合； C选项，口袋对角线长，小于，不符合； D选项，口袋对角线长，大于，符合． 7. 已知，则（ ） A. 是方程的根 B. 是方程的根 C. 方程有两个不等根 D. 方程的两根，满足 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握根的判别式和根与系数的关系是解题关键． 根据求出的值，再根据一元二次方程的解的定义、根的判别式以及根与系数的关系求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． A、∵时，，∴是方程的根； B、∵时，，∴不是方程的根； C、∵，∴方程有两个相等的实数根； D、方程的两根，满足． 故选：A． 8. 某电信运营商推出一款手机流量套餐，套餐内包含一定免费流量，超出部分额外计费．该套餐总费用（元）与超出流量的部分数据如表： 超出流量 0 1 2 3 4 … 总费用（元） 18 21 24 27 30 … 已知总费用（元）是超出流量的一次函数，小李使用此套餐后支付的总费用为63元，则他使用的流量共超出（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用表格中两组对应值求出一次函数解析式，再代入总费用计算超出流量即可． 【详解】解：设一次函数解析式为（），将，和，代入， 可得，解得， ∴， 令，得， 解得，即他使用的流量共超出． 9. 如图，在矩形中，，在和上分别有点，连、．点关于的对称点，点关于的对称点，若刚好落在对角线上，则的长为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，，根据矩形的性质得到，，，从而．由折叠可得，，，，，，因此，，设，，在和中根据勾股定理构造方程，求出，，再在中求解即可． 【详解】解：连接，， 四边形是矩形， ，，， 在中，． 由折叠可得，，，， ，， ，， ，． 设，，则，， 在中，， 即，解得， ； 在中，， 即，解得， ． 在中，． 10. 如图，在“探索一次函数中，与图象的关系”活动中，已知点，点在第一象限内且满足，若一次函数图象经过，，则下列判断正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，求不等式的解集．根据一次函数的增减性可判断A和B，把代入，求出k与b的关系，解不等式可判断C与D． 【详解】解：∵点在第一象限内且满足， ∴点P在线段（不包括端点）上． ∵一次函数图象经过，， ∴y随x的增大而增大． A． ∵当时，， ∴当时，，故A错误； B．∵当时，， ∴当时，，故B正确； C．把代入，得 ， ∴． 若， 则， 解得，故C错误； D．把代入，得 ， ∴． 若， 则， 解得，故D错误． 故选B． 二、填空题（本题共6小题，第11～15题每小题4分，第16题每小题6分，共26分）不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上． 11. 正九边形的内角和度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】已知多边形边数，代入多边形内角和公式计算即可得到结果． 【详解】解：正九边形的内角和为． 12. 已知一次函数（k为常数，且）的图象经过第一、二、四象限，请写出一个符合条件的k的值为________ ． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一次函数图象所在象限得到的取值范围，在范围内取一个值即可． 【详解】解：一次函数（为常数，）的图象经过第一、二、四象限， ， 故符合条件的为任意负数均可，例如（答案不唯一）． 13. 明代数学文献中的“五星幻图”是中国古代唯一在算书中出现五角星的数学文献，如图所示的五角星图案绕点O至少旋转_________度才能与自身重合． 【答案】72 【解析】 【分析】根据旋转对称图形的性质解答即可； 【详解】解：这个五角星是旋转对称图形，中心O将整个周角平均分成了5个相等的部分， 根据旋转对称图形的性质，最小旋转角度周角度数等份数， 即： ， 因此绕点O至少旋转72度就能与自身重合． 14. 若把数据6，7，8，8，8，8，7，10，9分成6，7，7，8和8，8，8，9，10两组，则它们的组内离差平方和为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据组内离差平方和的定义，分别计算两组的离差平方和，再求和得到结果． 【详解】解：第一组数据为，，，， 计算第一组平均值：， 第一组离差平方和：； 第二组数据为，，，，， 计算第二组平均值：， 第二组离差平方和：； 总组内离差平方和为：． 15. 如图，矩形中，，，点在矩形内，连接，，，已知，，延长交于点，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质以及勾股定理，延长交于F，根据已知条件得到，根据矩形的性质得到，，根据余角的性质得到，进一步推出，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：延长交于点F，如图， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得． 故答案为：． 16. 已知一元二次方程有两个相等的实数根． （1）当，时，则的值为______； （2）若，，，则的值为______． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】一元二次方程有两个相等实数根，则判别式，代入已知条件变形计算即可． 【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根， ． （1）当，时，得， 代入，得， 整理得， 解得， ； （2）当，，时， 代入，得， 展开整理得， 因式分解得， ， 移项得， 由题意， ． 三、解答题（本题共9小题，共94分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸对应的位置和区域内解答． 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）利用因式分解法解方程即可． （2）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 18. 如图，一辆小汽车在一条限速为70km/h的公路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30 m的处，过了后，测得小汽车（位于处）与车速检测仪的距离为50m，这辆小汽车超速了吗? 【答案】这辆小汽车超速了. 【解析】 【分析】本题求小汽车是否超速，其实就是求BC的距离，直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边AC的长，那么BC的长就很容易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了． 【详解】在Rt△ABC中，AC=30m，AB=50m； 据勾股定理可得： BC＝＝40（m） ∴小汽车的速度为v==20（m/s）=20×3.6（km/h）=72（km/h）； ∵72（km/h）＞70（km/h）； ∴这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了． 【点睛】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一． 19. 已知直线过点和． （1）求此直线的表达式； （2）如果点在该直线上，且点的横坐标为，求该直线上所有位于点上方的点的纵坐标的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将两个点分别代入关系式可得方程组，再求出解即可； （2）先求出点P的坐标，再根据点的位置可得答案． 【小问1详解】 解：∵直线过点和， ∴， 解得， ∴一次函数关系式为； 【小问2详解】 解：∵点P在直线上，且横坐标为， ∴． ∵直线中，， ∴一次函数值y随着x的增大而增大， 设直线上位于点P上方点的纵坐标为y， ∴． 20. 如图：在平行四边形中，点在上，且． （1）尺规作图：在上找一点，使得点到，的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：四边形为菱形． 【答案】（1） 如图所示，点E即为所求； （2） 证明：∵点到，的距离相等， ∴点E在的角平分线上， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质与判定，等角对等边，角平分线的判定定理和角平分线的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键． （1）点到，的距离相等，则点E在的角平分线上，据此作的角平分线交于E，则点E即为所求； （2）由角平分线的判定定理可得点E在的角平分线上，则；由平行四边形的性质得到，则可证明，得到，再由，得到，据此可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 【教材呈现】如图是新人教版八年级下册数学教材第69页的部分内容． 在学习矩形内容中，同学们发现了“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 这一猜想：如图1，接下来让我们用演绎推理证明这一猜想． 已知：如图2，在中，是斜边上的中线． 求证：． （1）【定理证明】小明根据教材图2的提示，证明过程为：延长至点，使，连接，，结合图①帮助小明完成直角三角形的性质；“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明． （2）【定理应用】如图②，已知，点，分别为，的中点，，．求的长． 【答案】（1）证明：是斜边上的中线， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形， ， ． （2）5 【解析】 【分析】针对（1）的证明：因为是中线，延长到E使，所以可先证明四边形是平行四边形，因为是直角三角形，，所以可证平行四边形是矩形，利用矩形对角线相等的性质，推导与的数量关系． 针对（2）的求解：连接，因为，E是中点，所以可利用直角三角形斜边中线性质得到和与的关系，判断的形状，因为F是中点，结合等腰三角形三线合一的性质，可得与的位置关系，利用勾股定理计算的长度． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：如图②，连接，， ， 点为的中点， ，， ， 点为的中点， ，， 在中，由勾股定理得：， ． 22. 某校为调查学生生态环保科普知识掌握情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息： 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98． 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差 甲 70 a 乙 b 90 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图如图所示（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： （1） ， ； （2）甲组学生竞赛成绩的第一四分位数 ，第三四分位数 ，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； （3）根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 【答案】（1）90；92 （2）70；96；箱线图如图 （3）乙组竞赛成绩较好． 理由：∵乙组的平均数大于甲组平均数，乙组的方差小于甲组的方差， ∴乙组平均分更高，成绩更稳定， ∴乙组竞赛成绩较好．（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据众数，中位数的定义即可求解． （2）根据四分位数的定义求出第一四分位数和第三四分位数，再画图即可． （3）根据表格给出的数值，根据平均数，方差进行比较即可． 【小问1详解】 解：甲组数据从小到大排列为60，70，70，80，89，91，92，96，98，100 甲组10个数，排序后第五和第六位分别是89和91， ∴中位数， 众数是出现次数最多的，乙组92最多， ∴众数． 【小问2详解】 解：甲组数据从小到大排列为60，70，70，80，89，91，92，96，98，100， 方法一：10个数据的第一四分位数的位置为，故第一四分位数为第3个数是，因此； 第三四分位数的位置为，故第三四分位数为第8个数是，因此； 方法二：第一四分位数为前5个数据的中位数，故； 第三四分位数为后5个数据的中位数，故； 箱线图见答案 【小问3详解】 略 23. 综合与实践 【项目背景】研究玩偶的销售利润与售价之间的关系． 【素材呈现】 素材1：世界杯期间，某商店以每个30元的成本价新进一批玩偶． 素材2：在销售过程中发现，该玩偶的售价定为50元时，每天可卖出100个，在此基础上，售价每降低1元，该玩偶每天可多卖出10个． 素材3：商店准备采用降价销售的方式尽快清空库存，获取合理的利润． 【问题解决】 （1）若该玩偶的售价定为40元，商店每天卖出该玩偶的数量是 个，每天的利润为 元； （2）已知商店每天销售该玩偶的利润是2240元，求该玩偶的售价； （3）商店每天销售该玩偶的利润能否达到2500元？若能，求出该玩偶的售价；若不能，请说明理由． 【答案】（1）200，2000 （2）该玩偶的售价为44元 （3）商店每天销售该玩偶的利润不能达到2500元；理由： 设该玩偶的售价为x元，此时利润能达到2500元， 由题意可得：， 整理得：， ∵， ∴该一元二次方程没有实数根，∴ 商店每天销售该玩偶的利润不能达到2500元． 【解析】 【分析】（1）先计算降价后增加的销量，再计算总利润即可； （2）设出售价，根据利润关系列一元二次方程求解即可； （3）设利润能达到2500元，列方程后利用判别式判断方程是否有实根即可解答． 【小问1详解】 解： ∵当售价定为50元时，每天卖出100个，售价每降1元多卖10个． ∴当售价为40元时，降价金额为元，增加玩偶的数量为：个，商店每天卖出该玩偶的数量是个， ∴每天的利润为元． 【小问2详解】 解：设该玩偶的售价为x元， 由题意可得：， 整理得：，解得：，均符合． 所以在利润相同的情况下，售价越低销量越高，越有利于尽快清空库存，故舍去售价较高的46元. 答：该玩偶的售价为44元． 【小问3详解】 解：略． 24. 已知正方形，射线交于点，点为线段上一点（不与点、重合），且，连接． （1）如图1，若，求的度数． （2）如图2，过点作垂直交射线于点，取线段中点，连接． ①依题意补全图2； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2）①如图： ②，证明如下： 连接， 设， ， ， ， 又， ， 又， ， 又， ， ， 在中,， 即， 解得，则， ， 在和中， ， ， ，即， 又为中点， ， 取中点为，连接， ， ， ，又， ， 在和中， ， ， ， 又中点为， ； 【解析】 【分析】（1）由题可证，得到，进而可得，，再根据邻补角求即可； （2）①根据题意作图即可； ②连接，设，根据角的关系可得，进而得到，然后可证，得到，则，取中点为，连接，再证，得到，然后可得． 【小问1详解】 解：在和中， ， ， ， 又在正方形中，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 25. 在数学探究性学习中经常会用到从特殊到一般、类比化归等数学思想和方法，如下是一个具体的探究性学习案例，请完善整个探究过程． 问题呈现：过点的直线（k，c为常数且）分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A和B．探究并说明是定值． （1）特例探究：如图1，过点的直线分别交x轴和y轴于点A和B，求的值； （2）一般证明： ①时，直接写出______；，时，直接写出______； ②求出的值； （3）类比推广：如图2，已知，，点M在x轴的正半轴上，过M且不与y轴平行的直线l交直线于第一象限点N，若总有，请探究：直线l是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果否，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①，1；②1； （3）是，． 【解析】 【分析】（1），，则； （2）①点、的坐标分别为：，、，即可求解； ②由①知，，，，则； （3）求出，，即可求解． 本题考查的是一次函数综合运用，涉及一次函数的图象和性质，函数表达式的求解等，按题设的顺序逐次求解是解题的关键． 【小问1详解】 解：直线分别交轴和轴于点和，则点、的坐标分别为：、， 则，， 则； 【小问2详解】 解：①将点的坐标代入一次函数表达式得：， 则点、的坐标分别为：，、， 当时，即，则， 则，，则； 当，时，同理可得：， 故答案为：，1； ②由①知，，，， 则； 【小问3详解】 解：由点、的坐标得，直线的表达式为：，设直线的表达式为：， 联立上述两式得：， 解得：，则点，， 由点、的坐标得，，则， 由直线的表达式知，点，，则， ，即， 解得：， 则， 当时，， 即直线过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期初质量监测数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上． 1. 小明同学到超市购买矿泉水，如图是收银机打印的购物小票部分内容，在购物过程中，他发现付款金额随购物数量的变化而变化，则其中的常量是（ ） A. 商品名称 B. 数量 C. 单价 D. 金额 2. 在平行四边形中，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成这四个图案中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 模型的能力与其训练数据量密切相关．假设在某研发阶段，模型的初始训练数据量为360万亿个标记．研发团队通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到640万亿个标记，求这两次数据扩容的平均增长率．设两次数据扩容的平均增长率为x，则可列方程（ ） A. B. C. D. 5. 为加强体育管理，某校规定学生的学期体育综合成绩计算办法为：平时成绩占，期中成绩占，期末成绩占．小华同学的三项成绩依次为，则他的学期体育综合成绩是（ ） A. 90 B. 93 C. 88 D. 91 6. 手机的屏幕尺寸是指其屏幕对角线的长度，通常以英寸（1英寸）为单位．某5.8英寸的手机，有可能用以下哪种尺寸的长方形口袋完全装下（ ） A. 宽，长的口袋 B. 宽，长的口袋 C. 宽，长的口袋 D. 宽，长的口袋 7. 已知，则（ ） A. 是方程的根 B. 是方程的根 C. 方程有两个不等根 D. 方程的两根，满足 8. 某电信运营商推出一款手机流量套餐，套餐内包含一定免费流量，超出部分额外计费．该套餐总费用（元）与超出流量的部分数据如表： 超出流量 0 1 2 3 4 … 总费用（元） 18 21 24 27 30 … 已知总费用（元）是超出流量的一次函数，小李使用此套餐后支付的总费用为63元，则他使用的流量共超出（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，，在和上分别有点，连、．点关于的对称点，点关于的对称点，若刚好落在对角线上，则的长为( ) A. B. C. D. 10. 如图，在“探索一次函数中，与图象的关系”活动中，已知点，点在第一象限内且满足，若一次函数图象经过，，则下列判断正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 若，则 D. 若，则 二、填空题（本题共6小题，第11～15题每小题4分，第16题每小题6分，共26分）不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上． 11. 正九边形的内角和度数为______． 12. 已知一次函数（k为常数，且）的图象经过第一、二、四象限，请写出一个符合条件的k的值为________ ． 13. 明代数学文献中的“五星幻图”是中国古代唯一在算书中出现五角星的数学文献，如图所示的五角星图案绕点O至少旋转_________度才能与自身重合． 14. 若把数据6，7，8，8，8，8，7，10，9分成6，7，7，8和8，8，8，9，10两组，则它们的组内离差平方和为______． 15. 如图，矩形中，，，点在矩形内，连接，，，已知，，延长交于点，则______． 16. 已知一元二次方程有两个相等的实数根． （1）当，时，则的值为______； （2）若，，，则的值为______． 三、解答题（本题共9小题，共94分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸对应的位置和区域内解答． 17. 解方程： （1） （2） 18. 如图，一辆小汽车在一条限速为70km/h的公路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30 m的处，过了后，测得小汽车（位于处）与车速检测仪的距离为50m，这辆小汽车超速了吗? 19. 已知直线过点和． （1）求此直线的表达式； （2）如果点在该直线上，且点的横坐标为，求该直线上所有位于点上方的点的纵坐标的取值范围． 20. 如图：在平行四边形中，点在上，且． （1）尺规作图：在上找一点，使得点到，的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：四边形为菱形． 21. 【教材呈现】如图是新人教版八年级下册数学教材第69页的部分内容． 在学习矩形内容中，同学们发现了“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 这一猜想：如图1，接下来让我们用演绎推理证明这一猜想． 已知：如图2，在中，是斜边上的中线． 求证：． （1）【定理证明】小明根据教材图2的提示，证明过程为：延长至点，使，连接，，结合图①帮助小明完成直角三角形的性质；“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明． （2）【定理应用】如图②，已知，点，分别为，的中点，，．求的长． 22. 某校为调查学生生态环保科普知识掌握情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息： 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98． 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差 甲 70 a 乙 b 90 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图如图所示（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： （1） ， ； （2）甲组学生竞赛成绩的第一四分位数 ，第三四分位数 ，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； （3）根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 23. 综合与实践 【项目背景】研究玩偶的销售利润与售价之间的关系． 【素材呈现】 素材1：世界杯期间，某商店以每个30元的成本价新进一批玩偶． 素材2：在销售过程中发现，该玩偶的售价定为50元时，每天可卖出100个，在此基础上，售价每降低1元，该玩偶每天可多卖出10个． 素材3：商店准备采用降价销售的方式尽快清空库存，获取合理的利润． 【问题解决】 （1）若该玩偶的售价定为40元，商店每天卖出该玩偶的数量是 个，每天的利润为 元； （2）已知商店每天销售该玩偶的利润是2240元，求该玩偶的售价； （3）商店每天销售该玩偶的利润能否达到2500元？若能，求出该玩偶的售价；若不能，请说明理由． 24. 已知正方形，射线交于点，点为线段上一点（不与点、重合），且，连接． （1）如图1，若，求的度数． （2）如图2，过点作垂直交射线于点，取线段中点，连接． ①依题意补全图2； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 25. 在数学探究性学习中经常会用到从特殊到一般、类比化归等数学思想和方法，如下是一个具体的探究性学习案例，请完善整个探究过程． 问题呈现：过点的直线（k，c为常数且）分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A和B．探究并说明是定值． （1）特例探究：如图1，过点的直线分别交x轴和y轴于点A和B，求的值； （2）一般证明： ①时，直接写出______；，时，直接写出______； ②求出的值； （3）类比推广：如图2，已知，，点M在x轴的正半轴上，过M且不与y轴平行的直线l交直线于第一象限点N，若总有，请探究：直线l是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果否，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $