精品解析：江苏南京市科利华中学2026-2027学年九年级上学期开学数学限时作业

0909科利华 2026-2027学年九年级九月限时作业数学学科 时间：100分钟 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 1. 反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数  的性质，由  的正负确定图象所在的象限 【详解】解：反比例函数  中   该函数图象位于第一、三象限 观察选项， 只有A选项图象位于第一、三象限. 2. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程2x2-2x-1=0， 整理得：x2-x=， 配方得：x2-x+=，即（x-）2=． 故选：C． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 3. 函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数图象经过的象限找出k、b的正负，再结合根的判别式即可得出△＞0，由此即可得出结论． 【详解】解：观察函数图象可知：函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限， ∴k＜0，b＜0． 在方程中， △=， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及根的判别式，根据一次函数图象经过的象限找出k、b的正负是解题的关键． 4. 点，在反比例函数的图象上，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数的增减性和图象的中心对称性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A、值正负不确定，无法判断增减性，选项错误，不符合题意； B、值正负不确定，无法判断增减性，选项错误，不符合题意； C、反比例函数是中心对称图形，若，则，正确，符合题意； D、若则有，即，选项错误，不符合题意． 故选：C． 5. 已知方程的两个解为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，熟练掌握函数图象法是解题关键．设二次函数，先求出二次函数与轴的交点坐标为和，再画出大致函数图象，根据二次函数与直线的两个交点的横坐标分别为，结合函数图象即可得． 【详解】解：设二次函数， 当时，，解得或， 所以二次函数与轴的交点坐标为和， 画出这个二次函数的大致图象如下： ∵方程的两个解为， ∴二次函数与直线的两个交点的横坐标分别为， 结合函数图象可知，， 故选：A． 6. 对反比例函数的图象分别进行以下三种方案的变换：方案①先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度；方案②沿直线翻折；方案③先沿直线翻折，再向右平移1个单位长度，若要使变化后的图象经过点，则可行的方案是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】将点经各方案的逆变换后，验证对应点是否在原反比例函数图象上，即可判断方案是否可行． 【详解】解：方案①的逆变换为向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度. 将逆变换得， ，满足， 方案①可行； 方案②的逆变换为沿直线轴对称. 将对称得； ，满足，方案②可行； 方案③的逆变换为向左平移1个单位长度，再沿直线轴对称； 将先左移1个单位得，再对称得； ，不满足， 方案③不可行． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．） 7. 方程x（x+1）= x+1的解是________． 【答案】x=±1 【解析】 【详解】解：x（x＋1）＝ x＋1 x（x＋1）－（x＋1）＝0 （x＋1）（x－1）＝0 x＋1＝0或x－1＝0 所以x1＝－1，x2＝1， 故答案为±1． 【点睛】本题是个易错题，因为不知道x＋1是否为0，所以不能直接利用等式的性质2两边除以（x＋1）． 8. 若是方程的一个根，则___________． 【答案】2023 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，展开所求式子后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∵， ∴. 9. 某款汽车价格由年8月份万元/辆下降到10月份的万元/辆，设月平均降价的百分率为x，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设月平均降价的百分率为x，则9月份的价格为万元/辆，10月份的价格为万元/辆，据此列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 10. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】原方程为一元二次方程，因此二次项系数不为；方程有两个不相等的实数根，因此根的判别式大于，联立两个条件求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程，且有两个不相等的实数根， ∴二次项系数不为，即， ，即，解得， 综上，的取值范围是且． 11. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图像交于点，，结合图象，关于x的不等式的解集为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，利用函数图象求不等式的解集，解题的关键是理解不等式的意义． 关于x的不等式的意义为一次函数的图象在反比例函数的图象的下方，由此对照图象写出不等式的解集． 【详解】解：观察图象得：当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方， ∴关于x的不等式的解集为：或． 故答案为：或． 12. 已知是关于的一元二次方程的两个实数根，且满足，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据方程有两个实数根得到判别式非负，再利用根与系数的关系表示和，代入已知等式求解，最后根据判别式舍去不符合的解即可． 【详解】解：∵ ，是方程的两个实数根， ∴ 判别式， 即， 根据根与系数的关系得，， ∵，即， ∴， 解得或， 当时，，不存在两个实数根，舍去， 当时，，符合条件， 因此． 13. 已知关于的方程的两个不相等的实数根分别是，那么的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到关于、的等式，结合两个根不相等的条件排除不符合的解，即可得到结果． 【详解】解：∵方程的两个不相等的实数根分别是，， ∴， 由得， ∴或， 当时，代入得，此时原方程为，两根相等，不符合题意，舍去； 当时，代入，得，解得，此时原方程的判别式，符合有两个不相等实数根的条件， ∴． 14. 如图，已知的顶点A在反比例函数的图象上，点B，C，D在坐标轴上，连接交于点E．若，，则k的值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． 根据平行四边形的性质，结合三角形及平行四边形面积公式可得，则设，得到方程，解得，再根据反比例函数k的几何意义得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 设， ∵若，， ∴， 解得， ∵顶点A在反比例函数的图象上， ， ， 故答案为：10． 15. 若正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点，且与一次函数的图像交于点，若，则的取值范围是___________． 【答案】 或 【解析】 【分析】由正比例函数和反比例函数的中心对称性得，因此所求式子的值等于，再根据推导的范围，进而得到的取值范围． 【详解】解：∵ 正比例函数和反比例函数都关于原点对称， ∴ 交点关于原点对称，得，即； ∴ ，只需计算的取值范围； 联立和，得，整理得，因此，且，保证两个交点存在； 联立和，得，因此，； 由条件，得，两边平方得； ∵ ，，两边同乘，不等号方向不变，得： ， 整理得， 因式分解得， 解得或， 结合分两种情况讨论： ①当时，，均为正数，取倒数后不等号反向，得，两边乘得，即； ②当时，，得，两边乘得，即； 综上，的取值范围是或． 16. 设是方程的两个根，是方程的两个根，则代数式的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用根与系数的关系得到两根和与两根积，结合方程解的定义得到，满足的关系式，将所求代数式展开后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根，，是方程的两个根， ∴，，，，且，， ∴ ． 三、解答题（本大题共8小题，共68分．） 17. 解方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【小问1详解】 解：， 因式分解得， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：， 其中，，， 计算得， 由求根公式得， 即，； 【小问3详解】 解：， 由平方差公式得， 化简得， ∴或， 解得，； 【小问4详解】 解：， 展开得， 整理得， 因式分解得， ∴或， 解得，． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】（1）证明：由题意得， ， ∵， ∴， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系． （1）只需要证明即可； （2）根据根与系数的关系得到，再根据建立方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵关于的一元二次方程的两个实数根为，， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 如图，某建筑工程队在一堵墙边上用23米长的铁栏围成一个面积为84平方米的长方形仓库，已知可利用的墙长是13米，铁栅栏只围三边，且在边上要造一个1米宽的门，在边上要造一个2米宽的运输通道．求所围成长方形的两条邻边的长． 【答案】垂直于墙的一边长为米，平行于墙的一边长为米． 【解析】 【分析】设垂直于墙的一边长为米，平行于墙的一边长为米，则，再结合长方形仓库的面积列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边长为米，平行于墙的一边长为米， 边需要铁栏米，边需要铁栏米，边需要铁栏米， 铁栏总长为米， ， ， 长方形仓库面积为84平方米， ，即， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 即垂直于墙的一边长为米，平行于墙的一边长为米． 20. 请运用代数推理进行证明： （1）反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是原点． （2）对于反比例函数，当时，随的增大而减小． 【答案】（1）证明：设点是反比例函数图象上任意一点， 则，即． 点关于原点的对称点为， 将代入，得， ∴点也在反比例函数的图象上， ∴反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是原点． （2）证明：设，是范围内的任意两个自变量的值，且， 则，． ∴． ∵， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴当时，随的增大而减小． 【解析】 【分析】（1）根据中心对称图形的定义，验证函数图象上任意一点关于原点对称的点仍在该函数图象上即可； （2）采用作差法，结合的条件比较任意两个自变量对应的函数值大小，即可判断增减性． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，在平面直角坐标系 中，函数的图象与直线交于点A(3,m). （1）求k、m的值； （2）已知点P(n，n)(n>0)，过点P作平行于轴的直线，交直线y=x-2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数 的图象于点N. ①当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由； ②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围. 【答案】(1) k的值为3，m的值为1；（2）0<n≤1或n≥3. 【解析】 【详解】分析：（1）将A点代入y=x-2中即可求出m的值，然后将A的坐标代入反比例函数中即可求出k的值． （2）①当n=1时，分别求出M、N两点的坐标即可求出PM与PN的关系； ②由题意可知：P的坐标为（n，n），由于PN≥PM，从而可知PN≥2，根据图象可求出n的范围． 详解：（1）将A（3，m）代入y=x-2， ∴m=3-2=1， ∴A（3，1）， 将A（3，1）代入y=， ∴k=3×1=3， m的值为1. （2）①当n=1时，P（1，1）， 令y=1，代入y=x-2， x-2=1， ∴x=3， ∴M（3，1）， ∴PM=2， 令x=1代入y=， ∴y=3， ∴N（1，3）， ∴PN=2 ∴PM=PN， ②P（n，n）， 点P在直线y=x上， 过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x-2于点M， M（n+2，n）， ∴PM=2， ∵PN≥PM， 即PN≥2， ∴0＜n≤1或n≥3 点睛：本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出反比例函数与一次函数的解析式，本题属于基础题型． 22. 定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． （1）下列方程中，属于“邻根方程”的是___________（填序号）． ①；②；③． （2）已知方程是“邻根方程”，求k的值． （3）若方程是“邻根方程”，求证：． 【答案】（1）③ （2）或 （3）证明：设方程的两个根为，， 则， ，且， 方程是“邻根方程”， ， ， ， ， ， 而， ， 故． 【解析】 【分析】（1）根据“邻根方程”的定义，计算判断即可． （2）根据方程，得到，，根据“邻根方程”的定义，得，求解即可． （3）设方程的两个根为，， 则， ，根据题意，得方程是“邻根方程”，得到，利用完全平方，实数的非负性证明即可． 【小问1详解】 解：一元二次方程的两个根是，，此时，故方程不是“邻根方程”； 一元二次方程的两个根是，，此时，故方程不是“邻根方程”； 一元二次方程的两个根是，，此时，故方程是“邻根方程”； 【小问2详解】 解：解方程，得，， 方程是“邻根方程”， ， 或， 解得或． 【小问3详解】 略 23. 某商店销售甲、乙两种商品，甲的成本为5元，乙的成本为7元．甲现在的售价为10元，每天卖出30个；售价每提高1元，每天少卖出2个．乙现在的售价为14元，每天卖出6个；售价每降低1元，每天多卖出4个．假定甲、乙两种商品每天卖出的数量和不变（和为36袋），且售价均为整数． （1）当甲的售价提高x元，乙的售价为 元；（用含x的代数式表示） （2）当甲的售价提高多少元时，销售这两种商品当天的总利润是268元？ 【答案】（1） （2）甲零食的售价提高4元时，销售这两种零食当天的总利润是268元 【解析】 【分析】（1）先计算甲的售价提高后乙的销售数量，再计算乙的售价； （2）设甲零食的售价提高x元时，将两种商品的利润相加，可得方程，解之即可． 【小问1详解】 解：当甲的售价提高x元， 乙的售价为：； 【小问2详解】 设甲零食的售价提高x元时，销售这两种零食当天的总利润是268元， 由题意得，， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：甲零食的售价提高4元时，销售这两种零食当天的总利润是268元． 【点睛】本题考查了一元二次方程应用，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 24. 在课上，我们已经学习过一元二次方程、一元三次方程根与系数的关系． （1）已知，，为一元三次方程的三个实数根，则___________，___________，___________． （2）问题解决．已知，，为方程的三个实数根，则对于下列结论一定正确的是（ ） A． B． C． D． （3）若的三个根分别为，，，则的值是___________． （4）拓展提升．已知实数满足，且，求正数的最小值． 【答案】（1），， （2）A （3）49 （4）3 【解析】 【分析】（1）利用多项式因式分解与系数对应关系，将三次方程写为的形式，展开后与原方程同次项系数对比，即可解答； （2）由（1）得到，，即可判断A，D选项；由于，，由于，的取值不确定，无法判断符号，即可判断B，C选项； （3）先根据（1）的结论求出，，再利用完全平方公式变形求解即可； （4）由和，推导出，，将a，c看作一元二次方程的两个实根，利用判别式建立关于b的不等式，求解b的最小值． 【小问1详解】 解：∵一元三次方程的三个实数根为，，， ∴， 展开，得， 对比方程可得， ，，， ∵， ∴，，． 【小问2详解】 解：∵，，为方程的三个实数根， ∴由（1）可得，， ∴A选项正确，D选项错误． ，的取值不确定，无法判断符号，故B选项错误． ，的取值不确定，无法判断符号，故C选项错误． 【小问3详解】 解：∵的三个根分别为，，， ∴，， ∵， ∴． 【小问4详解】 解：∵，， ∴，， ∴a，c是方程的两个实数根， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正数的最小值为3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 0909科利华 2026-2027学年九年级九月限时作业数学学科 时间：100分钟 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．） 1. 反比例函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 无法确定 4. 点，在反比例函数的图象上，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知方程的两个解为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 对反比例函数的图象分别进行以下三种方案的变换：方案①先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度；方案②沿直线翻折；方案③先沿直线翻折，再向右平移1个单位长度，若要使变化后的图象经过点，则可行的方案是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．） 7. 方程x（x+1）= x+1的解是________． 8. 若是方程的一个根，则___________． 9. 某款汽车价格由年8月份万元/辆下降到10月份的万元/辆，设月平均降价的百分率为x，则可列方程为______． 10. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 11. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图像交于点，，结合图象，关于x的不等式的解集为________． 12. 已知是关于的一元二次方程的两个实数根，且满足，则___________． 13. 已知关于的方程的两个不相等的实数根分别是，那么的值是___________． 14. 如图，已知的顶点A在反比例函数的图象上，点B，C，D在坐标轴上，连接交于点E．若，，则k的值为______． 15. 若正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点，且与一次函数的图像交于点，若，则的取值范围是___________． 16. 设是方程的两个根，是方程的两个根，则代数式的值为___________． 三、解答题（本大题共8小题，共68分．） 17. 解方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，，且，求的值． 19. 如图，某建筑工程队在一堵墙边上用23米长的铁栏围成一个面积为84平方米的长方形仓库，已知可利用的墙长是13米，铁栅栏只围三边，且在边上要造一个1米宽的门，在边上要造一个2米宽的运输通道．求所围成长方形的两条邻边的长． 20. 请运用代数推理进行证明： （1）反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心是原点． （2）对于反比例函数，当时，随的增大而减小． 21. 如图，在平面直角坐标系 中，函数的图象与直线交于点A(3,m). （1）求k、m的值； （2）已知点P(n，n)(n>0)，过点P作平行于轴的直线，交直线y=x-2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数 的图象于点N. ①当n=1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由； ②若PN≥PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围. 22. 定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． （1）下列方程中，属于“邻根方程”的是___________（填序号）． ①；②；③． （2）已知方程是“邻根方程”，求k的值． （3）若方程是“邻根方程”，求证：． 23. 某商店销售甲、乙两种商品，甲的成本为5元，乙的成本为7元．甲现在的售价为10元，每天卖出30个；售价每提高1元，每天少卖出2个．乙现在的售价为14元，每天卖出6个；售价每降低1元，每天多卖出4个．假定甲、乙两种商品每天卖出的数量和不变（和为36袋），且售价均为整数． （1）当甲的售价提高x元，乙的售价为 元；（用含x的代数式表示） （2）当甲的售价提高多少元时，销售这两种商品当天的总利润是268元？ 24. 在课上，我们已经学习过一元二次方程、一元三次方程根与系数的关系． （1）已知，，为一元三次方程的三个实数根，则___________，___________，___________． （2）问题解决．已知，，为方程的三个实数根，则对于下列结论一定正确的是（ ） A． B． C． D． （3）若的三个根分别为，，，则的值是___________． （4）拓展提升．已知实数满足，且，求正数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $