精品解析：天津市南开翔宇学校2026-2027学年九年级上学期期初考试数学试卷

2026~2027学年度第一学期期初考试九年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 观察下列图标，其中既是轴对称图形又是旋转对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和旋转对称图形的定义逐项判断即得答案． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是旋转对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，也不是旋转对称图形，故本选项不符合题意； C、既是轴对称图形又是旋转对称图形，故本选项符合题意； D、既不是轴对称图形又不是旋转对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查轴对称图形及旋转对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后能完全重合；旋转对称图形的关键是寻找旋转中心，图形绕旋转中心旋转一定角度后，能够和原来的图形重合． 2. 估计的值应在（ ） A. 7和8之间 B. 8和9之间 C. 9和10之间 D. 10和11之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了估计无理数的大小，二次根式的混合运算，准确的计算是解决本题的关键． 先化简二次根式，再进行估算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的值应在9和10之间， 故选C． 3. 九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为165，182，136，112，145，171，155，93．这组数据的第一四分位数是（ ） A. B. 168 C. 124 D. 150 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查第一四分位数的计算，解题思路为先对数据从小到大排序，第一四分位数为前一半数据的中位数，计算即可得到结果． 【详解】解：将原数据从小到大排序得：， ∵总共有8个数据，第一四分位数是前4个数据的中位数，前4个数据为， ∴第一四分位数是． 4. 定义运算：．例如．则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案． 【详解】解：根据定义得： ＞ 原方程有两个不相等的实数根， 故选 【点睛】本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是解题的关键． 5. 已知点，均在反比例函数（为常数）的图象上，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将点的横坐标代入反比例函数得到对应函数值，再根据已知的函数值大小关系列不等式，即可求解的取值范围． 【详解】解：∵ 点，在反比例函数的图象上， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， 解得． 6. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 图象经过点 C. 图象的对称轴是直线 D. 最小值是 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质对A、C、D进行判断；根据二次函数图象上点的坐标特征对B进行判断即可求解． 【详解】A、a＝2，则抛物线y＝2x2−3的开口向上，所以A选项错误； B、当x＝2时，y＝2×4−3＝5，则抛物线不经过点（2，3），所以B选项错误； C、抛物线的对称轴为直线x＝0，所以C选项错误； D、当x＝0时，y的最小值是，所以D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟知y=ax2+k的性质． 7. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 与的函数表达式是 C. 当时， D. 当时，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，求反比例函数的表达式是解决问题的关键，根据题意求出函数表达式，根据函数表达式结合图象逐个分析选项即可完成求解． 【详解】设反比例函数的解析式为， 把点坐标代入得：，解得：， 即函数解析式为：，故B不正确； 当时，即，解得：；故A不正确； 当时，， 由图象知，当时，，故C不正确； 当时，，当时，， 图象表明当时，则，故D正确； 故选：D． 8. 如图，绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到，故A错误，C错误；得到∠ACD=∠BCE，故D正确；题目无法得到等于，故B错误． 【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴，故A、C错误； 又题目无法得到等于，故B错误． ∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴， ∴，即，故D正确． 9. 已知：如图（1），长方形中，E是边上一点，且，，点P从B出发，沿折线匀速运动，运动到点C停止．P的运动速度为，运动时间为，的面积为．y与t的关系式图象如图（2），则下列结论正确的有（ ） ①；②；③当时，为等腰三角形；④当时， A. ①③④ B. ①③ C. ①②③ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，动点问题的函数图象，由三角形面积公式求出，即可得到长，求出P在上运动的时间，从而求出a的值，求出P在上运动的时间是，即可求出b的值，，当时，由，得到，因此是等腰三角形，当时，求出，即可求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 当P在上时，的面积， ∴， ∴， ∴P在上运动的时间是， ∴，故①符合题意； ∵P在上运动的时间是， ∴，故②符合题意； 当时，如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故③符合题意； 当时，P运动的路程是， ∴， ∴，故④不符合题意． ∴正确的是①②③． 故选：C． 10. 如图所示，在矩形纸片中，，．点、分别是矩形的边、上的动点，将该纸片沿直线折叠，使点落在射线上，对应点记为点，点落在处，连接、、，与交于点．则下列结论成立的是（ ） ①； ②当点与点重合时，； ③的面积的取值范围是； ④当时，． A. ①③ B. ③④ C. ①②③ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形性质和折叠得到，从而得到对应边和对应角相等，进而证明四边形为菱形，得到，，，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出的面积的取值范围和． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， 由折叠可得，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形， ∴，，， ∵点、分别是矩形的边、上的动点， 且点关于直线的对应点为点， ∴的长是变化的， 即的长是变化的， 又∵， ∴与不一定相等， 故结论①不成立； 当点与点重合时，，， 在中，，，根据勾股定理得， ， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得：， ∴，， 在中，根据勾股定理得，， ∴， 故结论②成立； ∵四边形为菱形， ∴， 当点E和点A重合时，最短，此时最小， 此时 ， ∴最小值为4， 当点F和点C重合时，最大，此时最大， 此时 ， ∴最大值为8， ∴， 故结论③不成立； 当时，， ∵四边形为菱形， ∴， 在中，，根据勾股定理得，， ∵折叠， ∴，，， ∴在中，， 故结论④成立． 二．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11. 已知反比例函数（为常数，），在每个象限内的值随的增大而增大，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的增减性，可得反比例函数的比例系数小于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数（为常数，），在每个象限内的值随的增大而增大， ∴， 解得． 12. 将直线（为常数）向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第一、第二、第四象限，则的值可以是________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】先根据一次函数平移规律得到平移后直线的解析式，再根据一次函数的图象性质得到的取值范围，写出一个符合要求的值即可． 【详解】解：根据一次函数图象平移的“上加下减”规律，将直线向上平移个单位长度后，得到新直线的解析式为， ∵平移后的直线经过第一、二、四象限， ∴，， 解得， 的值可以取，符合题意（答案不唯一）． 13. 已知一组数据1，3，x，5，6的平均数是，则这组数据的方差为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平均数计算、一元一次方程求解以及方差的计算方法．解题的关键在于通过平均数的定义建立方程求出未知数 x 的值，进而利用该值计算数据组的方差，整个过程中需要准确应用公式并进行细致的代数运算．首先通过平均数的定义求出x的值，再计算方差． 【详解】解：一组数据，，，，的平均数是， ， 解得， 这组数据的平均数为：， 这组数据的方差为． 故答案为：． 14. 已知一元二次方程的两个实根为，，若，则的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为零，再利用根与系数的关系结合已知条件得到参数和的关系，最后根据方程有两个实根，判别式大于等于零求解的取值范围． 【详解】解： 方程 是一元二次方程，． 方程有两个实根 ， 判别式 ． 根据根与系数的关系得：，． ， ， 代入得：， 解得 ， 将 代入 得：， 即 ，解得 ， 综上， 的取值范围是 且 ． 15. 某一次函数的自变量取值范围为时，函数值的取值范围为，那么一次函数的表达式为____． 【答案】或 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，分和两种情况讨论，利用待定系数法求解一次函数表达式即可． 【详解】解：①当时，一次函数中，随的增大而增大， 函数图象经过点和， ，解得：， 该一次函数的表达式为； ②当时，一次函数中，随的增大而减小， 函数图象经过点和， ，解得：， 该一次函数的表达式为， 综上所述，该一次函数的表达式是或． 16. 如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点为原点，点，对角线的交点为，作以下操作：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线，交于点，交于点．则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，通过正方形的性质，证明为等腰直角三角形，得到，接着通过证明，得到，则可得求得，即求得点的坐标． 【详解】解：如图，过点作于点，则， ∵四边形是正方形，点， ∴，，，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 由作图可知：平分， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 17. 如图，在平行四边形中，，E是边上一点，且，F是射线上的动点，以为边在右侧作等边，连接，则线段长的最小值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】由“”可证，可得，则当有最小值时，有最小值，即当时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，以为边作等边三角形，连接， ，， ， ，， 和是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ∴当有最小值时，有最小值， ∴当时，有最小值， 此时，， ， ， 的最小值为． 18. 如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度是），围成中间有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽是（单位：），面积是（单位：）． （1）写出与的函数关系式_______________，的取值范围为_______________； （2）如果要围成面积为的花圃，则的长为__________米． 【答案】 ①. ②. ③. 9 【解析】 【分析】（1）根据题目数量关系列函数表达式即可； （2）将代入（1）中表达式即可求解． 【详解】解：（1）由，得， 则， ∵， ∴， ∴， ∴S与x的函数关系式为； （2）若，则， 解得：，， ∵， 所以， 即当的长为9米时，花圃的面积为162平方米． 三．解答题（本大题共4小题，每小题12分，共48分） 19. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），； （2），； （3），； （4），． 【解析】 【分析】变形后利用公式法解一元二次方程即可； 利用公式法解一元二次方程即可； 变形后利用公式法解一元二次方程即可； 利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ， ， ∴，； 【小问2详解】 解： ， ， ∴，； 【小问3详解】 解： ， ， ∴，； 【小问4详解】 解： 或 ∴，． 20. 已知反比例函数的图象与直线相交于点，． （1）求直线与反比例函数解析式； （2）求的面积； （3）根据图象，直接写出当时自变量x的取值范围； （4）若在x轴上有一点P，使得的面积是18，求P点坐标． 【答案】（1）直线的解析式为，反比例函数解析式为； （2）的面积为； （3）当时，自变量x的取值范围是或； （4）P点坐标为或． 【解析】 【分析】本题考查求一次函数的解析式，求反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的综合． （1）将点代入中，可得反比例函数的解析式，将点代入反比例函数的解析式可得，将点和分别代入，可得，，即可得一次函数的解析式； （2）设直线与x轴交于点，可得点坐标，从而可得的长度，，代入计算即可； （3）根据图象和交点坐标，即可得自变量的取值范围； （4）设，，解方程可得，从而可得P点坐标． 【小问1详解】 解：将点代入中， 得， ∴ ∴反比例函数解析式为， 将点代入中得 ∴ 将点和分别代入中， 得， ∴， ∴一次函数的解析式为， ∴直线的解析式为，反比例函数解析式为． 【小问2详解】 解：设直线与x轴交于点， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ， ∴ ． ∴的面积为； 【小问3详解】 解：由图象可知，当时，或． 【小问4详解】 解：设， ∵ ∴ ∴ ， ∵， ∴， ∴或， ∴或， ∴点坐标为或． 21. 在菱形中，，与相交于点，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边． （1）问题发现：如图，当点与点重合时，点在边上，连接，与的数量关系是 ；与的位置关系是 ； （2）拓展探究：如图，当点在菱形外部时，猜想与的数量关系并说明理由； （3）解决问题：如图，若，，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）； （2） 解：，理由如下： 四边形是菱形， ， ， ，是等边三角形， ，，， 是等边三角形， ，， ，即， 在与中， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质结合，可证得是等边三角形，再由是等边三角形，根据等边三角形的性质证明，则，，即可证明； （2）根据菱形的性质结合，可证得，是等边三角形，由等边三角形的性质证明，即可证明结论； （3）设，相交于点，根据菱形的性质结合，可得、的长，根据勾股定理依次求得、的长，证明，根据即可得到答案． 【小问1详解】 解：四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 在与中， ， ， ， ，是菱形的对角线， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设，相交于点，如图， ，是菱形的对角线， ，，， ，， ，， 、是等边三角形， ，，， ， ， ，， ， ， 由（2）可知，，， ，， ， ，即， ． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴，轴分别交于点，两点，一次函数与轴，轴分别交于点，两点，连接，，已知． （1）求直线的函数解析式； （2）点是第一象限内直线上一动点，过点作轴交直线于点，连接，．在轴上有一线段（点在点的左边），连接，．若，求点的坐标及周长的最小值； （3）在（2）的条件下，点是直线上一动点，若，请直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2），周长最小值为​ （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出，两点坐标，结合求出点坐标，再根据待定系数法求解即可； （2）设，则，表示出，再根据，列方程即可求出点坐标，将向左平移4个单位得，连接，则，证明四边形是平行四边形，得出，作关于轴的对称点，连接，则，得出当三点共线时，最小，即的周长最小，再根据两点间距离公式求出即可解答； （3）由（2）得，求出直线解析式；证明是等腰直角三角形，得出，根据，，得出，再分两种情况：①当在上方时，如图：②当在下方时，分别画图解答即可； 【小问1详解】 解：对于一次函数： 令，得，故，， 令，得，故， 设（，由图知在正半轴）， ∴，即，解得：，故， 将、代入，得​，解得， ∴直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：设（，在第一象限）， ∵轴，在上， ∴， ∴， ∴，​， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， 将向左平移4个单位得，连接，则， ∴四边形是平行四边形， ∴， 作关于轴的对称点，连接，则， ∴的周长， 当三点共线时，最小，即的周长最小， ∵， ∴周长最小值为​； 【小问3详解】 解：由（2）得， 设直线解析式为， 则，解得：， ∴直线解析式为； ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 分两种情况：①当在上方时，如图： ∵， ∴，即轴， ∵时，； ∴； ②当在下方时，如图：在轴上取一点，使得，连接交于点， 则， ∴， 设， 则，， ∴， 解得：， ∴， 设直线解析式为， 则，解得：， ∴直线解析式为， 与直线联立得， 解得：​， ∴， 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度第一学期期初考试九年级数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 观察下列图标，其中既是轴对称图形又是旋转对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 估计的值应在（ ） A. 7和8之间 B. 8和9之间 C. 9和10之间 D. 10和11之间 3. 九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为165，182，136，112，145，171，155，93．这组数据的第一四分位数是（ ） A. B. 168 C. 124 D. 150 4. 定义运算：．例如．则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 5. 已知点，均在反比例函数（为常数）的图象上，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 图象经过点 C. 图象的对称轴是直线 D. 最小值是 7. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 与的函数表达式是 C. 当时， D. 当时，则 8. 如图，绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知：如图（1），长方形中，E是边上一点，且，，点P从B出发，沿折线匀速运动，运动到点C停止．P的运动速度为，运动时间为，的面积为．y与t的关系式图象如图（2），则下列结论正确的有（ ） ①；②；③当时，为等腰三角形；④当时， A. ①③④ B. ①③ C. ①②③ D. ①④ 10. 如图所示，在矩形纸片中，，．点、分别是矩形的边、上的动点，将该纸片沿直线折叠，使点落在射线上，对应点记为点，点落在处，连接、、，与交于点．则下列结论成立的是（ ） ①； ②当点与点重合时，； ③的面积的取值范围是； ④当时，． A. ①③ B. ③④ C. ①②③ D. ②④ 二．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11. 已知反比例函数（为常数，），在每个象限内的值随的增大而增大，则的取值范围是__________． 12. 将直线（为常数）向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第一、第二、第四象限，则的值可以是________（写出一个即可）． 13. 已知一组数据1，3，x，5，6的平均数是，则这组数据的方差为______． 14. 已知一元二次方程的两个实根为，，若，则的取值范围为______． 15. 某一次函数的自变量取值范围为时，函数值的取值范围为，那么一次函数的表达式为____． 16. 如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点为原点，点，对角线的交点为，作以下操作：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线，交于点，交于点．则点的坐标为________． 17. 如图，在平行四边形中，，E是边上一点，且，F是射线上的动点，以为边在右侧作等边，连接，则线段长的最小值为_____． 18. 如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度是），围成中间有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽是（单位：），面积是（单位：）． （1）写出与的函数关系式_______________，的取值范围为_______________； （2）如果要围成面积为的花圃，则的长为__________米． 三．解答题（本大题共4小题，每小题12分，共48分） 19. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 已知反比例函数的图象与直线相交于点，． （1）求直线与反比例函数解析式； （2）求的面积； （3）根据图象，直接写出当时自变量x的取值范围； （4）若在x轴上有一点P，使得的面积是18，求P点坐标． 21. 在菱形中，，与相交于点，点是射线上一动点，以为边向右侧作等边． （1）问题发现：如图，当点与点重合时，点在边上，连接，与的数量关系是 ；与的位置关系是 ； （2）拓展探究：如图，当点在菱形外部时，猜想与的数量关系并说明理由； （3）解决问题：如图，若，，请直接写出四边形的面积． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴，轴分别交于点，两点，一次函数与轴，轴分别交于点，两点，连接，，已知． （1）求直线的函数解析式； （2）点是第一象限内直线上一动点，过点作轴交直线于点，连接，．在轴上有一线段（点在点的左边），连接，．若，求点的坐标及周长的最小值； （3）在（2）的条件下，点是直线上一动点，若，请直接写出符合条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $