3.7 扇形课件-2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学课件围绕扇形的弧长、面积及圆锥的侧面积展开，以运动会跑道起跑线差异为导入，通过复习圆的周长与面积，探究不同圆心角对应的弧长和面积比例，逐步推导公式，构建从具体问题到抽象概念的学习支架。 其亮点在于以现实情境激活数学眼光，通过类比（如扇形面积与三角形面积类比）和逻辑推理培养数学思维，以规范公式表达与实例应用强化数学语言。例题涵盖基础计算与不规则图形转化，小结清晰列公式、方法及易错点，助力学生建立知识体系，教师可高效实施分层教学。

课时1 扇形 问题1：如图，在运动会的4×100米比赛中，甲和乙分别在第1跑道和第2跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？ 问题2：怎样来计算弯道的“展直长度”？ 因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的. 问题1 ：半径为R的圆，周长是多少？ O R 问题2：下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几? O R 180° O R 90° O R 45° O R n° 探究一：与弧长相关的计算 O R 180° O R 90° O R 45° O R n° 弧长＝·2πR 弧长＝·2πR 弧长＝·2πR 弧长＝·2πR 弧长公式 l O R n° 注意：1.用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义，n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的； 3. R、l、n三个量中已知两个量，可以求出第三个. 2.当R为常数时，l是n的正比例函数；当n为常数时，l是R的正比例函数； 例1：如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝60°．已知 ⊙O 的 半径为 2．求劣弧 的长． 解：如图，连接 OB，OC，则∠BOC为 所对的圆心角． ∵ ∠BAC＝60°， ∴ ∠BOC＝2∠BAC＝2×60°＝120°． ∴ 的长 l＝＝π． C A B O 运用弧长公式需要知道哪些条件？ 圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形. 半径 半径 O B A 圆心角 弧 O B A 扇形 如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB. 探究二：与扇形面积相关的计算 问题1：半径为r的圆,面积是多少？ O r 问题2：下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几呢? O r 90° O r 180° O r 45° O r n° O r 90° O r 180° O r 45° O r n° S扇形＝·π S扇形＝·π S扇形＝·π S扇形＝·π 在半径为R的圆中，扇形的面积S扇形与圆心角度数n之间有如下关系： . S扇形 O R n° 注意：用扇形面积公式进行计算时，要注意公式中n的意义，n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的； 问题：扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？ 想一想： 扇形的面积公式与什么公式类似？ A B O O 类比学习 O C A B D 例2：如图，折扇打开后，OA、OB的夹角为120°，OA 的长为30 cm，AC的长为20 cm．求图中阴影部分的面积 S． 解：根据题意，得S＝S扇形OAB－． ∵ S扇形OAB＝ (cm2)， S扇形OCD＝ (cm2)， ∴ S阴影 ＝300π－ (cm2)． 同心圆环类扇形阴影面积＝大面积扇形面积－小面积扇形面积． 公式 适用条件 注意点 ​ R 弧长与扇形面积公式该如何选择使用？有哪些注意点？ 已知圆心角n、半径R，求弧长 已知圆心角n、半径R，求面积 已知 弧长 l 、半径R，求面积 没有角度 ①公式中的n表示圆心角(不能直接带圆周角)，不带单位； ②分清分母：弧长分母 180，角度形式扇形面积分母360． 如图，半圆的直径AB＝40，C、D是半圆的三等分点．求弦AC， AD与围成的阴影部分的面积． 分析： (1)阴影部分的边界由哪几部分组成？ (2)由 C、D是半圆的三等分点，可以得 到哪些结论？ (3)能否将阴影部分分割成为规则图形？ 解：连接OC、OD、CD． ∵ ， ∴ ∠ADC∠DAB． ∴ CD∥AB． ∴ △OCD和△ACD同底等高， 即 ． ∴ ． 如图，半圆的直径AB＝40，C、D是半圆的三等分点．求弦AC， AD与围成的阴影部分的面积． 不规则弧形阴影面积常利用平行线等积替换，转化为标准扇形计算． 扇形（1） 公式：①弧长；②；③R ． 常用解题方法：①直接套用公式：弧、扇形的相关计算； ②和差法：大小扇形相减求阴影； ③割补/等积变换：不规则弧形面积转化为扇形． 易错提醒： ①公式中n是不带单位的； ② n一定是圆心角，切勿误用圆周角． 2.某扇形的圆心角为72°，面积为5π，则此扇形的弧长为（　　） A．π B．2π C．3π D．4π 1.已知弧所对的圆周角为90°，半径是4，则弧长为 . B 3.如图，∠ACB是⊙O的圆周角，若⊙O的半径为10，∠ACB=45°，则扇形AOB的面积为（　　） A．5π B．12.5π C．20π D．25π D 4π 4.如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高0.9 m，求截面上有水部分的面积. O A B D C E 解：S＝S扇形OAB + SΔOAB 课时2 扇形 观察这些图片，它们都有什么共同点？它们属于什么图形？ 顶点 母线 底面半径 侧面 高 圆锥的形成 探究一：圆锥及相关概念 圆锥的高 母线 S A O B r 我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一点的连线SA，SB 等叫作圆锥的母线． 圆锥的母线 圆锥有无数条母线，它们都相等． 圆锥的高 从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高． h 解析：由勾股定理得： 如果用r表示圆锥底面的半径，h表示圆锥的高线长，l表示圆锥的母线长，那么r、h、l 之间数量关系是：__________ r2+h2=l2 O r r2+h2=l2 l o r 扇形 圆锥的侧面展开图是扇形 探究二：圆锥的侧面展开图 思考：圆锥的侧面展开图是什么图形？ l o 侧面 展开图 概念对比 r l r 扇形 其侧面展开图扇形的半径=母线的长l 侧面展开图扇形的弧长=底面周长C= 圆锥的侧面积计算公式 l o 侧面 展开图 l r 圆锥的全面积计算公式 (r表示圆锥底面的半径，l 表示圆锥的母线长 ) 2πr 例1：用铁皮制作的圆锥形容器盖如图所示，求这个铁皮容器盖的面积 （结果精确到1 cm2 ）． 80cm 50cm 解：∵ 圆锥形容器盖的底面周长为π×80＝80π（cm）. ∴ 容器盖的面积 S＝×80π×50≈6 283（cm2）. 答：这个铁皮容器盖的面积约为6 283 cm2 ． 1．给一种圆锥形零件的侧面涂漆，零件的尺寸要求如图所示．已知每平方厘米涂漆约0.5g，给100个这样的零件涂漆需要多少油漆？ 12 cm 12 cm B A 解：S侧＝π××12＝72π（cm2）． 100×72π ×0.5＝3600π（g）． 答：需要油漆 3600π g . 扇形（2） 公式：①S圆锥侧＝πrl； ②S 圆锥全＝ S圆锥侧+ S圆锥底＝ πrl+πr2 ． 重要等量关系：圆锥侧面扇形弧长 = 底面圆周长． 常考题型：①已知 r，l 直接算面积； ② 已知扇形求圆锥底面半径； ③直角边旋转生成圆锥，分清旋转轴对应的半径、母线． 1.圆锥的底面半径为3 cm，母线长为6 cm，则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角是_______． 2.一个扇形，半径为30 cm，圆心角为120度，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为_______ ． 180° 10 cm 3.已知圆锥的底面的半径为3 cm，高为4 cm，则它的侧面积是 ，全面积是 ． 15π cm2 24π cm2 4.如图，已知扇形OAB的半径为6 cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则： (1)围成的圆锥的侧面积为多少？ (2)该圆锥的底面半径是多少？ ∴圆锥的侧面积 . 根据题意得 ，解得r=2． (2)该圆锥的底面半径为r cm， 即圆锥的底面半径为2 cm． 解：(1)由已知得扇形的半径R=6cm. $