第3章 3.7 扇形-课时1 弧长及扇形面积-【初中必刷题】2026-2027学年九年级上册数学同步课件（苏科版·新教材）
2026-08-17
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教辅
摘要：
该初中数学课件聚焦九年级上册“圆”中弧长及扇形面积计算，通过滑轮旋转等实际问题导入，从圆心角与圆周角关系、弧长公式基础，到结合菱形、网格图形的综合应用，搭建从基础到提升的学习支架。
其亮点在于分层设计与素养融合，通过网格图形培养几何直观，分类讨论题强化推理意识，跨学科及生活应用题提升应用意识。如阴影面积分割、动态翻滚路径问题，帮助学生巩固知识，教师可高效开展教学。
内容正文：
数 学
九年级上册 SK
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第3章 圆
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3.7
扇形
课时1 弧长及扇形面积
5
刷基础
刷提升
目 录
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基础
知识点1 与弧长有关的计算
（第1题图）
1.如图，是劣弧上一点，， ，则
劣弧 的长度为( )
C
A. B. C. D.
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识图解题 弧长问题
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【解析】如上图，将补充完整，作劣弧所对的圆周角，使D在优弧
上.，D，B，C四点共圆， ， ，
， ， 劣弧的长度为.故选 .
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思路分析
作劣弧所对的圆周角并求出度数，进而得到 的度数，再根据弧长计
算公式即可求解.
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2. 跨学科综合 【2026江苏无锡调研】如图，滑轮圆心为，半径为 ，
若在力的作用下，滑轮上一点绕点顺时针旋转 ，则图中物块上升____
.（结果保留 ）
（第2题图）
【解析】由题意得物块上升的高度为，故答案为 .
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3.如图，将绕点顺时针旋转 得到，点 的对
应点恰好落在的延长线上，连接 .
（1）求证： .
【证明】依题意，得 ， ，
（2）若，，求， 两点旋转所经过的路径长之和.
【解】依题意，得，， ，，
两点旋转所经过的路径长之和为 .
是等边三角形， ，， .
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知识点2 与扇形面积有关的计算
（第4题图）
4.两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆 直径的一个端
点与半圆 的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积
是( )
A
A. B. C. D.
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【解析】如图，连接，，作 于点
， 是等边三角形，
， ，
故选A.
，则阴影部分的面积是 ，
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（第5题图）
5.【2026江苏连云港质检】如图，由边长为1的小正方形组成的
网格中，，，，，是网格线交点，如果弧与弧 所在
圆的圆心都为点 ，那么阴影部分的面积为( )
C
A. B.
C. D.
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【解析】如图，， ，
,， ,同理
,
阴影部分的面积 ，故选C.
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关键点拨
解答本题的关键是把阴影部分分割成规则图形求解.
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（第6题图）
6.如图，四边形的三个顶点，，均在 上，对角线
，交于点.若的半径是，且四边形 是菱形，则
图中阴影部分的面积是____.
【解析】 四边形是菱形， ，
，是等边三角形， , 题图
中 .故答案为 .
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（第7题图）
7.如图，点，把半圆三等分.若阴影部分的面积是 ，则
半圆的半径 的长为___.
3
【解析】连接,，，则 .
又，和 均为等边三角形，
，， ，
.设半圆的半径为, ，解得
， 半圆的半径 的长为3.故答案为3.
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刷易错
易错点 忽视过圆上点且小于直径的弦的位置需讨论致错
8.在半径为1的中，弦,的长分别为，，则 所对的弧的长为
( )
D
A. B. C.或 D.或
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【解析】当弦，在圆心的异侧时，如图（1），过作于点 ，
于点，连接，，，， ，
，,， .取中点，连接 ,
易得，是等边三角形， ，
, ， 所对的弧
的长为 .
当弦，在圆心的同侧时，如图（2），连接,作交于点 ，
交于.易知 .取中点，连接 ,易得
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，是等边三角形， ，
， ， 所对的
弧的长为 .故选D.
图（1）
图（2）
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易错警示
弦的长小于直径2,且弦， 位置不同,其夹角也不同,则需分类讨论,否则会漏解.
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提升
（第1题图）
1.［中］如图，将扇形翻折，使点与圆心 重合，展开后折
痕所在直线与交于点，连接.若 ，则图中阴影部分
的面积是( )
B
A. B. C. D.
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思路分析 弓形面积的计算方法
在圆中，由弧和它所对的弦组成的图形叫作弓形，用所学知识表示弓形的面积时，
如图所示，分三种情况讨论：
图（1）
图（2）
图（3）
①当弓形所含的弧是劣弧时，如图（1）所示， ；
②当弓形所含的弧是优弧时，如图（2）所示， ；
③当弓形所含的弧是半圆时，如图（3）所示， .
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【解析】连接，设直线与交于点，如图所示. 扇形中， ，
翻折后点与圆心重合，， ，
，， 是等边三角形，
,, 阴影部分的
面积为, 故选B.
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（第2题图）
2.［中］如图，在 的正方形网格中，小正方形的顶点称为格
点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点
外接圆的一部分，小正方形边长为1，则图中阴影部分的
面积为( )
D
A. B. C. D.
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【解析】如图，作的垂直平分线，作的垂直平分线 ，
设与相交于点，连接，，，则点是 外
接圆的圆心.由题意得， ，
，， ，
是直角三角形，且，
，故选D.
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思路分析
根据网格的特点作的垂直平分线与 的垂直平分线，设两垂直平分线相交于点
，连接，，，则点是 外接圆的圆心.先根据勾股定理的逆定理
证明是直角三角形，且 ，然后根据
，进行计算即可解答.
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3.［中］如图，四边形是边长为的正方形，曲线 是由多段
的圆心角所对的弧组成的.其中，的圆心为，半径为； 的圆心为
，半径为；…；，， 的圆心依次按点，，， 为一组进行循
环，则的长是________（结果保留 ）.
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【解析】根据题意可得，的半径; 的半径
;的半径； 的半径
；的半径； 的半径
；的半径； 的半径
；…；以此类推可知，的半径为 ,
的半径为, 的长是
.故答案为 .
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4.【2026福建厦门期末，中】如图是某高速公路在转向处设计的一段圆曲线
（即圆弧），机动车转弯时从曲线起点行驶至终点，过点， 的两条切线相交
于点，机动车在从点到点的行驶过程中转角为 .若这段圆弧的半径
， ，则图中危险区（阴影部分）的面积为_______.
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【解析】连接.由题意得，， ，
， ，
, .易得, ，
，， ,
， ，故
答案为 .
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5.【2025江苏南通质检，中】如图，在中， ，点在 上，
以为直径的与边相切于点，与边相交于点，且，连接
并延长交于点，连接 .
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（1）求证：是 的切线；
【证明】如图，连接与相切于点 ，
， ，
，， ，
，.又 ，
,是等边三角形， ，
， ，
，， ，
，为半径，是 的切线.
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（2）若的长为 ，求图中阴影部分的面积.
【解】的长为 ， ， ， ，
， ，易得 ，
， ，
.
思路分析
由的长计算出的半径，再在中求出 的长，最后利用阴影部分面
积的面积-扇形 的面积，即可得到答案.
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6.【2026江苏南通期中，中】
图（1）
图（2）
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（1）如图（1），的顶点均在上，点，分别为边， 的中点.求
证：点，，， 在同一个圆上；
图（1）
【证明】如图（1），连接，，，取的中点 ，连接
， 点，分别为边,的中点， ，
，， ，
， ，
点，，， 在同一个圆上.
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（2）如图（2），的直径，点固定，点在半圆弧上运动,点为
中点.在点从点运动到点的过程中，求点 的运动路径的长.
图（2）
【解】如图（2），连接，，，取的中点，取 的
中点，取的中点，连接,,是 的中位线，
是的中位线，，， ，
，，， 三点共线，且
， 在点从点 运动到
点的过程中，点的运动轨迹是以为直径的半圆弧， 点 的运动路径的长为
.
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7.【2026江苏苏州调研，较难】如图，在圆心为 ，半径为2的圆形纸片中，剪一
个圆心角为 的扇形.（结果保留 ）
备用图
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（1）若 ，求这个扇形的面积.
【解】如图（1），连接.由题意得 ，，则 为圆形纸片
的直径，.在中，由勾股定理得 ，
， 扇形的面积为 .
图（1）
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（2）思考：如何剪使得扇形的面积最大？
①若 ，求这个扇形的最大面积；
图（2）
【解】如图（2），按此方式剪可使剪得的扇形面积最大.连接 ，
，过点作于点.依题意得， ，
，是等边三角形.易得 ，
， ，
， 扇形的面积为 .
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②若 ，求这个扇形的最大面积.
图（3）
【解】如图（3），按此方式剪可使剪得的扇形面积最大.连接 ，
,则.依题意得， ，， 易得
， 是等边三角形，
， 扇形的面积为 .
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刷素养 走向重高
8.核心素养 应用意识 【2026辽宁鞍山质检，难】
如图，数轴的原点为，有一个直径 的半
圆形纸片，其圆心为点 ，从初始阶段Ⅰ位置开始，
在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ.其中
位置Ⅰ中的平行于数轴，且半圆与数轴相切于原点 ；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的
垂直于数轴；位置Ⅲ中的在数轴上；位置Ⅴ中的点 到数轴的距离为3，且
半圆与数轴相切于点 .解答下列问题：
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（1）位置Ⅰ中的与数轴之间的距离为___，位置Ⅱ中的半圆 与数轴的位置关
系是______；
2
相切
【解】 半圆的直径， 半圆的半径为 位置Ⅰ中半圆 与数轴相切
于原点，平行于数轴， 位置Ⅰ中的与数轴之间的距离为 位置Ⅱ中的
垂直于数轴， 位置Ⅱ中的半圆 与数轴的位置关系是相切.故答案为2，相切.
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（2）求位置Ⅲ中的圆心 在数轴上表示的数；
【解】位置Ⅰ中的长与数轴上线段的长相等. ，位置Ⅲ中
， 位置Ⅲ中的圆心在数轴上表示的数为 .
（3）半圆从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，求点 所经过路径长及该纸片所扫过的图
形的面积；
【解】由弧长公式可得，点所经过路径长为 .该纸片所扫过的图形的
面积为 .
关键点拨
掌握弧长和扇形面积的计算公式是解题关键.
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（4）求的长.（结果保留 ）
【解】如图，作垂直数轴于点，则,作于点，连接 ，取
中点,连接,易得四边形为矩形, ．
在中，， ，
为等边三角形， ,， 的长
为 ．
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