精品解析：河南省商丘市第一高级中学2026-2027学年高二上学期第一次限时练数学试题

2026-2027学年度高二年级上学期第一次限时练 数学 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 已知集合， 则（ ） A. B. C. D. 2. 已知事件与事件相互独立，若，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知、、三点不共线，点在平面外，点满足，则当点、、、四点共面时，实数（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. - B. - C. D. 5. 已知函数有唯一零点，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，，，，则平面与平面的夹角大小是（ ） A. B. C. D. 7. 定义域为的偶函数满足，有，且当时，.若函数在上恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在三棱柱中，平面是棱上的动点，直线与平面所成角的最大值是，点在底面内，且，则点的轨迹长是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知复数，，则下列说法正确的是（ ） A. 若在复平面对应的点位于第二象限，则 B. 若为纯虚数，则 C. 的最小值为2 D. 存在，使与互为共轭复数 10. 若实数，，且，则（ ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为8 C. 的最小值为6 D. 的最大值为 11. 如图，正方体的棱长为1，下列结论正确的是（ ） A. 若P在棱AB上运动，则直线与直线所成的夹角一定为 B. 若P在棱AB上运动，则三棱锥的体积为 C. 若P在底面ABCD内（包含边界）运动，且满足，则动点P的轨迹的长度为 D. 若P在内（包含边界）运动，则直线与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 现有一组数据4，6，3，3，2，4，6，7，4，1，则这组数据的第百分位数为__________． 13. 已知是关于的实系数方程的一个根，则______. 14. 已知向量，若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围______. 四、解答题（本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中． （1）若，且，求的坐标； （2）若，且，求与的夹角的余弦值． 16. 在中，角的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若边上的中线，求三角形面积的最大值． 17. 甲、乙两位队员进行棒球对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，则对抗赛结束．不论谁发球，每个球必有输赢．已知甲发球时甲赢的概率为，乙发球时乙赢的概率为，每次发球的结果互不影响，已知某局甲先发球． （1）求该局至多打4个球且甲赢的概率； （2）求该局恰好打6个球结束的概率． 18. 某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，高二年级学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计.将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积.请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）若根据这次成绩，年级准备淘汰60%的同学，仅留40%的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？ （2）从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率． （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的96和84两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 19. 已知平面四边形，，，，，现将沿边折起，使得平面平面，点为线段的中点． （1）求证：平面； （2）若为的中点，求与平面所成角的余弦值． （3）在（2）的条件下，求平面与平面所成二面角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度高二年级上学期第一次限时练 数学 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 已知集合， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据集合的表达式求出符合集合范围的元素，再计算两个集合的交集即可. 【详解】首先明确自然数集包含，由集合的定义，设，其中，变形得，， 已知集合，将非负整数依次代入计算： 当时，，属于集合； 当时，，属于集合； 当时，，属于集合； 当时，，超出集合的元素范围，不满足要求， 因此，故B正确. 2. 已知事件与事件相互独立，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用概率的基本性质及已知得，结合及对立事件的概率求法求概率. 【详解】由题设， 又，则，整理得， 由，且，可得， 所以. 3. 已知、、三点不共线，点在平面外，点满足，则当点、、、四点共面时，实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用空间向量的基本定理可求出的值. 【详解】因为、、三点不共线，点在平面外，点满足， 设， 由题意可知、、不共面，所以，故. 故选：A. 4. 已知，则（ ） A. - B. - C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将已知两式平方后相加，结合同角的三角函数关系，以及两角差的余弦公式求得答案. 【详解】由，， 两边平方后相加得， 即,得， 所以, 故选:C. 5. 已知函数有唯一零点，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】令，可得函数为偶函数，结合已知可得，可求得的值. 【详解】因为，所以， 令，则， 又因为， 所以函数为偶函数，又函数有唯一零点， 则有唯一零点，所以，解得. 故选：D. 6. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，，，，则平面与平面的夹角大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据异面直线上两点间的距离公式求异面直线所成的角，再根据二面角的概念求解. 【详解】设异面直线与所成的角为， 则根据异面直线上两点的距离公式可得：， 即，所以. 因为，且，都垂直于棱，所以二面角的平面角等于， 所以面与平面的夹角为. 故选：C 7. 定义域为的偶函数满足，有，且当时，.若函数在上恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意采用赋值法可推得函数的周期为2，继而推出其对称轴，当时，，令，则的图像和的图像在上恰有三个交点，画出图像，数形结合，根据，且，求得实数的取值范围. 【详解】∵，且是定义域为的偶函数， ∴令，可得， 又，可得，则有， ∴是周期为2的偶函数， 又，则函数的图象关于直线对称； 当时，，函数的图像为开口向下、顶点为的抛物线的一部分. 若函数在上恰有三个零点， 令，则的图像和的图像在上恰有三个交点. 作出函数的图像，如图所示， ∵，∴，可得, 要使函数的图像和的图像在上恰有三个交点， 则有 ，即，解得， 即实数a的取值范围是， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：解答本题需要将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，因此关键在于判断出函数的奇偶性以及对称轴，结合题设作出其图象，数形结合，列出不等式组解决问题. 8. 在三棱柱中，平面是棱上的动点，直线与平面所成角的最大值是，点在底面内，且，则点的轨迹长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，则为直线与平面所成角，从而得到，所以当取最小值时取得最大值，求出的最小值，即可求出，连接，由勾股定理求出，即可得到点在以为圆心，为半径的圆（圆弧）上，且圆心角为，即可求出轨迹长. 【详解】连接，因为平面，所以为直线与平面所成角， 所以，又直线与平面所成角的最大值是， 所以，当且仅当取最小值时取得最大值， 因为，所以当时取最小值，此时， 所以， 又点在底面内，且，连接， 因为平面，平面，所以， 所以， 所以点在以为圆心，为半径的圆（圆弧）上，且圆心角为， 所以点的轨迹长为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键是由线面角求出的长度，再由勾股定理求出，即可确定的轨迹. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知复数，，则下列说法正确的是（ ） A. 若在复平面对应的点位于第二象限，则 B. 若为纯虚数，则 C. 的最小值为2 D. 存在，使与互为共轭复数 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，由复数几何意义可判断选项正误；对于B，由纯虚数概念可判断选项正误；对于C，由复数模计算公式可得答案；对于D，由共轭复数概念结合题意可判断选项正误. 【详解】对于A，，若在复平面对应的点位于第二象限，则解得，选项A正确； 对于B，若为纯虚数，则解得，选项B错误； 对于C，，当时取等号，选项C正确； 对于D，若与互为共轭复数，则无解，选项D错误． 故选：AC． 10. 若实数，，且，则（ ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为8 C. 的最小值为6 D. 的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】A，B，C通过均值不等式求解，D通过三角换元求解. 【详解】选项A，因为，所以，解得，当且仅当时等号成立，错误. 选项B，，所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为8，正确. 选项C，因为，所以， ，易知函数在上单调递减， 所以，无最小值，错误. 选项D，令，，由，，可知，， 得，，由题意得，设，，， ，，此时，所以D正确. 11. 如图，正方体的棱长为1，下列结论正确的是（ ） A. 若P在棱AB上运动，则直线与直线所成的夹角一定为 B. 若P在棱AB上运动，则三棱锥的体积为 C. 若P在底面ABCD内（包含边界）运动，且满足，则动点P的轨迹的长度为 D. 若P在内（包含边界）运动，则直线与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】证明平面，再根据线面垂直的性质即可判断A；根据即可判断B；易得动点的轨迹的长度为以D为圆心，1为半径的圆的周长的四分之一，即可判断C；平面，可得即为直线与平面ABC所成角，再进行分析即可判断D. 【详解】对于A，连接，则平面， 又平面，， 又，平面，平面， 平面， 又平面，， 所以直线与直线所成的夹角一定为，故A正确； 对于B，连接PC，，， 则三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 平面，∴点P到平面的距离，为定值1， 即三棱锥的高为1，底面三角形的面积为，，故B正确； 对于C，因为P满足， 则动点的轨迹的长度为以D为圆心，1为半径的圆的周长的四分之一， 所以P点的轨迹的长度为，故C错误； 对于D，在正方体中，平面， 对于平面，为垂线，为斜线，为射影， 所以即为直线与平面ABC所成角， 设，则， 因为P是内（包括边界）的动点， 所以当P与O重合时，最小，此时， 当P与B重合时，最大，此时， 所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 现有一组数据4，6，3，3，2，4，6，7，4，1，则这组数据的第百分位数为__________． 【答案】5 【解析】 【详解】对数据进行升序排列为：，样本容量为， 第百分位数的位置为， 故第百分位数为：． 13. 已知是关于的实系数方程的一个根，则______. 【答案】 【解析】 【分析】将代入方程，根据复数相等，求得的值，进而求得. 【详解】因为是关于的方程的一个根， 所以， 化简得， 又为实数， 所以. 所以. 14. 已知向量，若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件及向量的线性运算的坐标表示，再利用向量的数量积的坐标运算及向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】因为， 所以，， 因为向量与的夹角为锐角， 所以，解得， 而当时，，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题（本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中． （1）若，且，求的坐标； （2）若，且，求与的夹角的余弦值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意设，结合模长公式即可列式求解参数，进而得解； （2）对已知等式两边平方并化简可得，利用转换法可求的模，根据数量积的运算律可求得与的数量积，结合向量夹角公式即可得解. 【小问1详解】 因为，且，所以可设，， 所以，解得， 所以或． 【小问2详解】 因为，所以，所以， 又，所以，解得， 又，所以， 又， 设与的夹角为，所以， 即与的夹角的余弦值为． 16. 在中，角的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若边上的中线，求三角形面积的最大值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得到，化简得到，结合三角函数的基本关系式，求得的值，即可求解； （2）由，得到，结合向量的运算和基本不等式，求得，进而求得面积的最大值. 【详解】（1）由题意，中，满足， 根据正弦定理，可得， 因为，可得，所以， 又由，解得，， 又因为，所以． （2）因为若边上的中线，可得，即， 即 所以，当且仅当时成立． 故面积的最大值为. 【点睛】方法点拨：根据边上的中线，可得，求得， 得到，结合基本不等式求解是解答的关键． 17. 甲、乙两位队员进行棒球对抗赛，每局依次轮流发球，连续赢2个球者获胜，则对抗赛结束．不论谁发球，每个球必有输赢．已知甲发球时甲赢的概率为，乙发球时乙赢的概率为，每次发球的结果互不影响，已知某局甲先发球． （1）求该局至多打4个球且甲赢的概率； （2）求该局恰好打6个球结束的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）（2）分析对局情况，再利用独立事件的概率乘法公式求解即可. 【小问1详解】 该局至多打4个球且甲赢的情况有3种， 甲赢前2个球；甲输第1个球再连赢球；甲赢第1个球输第2个球再连赢2个球； 故该局至多打4个球且甲赢的概率为 . 【小问2详解】 若甲胜，则甲在6个球的胜负情形为胜负胜负胜胜， 则甲胜的概率， 若乙胜，则甲在6个球的胜负情形为负胜负胜负负， 则乙胜的概率 所以该局恰好打6个球结束的概率. 18. 某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，高二年级学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计.将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积.请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）若根据这次成绩，年级准备淘汰60%的同学，仅留40%的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？ （2）从样本数据在，两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率． （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的96和84两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 【答案】（1）73分合理 （2） （3）22.25 【解析】 【分析】（1）由题意知可得，计算可求得；根据小长方形的面积和为1求得，利用频率分布直方图计算第60百分位数即可； （2）利用分层抽样可得两层应分别抽取4人和2人，分别记为，，，和，， 列出所有基本事件，根据古典概型计算即可得出结果； （3）根据平均数和方差的计算公式求解即可. 【小问1详解】 由第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积可知，， 解得， 又，解得， 所以，， 成绩落在内的频率为：， 落在内的频率为：，设第60百分位数为， 则，解得，所以晋级分数线划为73分合理； 【小问2详解】 由图可知，按分层抽样法，两层应分别抽取4人和2人，分别记为，，，和，， 则所有的抽样有：，共15个样本点， “抽到的两位同学来自不同小组”， 则共8个样本点， 所以. 【小问3详解】 因为，所以， 所以， 所以， 剔除其中的96和84两个分数，设剩余8个数为，，，…，， 平均数与标准差分别为，， 则剩余8个分数的平均数：， 方差： 19. 已知平面四边形，，，，，现将沿边折起，使得平面平面，点为线段的中点． （1）求证：平面； （2）若为的中点，求与平面所成角的余弦值． （3）在（2）的条件下，求平面与平面所成二面角的余弦值． 【答案】（1） 因为，，所以为等边三角形， 因为为的中点，所以． 因为平面平面，平面平面，,平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，平面，所以平面． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，即可得，又由等边三角形可得，即可求证， （2）根据平面可得为与平面所成角，即可利用三角形的边角关系求解， （3）根据二面角的几何法可得为二面角的平面角，利用三角形的边角关系即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作，垂足为．如图所示， 由（1）知，平面，因为平面，所以， ，，平面，所以平面， 所以为与平面所成角． 在中，因为，，所以 因为为的中点，所以， 在中，， 在中，， 在中，， 所以与平面所成角的余弦值为． 【小问3详解】 取的中点，连接，，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 取的中点为，连接，因为为线段的中点， 所以，， 因为平面，所以平面，平面． 所以，过点作，垂足为，连接， ，，平面，所以平面． 平面，所以， 所以为二面角的平面角． 在中，， 由（1）知，为等边三角形，为线段的中点， 所以， 由（1）知，平面，平面．所以， 在中，， 由（2）知，，即，解得． 因为平面，平面，所以， 在中，， 所以， 即二面角的平面角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $