第2章一元二次函数、方程和不等式 单元卷 -2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 2026-2027学年数学人教A版2019必修第一册第2章达标卷，覆盖一元二次函数、方程和不等式核心知识，通过基础巩固与创新应用结合，适配单元复习，培养运算能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|不等式性质（第7题）、解集（第2题）、基本不等式求最值（第3题）|基础概念辨析，梯度合理| |多选题|3|基本不等式应用（第10题）、二次不等式与方程关系（第11题）|多维度考查知识综合运用| |填空题|3|绝对值不等式（第12题）、函数图像纠错（第14题）|细节辨析与创新思维结合| |解答题|5|证明（第15题）、利润问题（第18题）、类比推理（第19题）|实际情境应用与逻辑推理，体现数学建模与创新意识|

第2章一元二次函数、方程和不等式达标卷-2026-2027学年数学人教A版2019必修第一册 一、单选题 1．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 4．已知 ，且 ，则的最小值为（    ） A．4 B． C．5 D． 5．对任意正实数x、y，记（比如），则m的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 7．以下不等式正确的是（    ） A．如果，，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 8．现有一支队伍，设其全长为，以速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令需赶赴排头，到达后立即返回，往返速度均为，如果传令兵回到排尾时，全队正好前进了，则的最小值为（     ） A． B． C． D．4 二、多选题 9．若，，则（   ） A． B． C． D． 10．若正实数，满足，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为1 D．的最小值为 11．已知，，关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为 三、填空题 12．关于的不等式的解集为__________． 13．已知实数满足，则的最小值为______. 14．小明为了描点作出函数的图像，取的个值：，且，并分别算出对应的值，列出下表： 51 107 185 285 407 549 717 但由于粗心算错了其中一个值，则算错的值其正确的值是_____________． 四、解答题 15．（1）证明：，时，. （2）已知，，求，，的范围. 16．已知代数式和． (1)若，求关于的方程的解集； (2)若，用反证法证明：中至少有一个数不小于； (3)若，不等式对任意实数恒成立，试确定实数满足的条件． 17．已知a为实数，函数． (1)若对任意，恒成立，求a的取值范围； (2)若对任意，总存在，使得成立，求a的取值范围． 18．某医疗器械公司为了进一步加强市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为100万元，最大产能为80台.每生产台该产品，需另投入成本万元，当年产量为5台时，需另投入成本225万元.由市场调研知，每台该产品的售价为100万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)求出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数解析式（利润销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 19． 问题：已知均为正实数，且，求证：． 证明：（当且仅当时，等号成立．） 学习上述解法并解决下列问题： (1)已知均为正实数，且，求的最小值； (2)已知均为正实数，且，求证：； (3)求的最小值，并求出使得取得最小值时的值． 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《第2章一元二次函数、方程和不等式达标卷-2026-2027学年数学人教A版2019必修第一册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C B B C C C ABD ACD 题号 11 答案 ACD 1．C 【分析】应用作差法计算判断各个选项. 【详解】对于A，由题意，即，故A错误； 对于B，由题意，即，故B错误； 对于C，由题意，即，故C正确； 对于D，由题意，即，故D错误. 2．C 【分析】将分式不等式移项通分转化为乘积不等式，结合分母不为零的条件求解解集. 【详解】对移项可得：， 因此不等式等价于，即， 可得；， 又因为分母即， 最终解集为. 3．C 【分析】根据基本不等式的性质计算即可. 【详解】对等式左边提取公因式得：. 等式两边同时加2，整理得：，即. 由，且乘积为4>0，可得，满足基本不等式的正数要求. 将目标式变形为：， 根据基本不等式的性质可得， 所以，当且仅当，即时等号成立， 此时的最小值为7. 4．B 【详解】因为，所以， . 当且仅当，即时等号成立. 故的最小值为. 5．B 【分析】根据题干所给的定义利用基本不等式探究两个式子的大小关系，根据基本不等式等号成立的条件判断最大值即可． 【详解】因为x、y为正实数，则，当且仅当时，等号成立； 则； 由可知，，且， 则，可解得； 当且仅当且；得到，解得，； 故当，时，取最大值． 6．C 【详解】不等式化为：，解得，即，而， 所以. 7．C 【分析】举反例排除选项A，B，D，结合不等式性质判断C. 【详解】对于选项A，取，，，， 满足，，但，A错误； 对于选项B，取，，，， 满足，但，B错误； 对于选项C，因为，所以，C正确； 对于选项D，取，， 满足，但，D错误； 8．C 【分析】先通过相对运动分别求传令兵往返时间，得到总时间表达式，再结合队伍前进距离建立时间关系，解出，最后代入目标式，用基本不等式求最小值． 【详解】已知传令兵的行进速度为， 则传令兵从排尾到排头所需时间为，从排头到排尾所需时间为， 则往返共用时间，即①， 由传令兵回到排尾时，全队正好前进了，得②， 由①②得，解得，（舍去）， 所以，当且仅当时等号成立． 9．ABD 【详解】因为，由同正可乘方可知，所以选项A正确； 因为，，由不等式的可加性可知，所以选项B正确； 因为，，由不等式的可乘性（乘以负数）可知，所以选项C错误； 因为，由不等式的可乘性（乘以正数）可知， 又因为，由不等式的可乘性（乘以负数）可知，所以选项D正确. 10．ACD 【分析】利用基本不等式可判断A、B、D，利用二次函数的性质可判断C． 【详解】对于A，由于，当时等号成立， 因此的最大值为，故A正确； 对于B，由于， 当，时等号成立，因此的最小值为9，故B错误； 对于C，由于， 当时等号成立，因此的最小值为1，故C正确； 对于D，由于， 当时等号成立，因此的最小值为，故D正确． 11．ACD 【分析】选项A，的解集为，利用根与系数的关系，通过计算得到；选项B，由利用基本不等式得到；选项C，由解得，代入，整理后利用1的妙用求解；选项D，将，变形为，利用1的妙用求解即可. 【详解】选项A，的解集为， ，，， 故选项A正确； 选项B，，，当且仅当，即时取等号， ，故选项B 错误； 选项C，，， ，当且仅当，即时，取等号， 的最小值为4，故选项C正确； 选项D，，， ， 当且仅当，即当时取等号， 解方程组，解得， 的最小值为，故选项D正确. 12． 【分析】将绝对值不等式通过两边同时平方，转化成一元二次不等式进行求解. 【详解】因为， 所以， 整理得，即， 所以， 所以不等式的解集为. 13．36 【详解】已知实数满足，即，所以， 当且仅当时取等，解得，所以的最小值为36. 14． 【分析】根据条件可得为常数，其中，再结合表中数据，即可求解. 【详解】令， 则 ，其中， 所以为常数，其中 由图表知， 则， ， 由此可知错误，由，得到. 15．（1）， 因为，，所以， 所以，所以 （2），. 【分析】（1）利用作差法结合已知条件即可证明不等式； （2）根据不等式的性质结合已知条件即可求解. 【详解】（1）略 （2）因为，， 所以，所以 又，所以， 因为，所以， 根据同向同正可乘性有：，所以. 16．(1) (2) 若，假设和两者都小于，即，， 解得且，区间与无交集， 假设错误，故和至少有一个不小于． (3) 【分析】（1）确定绝对值的关键点，分段讨论求解； （2）根据含绝对值不等式的性质，用反证法证明； （3）先含绝对值不等式的性质进行分析，结合不等式恒成立的条件，分情况讨论求实数满足的条件． 【详解】（1）当时，方程为， 当时，方程化为，解得； 当时，方程化为，即，恒成立，此时方程的解为； 当时，方程化为，解得，时不成立，无解． 方程的解集为． （2）略 （3），不等式对任意实数恒成立， 当时，，即，， 时，恒成立； 当时，，即，当，即， 时恒成立， 只需讨论当时，恒成立时，实数需满足的条件． 当时，，即， 若，要使在时恒成立，，且无边界，不满足，舍去； 若，要使在时恒成立，则，； 若，要使在时恒成立，则，即 ， 当时，，即，，得， 要使在上恒成立，且无边界，不满足，舍去； 或，即． 17．(1) (2) 【分析】（1）分和两种情况，再结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）根据一次函数和二次函数的性质，分别求出两个函数在区间上的最值，进而结合条件即可求出a的取值范围． 【详解】（1）当时，，成立， 当时，有，解得． 故a的取值范围为． （2）当时，不等式为，成立； 当时，函数的对称轴为， 当时，函数在上单调递增，在上单调递增， 由题有，解得，则； 当时，函数在上单调递减，在上单调递减， 由题有，解得，则， 综上所述，实数a的取值范围为． 18．(1) (2)当年产量为40台时，该公司所获年利润最大，最大年利润是920万元 【分析】（1）根据题干函数，由利润的定义，分段给出利润函数的表达式； （2）根据（1）的利润函数，结合二次函数和基本不等式分别求出两段的最大值，进行比较，得出最大利润. 【详解】（1）由题意，当时，，所以. 当时， 当时， . 所以年利润关于年产量的函数关系式为 （2）由（1）得， 当时，， 当时，； 当时， ， 当且仅当，即时等号成立， . 因为，故当时，年利润最大，最大年利润是920万元. 综上，当年产量为40台时，该公司所获年利润最大，最大年利润是920万元. 19．(1)6 (2) 当且仅当时，等号成立. (3) 【分析】（1）考查1的代换，将转换，再与相乘，用基本不等式. （2）考查1的代换，与相乘，用基本不等式. （3）考查第二问的应用，将转化为，再用第二问的结论. 【详解】（1）转换，， 当且仅当时，等号成立． （2）略 （3）转化为，由（2）知，，当且仅当，即. 所以的最小值为. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $