第二章 一元二次函数，方程和不等式单元卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本卷为高一数学必修一第二章“一元二次函数、方程和不等式”单元复习卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，覆盖核心知识，结合新能源汽车运营等现实情境，培养数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|不等式性质、解集、充分必要条件、基本不等式|基础概念辨析，考查数学抽象能力| |多选题|3/18|不等式正误判断、条件最值|多角度思维，培养推理意识| |填空题|3/15|条件最值、代数式最值|简洁运算，提升符号意识| |解答题|5/77|一元二次方程根的分布、实际应用、n阶均值不等式|综合应用现实情境与拓展知识，发展模型观念与创新意识|

学科网知识店铺：苍穹精品工作室 2026-2027学年高一单元测试—一元二次函数，方程和不等式 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：人教版A版必修一第二章—一元二次函数，方程和不等式 一、选择题（共40分） 1．（本题5分）若，则下列不等式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 3．（本题5分）已知R，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（本题5分）已知，则的最小值为（     ） A．3 B． C．2 D． 5．（本题5分）不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 7．（本题5分）已知，为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 10．（本题6分）已知正实数a，b满足，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 11．（本题6分）已知，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为2 D．最小值为 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知，且，则的最大值是________． 13．（本题5分）已知，满足，则的最小值是______________． 14．（本题5分）已知实数满足，则的最小值为________． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设，是原方程的两个实数根．若k为正整数，求的值． 16．（本题15分）某人购买了一辆新能源汽车从事滴滴客运业务，根据市场分析，该汽车的运营利润（万元）与运营年数的关系为 (1)该新能源汽车运营到哪年时，运营利润超过万元？ (2)该新能源汽车运营到哪年时，年平均利润最大？ 17．（本题15分）已知． (1)求的最大值； (2)求的最小值． 18．（本题17分）问题：正数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足求的最小值； (2)若正实数满足，且，试比较和的大小，并说明理由； (3)利用（2）的结论，求代数式的最大值，并求出使得最大的的值． 19．（本题17分）教材中的基本不等式可以推广到n阶：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.即：若，，…，，则有，，，当且仅当时取等.利用此结论解决下列问题： (1)若，，求的最小值； (2)若，求的最大值； (3)对任意，判断与的大小关系并加以严格证明. 学科网（北京）股份有限公司 $学科网知识店铺：苍穹精品工作室 2026-2027学年高一单元测试—一元二次函数，方程和不等式 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：人教版A版必修一第二章—一元二次函数，方程和不等式 一、选择题（共40分） 1．（本题5分）若，则下列不等式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质求解即可. 【详解】选项A：不等式两边同时加，不等号方向不变，可得，该不等式一定成立，A不符合要求； 选项B：不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，可得，该不等式一定成立，B不符合要求； 选项C：不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，可得，因此一定不成立，C符合要求； 选项D：对，不等式两边同时减，可得，与已知条件一致，该不等式一定成立，D不符合要求． 2．（本题5分）不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式不等式求解方法进行求解即可． 【详解】由不等式，即， 则，解得，即， 所以不等式的解集为． 3．（本题5分）已知R，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，，故成立. 若，取，，满足，但，故不成立. 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 4．（本题5分）已知，则的最小值为（     ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由题意得，，等号成立时， 故的最小值为 5．（本题5分）不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接求解不等式即可. 【详解】不等式的解集为，故B正确. 6．（本题5分）已知，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．6 【答案】D 【分析】对原式进行配凑得到符合基本不等式的正项结构，利用基本不等式求解最小值，同时验证等号成立的条件. 【详解】 已知，因此，将原式变形为： ， 根据基本不等式：对任意正实数，有，当且仅当时等号成立； 令，，二者均为正实数，代入得： 因此， 当且仅当时等号成立，解得（不满足，舍去）， 符合取值要求， 故的最小值为6. 7．（本题5分）已知，为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将原式的两个分母整体设为新变量，通过解方程组用新变量表示，代入原式化简后结合基本不等式即可求解最值. 【详解】∵ 为正实数，令，，，， 联立得，解得，. ∵ 为正实数， ∴ ，即，满足基本不等式使用条件. 所以. 则，当且仅当，即时取等号. 此时，，均为正实数，等号可取. ∴ 原式，即最大值为. 8．（本题5分）若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】， ， 当且仅当，即时取等号， 所以. 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AB 【详解】对于A，若，当时，则，A错误； 对于B，若，则，B错误； 对于C，若，则，C正确， 对于D，， 因为，所以，所以，D正确. 10．（本题6分）已知正实数a，b满足，则（     ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】对于A：利用基本不等式求最值即可；对于B：消元整理可得，进而分析最值；对于C：平方整理可得，进而分析最值；对于D：整理可得，利用“”的妙用结合基本不等式运算求解. 【详解】对于A，因为，当且仅当时等号成立， 的最大值为，A正确； 对于B，将代入得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，B错误； 对于C，因为，故， 所以的最大值为，C错误； 对于D，因为，即， 则， 当且仅当，时取等号， 所以的最小值为，D正确. 11．（本题6分）已知，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为2 D．最小值为 【答案】ACD 【分析】将题设等式化成，可判断A项；将代入，利用基本不等式可判断B项；再将其化成，可利用基本不等式判断C项；将代入，利用换元后，利用基本不等式判断D项. 【详解】对于A，由去分母，整理得，因，， 则，且，因，则有，故A正确； 对于B，由A得，则， 因，则，当且仅当， 即时取等号，此时的最小值为，故B错误； 对于C，由去分母，得，即得， 因，，则，当且仅当时等号成立， 由解得，即当时，取得最小值为2，故C正确； 对于D，由A得，代入，得， 设，则， 当且仅当，即，也即时，等号成立，此时取得最小值，故D正确. 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）已知，且，则的最大值是________． 【答案】5 【详解】当取最小值，取最大值3的时候，的最大值为5． 13．（本题5分）已知，满足，则的最小值是______________． 【答案】 【详解】因为， 则， 则的最小值是，当且仅当时取等号． 14．（本题5分）已知实数满足，则的最小值为________． 【答案】4 【分析】本题可以利用函数的对称性分析，y，三者符号的正负情况，然后再利用轮换对称式设其中两个数相等，将三个变量转化成一个变量，借助均值不等式求解即可。 【详解】因为,,只有七种情况；三正，三负，一正两负，两正一负，仅有一零，恰有两个零，三个都为零。若三正或者三负，则一定是正值：若两个零或者三个零显然不成立：所以只有一正两负，两正一负，恰有一零三种情况。下面分情况计算： 当一正两负时，设,即,代入可得,变形可得,观察可知，地位对称，又因为中的位置对称，因此根据多元函数求最值时，对称变量相等，因而可设,代入中可得,解.同样，因为 由基本不等式可知,当,解得,此时，即取等号。 当两正一负时，设，即，代入可得，变形可得,观察可知， 地位对称,解法同上述一正两负的情况. 当一零时，假设则有,. 综上可得的最小值为. 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设，是原方程的两个实数根．若k为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，可得，进一步求解即可； （2）根据，结合k为正整数，再进一步求解即可． 【详解】（1）∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ ，解得， ∴的取值范围为； （2）∵，是原方程的两个实数根，，且k为正整数， ∴，∴方程为，∴． 16．（本题15分）某人购买了一辆新能源汽车从事滴滴客运业务，根据市场分析，该汽车的运营利润（万元）与运营年数的关系为 (1)该新能源汽车运营到哪年时，运营利润超过万元？ (2)该新能源汽车运营到哪年时，年平均利润最大？ 【答案】(1)第年 (2)第年 【分析】（1）解不等式，结合，得出的值，可得结论； （2）利用基本不等式求出的最大值，利用等号成立的条件可得出的值，即可得出结论. 【详解】（1）令，整理可得，解得， 因为，故，故该新能源汽车运营到第年时，运营利润超过万元. （2）该新能源汽车的年平均利润为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故该新能源汽车运营到第年时，年平均利润最大. 17．（本题15分）已知． (1)求的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1)9. (2). 【分析】（1）根据基本不等式求积的最大值即可； （2）根据基本不等式中“1”的代换计算即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为9. （2）因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 18．（本题17分）问题：正数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数满足求的最小值； (2)若正实数满足，且，试比较和的大小，并说明理由； (3)利用（2）的结论，求代数式的最大值，并求出使得最大的的值． 【答案】(1) (2)，理由如下： ， 当且仅当，即时，等号成立，所以. (3)的最大值为，此时． 【分析】（1）已知正实数满足核心思路是等式两边同除以构造“和为定值”的齐次式，再采用乘1法，将乘以该定值，分式展开，利用基本不等式求最小值，关键是构造可使用均值不等式的乘积结构. （2）已知，采用乘1法，将与条件式相乘展开，拆分后用均值不等式放缩，通过等号成立条件对比和的大小关系，核心是借用题干示范的乘1构造法完成放缩证明. （3）先根据根式定义域求出的范围，换元令，，转化为已知求的最大值，直接套用第（2）问结论，用乘1法结合均值不等式求解，实现结论迁移应用. 【详解】（1）因为，所以． 所以． 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为． （2）略. （3）由得， 令，则， 令，由（2）知，， 所以，即， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，此时． 【点睛】方法归纳： 1.核心通用方法：乘1法，已知分式和为定值时，将所求代数式乘以该定值，展开后配凑均值不等式； 2.题型迁移技巧：多问递进题型，后一问可直接套用前一问推导的不等式结论，减少重复推导； 3.含双根式最值：先换元消去根号，转化为二次分式约束条件，再使用乘1法. 易错归纳： 1.均值不等式使用前提：变量必须为正数，解题前先判定定义域； 2.等号成立条件必须检验，忽略取等条件会出现取不到最值的错误； 3.乘1代换时，分式拆分容易出现系数计算错误，需核对展开后的交叉项； 4.根式问题遗漏定义域限制，导致参数范围出错. 19．（本题17分）教材中的基本不等式可以推广到n阶：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.即：若，，…，，则有，，，当且仅当时取等.利用此结论解决下列问题： (1)若，，求的最小值； (2)若，求的最大值； (3)对任意，判断与的大小关系并加以严格证明. 【答案】(1)4. (2) (3)判断 证明：当时，成立. 当时， 所以 因为（），所以等号不成立，所以 综上所述，. 【分析】（1）根据积为定值，利用基本不等式即可求出和的最小值； （2）根据和为定值，由基本不等式即可求得积的最大值； （3）将表达式利用基本不等式变形证明，并验证等号是否成立即可. 【详解】（1）当，时， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4. （2）当时，， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. （3）略 学科网（北京）股份有限公司 $