3.2 平面直角坐标系（讲义）数学新教材北师大版八年级上册.

本讲义聚焦平面直角坐标系核心知识点，从基本概念（横轴、纵轴、原点、象限）出发，构建点与有序实数对的一一对应关系，进而学习各象限及坐标轴上点的坐标符号特征、对称变换规律、距离计算，最终形成根据图形建立坐标系解决几何问题的知识支架。 该资料特色在于分层细化知识点，每个概念配“特别提醒”“易错提醒”及“教材延伸”，结合“长征路线图”“孔明灯坐标”等情境题培养几何直观。通过中点坐标规律探究发展推理意识，题型分类与基础通关题助力课中教学与课后查漏补缺，落实数学眼光与模型意识的培养。

第三章 位置与坐标 3.2 平面直角坐标系 课标要点 1.认识平面直角坐标系，了解横轴、纵轴、原点、象限等基本概念，能规范绘制平面直角坐标系，建立二维平面空间认知。 2.理解平面内点与有序实数对一一对应的关系，掌握根据位置写坐标、根据坐标描点的基本方法。 3.掌握各象限、坐标轴上点的坐标符号特征，掌握特殊位置点的坐标规律，能准确判断点的位置属性。 4.掌握点关于坐标轴、原点的对称规律，会求点到坐标轴、原点的距离，能利用坐标解决简单几何计算问题。 5.能根据实际图形灵活建立平面直角坐标系，运用坐标描述图形位置与特征，发展数形结合、几何直观与建模素养。 学习重难点 重点： 1.掌握平面直角坐标系基本概念，熟练实现点与坐标的双向转化，规范读写坐标、精准描点定位。 2.熟记各象限及坐标轴上点的坐标符号规律，快速识别点所在位置与特殊坐标特征。 3.熟练掌握点关于x轴、y轴、原点的对称坐标变化规律，掌握点到坐标轴的距离计算方法。 4.能够根据几何图形情境合理建立平面直角坐标系，利用坐标表示图形顶点并进行简单几何运算。 难点： 1.深刻理解平面内点与有序实数对一一对应的抽象关系，突破一维数轴到二维坐标系的思维转换。 2.容易混淆横、纵坐标顺序，混淆各象限符号特征，无法区分坐标轴上的点与象限内的点。 3.容易混淆三种对称变换的坐标规律，在综合题型中出现公式记混、变换出错的问题。 4.不会根据图形特点择优建立坐标系，难以熟练运用数形结合思想解决坐标与几何综合问题。 知识点 平面直角坐标系 定义：在同一平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。水平数轴称为横轴（x轴），向右为正方向；竖直数轴称为纵轴（y轴），向上为正方向；两条数轴的公共交点叫做坐标原点。 特别提醒 平面直角坐标系必须同时满足三个条件：同一平面、互相垂直、原点重合，三者缺一不可。 易错提醒 学生容易误认为两条任意相交的数轴都能构成坐标系，忽略垂直、共原点两个核心条件。 教材延伸 平面直角坐标系实现了平面图形与代数坐标的转化，是初中数形结合最重要的工具，也是后续一次函数、几何综合题的基础。 随学随练 1．如图，是红军长征路线图，若表示瑞金的点的坐标为，则表示吴起镇会师的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意可建立如下平面直角坐标系，则表示吴起镇会师的点的坐标为． 2．在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则该目标的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点所在象限的坐标符号特征：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，结合图即可求解． 【详解】解：根据图可知，目标在第三象限，即坐标可能为，故选项C符合题意． 3．孔明灯（又称天灯）是一种利用热空气上升原理制成的传统飞行器．在如图所示的网格中建立平面直角坐标系，使得孔明灯，的坐标分别为、，则孔明灯的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：建立平面直角坐标系如图所示： 由图可知，孔明灯的坐标为． 知识点 象限的划分 基本概念：x轴和y轴将平面分成四个区域，从右上方开始逆时针依次分为：第一象限、第二象限、第三象限、第四象限 特别提醒 x轴、y轴上的所有点，都不属于任何一个象限，只有横、纵坐标均不为0的点才在象限内。 易错提醒 做题时常误将原点、坐标轴上的点判定为属于某一象限，属于高频基础错题。 教材延伸 象限划分是判断点的位置、符号特征、函数图像分布的前置基础，贯穿整个初中函数学习。 随学随练 1．在平面直角坐标系中，若点P的坐标为，则点P所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据各象限内点的坐标的符号特征第一象限；第二象限；第三象限；第四象限，即可求解． 【详解】解：点P的坐标为，其中横坐标，纵坐标， 即点符合第三象限点的坐标特征， 故点在第三象限． 2．在一场足球训练赛中，小亮首发出场担任左后卫，站在图中点A的位置．若以中场线所在直线为x轴，垂直于中场线过中圈圆心的直线为y轴建立平面直角坐标系，点A所在的象限是 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】解：根据平面直角坐标系内点的位置确定小亮所在的象限是：第三象限． 3．在平面直角坐标系中，点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据点的横、纵坐标符号，对照各象限内点的坐标符号特征判断． 【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标． ∴点位于第四象限． 4．如图，这是某中学部分功能室的大致位置，以田径场所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系，若某功能室坐标为，则该功能室是（     ） A．物理实验室 B．化学实验室 C．生物实验室 D．图书馆 【答案】C 【详解】解：∵该功能室坐标为， ∴该功能室在第二象限， ∴该功能室是生物实验室． 知识点 点的坐标 定义：平面内任意一点的位置，可以用有序实数对表示。其中是横坐标（对应水平位置），是纵坐标（对应竖直位置）。 特别提醒 坐标是有序的，先横后纵，顺序不可颠倒，与一般不是同一个点。 易错提醒 读数、描点极易出现横纵坐标颠倒，书写坐标漏括号、漏逗号，格式不规范。 教材延伸 平面内点与有序实数对一一对应，是平面直角坐标系最核心的数学原理。 随学随练 1．如图，小手盖住的点的坐标可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限即可解答． 【详解】解：由图可得小手盖住的点在第二象限， 则坐标可能为． 2．老师在黑板上画出平面直角坐标系，并将数学课本放在如图所示的位置，则下列各点一定没有被书本遮住的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图可知，书本遮住了坐标系中的第一、二、三象限的部分，只有第四象限内的点一定不被书本遮住，由此即可求解． 【详解】解：由图可知，第四象限内的点一定不被书本遮盖， ∵在第四象限， ∴此点一定不被书本遮住，故选项B符合题意； 而在第三象限，在第一象限，在第二象限，都有可能被书本遮住． 3．年月日，北京密云正式对外发布城市品牌“来密云看海”，品牌是一个“云”字．如图，将其放入正方形网格中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意，画出坐标系如图： 则点的坐标为， 故选：A． 4．如图是象棋棋盘的一部分，如果用坐标表示帅的位置，用坐标表示车的位置，那么坐标点表示的棋子是（    ） A．相 B．马 C．炮 D．兵 【答案】C 【分析】根据已知棋子帅的坐标确定平面直角坐标系的原点位置，即可确定点表示的棋子． 【详解】解：帅的坐标为， 坐标原点位于帅的位置向左个单位，向上个单位处，如图， 点对应的棋子是炮． 5．如图，有A，B，C三点，如果A点用来表示，B点用表示，则C点的坐标的位置可以表示为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知点的坐标确定平面直角坐标系的原点位置，进而确定点的坐标． 【详解】解：点坐标为， 原点在点的左侧个单位，下方个单位处， 则建立坐标系如下： 由图可知，点的坐标为． 6．如图是故宫内部分建筑的分布图，建立平面直角坐标系，使弘义阁位于点，本仁殿位于点，则乾清门位于点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知点的坐标确定平面直角坐标系的原点位置及坐标轴，再根据乾清门在坐标系中的位置写出其坐标即可． 【详解】解：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系： ∴乾清门位于点． 知识点 各象限点的坐标符号特征 概念：第一象限：横坐标正、纵坐标正；第二象限：横坐标负、纵坐标正 第三象限：横坐标负、纵坐标负；第四象限：横坐标正、纵坐标负 特别提醒 易错提醒 第2、 四象限符号最容易记混；看到参数坐标不会根据象限判断正负。 教材延伸 利用象限符号可以直接判断代数式正负、参数取值范围，是选择填空必考题型。 随学随练 1．点在第（     ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【详解】解：∵点坐标为，横坐标，纵坐标，符合第一象限点的符号特征， ∴该点在第一象限. 2．在平面直角坐标系中，位于第三象限内的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：平面直角坐标系中，各象限内点的坐标符号规律为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限. ∵ 点，横纵坐标均为正数，∴ 该点在第一象限，不符合要求； ∵ 点，横坐标为负，纵坐标为正，∴ 该点在第二象限，不符合要求； ∵ 点，横纵坐标均为负数，∴ 该点在第三象限，符合要求； ∵ 点，横坐标为正，纵坐标为负，∴ 该点在第四象限，不符合要求． 知识点 坐标轴上点的坐标特征 定义：x 轴上的点：纵坐标为0，坐标形式；y 轴上的点：横坐标为0，坐标形式 原点：横、纵坐标均为0，坐标。 特别提醒 x轴上的点纵坐标恒为 0，y 轴上的点横坐标恒为 0，不可混淆。 易错提醒 教材延伸 在几何建系题目中，将点落在坐标轴上可以简化坐标、减少负数、简化计算。 随学随练 1．点在轴上，则_____． 【答案】 【详解】解：因为y轴上的点的横坐标为，点在轴上， 所以， 解得． 2．在平面直角坐标系中，已知点在轴上，则的值为_____________． 【答案】 【分析】根据点在x轴上，纵坐标等于0，列式求解即可． 【详解】解：点在轴上， ， ． 3．若点在轴上，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】解：∵点在轴上，轴上所有点的横坐标为， ∴， 解得， 将代入点， 得点的横坐标为，纵坐标为，即， ∵第一象限内点的横纵坐标都为正， ∴点B在第一象限， 知识点6 平行于坐标轴的直线上点的特征 定义：平行于x轴的直线：所有点纵坐标相同，横坐标不同，直线呈水平状态。平行于y轴的直线：所有点横坐标相同，纵坐标不同，直线呈竖直状态。 特别提醒 水平看纵坐标，竖直看横坐标，是解题固定判断逻辑。 易错提醒 容易记反：水平直线变横坐标、竖直直线变纵坐标。 教材延伸 该知识点常用于判断线段水平、竖直关系，快速求线段长度。 随学随练 1．若点的坐标为，，轴，且点在第一象限，那么点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标性质，解题关键是掌握平行于轴的直线上点的横坐标相同，以及第一象限内点的坐标符号特征，先根据平行关系确定点的横坐标，再根据线段长度求纵坐标，最后结合点所在象限确定最终坐标． 【详解】解：轴 点的横坐标与点的横坐标相同，即，可排除选项C、D ，代入得 或 解得或 又点在第一象限，第一象限内点的纵坐标大于 点的坐标为． 2．北京时间2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船将于酒泉卫星发射中心发射．在发射场地面坐标系中，某关键设备位于点，已知点，且直线轴，则a的值为（     ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】平行于轴的直线上所有点的纵坐标相等，利用该性质列方程求解即可． 【详解】解：∵直线轴， ∴ 点与点的纵坐标相等， ∵，， ∴， 解得． 3．在平面直角坐标系中，点在x轴上，则______． 【答案】0 【分析】根据x轴上点的坐标特征，纵坐标为0，即可求出结果． 【详解】解：∵点在轴上， 点的纵坐标为，即． 4．在平面直角坐标系中，点的坐标为，若轴，且，则点坐标为___________． 【答案】或 【分析】由轴可得点横坐标与点相同，再分点在点上方、下方两种情况，结合计算纵坐标即可． 【详解】解：∵轴，点的坐标为， ∴B的横坐标为． ， 当点在点上方时，点的纵坐标为， 此时点坐标为； 当点在点下方时，点的纵坐标为，此时点坐标为， ∴点B的坐标为或． 5．在平面直角坐标系中，已知 轴，且，则点的坐标为__________． 【答案】或 【分析】平行于轴的直线上所有点的纵坐标相等，已知的长度，点可能在点左侧，也可能在点右侧，分情况计算即可得到点坐标． 【详解】解：轴，点， 点的纵坐标为， ， 情况一：当点在点左侧时，点的横坐标为，此时点的坐标为； 情况二：当点在点右侧时，点的横坐标为，此时点的坐标为． 6．在平面直角坐标系中，已知点，点，若轴，轴，则点的坐标是_________． 【答案】 【分析】根据平行于坐标轴的直线上点的坐标特征分别得出点的横、纵坐标，由此即可得． 【详解】解：∵轴，且， ∴点的横坐标与点的横坐标相等，即为1， ∵轴，且， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相等，即为2， ∴点的坐标是． 知识点7 点到坐标轴、原点的距离 定义：点到 x 轴的距离：纵坐标的绝对值；点到 y 轴的距离：横坐标的绝对值 点到原点距离：利用勾股定理。 随学随练特别提醒 距离一定是非负数，所有距离计算必须带绝对值。 易错提醒 求距离忘记加绝对值，导致出现负数答案；混淆到x轴、y轴距离公式。 教材延伸 距离公式是坐标求面积、求边长、几何计算的核心依据。 1．若在第四象限，且点到轴的距离为7，则n的值为___________． 【答案】 【分析】先根据点所在象限得出，再根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值列等式求解即可． 【详解】解：∵在第四象限， ∴， ∵点到轴的距离为7， ∴， ∴， 解得． 2．在平面直角坐标系中，点到轴的距离为3，则点的坐标可以是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】平面直角坐标系中，点到轴的距离等于点横坐标的绝对值，确定横坐标后任选纵坐标即可得到符合要求的坐标． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点到轴的距离为， ∴， 解得或， 纵坐标可取任意实数，取，，可得符合条件的点的坐标为． 3．在平面直角坐标系中，点在第四象限，点到轴的距离是1，到轴的距离是4，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点到轴的距离是1，到轴的距离是4， ∴点的纵坐标的绝对值为1，横坐标的绝对值为4， ∵点在第四象限， ∴点的横坐标为4，纵坐标为， ∴点的坐标为． 4．在平面直角坐标系中，点到轴的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在平面直角坐标系中，任意一点到轴的距离等于该点横坐标的绝对值． 【详解】解：∵点的横坐标为， ∴点到轴的距离为． 5．点到轴的距离为（     ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查平面直角坐标系中点到坐标轴的距离规律，解题关键是掌握点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值这一性质. 【详解】解：∵ 在平面直角坐标系中，任意点到轴的距离为该点纵坐标的绝对值， 已知点，其纵坐标为， ∴ 点到轴的距离为. 6．下面四个点离轴最近的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点到轴的距离等于该点横坐标的绝对值，比较各点横坐标绝对值的大小，绝对值最小的点即为离轴最近的点． 【详解】解：在平面直角坐标系中，任意点到轴的距离为， 分别计算各选项横坐标的绝对值： 选项A：， 选项B：， 选项C：， 选项D：， 比较大小得：， ∴ 选项C的点横坐标绝对值最小，离轴最近． 7．若点在第二象限，且点到轴的距离为，到轴的距离为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴，， 又∵点在第二象限， ∴，， ∴点的坐标为． 拓展 平面直角坐标系中的几何直观 借助平面直角坐标系，将数（坐标、代数式）和形（点、线段、几何图形）相互转化，通过画图、描点观察点的位置、图形的形态，直观分析点的符号特征、对称变换、图形面积等问题，把抽象的代数条件转化为可视的几何图像，降低问题难度。。 素养拓展要点 1.养成解题先画坐标系的习惯，能用描点直观判断点所在象限、点之间的位置关系。 2.能由坐标想象出点、线段、多边形的大致图形，实现 “由数思形”。 3.遇到距离、对称、面积题，借助图像辅助分析，减少纯代数计算带来的符号错误。 4.能根据图形特征读出坐标信息，完成 “以形释数”，建立数形互化的直觉。 活学活用 1．[活动]用坐标描述公园景点位置：春天到了，七年级（2）班组织同学到人民公园春游，李明、张华对着景区示意图，描述牡丹园的位置（图中小正方形的边长代表长）如下． 李明：“牡丹园的坐标是．” 张华：“牡丹园在中心广场东北方向约处．” 实际上，他们所说的位置都是正确的． (1)请你根据李明同学所说的位置，帮他在示意图中建立平面直角坐标系，写出湖心亭、望春亭的坐标． (2)请你根据张华对牡丹园位置的描述，描述一下音乐台、游乐园的位置． 【答案】(1) 湖心亭、望春亭 (2)音乐台在中心广场正北方向处；游乐园在中心广场东南方向约处 【分析】（1）根据牡丹园的坐标是建立直角坐标系，然后再写出湖心亭、望春亭的坐标即可． （2）根据牡丹园在中心广场东北方向约处可得出一个小正方形对角线约长，进而再根据直角坐标系即可得出音乐台、游乐园的位置． 【详解】（1）解：∵牡丹园的坐标是， ∴以牡丹园向左3个单位长度，再向下3个单位长度的中心广场为原点，建立平面直角坐标系略， 根据直角坐标系可知：湖心亭、望春亭． （2）解：∵牡丹园在中心广场东北方向约处， ∴一个小正方形对角线约长， ∴音乐台在中心广场正北方向处；游乐园在中心广场东南方向约处． 2．如图，长方形中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为，C点的坐标为，点B在第一象限内． (1)写出点B的坐标 ； (2)若过点C的直线交长方形边于点D，且把长方形的周长分为两部分，求点D的坐标． (3)如果将（2）中的线段向下平移0.5个单位，所得线段，试计算由O、A、、点组成的四边形面积． 【答案】(1) (2)点或 (3)或12 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中长方形的性质、图形的平移以及图形面积的计算，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）根据长方形对边相等的性质，直接得出点的坐标； （2）先算出长方形周长，再分直线与相交、与相交两种情况，结合周长比例求出点坐标； （3）根据平移性质得到、坐标，再分情况利用梯形面积公式或三角形面积和来计算四边形面积． 【详解】（1）解：∵长方形中，，，且， ∴ （2）解：∵， ∴， ①当直线与边相交时， ∵， ∴，，即， ②当直线与边相交时， ∵， ∴，即； （3）解：①当点时， ∵线段向下平移个单位 ∴， ∵， ∴ ②当点时， ∵线段向下平移个单位 ∴， 连接，则，则， ∴ ． 拓展 平面直角坐标系中的推理能力素养 通过观察多个点的坐标，归纳象限符号、对称变换、特殊直线上点的坐标规律；利用得到的规律进行计算、参数求解、规律探究，同时能对结论进行简单说理，锻炼观察‑猜想‑归纳‑验证的逻辑推理。 素养拓展要点 经历自主描点，归纳出对称、角平分线、平行于坐标轴直线的坐标规律，而非死记公式。 能利用已得规律进行正向推理：已知点坐标，推导对称点、取值范围、线段长度。 强化逆向推理训练：给出对称后坐标、距离，反求原坐标，注意分类讨论。 在坐标规律探究题中，观察点的变化，归纳循环规律，提升合情推理能力。 活学活用 1．在平面直角坐标系中，已知点，点，为线段的中点，则点的坐标为，例如：，则线段的中点的坐标为，即点的坐标为． (1)已知，，为线段的中点，则点的坐标为________； (2)已知，，为线段的中点，求点的坐标； (3)已知两点，，点在轴上，点在轴上，若点，，，中的任意两点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或或 【分析】（1）根据中点坐标公式求解即可； （2）设点的坐标为，根据中点坐标公式建立方程求解即可； （3）分三种情况：与中点重合，与中点重合和与中点重合，根据中点坐标公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，，为线段的中点， ∴点E的横坐标为，纵坐标为， ∴点E的坐标为； （2）解：设点为的坐标， 由题意得，，， 解得，， ∴点的坐标为； （3）解：设，， ①与中点重合时，则，， ，， ∴； ②与中点重合时，则，， ，， ∴； ③与中点重合时，则，， ，， ∴； 综上所述，点的坐标为或或． 2．李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面李老师在“平面直角坐标系中线段的中点”主题下设计的问题，请你解答． (1)观察发现 在下面给出的平面直角坐标系中，描出下列各点：，并连接，请写出线段的中点坐标：___________，线段的中点坐标：___________． (2)探究迁移 如果有，两点，那么线段的中点坐标是___________． (3)拓展应用 已知三点，点与点中的一个点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，求点的坐标． 【答案】(1)图见解析，， (2) (3)点的坐标为或或 【详解】（1）解：由题意，描点，连接线段，如下图， 由图可知：线段的中点坐标为，线段的中点坐标为； （2）解：由（1）可知：的中点坐标为，线段的中点坐标为； 猜想：如果有，两点， 则线段的中点坐标是； （3）解：①与中点重合时， ， 此时 ②与中点重合时， ， 此时 ③与中点重合时， ， ， 此时 综上所述，点的坐标为或或． 题型 直角坐标系中点的坐标 解题贴士 严格按 "先横后纵" 读取，横坐标对应点到y轴的水平距离，纵坐标对应点到x轴的竖直距离。书写格式为，必须带括号、中间加逗号，做完对照图形反向核对，杜绝横纵坐标颠倒. ▌例1 青花瓷是我国四大名瓷之首．将如图的青花瓷图片放在平面直角坐标系中，已知瓶身左侧的点的横纵坐标均为无理数，则点坐标可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形判断点所在的象限，进而确定横、纵坐标的正负性，再根据无理数的定义判断选项中坐标数值的类型即可． 【详解】解：由图可知，点位于第二象限， 点的横坐标为负数，纵坐标为正数， 故B、C错误； 点的横纵坐标均为无理数， A错误，D正确． ▌对点练1-1．如图，将庆阳市部分旅游景点放在平面直角坐标系中，则公刘庙所在位置点的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面直角坐标系中第四象限点的坐标特征，即可解答． 【详解】解：在如图所示的平面直角坐标系中，公刘庙所在位置在第四象限， 故公刘庙所在位置点的坐标可能是． ▌对点练1-2．《望天门山》一诗通过对天门山景色的描绘，不仅展现了大自然的神奇壮丽，更体现了李白诗歌中情景交融的艺术境界，诗的前两句为“天门中断楚江开，碧水东流至此回”．小冉将“碧”“水”“东”“流”写在如图所示的网格中．若建立平面直角坐标系，使“碧”“水”的坐标分别为，，则“东”的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用已知点的坐标，建立直角坐标系，进而读出“东”的坐标即可. 【详解】解：∵“碧”“水”的坐标分别为，， ∴如图建立平面直角坐标系得： ∴“东”的坐标为. 题型 求点到坐标轴的距离 解题贴士 点到x轴的距离等于，到y轴的距离等于。距离永远是非负数，必须加绝对值。已知距离反求坐标时，坐标可正可负，必须分类讨论，通常有两个解，不要漏解. ▌例1已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点到轴的距离为（     ） A．4 B．5 C．9 D．1 【答案】B 【分析】点到轴的距离等于点纵坐标的绝对值． 【详解】解：∵平面直角坐标系中，任意一点到轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，点坐标为，纵坐标为， ∴点到轴的距离为． ▌对点练1-1在平面直角坐标系中，点到轴的距离为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据点到轴的距离等于点横坐标的绝对值即可求解． 【详解】解：∵点的横坐标为， ∴点到轴的距离为． ▌对点练1-2若轴上的点到轴的距离是7，则点的坐标是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先根据点P在x轴上确定纵坐标，再根据点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，得到横坐标的所有可能，即可得到点P的坐标． 【详解】解：∵点在轴上， ∴点的纵坐标为，可排除A， D选项； ∵点到轴的距离是，平面直角坐标系中，点到轴的距离等于横坐标的绝对值， ∴，可得或． ∴点的坐标是或． ▌对点练1-3 点在第三象限内，点到轴的距离是5，到轴的距离是1，那么点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，先得到点P横纵坐标的可能值，再结合第三象限内点的横纵坐标均为负数，即可得到点P的坐标． 【详解】解：∵点P到y轴的距离是5，到x轴的距离是1， ∴点P横坐标的绝对值为，纵坐标的绝对值为， ∴点P的横坐标为，纵坐标为， ∵点P在第三象限内，第三象限内点的横坐标与纵坐标均为负数， ∴点P的横坐标为，纵坐标为，即点P的坐标为． 题型 判断点的象限 解题贴士 先看横坐标正负定左右，再看纵坐标正负定上下。第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。坐标轴上的点不属于任何象限，看到坐标为 0 的点直接排除象限判断. ▌例1点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标． ∴点在第四象限． ▌对点练1-1点在第一象限，则点的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据第一象限点的坐标符号特点判断选项即可． 【详解】解：平面直角坐标系中，第一象限内点的坐标特征为横坐标大于0，纵坐标大于0，即符号符合， 逐个判断选项： 选项A，点的横、纵坐标都为正，符合第一象限点的特征，故该选项符合题意； 选项B，点的横坐标为负，属于第二象限，故该选项不符合题意； 选项C，点的横、纵坐标都为负，属于第三象限，故该选项不符合题意； 选项D，点的纵坐标为负，属于第四象限，故该选项不符合题意． ▌对点练1-2若点在轴上，则点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题根据x轴上点的坐标特征求出a的值，再计算得到点B的横纵坐标，最后根据象限内点的坐标特征判断点B所在象限； 【详解】解：∵点在轴上，x轴上点的纵坐标为 ∴ 将代入点的坐标中，得 ， 即点的坐标为 ∵第四象限内点的横坐标为正，纵坐标为负 ∴点在第四象限； ▌对点练1-3 在平面直角坐标系中，点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先判断点横纵坐标的正负，再根据各象限内点的坐标特征即可判断点所在的象限． 【详解】解：∵点的横坐标为， ∴． ∵任意实数的绝对值是非负数， ∴， ∴． ∵点横坐标为负，纵坐标为正，符合第二象限点的坐标特征， ∴点一定在第二象限． 题型 根据点的象限求参数 解题贴士 根据象限符号特征列不等式组：点在第一象限则横纵坐标都大于0，第二象限横坐标小于0、纵坐标大于0，第三象限都小于0，第四象限横坐标大于0、纵坐标小于0。解不等式组即可求出参数取值范围，注意同时满足多个条件取交集. ▌例1在平面直角坐标系中，点在第二象限内，则的取值可以是（     ） A． B．0 C．3 D．4或 【答案】A 【分析】由第二象限内点的横坐标符号确定的取值范围即可． 【详解】解：∵点在第二象限内， ∴， ∴选项A的满足条件． ▌对点练1-1在平面直角坐标系中，点在第三象限，则m的值可以是（     ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【详解】解：点在第三象限， ，选项中只有满足． ▌对点练1-2已知点，，且轴，则的值为（   ） A．-3 B．3 C．2 D．-2 【答案】B 【详解】∵ 轴， ∴直线平行于轴， ∴ 点与点的纵坐标相等， ∵ 点，， ∴ ， 解得 ． ▌对点练1-3 在平面直角坐标系中，若点位于第三象限，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据第三象限内点的横、纵坐标都小于0，列出不等式求解即可． 【详解】解：点位于第三象限， ， ， ． 题型 坐标系中描点 解题贴士 先在x轴上找到横坐标对应的位置，再在y轴上找到纵坐标对应的位置，分别作两轴的垂线，两垂线的交点就是该点。描完点后对照坐标反向检查一遍，确认横纵坐标没有看反. ▌例1如图，小伙伴们玩藏宝游戏，藏宝图上有几句话：一号宝藏在坐标为的点处，二号宝藏在坐标为的点处，三号宝藏在坐标为处，则三号宝藏在（  ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【答案】C 【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置，进而建立平面直角坐标系，进而得出藏宝位置． 【详解】解：∵一号宝藏在坐标为的点处，二号宝藏在坐标为的点处， ∴建立平面直角坐标系，如图所示： ∵三号宝藏在坐标为处， ∴三号宝藏在点处． ▌对点练1-1如图是在方格纸上画出的小旗图案，若用表示A点，表示B点，那么C点的位置可表示为______． 【答案】 【分析】本题考查类比点的坐标及学生解决实际问题和阅读理解的能力．解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置．解题的关键是确定原点及x，y轴的位置和方向． 根据已知两点坐标建立坐标系，然后确定其它点的坐标． 【详解】解：用表示A点，表示B点，可建立坐标系，如图所示： 点C的坐标为， 故答案为． ▌对点练1-2 如图，在平面直角坐标系中，按下列要求完成任务． (1)在平面直角坐标系中描出下列各点：，，，； (2)写出平面直角坐标系中点E，F，G，H的坐标． 【答案】(1) 解：所作图形如图所示： ； (2)，，，． ▌对点练1-3 在平面直角坐标系中，已知点 ，，． (1)在坐标系中标出 A，B，C； (2)判断的形状，并求面积． 【答案】(1) 解：如图所示， (2)直角三角形； 【详解】（1）略； （2）由坐标易知： 平行于轴，平行于轴，即为． 为直角三角形． ． 题型 根据两点坐标求距离 解题贴士 两点横坐标相同（平行于y轴），距离等于纵坐标差的绝对值；两点纵坐标相同（平行于x轴），距离等于横坐标差的绝对值。两点横纵坐标都不同时，用勾股定理计算，距离等于横差平方加纵差平方再开根号. ▌例1 平面直角坐标系中，点到原点的距离是（     ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理求解． 【详解】解：∵ 点，原点坐标为， ∴根据勾股定理，点到原点的距离为 ． ▌对点练1-1在平面直角坐标系中，描出，连接，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理即可求出线段的长度． 【详解】，， ． ▌对点练1-2在平面直角坐标系中，已知点，则线段的长度为（   ） A．10 B．12 C．15 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中两点的距离，掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理即可求得两点之间的距离． 【详解】解：∵ ∴线段的长度为 故选：A． ▌对点练1-3 若第一象限内的点到原点的距离为5，则a的值是（    ） A．3 B． C．5 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标系中两点距离计算公式，第一象限内的点的坐标特点，坐标系中点和点的距离为，据此可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵点到原点的距离为5， ∴， 解得， ∵点在第一象限， ∴， 故选：A． 题型7 中点坐标 解题贴士 两点、的中点坐标为两点横纵坐标分别取平均值，即。已知中点和一个端点求另一端点，用中点坐标乘2减去已知端点坐标即可. ▌例1若线段轴，点是线段的中点，且，则点的坐标是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】先利用平行于轴的线段上所有点横坐标相等的性质，确定M点的横坐标，再结合中点坐标与线段长度计算M点的纵坐标，即可得到结果． 【详解】解：∵ 轴， ∴ 和的横坐标相等． ∵ 是线段的中点， ∴ 点的横坐标为． 设， ∵ ， ∴或， 解得或， 因此点坐标为或． ▌例2 已知线段的中点为坐标原点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角坐标系的中点坐标，利用中点坐标公式直接计算点的坐标． 【详解】解：设点， 点是线段的中点，点， ，， 解得，， 点的坐标为， 故选：A． ▌对点练1-1在平面直角坐标系中，已知，，则线段的中点坐标是________． 【答案】 【分析】利用平面直角坐标系中两点中点坐标的计算公式，分别计算中点的横坐标和纵坐标即可求解． 【详解】解：∵，， ∴线段的中点坐标是，即． ▌对点练1-2若，是平面直角坐标系中的两点，是线段的中点，则值为_______． 【答案】10 【分析】本题考查了线段中点的坐标计算，正确理解线段中点的坐标计算是解题的关键．利用线段中点的计算公式计算，即得答案． 【详解】解：是线段的中点， ， 解得， ． 故答案为：10． 题型8 点坐标规律 解题贴士 横纵坐标拆开单独找规律，分别写出前几个点的横坐标和纵坐标，观察等差变化或循环变化。找到规律后代入前几个点验证，确认无误后再推导第n个点的坐标。循环型规律用总次数除以循环周期，看余数确定位置. ▌例1 如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为个单位长度的半圆，，，…组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第秒时，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出点P每秒走个半圆，然后求出点P的横坐标和运动的秒数相同，纵坐标以1、0、、0为一个周期依次循环，进而求解即可． 【详解】解：半径为1个单位长度的半圆的弧长为， ∵点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度， ∴点P每秒走个半圆， ∴运动时间为1秒时，点P的坐标为； 运动时间为2秒时，点P的坐标为， 运动时间为3秒时，点P的坐标为， 运动时间为4秒时，点P的坐标为， 运动时间为5秒时，点P的坐标为， 运动时间为6秒时，点P的坐标为， …， ∴点P的横坐标和运动的秒数相同，纵坐标以1、0、、0为一个周期依次循环， ∵， ∴第秒时，点P的坐标是． ▌例2 如图，在平面直角坐标系中，动点P按图中箭头所示方向从原点出发，第1次运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，…，按这样的运动规律，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到点P的横，纵坐标的规律，然后结合求解即可． 【详解】解：由图象得，、、、，， ∴横坐标和序号相同，纵坐标的变化是以1，0，，0，4个数为一组循环变化， ∵， ∴点的纵坐标和的纵坐标相同， ∴的坐标为． ▌对点练1-1如图，在平面直角坐标系中有一个点，点第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至，…，依照此规律跳动下去，点第次跳动到点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出、、、的坐标，找出规律得到，即可解决问题． 【详解】解：由题意得，，，，， …… ， ∵， ∴的坐标为． ▌对点练1-2 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点，，，，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到当序号为偶数时，横坐标为序号的一半；当序号为偶数但不是4的倍数时，纵坐标为1，进而求解即可． 【详解】解：∵，，，，，， ∴当序号为偶数时，横坐标为序号的一半；当序号为偶数但不是4的倍数时，纵坐标为1 ∴点的坐标为． 题型9 求点沿X轴、Y轴平移后的坐标 解题贴士 沿x轴左右平移，纵坐标不变，横坐标左减右加：向右平移个单位，横坐标加；向左平移个单位，横坐标减。沿y轴上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减：向上平移个单位，纵坐标加；向下平移个单位，纵坐标减. ▌例1点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点的平移，掌握相关知识是解题的关键． 根据点的平移规律，左右平移，横坐标左减右加，纵坐标不变；上下平移，纵坐标上加下减，横坐标不变，即可解答． 【详解】解：点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点． 故选C． ▌对点练1-1在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，解决本题的关键是熟练掌握点的平移规则． 根据平面直角坐标系中点的平移规则，将点向右平移2个单位长度，则点的纵坐标不变，横坐标；再向下平移1个单位长度，则点的横坐标不变，纵坐标，由此求解即可． 【详解】解：∵将点向右平移2个单位长度， ∴此时点的坐标为，即， 再向下平移1个单位长度， ∴可得点的坐标为，即， ∴所得点的坐标是． 故答案为： ． ▌对点练1-2编队飞行（即平行飞行）的两架飞机A、B在直角坐标系中的坐标分别为、，当飞机A飞到指定位置的坐标是时，飞机B的坐标是_____． 【答案】 【分析】先根据飞机A确定出平移规律，再求出飞机B的横坐标与纵坐标即可得解． 本题考查了坐标与图形的变化-平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键． 【详解】解：∵飞机到达时，横坐标加3，纵坐标减3， ∴飞机的横坐标为，纵坐标为， ∴飞机B的坐标为． 故答案为： 基础通关 1．书法课上，小义在如图所示的网格纸上写了一个“乐”字，图中均在格点上，建立平面直角坐标系，点，，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由点，确定坐标系，再观察网格，即可得点C的坐标． 【详解】解：点，， ∴如图所示：建立平面直角坐标系： ∴点C的坐标为． 2．在平面直角坐标系中，点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】解：∵ 点的横坐标为正，纵坐标为负，符合第四象限的坐标符号特征， ∴ 点在第四象限． 3．在平面直角坐标系中，对点叙述错误的是（     ） A．在x轴下方 B．在第四象限 C．距离x轴1个单位长度 D．距离y轴1个单位长度 【答案】D 【分析】根据平面直角坐标系中点的坐标特征，点到坐标轴的距离概念等逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：已知点坐标为，横坐标为，纵坐标为， A、∵纵坐标， ∴该点在轴下方，A选项正确，该选项不符合题意； B、∵横坐标为正，纵坐标为负，符合第四象限内点的坐标特征， ∴该点在第四象限，B选项正确，该选项不符合题意； C、∵点到轴的距离为纵坐标的绝对值，即， ∴该点距离轴1个单位长度，C选项正确，该选项不符合题意； D、∵点到轴的距离为横坐标的绝对值，即， ∴ 该点距离轴2个单位长度，不是1个单位长度，D选项错误，该选项符合题意． 4．在平面直角坐标系中，若点在第二象限，且点到轴的距离为3，到轴的距离为4，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】点到轴的距离为纵坐标的绝对值，到轴的距离为横坐标的绝对值，结合第二象限点的坐标符号即可求解． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴点的横坐标小于，纵坐标大于， ∵点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴点纵坐标的绝对值为，横坐标的绝对值为， ∴的横坐标为，纵坐标为，即点坐标为． 5．在平面直角坐标系中，轴，，若点，则点B的坐标是（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】解：∵轴，点的坐标为， ∴点B的纵坐标为， 设点B的横坐标为， ∵， ∴， 解得或， ∴点B的坐标为或． 6．在平面直角坐标系中，点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】解：∵对任意实数，都有， ∴， 又∵点的纵坐标为， ∴点的坐标符号为，符合第四象限点的坐标特征， ∴点在第四象限． 7．请写出一个在轴负半轴上的点的坐标：______．（写一个即可） 【答案】 【详解】解：根据平面直角坐标系的性质，y轴负半轴上的点横坐标为，纵坐标小于， 因此符合条件的点的坐标可以为.（答案不唯一） 8．点到轴的距离为________． 【答案】 【分析】根据点到轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，即可求解． 【详解】解：点的纵坐标为， 点到轴的距离为． 9．若点在第二象限，则点在第______________象限． 【答案】一 【分析】根据点在第二象限得到和的符号，再推导点横纵坐标的符号，根据象限坐标特征判断点所在象限． 【详解】解：点在第二象限， ，， ， 点的横坐标为正，纵坐标为正， 点在第一象限． 10．在平面直角坐标系中，点，，则线段的长度为______．   【答案】6 【分析】根据点A和点B纵坐标相同，线段平行于轴，线段长度可通过横坐标差的绝对值计算． 【详解】解：∵点，点的纵坐标相等， ∴线段平行于轴， ∴． 11．在平面直角坐标系中，点的坐标为，若，则点在第__________象限． 【答案】二 【分析】根据判断点横坐标的正负，结合纵坐标的正负，依据象限坐标特征得到点所在象限． 【详解】解：∵点的坐标为，， ∴， ∵点的纵坐标为， ∴点的横坐标为负，纵坐标为正， 平面直角坐标系中，横坐标为负、纵坐标为正的点在第二象限， ∴点在第二象限． 12．已知点在轴上，则的值为________． 【答案】 【分析】根据轴上点的坐标特征，纵坐标为，列出关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：点在轴上， 点的纵坐标为， 即， 解得． 13．已知点，解答下列各题∶ (1)若点P在x轴上，求点P的坐标； (2)若点Q的坐标为，直线轴，求点P的坐标． 【答案】(1)点P的坐标为 (2)点P的坐标为 【分析】（1）根据题意易得，然后进行求解即可； （2）由题意易得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵点P在x轴上， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为； （2）解：∵点Q的坐标为，直线轴， ∴，解得：， ∴， ∴点P的坐标为． 14．在平面直角坐标系中，点． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且轴，求的长． (3)若点在轴下方且到轴的距离为，求的值． (4)若点在二、四象限的角平分线上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用在轴上的点纵坐标为求解； （2）利用当轴时，点和点的纵坐标相等求解； （3）利用当点在轴下方时，点的纵坐标小于，点到轴的距离为点纵坐标的绝对值求解； （4）利用二、四象限的角平分线是直线求解． 【详解】（1）解：在轴上的点纵坐标为，点在轴上， ，解得， ， ； （2）解：点的坐标为，且轴，， 点和点的纵坐标相等， ，解得， ， ， ； （3）解：点在轴下方且到轴的距离为，， ，解得； （4）解：点在二、四象限的角平分线上，， 点在直线上， ，解得， ，， ． 15．如图所示的是公园某些景区的分布示意图（小正方形的边长为1个单位长度），点的坐标是，点位于坐标原点的西北方向． (1)根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系，并写出点的坐标； (2)已知点，且轴，试求点的坐标． 【答案】(1) 平面直角坐标系如下所示；点C的坐标为； (2) 【分析】（1）根据点A的坐标和点B相对于原点的位置确定原点和坐标轴的位置，建立平面直角坐标系即可得到点C的坐标； （2）平行于x轴上的点的纵坐标相同，据此建立方程求出a的值即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵轴，点C的坐标为， ∴点P的纵坐标为5， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 素养提升 1．在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，，当最短时，三角形的面积和t的值分别为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由、横坐标相同得为定长竖直线段，根据点C到的距离计算三角形面积，再结合垂线段最短可求最短时的t值． 【详解】解：，， 横坐标相同，轴，． 点到直线的距离为， ． 根据垂线段最短，当时，最短， 此时轴，点的纵坐标与点的纵坐标相等， 即，解得． 2．若点，是与x轴平行的直线上不同的两点，且到y轴的距离相等，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用与轴平行的直线的点坐标特征（纵坐标相等）、点到轴的距离相等及两点互异的坐标特征（横坐标互为相反数），求、的值，进而得点坐标． 【详解】解：∵点，在与轴平行的直线上， ∴， ∵两点到轴的距离相等， ∴，即， ∵两点是不同的点，当时，、坐标均为，两点重合，不符合题意， ∴， ∴点的坐标为． 3．如图，动点从出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第次碰到矩形的边时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点P的坐标变化规律即可得出结论． 【详解】解：如图， 根据题意得：，…， ∴点的坐标6次一循环． ∵， ∴当P点第2020次碰到矩形的边时的坐标与P点第4次反弹碰到矩形的边时的坐标相同， ∴点P的坐标为． 4．下列说法正确的是（     ） A．点在第四象限 B．若，则在坐标原点 C．点P在第二象限，且点P到x轴的距离为2，点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为 D．在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，且平行于x轴，，则点B的坐标为 【答案】C 【分析】可通过举反例判断A、B的正误，结合平面直角坐标系中点的坐标性质推导C、D的正确性． 【详解】解：A.当时，点在轴上，不一定在第四象限，故A错误； B.若，则或，点在轴或轴上，不一定在坐标原点，故B错误； C.点在第二象限，则横坐标为负，纵坐标为正；点到轴的距离为，则纵坐标为；到轴的距离为，则横坐标为，即点坐标为，故C正确，符合题意； D.平行于轴，则点的纵坐标与点相同，为；由，得点的横坐标为或，即点坐标为或，故D错误． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知点，按照此规律，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察图形与坐标，发现偶数下标点的坐标呈现规律性变化，每两个点之间横坐标增加3，纵坐标增加1，归纳出点的规律公式求解.． 【详解】解：观察已知点坐标， ，，， ， 偶数项点 的坐标规律为 ． ， 令 ， 点 的横坐标为 ． 纵坐标为 ． ． 6．七巧板又称七巧图，是中国民间流传的智力玩具．如图是由七巧板拼成的正方形，将其放入平面直角坐标系中，若点的坐标为，点C的坐标为，则点的坐标是_______． 【答案】 【分析】根据点的坐标为，点C的坐标为，可确定原点的位置，从而建立平面直角坐标系，即可判断点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为，点C的坐标为， ∴可确定原点的位置，如图，建立平面直角坐标系， ∴点的坐标是． 7．如图，点是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点向轴、轴作垂线段，若垂线段的长度的和为，则点叫做“垂距点”，例如：如图中的点是“垂距点”，请写出一个第四象限内的“垂距点”：__________． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：第四象限内的点横坐标大于0，纵坐标小于0， 根据定义可知第四象限内的“垂距点”可为（答案不唯一）． 8．如图是某公园部分景点位置的示意图，其中景点都在正方形网格的格点上．如果分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表长．表示牡丹园的点的坐标为，表示游乐园的点的坐标为，那么表示喷水池的点的坐标为____________ ；如果经过西门的道路a与x轴平行，那么从牡丹园到道路a的距离是_____ ． 【答案】 3 【详解】解：根据表示牡丹园和游乐园的点的坐标建立平面直角坐标系如下： 表示喷水池的点的坐标为； 由平面直角坐标系可知，表示西门的点的坐标为， 经过西门的道路a与x轴平行，牡丹园的点的坐标为， 牡丹园到道路a的距离是． 9．在平面直角坐标系中，解决下列问题： (1)描出下列各点，并把各点依次连接成封闭图形． ，，，，，，，，，，，． (2)观察所得的图形，它是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，画出它的对称轴． (3)在（1）题的各点中，分别写出关于x轴、y轴和原点对称的点． 【答案】(1)解：描点，连线，画图如下； (2)解：所得图形是轴对称图形，对称轴为轴，轴，直线和直线，画图如下： (3)【分析】（1）画出坐标系，描点，连线即可； （2）观察图形，根据轴对称的性质，进行判断，画出对称轴即可； （3）根据图形，写出关于x轴、y轴和原点对称的点即可. 解：由图可知，关于轴对称的点对：与，与，与，与，与，与； 关于轴对称的点对：与，与，与，与，与，与； 关于原点对称的点对：与，与，与，与，与，与. 迁移创新 1．问题背景： 在平面直角坐标系中，已知点，，点是线段的中点，则点的坐标为．如：已知点，则线段的中点的坐标：，，故点的坐标为．解决问题： (1)已知点，则线段的中点的坐标是______． (2)若已知点，且线段的中点坐标为，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】（1）根据已知条件代入点的坐标计算即可． （2）设点，根据已知点坐标和中点的坐标列出方程并解方程即可． 【详解】（1）解：∵点， ∴线段的中点的坐标为， 即； （2）解：设点， 根据题意可得：， 解得， ∴点的坐标为． 2．阅读材料，回答下列问题： 在直角坐标系中，已知平面内、两点坐标，则A、B两点之间的距离等于 例如：已知点，则这两点间的距离． 特别地，如果两点，所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为或． (1)已知，求C、D两点间的距离； (2)已知M、N在平行于y轴的同一条直线上，点M的纵坐标为5，点N的纵坐标为，求M、N两点间的距离； (3)已知一个三角形各顶点的坐标为，请判定此三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1)； (2)6； (3)解：为等腰三角形，理由如下： ∵， ， ∴， ∴为等腰三角形． 【分析】（1）根据公式，代入计算即可． （2）判断两点的横坐标相同，计算即可． （3）利用公式计算三边的长，进而判断即可． 【详解】（1）解：根据给出的公式得， ∴C、D两点间的距离为； （2）解：∵M、N在平行于y轴的同一条直线上，点M的纵坐标为5，点N的纵坐标为， ∴， ∴M、N两点间的距离为6； （3）略 3．【教材呈现】下图是人教版七年级下册数学教材第42页的部分内容． 【探究】： 怎样用两个面积为的小正方形拼成一个面积为的大正方形？这个大正方形的边长是多少？ 如图①，把两个小正方形沿对角线剪开，将所得4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形． 【问题解决】 (1)图①中大正方形的边长为_____，小正方形的对角线的长为________． 【拓展应用】如图②，在平面直角坐标系中，已知点，； (2)线段的长为_________，请选用合适的工具，描出点的位置； (3)若点在坐标轴上，且，请判断：点的位置_________（填“唯一”或“不唯一”），若唯一，请说明理由；若不唯一，请直接写出所有点的坐标_________． 【答案】(1)， (2)； 点如图所示， (3)不唯一；或或）或） 【分析】（1）依据题意，由算术平方根的定义即可得出答案； （2）根据勾股定理即可得到结论； （3）根据点的坐标即可得到结论． 【详解】（1）解：∵图中大正方形的面积为， ∴图中大正方形的边长为， ∴小正方形的对角线的长为． （2）解：∵点， ∴， ∴线段的长为， 点的位置画图见答案； （3）解：∵，， ∴当点在轴上时，，； 当点在轴上时，， ∴，， ∴点的位置不唯一，如图所示． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 位置与坐标 3.2 平面直角坐标系 课标要点 1.认识平面直角坐标系，了解横轴、纵轴、原点、象限等基本概念，能规范绘制平面直角坐标系，建立二维平面空间认知。 2.理解平面内点与有序实数对一一对应的关系，掌握根据位置写坐标、根据坐标描点的基本方法。 3.掌握各象限、坐标轴上点的坐标符号特征，掌握特殊位置点的坐标规律，能准确判断点的位置属性。 4.掌握点关于坐标轴、原点的对称规律，会求点到坐标轴、原点的距离，能利用坐标解决简单几何计算问题。 5.能根据实际图形灵活建立平面直角坐标系，运用坐标描述图形位置与特征，发展数形结合、几何直观与建模素养。 学习重难点 重点： 1.掌握平面直角坐标系基本概念，熟练实现点与坐标的双向转化，规范读写坐标、精准描点定位。 2.熟记各象限及坐标轴上点的坐标符号规律，快速识别点所在位置与特殊坐标特征。 3.熟练掌握点关于x轴、y轴、原点的对称坐标变化规律，掌握点到坐标轴的距离计算方法。 4.能够根据几何图形情境合理建立平面直角坐标系，利用坐标表示图形顶点并进行简单几何运算。 难点： 1.深刻理解平面内点与有序实数对一一对应的抽象关系，突破一维数轴到二维坐标系的思维转换。 2.容易混淆横、纵坐标顺序，混淆各象限符号特征，无法区分坐标轴上的点与象限内的点。 3.容易混淆三种对称变换的坐标规律，在综合题型中出现公式记混、变换出错的问题。 4.不会根据图形特点择优建立坐标系，难以熟练运用数形结合思想解决坐标与几何综合问题。 知识点 平面直角坐标系 定义：在同一平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。水平数轴称为横轴（x轴），向右为正方向；竖直数轴称为纵轴（y轴），向上为正方向；两条数轴的公共交点叫做坐标原点。 特别提醒 平面直角坐标系必须同时满足三个条件：同一平面、互相垂直、原点重合，三者缺一不可。 易错提醒 学生容易误认为两条任意相交的数轴都能构成坐标系，忽略垂直、共原点两个核心条件。 教材延伸 平面直角坐标系实现了平面图形与代数坐标的转化，是初中数形结合最重要的工具，也是后续一次函数、几何综合题的基础。 随学随练 1．如图，是红军长征路线图，若表示瑞金的点的坐标为，则表示吴起镇会师的点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则该目标的坐标可能是（     ） A． B． C． D． 3．孔明灯（又称天灯）是一种利用热空气上升原理制成的传统飞行器．在如图所示的网格中建立平面直角坐标系，使得孔明灯，的坐标分别为、，则孔明灯的坐标为（     ） A． B． C． D． 知识点 象限的划分 基本概念：x轴和y轴将平面分成四个区域，从右上方开始逆时针依次分为：第一象限、第二象限、第三象限、第四象限 特别提醒 x轴、y轴上的所有点，都不属于任何一个象限，只有横、纵坐标均不为0的点才在象限内。 易错提醒 做题时常误将原点、坐标轴上的点判定为属于某一象限，属于高频基础错题。 教材延伸 象限划分是判断点的位置、符号特征、函数图像分布的前置基础，贯穿整个初中函数学习。 随学随练 1．在平面直角坐标系中，若点P的坐标为，则点P所在的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．在一场足球训练赛中，小亮首发出场担任左后卫，站在图中点A的位置．若以中场线所在直线为x轴，垂直于中场线过中圈圆心的直线为y轴建立平面直角坐标系，点A所在的象限是 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．在平面直角坐标系中，点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．如图，这是某中学部分功能室的大致位置，以田径场所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系，若某功能室坐标为，则该功能室是（     ） A．物理实验室 B．化学实验室 C．生物实验室 D．图书馆 知识点 点的坐标 定义：平面内任意一点的位置，可以用有序实数对表示。其中是横坐标（对应水平位置），是纵坐标（对应竖直位置）。 特别提醒 坐标是有序的，先横后纵，顺序不可颠倒，与一般不是同一个点。 易错提醒 读数、描点极易出现横纵坐标颠倒，书写坐标漏括号、漏逗号，格式不规范。 教材延伸 平面内点与有序实数对一一对应，是平面直角坐标系最核心的数学原理。 随学随练 1．如图，小手盖住的点的坐标可能为（     ） A． B． C． D． 2．老师在黑板上画出平面直角坐标系，并将数学课本放在如图所示的位置，则下列各点一定没有被书本遮住的点是（     ） A． B． C． D． 3．年月日，北京密云正式对外发布城市品牌“来密云看海”，品牌是一个“云”字．如图，将其放入正方形网格中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 4．如图是象棋棋盘的一部分，如果用坐标表示帅的位置，用坐标表示车的位置，那么坐标点表示的棋子是（    ） A．相 B．马 C．炮 D．兵 5．如图，有A，B，C三点，如果A点用来表示，B点用表示，则C点的坐标的位置可以表示为（      ） A． B． C． D． 6．如图是故宫内部分建筑的分布图，建立平面直角坐标系，使弘义阁位于点，本仁殿位于点，则乾清门位于点（    ） A． B． C． D． 知识点 各象限点的坐标符号特征 概念：第一象限：横坐标正、纵坐标正；第二象限：横坐标负、纵坐标正 第三象限：横坐标负、纵坐标负；第四象限：横坐标正、纵坐标负 特别提醒 易错提醒 第2、 四象限符号最容易记混；看到参数坐标不会根据象限判断正负。 教材延伸 利用象限符号可以直接判断代数式正负、参数取值范围，是选择填空必考题型。 随学随练 1．点在第（     ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 2．在平面直角坐标系中，位于第三象限内的点是（     ） A． B． C． D． 知识点 坐标轴上点的坐标特征 定义：x 轴上的点：纵坐标为0，坐标形式；y 轴上的点：横坐标为0，坐标形式 原点：横、纵坐标均为0，坐标。 特别提醒 x轴上的点纵坐标恒为 0，y 轴上的点横坐标恒为 0，不可混淆。 易错提醒 教材延伸 在几何建系题目中，将点落在坐标轴上可以简化坐标、减少负数、简化计算。 随学随练 1．点在轴上，则_____． 2．在平面直角坐标系中，已知点在轴上，则的值为_____________． 3．若点在轴上，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 知识点6 平行于坐标轴的直线上点的特征 定义：平行于x轴的直线：所有点纵坐标相同，横坐标不同，直线呈水平状态。平行于y轴的直线：所有点横坐标相同，纵坐标不同，直线呈竖直状态。 特别提醒 水平看纵坐标，竖直看横坐标，是解题固定判断逻辑。 易错提醒 容易记反：水平直线变横坐标、竖直直线变纵坐标。 教材延伸 该知识点常用于判断线段水平、竖直关系，快速求线段长度。 随学随练 1．若点的坐标为，，轴，且点在第一象限，那么点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．北京时间2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船将于酒泉卫星发射中心发射．在发射场地面坐标系中，某关键设备位于点，已知点，且直线轴，则a的值为（     ） A． B． C．3 D． 3．在平面直角坐标系中，点在x轴上，则______． 4．在平面直角坐标系中，点的坐标为，若轴，且，则点坐标为___________． 5．在平面直角坐标系中，已知 轴，且，则点的坐标为__________． 6．在平面直角坐标系中，已知点，点，若轴，轴，则点的坐标是_________． 知识点7 点到坐标轴、原点的距离 定义：点到 x 轴的距离：纵坐标的绝对值；点到 y 轴的距离：横坐标的绝对值 点到原点距离：利用勾股定理。 随学随练特别提醒 距离一定是非负数，所有距离计算必须带绝对值。 易错提醒 求距离忘记加绝对值，导致出现负数答案；混淆到x轴、y轴距离公式。 教材延伸 距离公式是坐标求面积、求边长、几何计算的核心依据。 1．若在第四象限，且点到轴的距离为7，则n的值为___________． 2．在平面直角坐标系中，点到轴的距离为3，则点的坐标可以是________．（写出一个即可） 3．在平面直角坐标系中，点在第四象限，点到轴的距离是1，到轴的距离是4，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，点到轴的距离为（     ） A． B． C． D． 5．点到轴的距离为（     ） A．3 B． C．2 D． 6．下面四个点离轴最近的是（     ） A． B． C． D． 7．若点在第二象限，且点到轴的距离为，到轴的距离为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 拓展 平面直角坐标系中的几何直观 借助平面直角坐标系，将数（坐标、代数式）和形（点、线段、几何图形）相互转化，通过画图、描点观察点的位置、图形的形态，直观分析点的符号特征、对称变换、图形面积等问题，把抽象的代数条件转化为可视的几何图像，降低问题难度。。 素养拓展要点 1.养成解题先画坐标系的习惯，能用描点直观判断点所在象限、点之间的位置关系。 2.能由坐标想象出点、线段、多边形的大致图形，实现 “由数思形”。 3.遇到距离、对称、面积题，借助图像辅助分析，减少纯代数计算带来的符号错误。 4.能根据图形特征读出坐标信息，完成 “以形释数”，建立数形互化的直觉。 活学活用 1．[活动]用坐标描述公园景点位置：春天到了，七年级（2）班组织同学到人民公园春游，李明、张华对着景区示意图，描述牡丹园的位置（图中小正方形的边长代表长）如下． 李明：“牡丹园的坐标是．” 张华：“牡丹园在中心广场东北方向约处．” 实际上，他们所说的位置都是正确的． (1)请你根据李明同学所说的位置，帮他在示意图中建立平面直角坐标系，写出湖心亭、望春亭的坐标． (2)请你根据张华对牡丹园位置的描述，描述一下音乐台、游乐园的位置． 2．如图，长方形中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为，C点的坐标为，点B在第一象限内． (1)写出点B的坐标 ； (2)若过点C的直线交长方形边于点D，且把长方形的周长分为两部分，求点D的坐标． (3)如果将（2）中的线段向下平移0.5个单位，所得线段，试计算由O、A、、点组成的四边形面积． 拓展 平面直角坐标系中的推理能力素养 通过观察多个点的坐标，归纳象限符号、对称变换、特殊直线上点的坐标规律；利用得到的规律进行计算、参数求解、规律探究，同时能对结论进行简单说理，锻炼观察‑猜想‑归纳‑验证的逻辑推理。 素养拓展要点 经历自主描点，归纳出对称、角平分线、平行于坐标轴直线的坐标规律，而非死记公式。 能利用已得规律进行正向推理：已知点坐标，推导对称点、取值范围、线段长度。 强化逆向推理训练：给出对称后坐标、距离，反求原坐标，注意分类讨论。 在坐标规律探究题中，观察点的变化，归纳循环规律，提升合情推理能力。 活学活用 1．在平面直角坐标系中，已知点，点，为线段的中点，则点的坐标为，例如：，则线段的中点的坐标为，即点的坐标为． (1)已知，，为线段的中点，则点的坐标为________； (2)已知，，为线段的中点，求点的坐标； (3)已知两点，，点在轴上，点在轴上，若点，，，中的任意两点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，直接写出点的坐标． 2．李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面李老师在“平面直角坐标系中线段的中点”主题下设计的问题，请你解答． (1)观察发现 在下面给出的平面直角坐标系中，描出下列各点：，并连接，请写出线段的中点坐标：___________，线段的中点坐标：___________． (2)探究迁移 如果有，两点，那么线段的中点坐标是___________． (3)拓展应用 已知三点，点与点中的一个点构成的线段的中点与另外两个点构成的线段的中点重合，求点的坐标． 题型 直角坐标系中点的坐标 解题贴士 严格按 "先横后纵" 读取，横坐标对应点到y轴的水平距离，纵坐标对应点到x轴的竖直距离。书写格式为，必须带括号、中间加逗号，做完对照图形反向核对，杜绝横纵坐标颠倒. ▌例1 青花瓷是我国四大名瓷之首．将如图的青花瓷图片放在平面直角坐标系中，已知瓶身左侧的点的横纵坐标均为无理数，则点坐标可能是（　　） A． B． C． D． ▌对点练1-1．如图，将庆阳市部分旅游景点放在平面直角坐标系中，则公刘庙所在位置点的坐标可能是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．《望天门山》一诗通过对天门山景色的描绘，不仅展现了大自然的神奇壮丽，更体现了李白诗歌中情景交融的艺术境界，诗的前两句为“天门中断楚江开，碧水东流至此回”．小冉将“碧”“水”“东”“流”写在如图所示的网格中．若建立平面直角坐标系，使“碧”“水”的坐标分别为，，则“东”的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型 求点到坐标轴的距离 解题贴士 点到x轴的距离等于，到y轴的距离等于。距离永远是非负数，必须加绝对值。已知距离反求坐标时，坐标可正可负，必须分类讨论，通常有两个解，不要漏解. ▌例1已知在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点到轴的距离为（     ） A．4 B．5 C．9 D．1 ▌对点练1-1在平面直角坐标系中，点到轴的距离为（     ） A． B． C． D．无法确定 ▌对点练1-2若轴上的点到轴的距离是7，则点的坐标是（     ） A． B． C．或 D．或 ▌对点练1-3 点在第三象限内，点到轴的距离是5，到轴的距离是1，那么点的坐标为（     ） A． B． C． D． 题型 判断点的象限 解题贴士 先看横坐标正负定左右，再看纵坐标正负定上下。第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。坐标轴上的点不属于任何象限，看到坐标为 0 的点直接排除象限判断. ▌例1点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ▌对点练1-1点在第一象限，则点的坐标可能是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2若点在轴上，则点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ▌对点练1-3 在平面直角坐标系中，点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型 根据点的象限求参数 解题贴士 根据象限符号特征列不等式组：点在第一象限则横纵坐标都大于0，第二象限横坐标小于0、纵坐标大于0，第三象限都小于0，第四象限横坐标大于0、纵坐标小于0。解不等式组即可求出参数取值范围，注意同时满足多个条件取交集. ▌例1在平面直角坐标系中，点在第二象限内，则的取值可以是（     ） A． B．0 C．3 D．4或 ▌对点练1-1在平面直角坐标系中，点在第三象限，则m的值可以是（     ） A．0 B．1 C． D．2 ▌对点练1-2已知点，，且轴，则的值为（   ） A．-3 B．3 C．2 D．-2 ▌对点练1-3 在平面直角坐标系中，若点位于第三象限，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型 坐标系中描点 解题贴士 先在x轴上找到横坐标对应的位置，再在y轴上找到纵坐标对应的位置，分别作两轴的垂线，两垂线的交点就是该点。描完点后对照坐标反向检查一遍，确认横纵坐标没有看反. ▌例1如图，小伙伴们玩藏宝游戏，藏宝图上有几句话：一号宝藏在坐标为的点处，二号宝藏在坐标为的点处，三号宝藏在坐标为处，则三号宝藏在（  ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 ▌对点练1-1如图是在方格纸上画出的小旗图案，若用表示A点，表示B点，那么C点的位置可表示为______． ▌对点练1-2 如图，在平面直角坐标系中，按下列要求完成任务． (1)在平面直角坐标系中描出下列各点：，，，； (2)写出平面直角坐标系中点E，F，G，H的坐标． ▌对点练1-3 在平面直角坐标系中，已知点 ，，． (1)在坐标系中标出 A，B，C； (2)判断的形状，并求面积． 题型 根据两点坐标求距离 解题贴士 两点横坐标相同（平行于y轴），距离等于纵坐标差的绝对值；两点纵坐标相同（平行于x轴），距离等于横坐标差的绝对值。两点横纵坐标都不同时，用勾股定理计算，距离等于横差平方加纵差平方再开根号. ▌例1 平面直角坐标系中，点到原点的距离是（     ） A．3 B．2 C． D． ▌对点练1-1在平面直角坐标系中，描出，连接，则线段的长为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2在平面直角坐标系中，已知点，则线段的长度为（   ） A．10 B．12 C．15 D．18 ▌对点练1-3 若第一象限内的点到原点的距离为5，则a的值是（    ） A．3 B． C．5 D．1 题型7 中点坐标 解题贴士 两点、的中点坐标为两点横纵坐标分别取平均值，即。已知中点和一个端点求另一端点，用中点坐标乘2减去已知端点坐标即可. ▌例1若线段轴，点是线段的中点，且，则点的坐标是（   ） A． B．或 C． D．或 ▌例2 已知线段的中点为坐标原点．若点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1在平面直角坐标系中，已知，，则线段的中点坐标是________． ▌对点练1-2若，是平面直角坐标系中的两点，是线段的中点，则值为_______． 题型8 点坐标规律 解题贴士 横纵坐标拆开单独找规律，分别写出前几个点的横坐标和纵坐标，观察等差变化或循环变化。找到规律后代入前几个点验证，确认无误后再推导第n个点的坐标。循环型规律用总次数除以循环周期，看余数确定位置. ▌例1 如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为个单位长度的半圆，，，…组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第秒时，点的坐标是（     ） A． B． C． D． ▌例2 如图，在平面直角坐标系中，动点P按图中箭头所示方向从原点出发，第1次运动到点，第2次接着运动到点，第3次接着运动到点，第4次接着运动到点，…，按这样的运动规律，点的坐标是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1如图，在平面直角坐标系中有一个点，点第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至，…，依照此规律跳动下去，点第次跳动到点坐标为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点，，，，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型9 求点沿X轴、Y轴平移后的坐标 解题贴士 沿x轴左右平移，纵坐标不变，横坐标左减右加：向右平移个单位，横坐标加；向左平移个单位，横坐标减。沿y轴上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减：向上平移个单位，纵坐标加；向下平移个单位，纵坐标减. ▌例1点向左平移3个单位，再向上平移4个单位到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-1在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得点的坐标是______． ▌对点练1-2编队飞行（即平行飞行）的两架飞机A、B在直角坐标系中的坐标分别为、，当飞机A飞到指定位置的坐标是时，飞机B的坐标是_____． 基础通关 1．书法课上，小义在如图所示的网格纸上写了一个“乐”字，图中均在格点上，建立平面直角坐标系，点，，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．在平面直角坐标系中，对点叙述错误的是（     ） A．在x轴下方 B．在第四象限 C．距离x轴1个单位长度 D．距离y轴1个单位长度 4．在平面直角坐标系中，若点在第二象限，且点到轴的距离为3，到轴的距离为4，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，轴，，若点，则点B的坐标是（     ） A． B．或 C． D．或 6．在平面直角坐标系中，点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．请写出一个在轴负半轴上的点的坐标：______．（写一个即可） 8．点到轴的距离为________． 9．若点在第二象限，则点在第______________象限． 10．在平面直角坐标系中，点，，则线段的长度为______．   11．在平面直角坐标系中，点的坐标为，若，则点在第__________象限． 12．已知点在轴上，则的值为________． 13．已知点，解答下列各题∶ (1)若点P在x轴上，求点P的坐标； (2)若点Q的坐标为，直线轴，求点P的坐标． 14．在平面直角坐标系中，点． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且轴，求的长． (3)若点在轴下方且到轴的距离为，求的值． (4)若点在二、四象限的角平分线上，求点的坐标． 15．如图所示的是公园某些景区的分布示意图（小正方形的边长为1个单位长度），点的坐标是，点位于坐标原点的西北方向． (1)根据以上描述，在图中建立平面直角坐标系，并写出点的坐标； (2)已知点，且轴，试求点的坐标． 素养提升 1．在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，，当最短时，三角形的面积和t的值分别为（     ） A． B． C． D． 2．若点，是与x轴平行的直线上不同的两点，且到y轴的距离相等，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 3．如图，动点从出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第次碰到矩形的边时，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（     ） A．点在第四象限 B．若，则在坐标原点 C．点P在第二象限，且点P到x轴的距离为2，点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为 D．在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，且平行于x轴，，则点B的坐标为 5．如图，在平面直角坐标系中，已知点，按照此规律，点的坐标为（     ） A． B． C． D． 6．七巧板又称七巧图，是中国民间流传的智力玩具．如图是由七巧板拼成的正方形，将其放入平面直角坐标系中，若点的坐标为，点C的坐标为，则点的坐标是_______． 7．如图，点是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点向轴、轴作垂线段，若垂线段的长度的和为，则点叫做“垂距点”，例如：如图中的点是“垂距点”，请写出一个第四象限内的“垂距点”：__________． 8．如图是某公园部分景点位置的示意图，其中景点都在正方形网格的格点上．如果分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表长．表示牡丹园的点的坐标为，表示游乐园的点的坐标为，那么表示喷水池的点的坐标为____________ ；如果经过西门的道路a与x轴平行，那么从牡丹园到道路a的距离是_____ ． 9．在平面直角坐标系中，解决下列问题： (1)描出下列各点，并把各点依次连接成封闭图形． ，，，，，，，，，，，． (2)观察所得的图形，它是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，画出它的对称轴． (3)在（1）题的各点中，分别写出关于x轴、y轴和原点对称的点． 迁移创新 1．问题背景： 在平面直角坐标系中，已知点，，点是线段的中点，则点的坐标为．如：已知点，则线段的中点的坐标：，，故点的坐标为．解决问题： (1)已知点，则线段的中点的坐标是______． (2)若已知点，且线段的中点坐标为，求点的坐标． 2．阅读材料，回答下列问题： 在直角坐标系中，已知平面内、两点坐标，则A、B两点之间的距离等于 例如：已知点，则这两点间的距离． 特别地，如果两点，所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为或． (1)已知，求C、D两点间的距离； (2)已知M、N在平行于y轴的同一条直线上，点M的纵坐标为5，点N的纵坐标为，求M、N两点间的距离； (3)已知一个三角形各顶点的坐标为，请判定此三角形的形状，并说明理由． 3．【教材呈现】下图是人教版七年级下册数学教材第42页的部分内容． 【探究】： 怎样用两个面积为的小正方形拼成一个面积为的大正方形？这个大正方形的边长是多少？ 如图①，把两个小正方形沿对角线剪开，将所得4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为的大正方形． 【问题解决】 (1)图①中大正方形的边长为_____，小正方形的对角线的长为________． 【拓展应用】如图②，在平面直角坐标系中，已知点，； (2)线段的长为_________，请选用合适的工具，描出点的位置； (3)若点在坐标轴上，且，请判断：点的位置_________（填“唯一”或“不唯一”），若唯一，请说明理由；若不唯一，请直接写出所有点的坐标_________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $