3.1 确定位置 同步讲义 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

本讲义聚焦初中数学“确定位置”核心知识点，系统梳理点的坐标（有序数对、平面直角坐标系及各部分名称、坐标平面划分、点与有序数对一一对应）和方向角（定义、描述方法、作图），以“解题知识—典例解析—变式训练”为学习支架，构建从概念到应用的完整学习路径。 该资料以题型为导向，通过点在象限位置判断、方向角实际应用等典例与变式题，强化数学眼光（几何直观、空间观念）和数学思维（推理意识），渗透数学语言（模型意识）。课中助力教师分层教学，课后过关验收题覆盖不同难度，帮助学生查漏补缺，巩固知识应用能力。

第3章 3.1 确定位置 内 容 导 航 题型1 点的坐标 题型2 方向角 考 点 演 练 题型1 点的坐标 解｜题｜知｜识 （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． （2）平面直角坐标系的相关概念 ①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴． （3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 【典例1】若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为2，则点P的坐标为（　　） A．（2，﹣4） B．（4，﹣2） C．（﹣4，2） D．（﹣2，4） 【答案】D 【解答】解：设点P的坐标为（x，y）， |x|＝2，|y|＝4， 解得：x＝±2，y＝±4， ∵点P在第二象限， ∴x＝﹣2，y＝4， ∴点P的坐标为（﹣2，4）， 故选：D． 【变式1】平面直角坐标系中，第三象限内的点P（a+3，a）到y轴的距离是4，则a的值为（　　） A．﹣7 B．4 C．1 D．﹣4 【答案】A 【解答】解：∵第三象限内的点P（a+3，a）到y轴的距离是4， ∴a+3＜0且a＜0，|a+3|＝4， ∴a+3＝﹣4， 解得a＝﹣7． 故选：A． 【变式2】在平面直角坐标系内，点M（2，﹣10）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解答】解：点M（2，﹣10）的横坐标大于0，纵坐标小于0，故点M所在的象限是第四象限， 故选：D． 【变式3】下列说法正确的是（　　） A．（3，2）和（2，3）表示同一个点 B．点（1，0）在y轴的正半轴上 C．点（﹣2，1）到y轴的距离为2 D．点（﹣3，2）到x轴的距离为3 【答案】C 【解答】解：（3，2）和（2，3）表示不同的点， ∴A不正确，不符合题意； 点（1，0）在x轴的正半轴上， ∴B不正确，不符合题意； 点（﹣2，1）到y轴的距离为|﹣2|＝2， ∴C正确，符合题意； 点（﹣3，2）到x轴的距离为2， ∴D不正确，不符合题意． 故选：C． 题型2 方向角 解｜题｜知｜识 方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角 （1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向． （2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．） （3）画方向角 以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线． 【典例1】如图，一轮船在海上往东行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东75°，在B处测得灯塔C位于北偏东35°，则∠ACB＝（　　） A．30° B．32° C．35° D．40° 【答案】D 【解答】解：∵∠ABC＝90°+35°＝125°，∠CAB＝90°﹣75°＝15°， ∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠CAB＝180°﹣15°﹣125°＝40°． 故选：D． 【变式1】如图，小明家与学校的相对位置描述正确的是（　　） A．学校在小明家南偏东45°的方向上，距学校500m B．学校在小明家北偏东45°的方向上，距学校500m C．小明家在学校南偏西45°的方向上，距学校500m D．小明家在学校北偏东45°的方向上，距学校500m 【答案】A 【解答】解：由图可知，学校在小明家南偏东45°的方向上，距学校500m，小明家在学校北偏西45°的方向上，距学校500m． 故选：A． 【变式2】如图，点A在点B的北偏西45°方向，点C在点B的北偏东30°方向，点C在点A的北偏东80°方向，则∠C的度数为（　　） A．30° B．40° C．45° D．50° 【答案】D 【解答】解：根据图片可知，AD平行于BE， ∵点A在点B的北偏西45°方向，点C在点B的北偏东30°方向，点C在点A的北偏东80°方向， ∴∠ABE＝45°，∠CBE＝30°，∠CAD＝80°， ， ∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝75°，∠BAD+∠ABE＝180°， ∴∠BAD＝180°﹣∠ABE＝135°， ∴∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝135°﹣80°＝55°， ∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°， ∴∠C＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）＝50°． 故选：D． 【变式3】如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东10°方向，C处在B处的北偏东85°方向，则∠ACB的大小是（　　） A．80° B．75° C．85° D．88° 【答案】C 【解答】解：如图，根据方向角的定义可知，∠SAB＝45°，∠SAC＝10°，∠NBC＝85°， ∴∠BAC＝∠SAB+∠SAC＝45°+10°＝55°， ∵BN∥AS， ∴∠SAB＝∠NBA＝45°， ∴∠ABC＝∠NBC﹣∠NBA＝85°﹣45°＝40°， ∴∠ACB＝180°﹣55°﹣40°＝85°， 故选：C． 过 关 验 收 1．已知点P（4，m）到y轴的距离是它到x轴距离的2倍，则m的值为（　　） A．2 B．8 C．2或﹣2 D．8或﹣8 【答案】C 【解答】解：∵点P（4，m）到y轴的距离是它到x轴距离的2倍， ∴2|m|＝4 ∴m＝±2， 故选：C． 2．若点P（a，b）在第三象限，则点Q（﹣a，b﹣1）在第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【解答】解：∵点P（a，b）在第三象限， ∴a＜0，b＜0， ∴﹣a＞0，b﹣1＜0， ∴点Q（﹣a，b﹣1）在第四象限， 故选：D． 3．如图，是某学校的示意图，若综合楼在点（﹣2，﹣1），食堂在点（1，2），则教学楼在点（　　） A．（0，﹣4） B．（﹣4，0） C．（﹣5，2） D．（﹣4，1） 【答案】D 【解答】解：∵综合楼在点（﹣2，﹣1），食堂在点（1，2）， ∴根据建立平面直角坐标系如图所示： ∴教学楼在点（﹣4，1）， 故选：D． 4．点A（m+3，2m+4）在y轴上，则点A的坐标为　（0，﹣2）　 ． 【答案】（0，﹣2）． 【解答】解：由题意得，m+3＝0， ∴m＝﹣3， ∴2m+4＝2×（﹣3）+4＝﹣2， ∴点A的坐标为（0，﹣2）， 故答案为：（0，﹣2）． 5．在平面直角坐标系中，若点P（4﹣m，3m）在y轴上，则m＝ 　4　 ． 【答案】4． 【解答】解：∵点P（4﹣m，3m）在y轴上， ∴4﹣m＝0， 解得：m＝4， 故答案为：4． 6．点（a，2a﹣1）一定不在第　二　 象限． 【答案】二． 【解答】解：分四个象限讨论，分别根据象限坐标符号特点，列出不等式组，解不等式组可得： 当点（a，2a﹣1）在第一象限时，，解得， ∴点（a，2a﹣1）有可能在第一象限； 当点（a，2a﹣1）在第二象限时，，不等式组无解， ∴点（a，2a﹣1）不可能在第二象限； 当点（a，2a﹣1）在第三象限时，，解得a＜0， ∴点（a，2a﹣1）有可能在第三象限； 当点（a，2a﹣1）在第四象限时，，解得， ∴点（a，2a﹣1）有可能在第四象限﹒ 故答案为：二． 7．2025年是红军长征胜利90周年，如图，是红军长征路线图，若表示吴起镇会师的坐标为（2，2），瑞金的坐标为（5，﹣4），则表示会宁会师的点的坐标为　（1，1）　 ． 【答案】（1，1） 【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示： ∴表示会宁会师的点的坐标为（1，1）， 故答案为：（1，1）． 8．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（x﹣3，2x+1）． （1）若点P在x轴上，求出点P的坐标； （2）若点P到x轴和y轴的距离相等，求出点P的坐标． 【答案】（1）； （2）（﹣7，﹣7）或． 【解答】解：（1）由题意得，2x+1＝0， ∴， ∴， ∴P； （2）由题意得，|x﹣3|＝|2x+1|， ∴x﹣3＝2x+1或x﹣3＝﹣（2x+1） 解得x＝﹣4或， 当x＝﹣4时，x﹣3＝﹣4﹣3＝﹣7，2x+1＝2×（﹣4）+1＝﹣7， 即此时点P（﹣7，﹣7）； 当时，， 此时点P， 综上所述，点P的坐标为（﹣7，﹣7）或． 9．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． （1）点A（﹣5，3）的“长距”为 　5　 ； （2）若点B（4a﹣1，7）是“完美点”，求a的值； （3）若点D（9﹣2b，﹣5）是“完美点”，求点C（﹣5，3b﹣2）的长距． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵|﹣5|＝5，|3|＝3，5＞3， ∴点A（﹣5，3）的“长距”为5， 故答案为：5； （2）由题意，得：|4a﹣1|＝7， ∴4a﹣1＝7或4a﹣1＝﹣7， ∴a＝2或a＝﹣1.5； （3）由题意，得：|9﹣2b|＝|﹣5|＝5， ∴9﹣2b＝5或9﹣2b＝﹣5， ∴b＝2或b＝7， 当b＝2时，C（﹣5，4）， ∵|﹣5|＝5，|4|＝4，5＞4， ∴长距为5； 当b＝7时，C（﹣5，19）， ∵|﹣5|＝5，|19|＝19，19＞5， ∴长距为19， 综上：点C（﹣5，3b﹣2）长距为5或19． 10．如图，说法正确的是（　　） A．图书馆在体育馆东偏北方向上，距离450米处 B．体育馆在学校南偏东方向上，距离300米处 C．体育馆在图书馆东偏北方向上，距离450米处 D．学校在体育馆北偏西方向上，距离300米处 【答案】C 【解答】解：A、图书馆在体育馆东偏北方向上，距离450米处，不正确，应该是：图书馆在体育馆南偏西60°方向上，距离450米处，故A不符合题意； B、体育馆在学校南偏东方向上，距离300米处，不正确，应该是：体育馆在学校北偏西40°方向上，距离300米处，故B不符合题意； C、体育馆在图书馆东偏北30°方向上，距离450米处，故C符合题意； D、学校在体育馆北偏西方向上，距离300米处，不正确，应该是：学校在体育馆南偏东40°方向上，距离300米处，故D不符合题意． 故选：C． 11．一条灌溉水渠的部分如图所示，已知从B处沿北偏西20°方向到C处，CE段与BC段的夹角∠C＝100°，则E处相对于C处的方向是（　　） A．北偏东55° B．北偏东60° C．北偏西30° D．北偏西60° 【答案】B 【解答】解：如图，由题意，得：∠1＝20°， ∴∠2＝180°﹣∠1﹣100°＝60°； ∴E处相对于C处的方向是北偏东60°； 故选：B． 12．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于　85　 度． 【答案】85 【解答】解：∵B处在A处的南偏西45°方向，C处在B处的北偏东80°方向， ∴∠ABC＝80°﹣45°＝35°， ∵C处在A处的南偏东15°方向， ∴∠BAC＝45°+15°＝60°， ∴∠ACB＝180°﹣35°﹣60°＝85°． 故答案为：85． 13．如图，B处在A处的南偏西42°方向，C处在A处的南偏东16°方向，C处在B处的北偏东72°的方向，求从C观测A、B两处的视角∠ACB的度数． 【答案】92°． 【解答】解：由题意得：∠BAM＝42°，∠MAC＝16°，∠NBC＝72°， ∵AM∥BN， ∴∠NBA＝∠BAM＝42°， ∴∠ABC＝72°﹣42°＝30°， ∴∠ACB＝180°﹣30°﹣16°﹣42°＝92°． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 3.1 确定位置 内 容 导 航 题型1 点的坐标 题型2 方向角 考 点 演 练 题型1 点的坐标 解｜题｜知｜识 （1）我们把有顺序的两个数a和b组成的数对，叫做有序数对，记作（a，b）． （2）平面直角坐标系的相关概念 ①建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴． ②各部分名称：水平数轴叫x轴（横轴），竖直数轴叫y轴（纵轴），x轴一般取向右为正方向，y轴一般取象上为正方向，两轴交点叫坐标系的原点．它既属于x轴，又属于y轴． （3）坐标平面的划分 建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限． （4）坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的关系． 【典例1】若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为2，则点P的坐标为（　　） A．（2，﹣4） B．（4，﹣2） C．（﹣4，2） D．（﹣2，4） 【变式1】平面直角坐标系中，第三象限内的点P（a+3，a）到y轴的距离是4，则a的值为（　　） A．﹣7 B．4 C．1 D．﹣4 【变式2】在平面直角坐标系内，点M（2，﹣10）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3】下列说法正确的是（　　） A．（3，2）和（2，3）表示同一个点 B．点（1，0）在y轴的正半轴上 C．点（﹣2，1）到y轴的距离为2 D．点（﹣3，2）到x轴的距离为3 题型2 方向角 解｜题｜知｜识 方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角 （1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向． （2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．） （3）画方向角 以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线． 【典例1】如图，一轮船在海上往东行驶，在A处测得灯塔C位于北偏东75°，在B处测得灯塔C位于北偏东35°，则∠ACB＝（　　） A．30° B．32° C．35° D．40° 【变式1】如图，小明家与学校的相对位置描述正确的是（　　） A．学校在小明家南偏东45°的方向上，距学校500m B．学校在小明家北偏东45°的方向上，距学校500m C．小明家在学校南偏西45°的方向上，距学校500m D．小明家在学校北偏东45°的方向上，距学校500m 【变式2】如图，点A在点B的北偏西45°方向，点C在点B的北偏东30°方向，点C在点A的北偏东80°方向，则∠C的度数为（　　） A．30° B．40° C．45° D．50° 【变式3】如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东10°方向，C处在B处的北偏东85°方向，则∠ACB的大小是（　　） A．80° B．75° C．85° D．88° 过 关 验 收 1．已知点P（4，m）到y轴的距离是它到x轴距离的2倍，则m的值为（　　） A．2 B．8 C．2或﹣2 D．8或﹣8 2．若点P（a，b）在第三象限，则点Q（﹣a，b﹣1）在第（　　）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 3．如图，是某学校的示意图，若综合楼在点（﹣2，﹣1），食堂在点（1，2），则教学楼在点（　　） A．（0，﹣4） B．（﹣4，0） C．（﹣5，2） D．（﹣4，1） 4．点A（m+3，2m+4）在y轴上，则点A的坐标为　 　 ． 5．在平面直角坐标系中，若点P（4﹣m，3m）在y轴上，则m＝ 　 　 ． 6．点（a，2a﹣1）一定不在第　 　 象限． 7．2025年是红军长征胜利90周年，如图，是红军长征路线图，若表示吴起镇会师的坐标为（2，2），瑞金的坐标为（5，﹣4），则表示会宁会师的点的坐标为　 　 ． 8．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（x﹣3，2x+1）． （1）若点P在x轴上，求出点P的坐标； （2）若点P到x轴和y轴的距离相等，求出点P的坐标． 9．在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． （1）点A（﹣5，3）的“长距”为 　 ； （2）若点B（4a﹣1，7）是“完美点”，求a的值； （3）若点D（9﹣2b，﹣5）是“完美点”，求点C（﹣5，3b﹣2）的长距． 10．如图，说法正确的是（　　） A．图书馆在体育馆东偏北方向上，距离450米处 B．体育馆在学校南偏东方向上，距离300米处 C．体育馆在图书馆东偏北方向上，距离450米处 D．学校在体育馆北偏西方向上，距离300米处 11．一条灌溉水渠的部分如图所示，已知从B处沿北偏西20°方向到C处，CE段与BC段的夹角∠C＝100°，则E处相对于C处的方向是（　　） A．北偏东55° B．北偏东60° C．北偏西30° D．北偏西60° 12．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于　 　 度． 13．如图，B处在A处的南偏西42°方向，C处在A处的南偏东16°方向，C处在B处的北偏东72°的方向，求从C观测A、B两处的视角∠ACB的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $