上海财经大学附属北郊高级中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

上海财经大学附属北郊高级中学2025学年第一学期期中考试 高二年级数学试卷 一、填空题（共12题，1-6题每题3分，7-12题每题4分，满分42分） 1．双曲线的两条渐近线方程是__________． 2．设和的两边分别平行，若，则的大小为__________． 3．若与平行，则为__________． 4．已知抛物线上一点，则点到抛物线焦点的距离为__________． 5．圆的半径等于__________． 6．如图，是水平放置的的直观图，且，，则的周长为__________． 7．已知平面直角坐标系中的三点、、，若直线过点且与直线平行，则的方程为__________． 8．过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是__________． 9．若椭圆与双曲线有相同的焦点，则__________． 10．已知椭圆内有两点，，为椭圆上一点，则的最大值为__________． 11．若抛物线的准线与曲线只有一个交点，则实数满足的条件是__________． 12．已知点为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点是的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有，则双曲线的离心率是__________． 二、选择题（共4题，13、14题每题3分，15、16题每题4分，满分14分） 13．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的（ ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 14．椭圆上一点与椭圆的两个焦点，的连线互相垂直，则的面积为（ ） A．24 B．48 C．12 D．96 15．直线与有两个不同的交点，则的取值范围是（ ） A．； B．； C．； D．． 16．如图所示，是正方体边上的动点，下列哪条边所在直线与直线始终是异面直线（ ） A．； B．； C．； D．． 三、解答题（本大题共有4题，满分44分） 17．（本题满分8分，第（1）小题3分，第（2）小题5分） 如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米． （1）以抛物线的顶点为原点，其对称轴所在的直线为轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程； （2）若行车道总宽度为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米？ 18．（本题满分10分，第（1）小题3分，第（2）小题7分） 如图，已知、分别是正方体的棱、的中点． （1）求证：、、、在同一个平面上； （2）求证：与是异面直线并求出异面直线与所成角的大小． 19．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分） 已知圆：，直线：，设直线与圆相交于，两点 （1）若直线恒过定点，求出点坐标； （2）求弦中点的轨迹方程； （3）相交弦长度的最小值及相应的的值． 20．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分） 已知椭圆：的左、右焦点为，，点是椭圆的上顶点，经过的直线交椭圆于，两个不同的点． （1）求点到直线的距离； （2）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值； （3）若直线的斜率为，且，求实数的值． 学科网（北京）股份有限公司 $