精品解析：上海市新场中学2025-2026学年第一学期期中教学质量检测高二数学试题

上海市新场中学2025学年第一学期期中教学质量检测试试题 高二年级数学学科 考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考试号、姓名等填写清楚，并正确粘贴条形码． 2．请按照题号在答题纸各题答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．考试结束后只交答题纸． 3．满分100分，答卷时间90分钟． 一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 1. 点在直线上，可用集合符号表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点与直线的位置关系表示即可. 【详解】解：点在直线上，可用集合符号表示为. 故答案为： 2. 设和的两边分别平行，若，则的大小为___________. 【答案】45°或135°##135°或45° 【解析】 【分析】根据等角定理即可得到答案. 【详解】根据等角定理：一个角的两边平行于另外一个角的两边，则这两个角相等或互补. 故答案为：45°或135°. 3. 已知向量平行于向量 ，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量的平行性质求解即可. 【详解】由题意，设，则，解得，故. 故答案为： 4. 若用与球心距离为1的平面截球体所得的圆面半径为3，则球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用球的截面的性质和勾股定理求得球的半径，然后利用球的表面积公式求解即可. 【详解】用平面去截球所得截面圆的半径为3，由球心到该截面的距离为1，则球的半径， 所以球的表面积为． 故答案为：. 5. 以边长为3的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】先由圆柱的定义确定圆柱母线及底面半径， 然后由圆柱的侧面积公式即可求值. 【详解】以边长为3的正方形的一边所在直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆柱， 其底面半径，母线，故其侧面积为． 故答案为： 6. 如图是一平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据直观图的几何特征求出其面积，再利用原图形面积与直观图面积的数量关系求解。 【详解】在直观图 中，，，且斜边 . ， 则直观图的面积； 根据斜二测画法的性质，原平面图形的面积与直观图面积满足关系， 所以该平面图形的面积. 7. 底面半径为1的圆柱的表面积为，则该圆柱的体积为________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】设圆柱的高为，由圆柱的表面积为，列出方程，求得，结合圆柱的体积公式，即可求解. 【详解】设圆柱的高为， 因为底面半径为1的圆柱的表面积为，可得，解得， 所以该圆柱的体积为. 故答案为：. 8. 在长方体中，，，，则直线到平面的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知易证平面且平面平面，结合平面的基本性质，将问题化为求到的距离，即可得. 【详解】由题设，平面，平面，则平面， 所以直线到平面的距离，即为到平面的距离， 由平面，平面， 所以平面平面，又平面平面， 由平面，所以到平面的距离，即为到的距离， 在长方体中，，即，， 所以为正方形，故到的距离是正方形对角线的一半，为. 故答案为： 9. 在空间直角坐标系中，点到轴的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】将点到轴的距离转化为点到点的距离. 【详解】点到轴的距离即为点到的距离，即为， 故答案为：. 10. 已知圆锥的底面半径为，沿该圆锥的母线把侧面展开后可得到圆心角为的扇形，则该圆锥的高为________. 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的母线为，高为，根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面周长求出，再由勾股定理计算可得. 【详解】设圆锥的母线为，高为，底面半径，扇形的半径为. 由已知可得的长为， 又，由可得， 所以圆锥的高. 故答案为：. 11. 在正四面体中，点分别为棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题目已知条件判断出异面直线所成角为，利用余弦定理计算即可. 【详解】连接，因为分别为的中点，所以， 因异面直线所成角的范围为，则异面直线所成角为， 设正四面体的棱长为，则，， 根据余弦定理，， 则异面直线所成角的余弦值为. 故答案为：. 12. 《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体为鳖臑. 如图，在鳖臑中，平面，，，，分别为棱上一点，则的最小值为____. 【答案】 【解析】 【分析】结合垂直关系可得侧面的展开图，由此可确定当，时，取得最小值；利用长度关系和两角和差公式可求得，进而得到最小值. 【详解】平面，平面，，， ，，平面，平面， 又平面，； 将侧面沿展开，得到展开图如下图所示， 则当，时，取得最小值； ，，，， ，， ， . 故答案为：. 二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13. “直线AG ⊂平面AEF”是“存在实数a，b，满足”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既非充分也非必要条件 D. 充要条件 【答案】D 【解析】 【分析】结合向量知识，根据充分、必要条件的定义判断. 【详解】由“平面”可知不共线， 若直线平面，则根据平面向量基本定理，可由平面内两个不共线的向量线性表示， 所以存在实数，使， 即“直线平面”是“存在实数，满足”的充分条件； 若存在实数，满足，根据向量共面定理可知共面， 又它们有公共点，所以直线平面， 即“直线平面”是“存在实数，满足”的必要条件； 综上可知，“直线平面”是“存在实数，满足”的充要条件 故选：D. 14. 已知直线，若，且与相交，则与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相交或异面 C. 平行或异面 D. 相交、平行或异面 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间中线线的位置关系判断即可. 【详解】因为与相交，所以与确定一个平面，不妨设为， 又，所以或， 若，则与相交，若，则与异面； 综上可得与的位置关系是相交或异面. 故选：B 15. 在正方体中，二面角的正切值为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取的中点，连接，可得是二面角的平面角，设正方体的棱长为2，求解即可. 【详解】取的中点，连接， 由正方体，可得， 所以，所以是二面角的平面角， 设正方体的棱长为2，可得，所以， 在中，， 所以二面角的正切值为. 故答案为：D 16. 如图是一个直径为的球形容器和一个底面直径为、深的圆柱形水杯（壁厚均不计），则球形容器装满时，约可以倒满水杯（ ） A. 4杯 B. 6杯 C. 8杯 D. 16杯 【答案】C 【解析】 【分析】应用球的体积公式及圆柱的体积公式计算求解即可. 【详解】球形容器的直径为，则半径为， 所以球形容器的体积， 底面直径为、深的圆柱形水杯的底面半径为， 所以圆柱形水杯的体积， 所以，则球形容器装满时，约可以倒满水杯8杯. 故选：C 三、解答题（本大题共5小题，满分52分） 17. 已知向量，． （1）求； （2）求； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的坐标运算即可得到答案； （2）根据空间向量数量积的运算律和模长公式即可得到答案. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 因为，， 所以，， 所以 ； 18. 在半径为13cm的球面上有三点，，求球心到经过这三点的截面的距离． 【答案】11cm． 【解析】 【分析】利用正弦定理得到截面外接圆的半径，利用球的性质得到平面，结合勾股定理求解即可. 【详解】 设经过三点的截面为，设球心为O，连接，则平面， 因为，所以是等边三角形， 而是的外接圆，所以是的外接圆半径， 由正弦定理得，解得， 由勾股定理得， 所以，球心到截面距离为11cm． 19. 如图，在直三棱柱中，，D，E分别为，的中点. （1）求证：. （2）若，，求三棱锥的体积. 【答案】（1） 取中点，连接，， 在直三棱柱中，，D，E分别为，的中点， 故，又因则，， 因，平面， 故平面，因为平面，所以； （2）2 【解析】 【分析】（1）取中点，连由中点性质知垂直垂直，根据线面垂直判定得垂直平面，进而得． （2）利用三棱锥体积公式算出体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因，，平面，则平面 则三棱锥的体积为： ． 20. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，为中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面． 【答案】（1）证明：在四棱锥中，四边形为正方形， 连接，，交于点，则是中点，连接， 为中点，则为的中位线， ， 在平面外，平面， 平面． （2）证明：在四棱锥中，四边形为正方形， ， 平面，平面， ， 平面， 平面， 平面， 平面平面． 【解析】 【分析】（1）连接，，交于点，由三角形中位线性质可得，根据线面平行的判定可证得结论； （2）由线面垂直的性质及正方形的性质，结合线面垂直的判定可证得平面，由面面垂直的判定可证得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，在正四棱锥中，点为的中点. （1）若为的中点，判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）正四棱锥的各棱长均为2，求直线与底面所成角的大小. 【答案】（1）相交，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得且，从而得到四边形是梯形，即可得解； （2）依题意可得点到平面的距离为正四棱锥高的一半，求出棱锥的高与，再由锐角三角函数计算可得. 【小问1详解】 由、分别为侧棱、的中点， 所以且， 又且，故且， 所以四边形是梯形，因此直线与相交. 【小问2详解】 由为的中点，得点到平面的距离为正四棱锥高的一半， 设，连接，则平面， 由正四棱锥的各棱长均为，所以， 则 即正四面体的高为， 所以点到平面的距离为，又， 设直线与底面所成角为，则， 故直线与底面所成角的大小为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市新场中学2025学年第一学期期中教学质量检测试试题 高二年级数学学科 考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考试号、姓名等填写清楚，并正确粘贴条形码． 2．请按照题号在答题纸各题答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．考试结束后只交答题纸． 3．满分100分，答卷时间90分钟． 一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分） 1. 点在直线上，可用集合符号表示为______． 2. 设和的两边分别平行，若，则的大小为___________. 3. 已知向量平行于向量 ，则_______ 4. 若用与球心距离为1的平面截球体所得的圆面半径为3，则球的表面积为______． 5. 以边长为3的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积为______. 6. 如图是一平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是________ 7. 底面半径为1的圆柱的表面积为，则该圆柱的体积为________．（结果保留） 8. 在长方体中，，，，则直线到平面的距离为______． 9. 在空间直角坐标系中，点到轴的距离为______． 10. 已知圆锥的底面半径为，沿该圆锥的母线把侧面展开后可得到圆心角为的扇形，则该圆锥的高为________. 11. 在正四面体中，点分别为棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为__________． 12. 《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体为鳖臑. 如图，在鳖臑中，平面，，，，分别为棱上一点，则的最小值为____. 二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13. “直线AG ⊂平面AEF”是“存在实数a，b，满足”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既非充分也非必要条件 D. 充要条件 14. 已知直线，若，且与相交，则与的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相交或异面 C. 平行或异面 D. 相交、平行或异面 15. 在正方体中，二面角的正切值为（    ） A. B. C. D. 16. 如图是一个直径为的球形容器和一个底面直径为、深的圆柱形水杯（壁厚均不计），则球形容器装满时，约可以倒满水杯（ ） A. 4杯 B. 6杯 C. 8杯 D. 16杯 三、解答题（本大题共5小题，满分52分） 17. 已知向量，． （1）求； （2）求； 18. 在半径为13cm的球面上有三点，，求球心到经过这三点的截面的距离． 19. 如图，在直三棱柱中，，D，E分别为，的中点. （1）求证：. （2）若，，求三棱锥的体积. 20. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，为中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面． 21. 如图，在正四棱锥中，点为的中点. （1）若为的中点，判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）正四棱锥的各棱长均为2，求直线与底面所成角的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $