2.6.1双曲线的标准方程（教学课件）高二数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦双曲线的定义、两类标准方程、参数关系及求解方法。课堂通过类比椭圆定义（距离之和改差的绝对值），结合冷却塔等生活实例与观测点测距问题，建立前后知识联系，搭建学习支架。 其亮点是类比探究深化理解，通过定义限制条件分析和与椭圆对比培养数学思维，典型例题分层覆盖定义应用、待定系数法等，小结结构化梳理知识。助力学生构建体系提升能力，为教师提供清晰教学资源。

第二章 平面解析几何 2.6.1双曲线的标准方程 2.6双曲线及其方程 【新教材】人教B版·高二选修第一册 学 习 目 标 1 2 理解双曲线的精准定义，掌握焦点、焦距的核心概念，明确双曲线定义中距离差的绝对值为常数（常数大于0且小于两定点间距）的关键限制条件，区分双曲线与椭圆定义的本质差异。 熟练掌握焦点在x轴、y轴上的两类双曲线标准方程，牢记参数a、b、c的等量关系，清晰辨析a、b、c的取值范围与几何意义。 能够熟练运用定义法、待定系数法求解双曲线的标准方程，可根据已知条件快速判断焦点位置，规范完成方程推导与求解运算。 重点：双曲线的定义、两类标准方程的形式及参数关系，双曲线标准方程的求解方法。 难点：理解双曲线定义中“绝对值”和“常数取值范围”的必要性；区分两类双曲线标准方程的差异，灵活运用条件求方程。 类比探究 同学们，上一节课我们系统学习了椭圆的定义与标准方程，大家先回顾一个核心问题：平面内椭圆的定义是什么？ 椭圆是平面内与两个定点的距离之和为常数（大于两定点间距）的点的轨迹。 今天我们对椭圆的定义做一个小小的变式，引发全新的几何图形探究：如果把“距离之和”改为距离之差的绝对值，且这个常数为正数、小于两定点间距，动点的轨迹会发生什么变化？ 类比探究 大家可以清晰看到，轨迹不再是封闭的椭圆，而是左右对称、永不闭合的两支曲线，这就是我们本节课的研究对象——双曲线。 生活中双曲线随处可见：冷却塔的外壁轮廓、天文观测中的彗星轨迹、声音测距的定位曲线都用到了双曲线的性质。本节课我们就类比椭圆的研究思路，探究双曲线的定义，推导双曲线的标准方程，掌握双曲线的基础求解方法。 类比探究 思考：如图所示，某中心 O 接到其正西、正东、正北方向三个观测点 A,B,C 的报告：A,C 两个观测点同时听到了一声巨响，B 观测点听到的时间比 A 观测点晚 。已知各观测点到该中心的距离都是 1020。假定当时声音传播的速度为 340，发出巨响的位置为点 P，且 A,B,C,O,P 均在同一平面内。 你能确定该巨响发生的点的位置吗？ 上述情境中，因为观测点 A 与 C 同时听到响声，说明 P 一定在 AC 的垂直平分线上；因为观测点 B 听到的时间比观测点 A 晚 4 ，这说明 P 距离 B 更远，而且 |PB|-|PA|=4×340=1360。那么，满足上式的点 P 可能的位置有哪些呢？这与本节我们要讨论的双曲线有关。 目标一：双曲线定义 定义 知识讲解 互动探究 新课引入 一般地，如果 是平面内的两个定点，a 是一个正常数，且 2a<||，则平面上满2a 的动点 P 的轨迹称为双曲线，其中，两个定点 称为双曲线的焦点，两个焦点的距离 || 称为双曲线的焦距。双曲线也可以通过用平面截两个特殊的圆锥面得到，因此双曲线是一种圆锥曲线。 7 对于双曲线的定义的进一步理解 平面内与两个定点 的距离的差的绝对值等于常数（小于 且不等于零）的点的轨迹叫作双曲线。 要注意在定义中的限制条件：“小于 ” “绝对值” “常数不等于零”。 ① 若将“小于 ”改为“等于 ”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以 为端点的两条射线（包括端点）。若将其改为“大于 ”，其余条件不变，此时动点的轨迹不存在。 ② 若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹为双曲线的一支。 ③ 若将“常数不等于零”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段 的垂直平分线。 对于双曲线的定义的进一步理解 (2) 设 P(x,y) 为双曲线上的任意一点， 分别为左、右焦点。若点 P 在双曲线的右支上，则 ,=-2a (a>0)。因此得到F2=±2a。这与椭圆的定义中 =2a 是不同的。 (3) 双曲线定义中“平面内”这一条件不可少，否则就成了空间图形。 对点体验 说明下列方程各表示什么曲线： (1) ； (2) ； (3) 。 答 令 ，则有 。 (1) 因为 ，所以方程表示的曲线是双曲线。 (2) 因为 ，所以方程表示的曲线是双曲线的右支。 (3) 因为 ，所以方程表示的曲线是 轴上以 为端点且指向 轴的负半轴和以 为端点且指向 轴的正半轴的两条射线。 目标二：双曲线标准方程 焦点在x轴上的标准方程 知识讲解 互动探究 新课引入 同椭圆的情形一样，下面我们用坐标法来探讨思考中的问题，并求出双曲线的标准方程。 为了方便，设双曲线的焦距为 2c，则 c>a>0。 建系 以 所在直线为 x 轴，线段 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示。此时，双曲线的焦点分别为 (-c,0)， (c,0)。 设列 设 是双曲线上一点，则 ， 因为 ，， 所以 ① 化简 由 ① 得 ，整理得 ② 12 焦点在x轴上的标准方程 知识讲解 互动探究 新课引入 且 ② 与 ① 的右边同时取正号或负号。 ① + ② 整理得 ③ 将 ③ 式平方，再整理得 ④。因为 ，所以 ，设 且 ，则 ④ 式可化为 ⑤。可以验证，方程 ⑤ 就是双曲线的方程，通常称为焦点在 轴上的双曲线的标准方程。 13 焦点在y轴上的标准方程 知识讲解 互动探究 新课引入 思考：设双曲线的焦点为 和 ，焦距为 ，而且双曲线上的动点 满足 ，其中 。以 所在直线为 轴，线段 的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系，如图所示。此时： (1) 双曲线焦点的坐标分别是什么？ (2) 能否通过 ⑤ 式来得到此时双曲线方程的形式？ 显然，此时双曲线的焦点是 ，，而且只要将方程 ⑤ 中的 与 互换，就可以得到此时双曲线的方程为 ⑥，其中 。这个方程通常称为焦点在 轴上的双曲线的标准方程。 14 特别提醒 (1)标准方程中的两个参数 和 确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件。 (2)焦点 的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型。“焦点跟着正项走”，即若 的系数为正，则焦点在 轴上；若 的系数为正，则焦点在 轴上。 (3)在双曲线的标准方程中，因为 三个量满足 ，所以长度分别为 的三条线段恰好构成一个直角三角形，且长度为 的线段是斜边，如图 双曲线与椭圆的定义、标准方程的比较 曲线 椭圆 双曲线 定义 () () 标准方程 或 () 或 () 根据标准方程确定 的方法 以大小分 （如 中，，则 ） 以正负分 （如 中，，则 ） 的关系 （ 最大） （ 最大） 已知 ，当 为何值时， (1) 方程表示双曲线？ (2) 方程表示焦点在 轴上的双曲线？ (3) 方程表示焦点在 轴上的双曲线？ 对点体验 答 (1) 由题意得 或 解得 或 。 (2) 由题意得 解得 。 (3) 由题意得 解得 。 目标三：典型例题 题型1 定义应用 例1 已知定圆 ，定圆 ，动圆 与定圆 都外切，求动圆圆心 的轨迹方程。 典例分析 牛刀小试 答 圆 的圆心为 ，半径为 。圆 的圆心为 ，半径为 。设动圆 的半径为 ，则有 。 点 的轨迹是以 为焦点的双曲线的左支，且 ，于是 。故动圆圆心 的轨迹方程为 。 题型1 定义应用 例2 在 中，已知 ，且内角 满足 ，建立适当的坐标系，求顶点 的轨迹方程。 典例分析 牛刀小试 答 以 边所在的直线为 轴， 的垂直平分线为 轴，建立如图的平面直角坐标系，则 。 ，由正弦定理，得 ，从而有 。由双曲线的定义知，点 的轨迹为双曲线的右支（除去与 轴的交点）。，即顶点 的轨迹方程为 。 利用双曲线的定义求动点的轨迹方程 (1) 若平面上的动点 满足条件： (定长)，则当 时， 点的轨迹为双曲线；当 时， 点的轨迹为射线；如果不含绝对值，那么轨迹是双曲线的一支或一条射线。 (2) 若由题设条件能判断出动点的轨迹是双曲线，则可根据双曲线的定义确定其方程，这样可减少计算量，提高解题速度。 因此只要选择恰当的坐标系，依双曲线的定义，就可直接写出轨迹方程。 题型2求方程 例3 根据下列条件求双曲线的标准方程。 (1) 以椭圆 =1 的长轴端点为焦点，且经过点 (3,)； (2) 双曲线过两点 P(3,),Q(-,5)。 典例分析 牛刀小试 答 (1) 依题意，双曲线的焦点在 轴上，且 。设双曲线的标准方程为 ()。代入点 的坐标，得 。又 ，解得 ，。 双曲线的标准方程为 。 题型2求方程 例3 根据下列条件求双曲线的标准方程。 (1) 以椭圆 =1 的长轴端点为焦点，且经过点 (3,)； (2) 双曲线过两点 P(3,),Q(-,5)。 典例分析 牛刀小试 (2) 当双曲线的焦点在 轴上时，设双曲线的标准方程为 ，将 两点坐标代入双曲线方程得 此方程组无解，不合题意。 当双曲线的焦点在 轴上时，设双曲线的标准方程为 ， 题型2求方程 例3 根据下列条件求双曲线的标准方程。 (1) 以椭圆 =1 的长轴端点为焦点，且经过点 (3,)； (2) 双曲线过两点 P(3,),Q(-,5)。 典例分析 牛刀小试 将 两点坐标代入双曲线方程得 解得 即双曲线的标准方程为 。 综上所述，双曲线的标准方程为 。 题型2 求方程 例4 求以椭圆 =1 的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点的双曲线的标准方程。 典例分析 牛刀小试 答 椭圆 的焦点在 轴上，且 ，所以椭圆的焦点为 ，顶点为 。于是双曲线经过点 ，焦点为 ，则 ，，所以 ，所以双曲线的标准方程为 。 特别提醒 求双曲线标准方程的四个步骤 定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上。 设方程：根据焦点的位置，设其方程为 或 。 (3) 寻关系：根据已知条件列出关于 的方程组。 (4) 得方程：解方程组，将 代入所设方程即可得标准方程。 题型2 求方程 例5 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1) 两个焦点的坐标分别是 ，，且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于 8； (2) 双曲线的一个焦点坐标是 ，且双曲线经过点 。 典例分析 牛刀小试 解：(1) 由已知得 ，。因此 ，且 。又因为双曲线的焦点在 轴上，所以所求的双曲线的标准方程是 。 题型2 求方程 例6 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1) 两个焦点的坐标分别是 ，，且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于 8； (2) 双曲线的一个焦点坐标是 ，且双曲线经过点 。 典例分析 牛刀小试 解：(2) 由已知得双曲线的焦点在 轴上，且 所以另一个焦点坐标为 因为点 在双曲线上，所以点 与两焦点的距离的差的绝对值为 ，因此 ，从而 。因此，所求双曲线的标准方程是 。 题型3与椭圆共焦点模式 例7 设双曲线与椭圆有相同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程。 典例分析 牛刀小试 答 由题意设双曲线方程为，易得，将代入双曲线方程得或（舍去），所以双曲线的方程为。 题型3 与椭圆共焦点模式 例8 求与双曲线有相同焦点，且过点的双曲线的方程。 典例分析 牛刀小试 答 设所求双曲线的方程为。将点的坐标代入方程，得，解得或（舍去）。故所求双曲线的方程为。 共焦点的双曲线系方程 (1) 与双曲线有公共焦点的双曲线系方程为。 (2) 与双曲线有公共焦点的双曲线系方程为。 (3) 与椭圆有公共焦点的双曲线系方程为。 (4) 与椭圆有公共焦点的双曲线系方程为。 目标四：针对训练 举一反三 1.已知双曲线的焦点为，，过的直线与双曲线的左支交于，两点，若，，则双曲线的方程为( ) A. B. C. D. B 解析： 设双曲线的方程为 ()，，则，，所以，所以.取的中点，则.在中，可得.在中，由余弦定理，可得，解得因为，所以. 举一反三 2.已知是双曲线的右焦点，是的左支上一点，，则的最小值为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 答案： B 解析： 由双曲线方程可知，，，故右焦点，设左焦点为，则.当点在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知，所以，从而又，所以，因此的最小值为6，此时点在线段与双曲线左支的交点处. 举一反三 3.已知双曲线过点和，则双曲线的标准方程为( ) A. B. C. D. 答案： B 解析： 因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线的方程为.因为，两点在双曲线上，所以解得即所求双曲线的标准方程为. 举一反三 4.双曲线 ()的左、右焦点分别为、.点在双曲线右支上，直线的斜率为2.若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为( ) A. B. C. D. 答案： A 解析： 由已知，得.由直线的斜率为2，得，又由双曲线的定义知，从而，，故的面积为，则有，，在中，，则，即，则，故双曲线的方程为. 举一反三 5. (多选) 已知方程，则下列说法中正确的是( ) A.方程可表示圆 B.当时，方程表示焦点在轴上的椭圆 C.当时，方程表示焦点在轴上的双曲线 D.当方程表示椭圆或双曲线时，焦距均为10 答案： BCD 解析： 对于A，当方程表示圆时，，无解，故A错误；对于B，当时，，，表示焦点在轴上的椭圆，故B正确；对于C，当时，，，表示焦点在轴上的双曲线，故C正确；对于D，当方程表示双曲线时，，焦距为10，当方程表示椭圆时，，焦距为10，所以焦距均为10，故D正确. 目标五：小结 学海拾贝 本节课我们完成了双曲线基础内容的探究，核心知识点可归纳为“一个定义、两类方程、一组关系、两种方法”，大家整体梳理巩固： 1. 一个核心定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数2a（0<2a）的点的轨迹叫做双曲线。重点注意：必须带绝对值，对应双曲线两支；常数必须满足取值范围，否则无轨迹或为射线。 学海拾贝 2. 两类标准方程：焦点在x轴上：=1(a>0,b>0)；焦点在y轴上：=1(a>0,b>0)。判断焦点位置的关键：看正项分母，分母对应哪个坐标轴，焦点就在哪个坐标轴上。 3. 一组参数关系：双曲线中始终满足（与椭圆严格区分），其中c>a>0，焦距||=2c。 学海拾贝 4. 两种解题方法：一是定义法，利用双曲线定义结合几何条件求方程；二是待定系数法，先判断焦点位置，设出标准方程，代入已知条件求解参数。 最后提炼思想方法：本节课全程类比椭圆探究新知，运用数形结合、分类讨论思想解决解析几何问题，后续我们将基于标准方程，进一步探究双曲线的几何性质。 【新教材】人教B版·高二选修第一册 感谢聆听! $