15 2.6 2.6.1 双曲线的标准方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦双曲线的定义、标准方程及应用，课堂导入通过回顾椭圆定义，提出“距离之差的绝对值”的轨迹问题，类比椭圆方程推导过程，引导学生建立坐标系、列方程化简，搭建新旧知识迁移的学习支架。 其亮点是以类比迁移和问题驱动为主线，通过定义推导培养数学抽象和逻辑推理，如类比椭圆建立双曲线方程；结合焦点三角形、最值问题等题型提升数学运算能力。资料包含合作探究、易错点分析及课时测评，帮助学生构建知识体系，也为教师提供丰富教学资源，提升教学效率。

2.6.1　双曲线的标准方程 　 第二章　2.6　双曲线及其方程 知识层面 1.掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决实际问题．　 2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程．　 3.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关 问题. 素养层面 通过对双曲线的定义、标准方程的学习，培养数学抽象素养；借助于双曲线标准方程的推导过程，提升逻辑推理、数学运算素养. 新知导学 1 课时测评 3 合作探究 2 内容索引 新知导学 返回 问题1.椭圆的定义是什么？其标准方程是什么？ 问题导思 问题2.把椭圆定义中的“距离之和等于常数(大于|F1F2|)”改为“距离之差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)”，那么点的轨迹还是椭圆吗？有什么 特点？ 提示：不是椭圆，该轨迹是两条对称的曲线． 问题3.类比求椭圆标准方程的过程，如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？ 类比椭圆标准方程的化简过程，化简①，得 (c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)， 知识点一　双曲线的定义 一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a<|F1F2|，则平面上满足____________________的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的______，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的______． 新知构建 ||PF1|－|PF2||＝2a 焦点 焦距 要注意定义中的限制条件：“小于|F1F2|”“绝对值”“非零”． 1．若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)．若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在． 2．若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹成为双曲线的一支． 3．若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线．　　 微提醒 知识点二　双曲线的标准方程 标准方程   _______________________   _______________________ 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 焦点 __________________ __________________ a，b，c的关系 c2＝________ (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c) a2＋b2 微思考1　如何从双曲线的标准方程判断焦点位置？ 提示：“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上． 微思考2　双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c有何不同？ 提示：双曲线中，b2＝c2－a2，即c2＝a2 ＋b2, 其中c＞a，c＞b，而a，b无大小要求；而在椭圆中，b2＝a2－c2，即a2＝c2＋b2，其中a＞b＞0，a＞c，c与b无大小要求． 由双曲线的标准方程可知a2＝16，b2＝9，则c2＝a2＋b2＝16＋9＝25，故c＝5.又焦点在x轴上，所以焦点坐标为(－5，0)，(5，0)． √ 自主检测 2．已知两定点F1(－3，0)、F2(3，0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是 A．||PF1|－|PF2||＝5 B．||PF1|－|PF2||＝6 C．||PF1|－|PF2||＝7 D．||PF1|－|PF2||＝0 A中，因为|F1F2|＝6，所以||PF1|－|PF2||＝5<|F1F2|，故动点P的轨迹是双曲线；B中，因为||PF1|－|PF2||＝6＝|F1F2|，所以动点P的轨迹是以F1或F2为端点的射线(含端点)；C中，因为||PF1|－|PF2||＝7>|F1F2|，所以动点P的轨迹不存在；D中，因为||PF1|－|PF2||＝0，即|PF1|＝|PF2|，根据线段垂直平分线的性质，动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线，故选A. √ 得(|PF1|－|PF2|)2＝16，即2a＝4，解得a＝2， 4．已知点A(0，2)，B(0，－2)，C(3，2)，若动点M(x，y)满足|MA|＋|AC| ＝|MB|＋|BC|，则点M的轨迹方程为___________________． 返回 合作探究 返回 A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的左支 D．双曲线的右支 √ 例1 思路点拨　利用双曲线的定义解题． (2)k>1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是 A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在x轴上的双曲线 √ 方法技巧 若点M在双曲线的左支上，则|MF1|<|MF2|，|MF1|－|MF2|＝－2a. 因此得到|MF1|－|MF2|＝±2a，这与椭圆的定义中|MF1|＋|MF2|＝2a是不同的． 方法技巧 对点练1．(1)已知定点A，B，且|AB|＝2，动点P满足|PA|－|PB|＝1，则点P的轨迹为 A．双曲线 B．双曲线靠近点A的一支 C．两条射线 D．双曲线靠近点B的一支 因为|PA|－|PB|<|AB|，所以点P的轨迹为双曲线靠近点B的一支．故选D. √ A．k<－3 B．k>－2 C．－3<k<－2 D．k<－3或k>－2 √ 题型二　求双曲线的标准方程 　　 (链教材P146例1)根据下列条件，求双曲线的标准方程： 例2 思路点拨　根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，进而设出双曲线方程，由题意列出方程组，解出a、b的值即可．对于不能确定焦点位置的情况，则需分类讨论或设为mx2＋ny2＝1(mn<0)的形式． 解：方法一：因为焦点相同， 所以c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20.　① 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)． 解：设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，(AB<0)． 因为点P，Q在双曲线上， 方法技巧 求双曲线的标准方程的常用方法 1．定义法：若由题设条件能够判断出动点的轨迹是双曲线，则可根据双曲线的定义确定其方程． 2．待定系数法一般步骤为： √ 题型三　利用双曲线的定义求轨迹方程 　　 (链教材P147例2)已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程． 例3 思路点拨　利用两圆内、外切的充要条件找出M点所满足的几何条件，结合双曲线定义求解． 又C1(－4，0)、C2(4，0)， 所以|C1C2|＝8， 根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4，0)、C2(4，0)为焦点的双曲线的右支． 方法技巧 1．用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线． 2．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解． 3．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解．　　 对点练3．已知点M(－3，0)，N(3，0)，B(1，0)，动圆C与直线MN相切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则点P的轨迹方程为 设圆与直线PM，PN分别相切于E，F(图略)， 则|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，|NB|＝|NF|. 所以|PM|－|PN|＝|PE|＋|ME|－(|PF|＋|NF|) ＝|MB|－|NB|＝4－2＝2＜|MN|＝6， 所以点P的轨迹是以M(－3，0)，N(3，0)为焦点的双曲线的右支，且a＝1，c＝3，所以b2＝8. √ (1)若∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面积； 例4 解：由双曲线方程知a＝2，b＝3，则c＝ . 设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2(r1>r2)， 如图所示，由双曲线定义，有r1－r2＝2a＝4， 因为∠F1PF2＝90°，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， 所以2r1r2＝52－16＝36， (2)若∠F1PF2＝60°时，△F1PF2的面积是多少？若∠F1PF2＝120°时，△F1PF2的面积又是多少？ 解：若∠F1PF2＝60°， 在△F1PF2中，由余弦定理得 方法技巧 1．双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形．令|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ，因|F1F2|＝2c，所以有 (1)定义：|r1－r2|＝2a； 一般地，在△PF1F2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决． 2．利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题，一是要注意定义条件||PF1|－|PF2||＝2a的变形使用，二是要特别注意|PF1|2＋|PF2|2与|PF1|·|PF2|的关系．　　 A．2a＋2m B．4a＋2m C．a＋m D．2a＋4m √ 由双曲线的定义，知|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a.又|AF2|＋|BF2|＝|AB|，所以△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＋2|AB|＝4a＋2m. 因为P是双曲线左支上的点，所以|PF2|－|PF1|＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，所以|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100. 在△F1PF2中，由余弦定理， 例5 思路点拨 √ 设点D的坐标为(，0)，则点A，D是双曲线的焦点，如图，连接MD，BD， 由双曲线的定义，得|MA|－|MD|＝2a＝2. 所以|MA|＋|MB|＝2＋|MD|＋|MB|≥2＋|BD|. 方法技巧 1．若定点Q(x0，y0)与双曲线右焦点F2在双曲线右支的同侧，则|MQ|＋|MF2|的最小值是|QF1|－2a，最大值不存在． 2．若定点Q(x0，y0)与双曲线右焦点F2在双曲线右支的异侧，则|MQ|＋|MF2|的最小值是|QF2|，最大值不存在．　　 易错点1　忽略双曲线定义中的限制条件致错 　　 已知F1(－5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是 A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线 √ 易错精析 例1 正解　依题意得|F1F2|＝10，当a＝3时，2a＝6<|F1F2|，故点P的轨迹为双曲线的右支；当a＝5时，2a＝10＝|F1F2|，故点P的轨迹为一条射线． 易错探因　本题容易忽略双曲线定义中的限制条件“差的绝对值”，从而误选B. 误区警示　在求解与双曲线有关的轨迹问题时，准确理解双曲线的定义，才能正确解题．当||PF1|－|PF2||＝2a<|F1F2|(a>0)，即|PF1|－|PF2|＝±2a(0<2a<|F1F2|)时，点P的轨迹是双曲线，其中取正号时对应双曲线的右(上)支，取负号时对应双曲线的左(下)支； 当||PF1|－|PF2||＝2a＝|F1F2|(a>0)时，点P的轨迹是分别以点F1，F2为端点的两条射线； 当||PF1|－|PF2||＝2a>|F1F2|时，点P的轨迹不存在． 解得－3<m<2或m>3. 所以实数m的取值范围是(－3，2)∪(3，＋∞)． 例2 (－3，2)∪(3，＋∞) 易错探因　本题易出错的地方是只考虑双曲线的焦点在x轴上的情况，忽略焦点在y轴上的情况，从而得到错误答案(－3，2)． 误区警示　在求解有关双曲线标准方程的问题时，一定要明确焦点所在的坐标轴，若不能确定，则需要分类讨论或者使用一般方程进行求解． 返回 课时测评 返回 A．－1<m<3 B．m>－1 C．m>3 D．m<－1 依题意应有m＋1>0，即m>－1.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．焦点分别为(－2，0)，(2，0)且经过点(2，3)的双曲线的标准方程为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 由双曲线的定义知|AF|－|BF|＝2a＝4.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A．若1<t<5，则C为椭圆 B．若t<1，则C为双曲线 C．若C为双曲线，则焦距为4 D．若C为焦点在y轴上的椭圆，则3<t<5 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．(2024·湖南长沙四校高二期中)已知圆M：(x＋2)2＋y2＝4，M为圆心，P为圆上任意一点，定点A(2，0)，线段PA的垂直平分线l与直线PM相交于点Q，则当点P在圆上运动时，点Q的轨迹方程为 √ 因为线段PA的垂直平分线l与直线PM相交于点Q，所以有|QA|＝|QP|.由(x＋2)2＋y2＝4，得M(－2，0)，该圆的半径为2，因为点P在圆上运动，所以有||QP|－|QM||＝2，于是有||QA|－|QM||＝2，所以点Q的轨迹是以A，M为焦点的双曲线，所以2c＝4，2a＝2⇒c＝2，a＝1⇒b2＝c2－a2＝3，所以点Q的轨迹方程为x2－ ＝1.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 利用数形结合思想，注意到点A在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点的坐标为(4，0)，设双曲线的右焦点为E，则|PF|－|PE|＝4，|PF|＋|PA|＝4＋|PE|＋|PA|.当A，P，E三点共线时，(|PE|＋|PA|)min＝|AE|＝5，故|PF|＋|PA|的最小值为9. 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ±3 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．如图，在△ABC中，已知|AB|＝4 ，且三内角A，B，C满足2sin A＋ sin C＝2sin B，建立适当的平面直角坐标系，则顶点C的轨迹方程为 ____________________． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为2sin A＋sin C＝2sin B， 所以2|BC|＋|AB|＝2|AC|， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a＝2 ，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上； 解：因为双曲线的焦点在y轴上， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)过点A(3，2)和B(17，12)． 解：若焦点在x轴上， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 若焦点在y轴上， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(10分)如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1、F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程． 解：圆F1：(x＋5)2＋y2＝1， 所以圆心F1(－5，0)，半径r1＝1. 圆F2：(x－5)2＋y2＝42，所以圆心F2(5，0)，半径r2＝4. 设动圆M的半径为R，则有 |MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4， 所以|MF2|－|MF1|＝3<|F1F2|＝10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 结合图形(如图所示)，可知当|PM|－|PN|取最大值时，点P在该双曲线的左支上．由双曲线的定义，可得|PF2|－|PF1|＝6.由圆的几何性质，得|PF2|－2≤|PM|≤|PF2|＋2， |PF1|＋1≥|PN|≥|PF1|－1，所以|PF2|－|PF1|－3≤|PM|－|PN|≤|PF2|－|PF1|＋3，即3≤|PM|－|PN|≤9，故|PM|－|PN|的最大值为9，最小值为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意得||PF1|－|PF2||＝2a， 所以|PF1|·|PF2|＝4(c2－a2)＝4b2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由c＝2a，c2＝a2＋b2，得a2＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若双曲线的左、右焦点分别是F1，F2，试问在双曲线上是否存在点P，使得|PF1|＝5|PF2|.请说明理由． 返回 解：假设在双曲线上存在点P，使得|PF1|＝5|PF2|，则点P只能在右支上． 由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝2a＝4， 于是得|PF1|＝5，|PF2|＝1. 又当点P在双曲线右支上时，点P到左焦点F1的距离的最小值应为a＋c＝6，故不可能有|PF1|＝5，即在双曲线上不存在点P使得|PF1|＝5|PF2|. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 二 章 平 面 解 析 几 何 返回 提示：平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆；根据焦点位置的不同，其标准方程为＋＝1或＋＝1(a＞b＞0)． 提示：观察我们画出的双曲线(题图示)，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，此时双曲线的焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，焦距为2c，c>0.设P(x，y)是双曲线上一点，则||PF1|－|PF2||＝2a(a为大于0的常数)，因为|PF1|＝，|PF2|＝，所以－＝±2a，① 由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0，类比椭圆标准方程的建立过程，令b2＝c2－a2，其中b>0，代入上式，得－＝1(a>0，b>0)． －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 3．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为( ，0)和(－ ，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的 方程为____________． －y2＝1 y2－＝1(y≤－1) 题型一　对双曲线定义的理解 　　 (1)已知动点P(x，y)满足－＝2，则动点P的轨迹是 1．设M(x，y)为双曲线－＝1(a>0，b>0)上的任意一点，左、右焦点分别为F1，F2.若点M在双曲线的右支上，则|MF1|>|MF2|，|MF1|－|MF2|＝2a； 2．给出方程＋＝1(mn≠0)，并不能确定它所表示的曲线是否是双曲线，只有当mn<0时，方程才表示双曲线，若则双曲线的焦点在x轴上；若则双曲线的焦点在y轴上．　　 (2)若k∈R，方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是 解：当焦点在x轴上时，设所求标准方程为 － ＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－× <0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为 － ＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为 － ＝1. 对点练2．已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(0，4)，(－3，4)，则双曲线的标准方程为 A．－＝1 B．－＝－1 C．－＝1 D．－＝－1 A．x2－＝1(x>1) B．x2－＝1(x<－1) C．x2＋＝1(x>0) D．x2－＝1(x>1) 故点P的轨迹方程是x2－＝1(x>1)． 题型四　双曲线中焦点三角形问题 　　 设双曲线－＝1，F1、F2是其两个焦点，点P在双曲线右支上． 思路点拨　由于三角形面积S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|·sin θ，所以只要求出|PF1|·|PF2|即可．因此可考虑用双曲线定义及余弦定理求出|PF1|·|PF2|. (2)余弦公式：4c2＝r＋r－2r1r2cos θ； (3)面积公式：S△PF1F2＝r1r2sin θ. 对点练4．(1)如图，已知双曲线的方程为 － ＝1(a>0，b>0)，点A，B均在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为双曲线的左焦点，则△ABF1的周长为 (2)已知F1，F2分别是双曲线 － ＝1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32.求△F1PF2的面积． 题型五　与双曲线有关的最值问题 　　 (1)已知F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，P(3，1)为双曲线内一点，点A在双曲线的右支上，则|AP|＋|AF2|的最小值为 A．＋4 B．－4 C．－2 D．＋2 (2)已知双曲线的方程为x2－＝1，如图所示，点A的坐标为(－，0)，B是圆x2＋(y－)2＝1上的点，点C为其圆心，点M在双曲线的右支上，求|MA|＋|MB|的最小值． 又点B是圆x2＋(y－)2＝1上的点，圆的圆心为C(0，)，半径为1，故|BD|≥|CD|－1＝－1，从而|MA|＋|MB|≥2＋|BD|≥＋1，当点M，B在线段CD上时上式取等号，即|MA|＋|MB|的最小值为＋1. 设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，Q(x0，y0)为平面上一定点，M为双曲线右支上任意一点． 对点练5．已知F1，F2是双曲线－x2＝1的下、上焦点，点M(1，3)，点P为双曲线上支上一点，则|PM|＋|PF2|的最小值为______________． －2 易错点2　忽略双曲线的焦点位置致错 　　 若方程＋＝1表示双曲线，则实数m的取值范围为________________________． 3．(2024·江苏苏州高二质量调研)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－y2＝1的左焦点为F，点A在C的右支上，A关于O的对称点为B，则|AF|－|BF|＝ A．－2 B．2 C．－4 D．4 A．－＝1(x≤－2) B．－＝1 C．x2－＝1(x≤－1) D．x2－＝1 6．已知F是双曲线－＝1的左焦点，点A(1，4)，点P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________． 7．(一题两空)若点P在双曲线－＝1上，且点P的横坐标与双曲线的右焦点的横坐标相同，则点P的纵坐标为________，点P与双曲线的左焦点的距离为________． － ＝1(x> ) 即所求轨迹方程为 － ＝1(x> )． 由正弦定理，得sin A＝ ，sin B＝ ，sin C＝ (R为△ABC的外接圆半径)． 即|AC|－|BC|＝ ＝2 <|AB|. 由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)． 由题意，设所求轨迹方程为 － ＝1(x>a)， 因为a＝ ，c＝2 ，所以b2＝c2－a2＝6. 所以双曲线方程为－＝1. 11．(5分)(多选)已知点P在双曲线C：－＝1上，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有 A．点P到x轴的距离为 B．|PF1|＋|PF2|＝ C．△PF1F2为钝角三角形 D．∠F1PF2＝ 12．(5分)(一题两空)设P是双曲线－＝1上一点，M，N分别是圆(x－5)2＋y2＝4和(x＋5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为_____，最小值为________． 13．(10分)如图所示，已知双曲线－＝1(a>0，b>0)中，c＝2a，F1，F2为左、右焦点，P为双曲线上的点，∠F1PF2＝60°，S△F1PF2＝12，求双曲线的标准方程． 14．(5分)已知双曲线－＝1，F1，F2是两个焦点，O为原点，P是双曲线右支上一点，cos∠F1PF2＝－，则＝ A． B． C． D． 由题意a＝3，b＝4，＝＝＝5，设＝m，＝n，＝x，cos∠POF1＝，cos∠POF2＝，显然cos∠POF1＋cos∠POF2＝0， $