2.6.2.2 双曲线几何性质的综合应用-【新课程学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦双曲线几何性质的综合应用，涵盖焦点三角形、最值及实际应用三大题型。通过习题讲评式教学导入，先复习双曲线定义与几何性质，再结合例题及变式巩固基础，搭建从定义到综合应用的学习支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，如卢瑟福实验中α粒子路径抽象为双曲线模型体现数学眼光，最值问题利用定义转化培养数学思维，思维建模环节总结解题方法形成数学语言。采用例题-变式-训练流程，提升学生综合问题解决能力，为教师提供系统教学资源。

双曲线几何性质的综合应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 课时目标 进一步巩固双曲线的几何性质，会求双曲线方程，掌握双曲线中和三角形有关的问题，会求双曲线的有关最值及实际应用问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　双曲线中的焦点三角形问题 题型(二)　双曲线中的最值问题 课时检测 4 题型(三)　双曲线的实际应用问题 题型(一)　双曲线中的焦点三角形问题 01 [例1]　已知F1，F2分别是双曲线-=1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|=32，求△F1PF2的面积. 解：由题意，得a=3，b=4，c==5，所以2a=6，2c=10. 因为P是双曲线左支上的点，所以|PF2|-|PF1|=6，两边平方， 得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36， 所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100. 在△F1PF2中，由余弦定理， 得cos∠F1PF2===0，所以∠F1PF2=90°， 所以=|PF1|·|PF2|=×32=16. 1.若本例中双曲线的方程不变，且双曲线上一点P到焦点F1的距离为10，求点P到焦点F2的距离. 变式拓展 解：由双曲线方程-=1，得a=3，b=4，c=5. 由双曲线的定义，得||PF1|-|PF2||=2a=6， 所以|10-|PF2||=6，解得|PF2|=4或|PF2|=16. 2.若本例中的条件“|PF1|·|PF2|=32”变成“|PF1|∶|PF2|=2∶5”，其他条件不变，求△F1PF2的面积. 解：由双曲线方程-=1，得a=3，b=4，c=5. 因为P是双曲线左支上的点，所以|PF2|-|PF1|=6.又|PF1|∶|PF2|=2∶5，所以|PF2|=10，|PF1|=4.因为|F1F2|=2c=10，所以△PF1F2是等腰三角形.易得PF1边上的高为4，所以=×4×4=8. |思|维|建|模| 求双曲线中焦点三角形面积的方法 (1)根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a. (2)利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式. (3)通过配方，利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值. (4)利用公式=×|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2求得面积. (5)双曲线焦点三角形面积常用=(θ=∠F1PF2). (6)通径公式. 1.已知F1，F2为双曲线C：-=1的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1F2P=(　　) A.- B. C. D. 针对训练 √ 解析：由双曲线方程可知a=4，b=3，c==5，根据双曲线的几何意义可得|PF1|-|PF2|=2a，|F1F2|=2c，又|PF1|=2|PF2|，解得|PF1|=16，|PF2|=8，|F1F2|=10，在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠F1F2P===-，故选A. 题型(二)　双曲线中的最值问题 02 [例2]　(1)已知定点A，B且|AB|=4，动点M满足|MA|-|MB|=2，则|MA|的最小值是 (　　) A.1+ B.2 C.3 D.-1 √ 解析：设定点A在点B的左边，因为|AB|=4，|MA|-|MB|=2<|AB|， 所以根据双曲线的定义可知点M的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，设双曲线方程为-=1(a>0，b>0)，则c=2，2a=2，a=1， 当M在双曲线的右顶点时，|MA|有最小值， 最小值为a+c=2+1=3. (2)已知A(-4，0)，B是圆C：(x-1)2+(y-4)2=1上的点，点P在双曲线-=1的右支上，则|PA|+|PB|的最小值为(　　) A.9 B.2+6 C.10 D.12 √ 解析：由题意知点C(1，4)，点B在圆上，则|PB|≥|PC|-1，由点P在双曲线右支上，点A为双曲线左焦点，设A'为双曲线右焦点，所以由双曲线定义知|PA|=|PA'|+2a=|PA'|+6，所以|PA|+ |PB|=|PA'|+|PB|+6≥PA'|+|PC|+6-1≥|A'C|+5=5+5=10. |思|维|建|模| 　　解决与双曲线有关的最值或范围问题，要灵活利用双曲线的定义进行转化，同时要结合图形中三角形三边的长度关系，寻求取得最值时需满足的条件，从而使问题得以解决. 针对训练 2.平面内，线段AB的长度为10，动点P满足|PA|=6+|PB|，则|PB|的最小值为___________.  解析：因为|PA|=6+|PB|，所以|PA|-|PB|=6<|AB|， 因此动点P在以A，B为左、右焦点的双曲线的右支上，a=3，c=5，从而|PB|的最小值为c-a=2. 2 3.已知定点A(3，1)，F是双曲线-=1的右焦点，P是双曲线右支上的动点，则|PA|+|PF|的最小值为(　　) A. B.5+4 C.5-4 D.+4 √ 解析：设F1是双曲线的左焦点，根据双曲线的定义及P是双曲线右支上的动点可得|PF1|-|PF|=2a， 所以|PF|=|PF1|-2a，所以|PA|+|PF|=|PA|+|PF1|-2a=|PA|+|PF1|-4， 结合图形可得|PA|+|PF1|≥|AF1|==5， 当且仅当P，A，F1三点共线时取得等号，即图形中点P在P'处取得最小值，所以|PA|+|PF1|-4≥5-4，所以|PA|+|PF|的最小值为5-4. 题型(三)　双曲线的实际应用问题 03 [例3]　1911年5月，欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文.在这篇文章中，他描述了用α粒子轰击0.000 04 cm厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前，卢瑟福希望α粒子 能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样.事实上，有 极小部分α粒子从金箔上反弹.如图显示了卢瑟福 实验中偏转的α粒子遵循双曲线一支的路径. (1)结合图象，求出该双曲线的渐近线方程. 解：由题图可知一条渐近线的倾斜角为45°，故一条渐近线斜率k=tan 45°=1，由渐进线的对称性知，双曲线的两条渐近线方程为y=±x(x≥0). (2)如果α粒子路径的顶点距双曲线的中心10 cm，试求出该粒子路径的模型. 解：由题图知，双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为-=1(a>0，b>0)(x≥a)，因为双曲线的顶点到中心的距离为10 cm， 所以a=10，又由(1)知，=1，所以b=a=10， 所以该粒子路径的模型为-=1(x≥10). |思|维|建|模| 　　求解与双曲线有关的应用题时，首先要建立适当的平面直角坐标系，设出相应点的坐标，然后将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表述，转化为数学问题求解. 针对训练 4.某工程队要在平面内挖一个半圆形的地基，如图， 已知挖出的土只能沿道路AP，BP运到P处，若|PA| =100 m，|PB|=150 m，∠APB=，试说明怎样运土 才能最省工? 解：以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为原点，建立直角坐标系xOy(图略). 设M(x，y)是沿AP，BP运土同样远的点，则|MA|+|PA|=|MB|+|PB|， 所以|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50. 在△PAB中，由余弦定理得|AB|2=|PA|2+|PB|2-2|PA||PB|cos=17 500， 且50<|AB|.由双曲线定义知M点在以A，B为焦点的双曲线右支上. 设此双曲线方程为-=1(a>0，b>0).因为 解得 所以点M的轨迹是-=1(x≥25)在半圆内的一段双曲线弧. 于是运土时将双曲线弧-=1(x≥25)左侧的土沿AP运到P处， 右侧的土沿BP运到P处最省工. 课时检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.若点M为双曲线-x2=1上任意一点，点O是坐标原点，则|OM|的最小值是(　　) A.1 B. C.2 D.2 √ 解析：设M(x，y)，|OM|=，∵点M在双曲线-x2=1上，∴x2=-1，|y|≥，∴|OM|==≥. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.设F1，F2是双曲线C：x2-=1的左、右焦点，点P在双曲线C的右支上，当|PF1|=6时，△PF1F2的面积为(　　) A.4 B.3 C. D.6 √ 解析：∵双曲线C：x2-=1，∴a=1，b=，c=2，又点P在双曲线C的右支上，|PF1|=6，∴|PF1|-|PF2|=2a，6-|PF2|=2，即|PF2|=4，又|F1F2|=2c=4，∴△PF1F2的面积为×6× =3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知A(-3，0)，B是圆x2+(y-4)2=1上的点，点P在双曲线-=1的右支上，则|PA|+|PB|的最小值为(　　) A.9 B.2+4 C.8 D.7 √ 解析：如图所示，设圆心为C，双曲线右焦 点为A'(3，0)，且|PB|≥|PC|-1，|PA|=|PA'|+4， 所以|PB|+|PA|≥|PC|+|PA'|+3≥|A'C|+3=8， 当且仅当A'，P，C三点共线时取得等号. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.设椭圆+=1和双曲线-y2=1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于(　　) A. B. C. D. √ 解析：设|PF1|=d1，|PF2|=d2，则d1+d2=2①，|d1-d2|=2②， ①2+②2，得+=18.①2-②2，得2d1d2=6. 而c=2，∴cos∠F1PF2===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.双曲线-=1(a>0，b>0)的左焦点为F(-，0)，点A的坐标为(0，2)，点P为双曲线右支上的动点，且△APF周长的最小值为8，则双曲线的离心率为(　　) A. B. C.2 D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由题意知双曲线的右焦点F1(，0)， 即c=，|AF1|=|AF|==3， 点P为双曲线右支上的动点，根据双曲线的定义可知|PF|-|PF1|=2a， ∴|PF|=|PF1|+2a， ∴△APF的周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+|PF1|+2a， 当点A，P，F1共线，即|AP|+|PF1|=|AF1|时，周长最小， 即|AF|+|AF1|+2a=8，解得a=1， 故离心率e=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.已知P是双曲线C：-y2=1右支上一点，直线l是双曲线的一条渐近线.P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则|PF1|+|PQ|的最小值是(　　) A.1 B.2+ C.4+ D.2+1 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：设双曲线的右焦点为F2，因为|PF1|-|PF2|=2，所以|PF1|= 2+|PF2|，|PF1|+|PQ|=2+|PF2|+|PQ|，当且仅当Q，P，F2三点共线，且P在Q，F2之间时，|PF2|+|PQ|的值最小，最小值为点F2到直线l的距离.由题意可取直线l的方程为y=x，焦点F2(，0)到直线l的距离d=1，故|PF2|+|PQ|的最小值为1，所以|PF1|+|PQ|的最小值为2+1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，|AB|=|BC|=|CD|=1，则该双曲线的焦距为(　　) A. B. C.2 D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：如图，以O为原点，AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设双曲线的方程为-=1(a>0，b>0)，则该双曲线过点()，且a=1，所以-=1，解得b2=2，所以c2=a2+b2=3，得c=，所以该双曲线的焦距为2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.已知F1，F2分别是双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F1的直线与双曲线的左、右两支分别交于点A，B，若|BF1|=6a，∠F1BF2=60°，则∶等于(　　) A. B. C. D. 解析：如图，根据双曲线的定义可知|BF2|=4a， 设|AB|=x，则|AF1|=6a-x， 又|AF2|-|AF1|=2a， 所以|AF2|=8a-x， √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 在△AF2B中，由余弦定理得|AF2|2=|AB|2+|BF2|2-2|AB||BF2|cos∠F2BF1，即(8a-x)2=x2+(4a)2-2x·4a·cos 60°， 解得x=4a，所以|AF1|=2a， 所以====. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2的坐标分别为(，0)和(-，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为__________.  解析：由 得(|PF1|-|PF2|)2=16，即2a=4，解得a=2， 又c=，所以b=1，故双曲线的方程为-y2=1. -y2=1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)已知双曲线-=1的左、右焦点分别是F1，F2.若双曲线上一点P使得∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为__________.  解析：由-=1，得a=3，b=4，c=5. 由双曲线的定义和余弦定理，得|PF1|-|PF2|=±6， |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°，所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|=64， 所以=|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2=×64×=16. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)设F1，F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点.若P在双曲线上，且·=0，则|+|的值为________.  解析：由题意，知双曲线两个焦点的坐标分别为 F1(-，0)，F2(，0).设点P(x，y)， 则=(--x，-y)，=(-x，-y). ∵·=0，∴x2+y2-10=0，即x2+y2=10.∴|+| ===2. 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)A，B，C是我方三个炮兵阵地.A在B的正东，相距6千米；C在B的北偏西30°，相距4千米.P为敌炮兵阵地.某时刻A发现P地某种信号，4秒后B，C两地才同时发现这种信号(该信号的传播速度为1千米/秒).若从A地炮击P地，求准确炮击的方位角. 解：以线段AB的中点为原点，正东方向为x轴的正方向建立直角坐标系，则A(3，0)，B(-3，0)，C(-5，2)，依题意|PB|-|PA|=4， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 ∴P在以A，B为焦点的双曲线的右支上.其中a=2，c=3，b2=5， 其方程为-=1(x≥2)，又|PB|=|PC|，∴P又在线段BC的垂直平分线上，作PD⊥BC于点D，则直线PD：x-y+7=0，由方程组结合x≥2，解得即P(8，5). 由于kAP=，可知P在北偏东30°方向. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知双曲线过点(3，-2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点. (1)求双曲线的标准方程；(4分) 解：椭圆方程可化为+=1，焦点在x轴上，且c=， 故设双曲线方程为-=1(a>0，b>0)， 则有解得 所以双曲线的标准方程为-=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若点M在双曲线上，F1，F2为左、右焦点，且|MF1|=2|MF2|，试求△MF1F2的面积.(6分) 解：因为点M在双曲线上，且|MF1|=2|MF2|，所以点M在双曲线的右支上，则有|MF1|-|MF2|=2，故|MF1|=4，|MF2|=2， 又|F1F2|=2，因此在△MF1F2中， cos∠F1MF2==，所以sin∠F1MF2=，=×|MF1|·|MF2|×sin∠F1MF2=×4×2×=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)已知双曲线-=1的右焦点为F2，M是双曲线右支上一点，定点A(9，2)，求|MA|+|MF2|的最小值. 解：由题意得a=3，b=4，则c== =5，所以e==.过点M作MN垂 直于双曲线的右准线x=，垂足为N， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 设|MN|=d，则=e，即|MF2|=d， 所以|MA|+|MF2|=|MA|+d.显然， 当M，N，A三点共线时，|MA|+|MF2|取得最小值， 为xA-=9-=. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $