专题 1.3 空间向量及其运算的坐标表示专题训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量坐标运算全维度训练，以8大题型构建从点坐标到向量关系的完整知识链，培养空间观念与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求空间点的坐标|4题|涉及平行四边形顶点、直线方向向量等|以空间点坐标为起点，建立向量运算基础| |线性运算坐标表示|5题|考查加减、数乘的坐标运算|承接点坐标，构建向量基本运算体系| |数量积坐标表示|4题|含数量积计算、投影向量求解|深化向量乘法运算，为位置关系奠定基础| |求参数问题|6题|结合平行、垂直、夹角条件求参数|综合运用坐标运算解决逆向问题| |模长坐标表示|4题|直接或间接计算向量模长|从运算结果过渡到几何度量| |平行共线坐标表示|6题|向量共线、直线方向向量应用|体现向量平行的代数表征| |垂直坐标表示|5题|利用数量积为0判断垂直关系|建立垂直的坐标判定法则| |夹角余弦坐标表示|6题|含正方体模型及夹角计算|实现向量关系到几何角度的转化|

专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示（专题训练） 【人教A版（2019）】 题型归纳 题型 1·求空间点的坐标 1 题型2·空间向量线性运算的坐标表示 2 题型3·空间向量数量积运算的坐标表示 4 题型 4··根据空间向量的坐标运算求参数 5 题型 5··空间向量模长的坐标表示 7 题型 6·空间向量平行、共线的坐标表示 8 题型 7·空间向量垂直的坐标表示 10 题型8·空间向量夹角(余弦)的坐标表示 11 题型 1·求空间点的坐标 1．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点的坐标为，再根据向量相等坐标计算求解. 【详解】平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，设顶点的坐标为， 因为，所以，所以， 所以的坐标为. 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的坐标运算求解. 【详解】已知，则. 3．若点，在直线l上，则直线l的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过直线的方向向量和向量的坐标运算求解. 【详解】依题意，直线l的一个方向向量为. 故选： 4．已知点，若向量，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量坐标运算中“向量等于终点的坐标减去起点的坐标”，即可计算出点B的坐标. 【详解】设点的坐标为，已知，， 所以 ，，，解得，，. 因此点的坐标为. 题型2·空间向量线性运算的坐标表示 5．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，所以. 6．已知，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的坐标运算法则求解. 【详解】已知，，，分别计算三个坐标： 坐标： 坐标： 坐标： 因此. 7．在空间直角坐标系中，已知点，若向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的坐标公式直接计算即可. 【详解】设，已知，向量. 所以， 解得：，，. 所以. 故选：A 8．若向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的坐标运算进行计算即可. 【详解】因为向量， 所以. 故选：B. 9．已知，，则等于（    ） A．-4 B．-6 C．-7 D．-8 【答案】C 【分析】由数量积的坐标表示即可求解. 【详解】， 故选：C 题型3·空间向量数量积运算的坐标表示 10．已知点，，若，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点，利用关系列出方程即可求解. 【详解】设点，则，, 由于，所以，解得：，所以点C的坐标为 故选：B 11．已知，则（    ） A．11 B． C．45 D．3 【答案】A 【分析】先根据空间向量的线性运算得出，再应用数量积公式计算求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选： 12．已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用投影向量的运算公式求解即可. 【详解】因为，所以， 则向量在向量上的投影向量为，其坐标为． 故选：D. 13．已知向量则（    ） A．21 B．－21 C．20 D．－20 【答案】A 【解析】先求的坐标，再根据向量数量积的坐标表示求数量积. 【详解】，所以. 故选：A 题型 4··根据空间向量的坐标运算求参数 14．已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】已知向量，，且， 则，解得，故B正确. 15．设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由空间向量平行坐标表示可得答案. 【详解】由题可得. 因，则.故选：B 16．已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】使用向量的模的公式与向量的夹角公式即可求解. 【详解】因为，， 所以，，， 又向量与夹角的余弦值为， 所以，解得. 故选：B. 17．设向量，，若，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的夹角公式结合向量的数量积与模长公式进行计算即可. 【详解】因为，则有， ， 解得，由题得，故. 故选：B 18．已知空间中三点共线，则（    ） A．2 B．0 C．1 D．-1 【答案】B 【分析】由三点共线可得，进而根据空间向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】因为三点共线，所以， 因为，所以，解得. 故选：B 19．已知空间向量，．若，则实数的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】由得，结合空间向量数量积的坐标表示建立关于的方程，解之即可求解. 【详解】由题意知，， 由，得， 即， 所以，所以，解得. 故选：C 题型 5··空间向量模长的坐标表示 20．已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量垂直的坐标表示求出的值，可求出的坐标，利用空间向量的模长公式可求得的值. 【详解】因为，，且，则，解得， 所以，故，故， 故选：B. 21．设，向量，，，且，，则等于（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】结合向量垂直和共线向量的充要条件可得出的值，再利用向量的加法和模长公式求解得出。 【详解】 ， 即，得，所以， ，. 故答案选： 22．已知点是点在平面内的射影，则（   ） A． B．9 C． D．18 【答案】C 【分析】求得点的坐标，可求. 【详解】因为点是点在平面内的射影，所以， 所以，所以. 故选：C. 23．已知空间向量满足，若，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】借助空间向量模长与数量积的关系，结合数量积公式计算即可得. 【详解】 . 故选：A 题型 6·空间向量平行、共线的坐标表示 24．已知，若，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据空间两个向量共线定理得到方程，再根据向量相等列出方程组即可得解. 【详解】若，则存在实数，使， 即， 所以，解得. 故选：D 25．设，，向量，，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】利用空间向量共线的坐标表示列式求出即可. 【详解】向量，，由，得，解得， 所以. 故选：C 26．已知向量与平行，则x，y的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量平行坐标表示可得答案. 【详解】因为，所以，所以. 故选：B. 27．已知向量与共线，则（   ） A．3 B．9 C．-3 D．-9 【答案】A 【分析】根据空间向量共线求得，进而得到. 【详解】因为共线，所以，所以，，所以． 故选：A 28．已知直线l经过两点，向量是直线l的一个方向向量，则n=（    ） A．-3 B．-2 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先求得，根据题意可知存在实数，使得，列出方程组，即可求解. 【详解】由点，可得， 因为是直线的方向向量，所以存在实数，使得， 则，解得. 故选：C. 29．设，向量，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量共线性质可得、，即可得解. 【详解】由，则，解得，，故. 故选：B. 题型 7·空间向量垂直的坐标表示 30．已知，，且，则（   ） A．9 B．0 C．1 D． 【答案】A 【详解】由题意得，解得. 31．已知向量，且，则（    ） A．-2 B．-1 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据数量积公式，代入求解，即可得答案. 【详解】由，得，解得. 32．已知空间向量，若，则实数为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】由空间向量垂直的坐标表示列方程求参数值. 【详解】由题设，可得. 故选：D 33．已知向量，，若，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据向量的减法和数量积的坐标运算化简求出. 【详解】由题意得，则，解得. 故选：B 34．已知空间向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用向量坐标的线性运算及数量积的坐标运算，得，即可求解. 【详解】因为，，则， 又，则，所以， 解得， 故选：B. 题型8·空间向量夹角(余弦)的坐标表示 35．如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，以D为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为3，则，，，， 所以，， 故， 所以向量与夹角的余弦值为.   36．已知空间向量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用空间向量的夹角公式，求得，即可求解. 【详解】由向量，，可得， 则， 因为，所以. 故选：C. 37．在正方体中，为的中点，则与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，表示出各点的坐标，利用空间向量的数量积计算即可. 【详解】如图， 设正方体的棱长为2，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 为的中点， ， ， ， ， 设异面直线与所成的角为， ， 即与所成的角的余弦值为. 故选：C 38．在正方体中，是线段上一点，则的大小可以为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，设点，其中，利用空间向量法求出的取值范围，结合选项即可得解. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设正方体的棱长为，则、、、， 设，其中，则， 从而，， 所以， 当时，，则， 则， 所以， 因为，所以，结合选项可知符合题意. 故选：A 39．已知，，，与的夹角为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出向量，的坐标，及向量与的模，再利用空间向量的夹角余弦公式列方程求解即可． 【详解】因为，，， 所以，， 故， 所以，， ， 所以， 因为与的夹角为， 所以， 解得， 经检验，不合题意，舍去，所以． 故选：B． 40．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】若共线则存在实数使得， 则， 即，方程组无解，即不存在实数使得共线. 所以若与的夹角为锐角，则，解得. 故实数的取值范围是. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示（专题训练） 【人教A版（2019）】 题型归纳 题型 1·求空间点的坐标 1 题型2·空间向量线性运算的坐标表示 2 题型 3··空间向量数量积运算的坐标表示 2 题型 4··根据空间向量的坐标运算求参数 2 题型 5··空间向量模长的坐标表示 3 题型 6·空间向量平行、共线的坐标表示 3 题型 7·空间向量垂直的坐标表示 4 题型8·空间向量夹角(余弦)的坐标表示 4 题型 1·求空间点的坐标 1．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（   ） A． B． C． D． 3．若点，在直线l上，则直线l的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 4．已知点，若向量，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 题型2·空间向量线性运算的坐标表示 5．已知，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知，则为（    ） A． B． C． D． 7．在空间直角坐标系中，已知点，若向量，则（   ） A． B． C． D． 8．若向量，则（    ） A． B． C． D． 9．已知，，则等于（    ） A．-4 B．-6 C．-7 D．-8 题型 3··空间向量数量积运算的坐标表示 10．已知点，，若，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 11．已知，则（    ） A．11 B． C．45 D．3 12．已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 13．已知向量则（    ） A．21 B．－21 C．20 D．－20 题型 4··根据空间向量的坐标运算求参数 14．已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 15．设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 16．已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（    ） A． B． C． D．或 17．设向量，，若，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 18．已知空间中三点共线，则（    ） A．2 B．0 C．1 D．-1 19．已知空间向量，．若，则实数的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 题型 5··空间向量模长的坐标表示 20．已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 21．设，向量，，，且，，则等于（   ） A． B． C．3 D．4 22．已知点是点在平面内的射影，则（   ） A． B．9 C． D．18 23．已知空间向量满足，若，则（    ） A． B． C． D．3 题型 6·空间向量平行、共线的坐标表示 24．已知，若，则（    ） A．4 B．2 C． D． 25．设，，向量，，，则（   ） A． B． C． D．1 26．已知向量与平行，则x，y的值分别为（   ） A． B． C． D． 27．已知向量与共线，则（   ） A．3 B．9 C．-3 D．-9 28．已知直线l经过两点，向量是直线l的一个方向向量，则n=（    ） A．-3 B．-2 C．2 D．3 29．设，向量，，，则（   ） A． B． C． D． 题型 7·空间向量垂直的坐标表示 30．已知，，且，则（   ） A．9 B．0 C．1 D． 31．已知向量，且，则（    ） A．-2 B．-1 C．2 D．1 32．已知空间向量，若，则实数为（    ） A．2 B．3 C． D．4 33．已知向量，，若，则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 34．已知空间向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 题型8·空间向量夹角(余弦)的坐标表示 35．如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 36．已知空间向量，则（   ） A． B． C． D． 37．在正方体中，为的中点，则与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 38．在正方体中，是线段上一点，则的大小可以为（　　） A． B． C． D． 39．已知，，，与的夹角为，则（　　） A． B． C． D． 40．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $