第1章 再练一课(范围：§1.1～§1.3)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

本高中数学讲义聚焦空间向量核心知识点，系统梳理向量基本概念（如零向量、相反向量）、线性运算（加减、数乘）、数量积（垂直、夹角）及坐标运算，构建从概念辨析到综合应用的学习支架，衔接§1.1至§1.3知识脉络。 该资料题型分层设计，单选、多选强化概念理解与基础运算，培养数学眼光；解答题结合四棱柱、空间三点等模型，通过向量表示与长度计算提升数学思维和语言表达能力。解析详尽，课中辅助教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

再练一课(范围：§1.1~§1.3) [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.下列关于空间向量的说法错误的是(　　) A.零向量与任意向量平行 B.相反向量就是方向相反的向量 C.零向量不能作为任意直线的方向向量 D.方向相同且模相等的两个向量是相等向量 答案　B 解析　选项A，零向量的方向是任意的，所以零向量与任意向量平行，该选项正确；选项B，相反向量不只要求方向相反，还要求长度相等，该选项错误；选项C，直线的方向向量必须是非零向量，该选项正确；选项D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，该选项正确. 2.在四面体OABC中，点M，N分别为线段OA，BC的中点，若=x+y+z则x+y+z的值为(　　) A. B. C.1 D. 答案　B 解析　由=-=+-又=x+y+z 则所以x+y+z=. 3.已知向量a=(2，1，2)，b=(-2，x，2)，c=(4，-2，1)，若b⊥(a+c)，则x的值为(　　) A.-2 B.2 C.-6 D.6 答案　C 解析　由题意得a+c=(6，-1，3)， 又b⊥(a+c)， 所以-12-x+6=0，解得x=-6. 4.已知A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·=0·=0，点M为BC的中点，则△AMD是(　　) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.以上三种情况都有可能 答案　C 解析　∵点M为BC的中点， ∴=+)， ∴·=+)· =·+·=0， ∴AM⊥AD， ∴△AMD为直角三角形. 5.设x，y∈R，向量a=(x，1，1)，b=(1，y，1)，c=(2，-4，2)，且a⊥b，b∥c，则|a+b|等于(　　) A.2 B. C.3 D.4 答案　C 解析　∵b∥c，∴2y=-4×1，∴y=-2， ∴b=(1，-2，1)， ∵a⊥b， ∴a·b=x+1×(-2)+1=0， ∴x=1，∴a=(1，1，1)， ∴a+b=(2，-1，2)， ∴|a+b|==3. 6.已知a=(x-3，-1，2)，b=(2，3，-6)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是(　　) A.∪ B. C.∪ D. 答案　A 解析　由题意可知a·b=2(x-3)+3×(-1)+(-6)×2=2x-21<0，∴x<又∵当===-即x=时，a，b反向共线，∴x≠∴x的取值范围是∪. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式结果为零向量的是(　　) A.+2+2+ B.2+2+3+3+ C.++ D.-+- 答案　BD 解析　A中，原式=+2+=+++=+不符合题意；B中，原式=2(+++)+(++)=0；C中，原式=不符合题意；D中，原式=(-)+(-)=0. 8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，A1C∩AC1=O，则(　　) A.·=a2 B.·=a2 C.·=a2 D.·=a2 答案　BC 解析　如图，对于A，因为AA1⊥BC，所以·=0，故A错误； 对于B·=·(+)==a2，故B正确； 对于C·=·(+)==a2，故C正确； 对于D·=·=a2，故D错误. 9.已知空间向量a=(1，2，3)，2a+b=(0，3，7)，c=(2，m，6)，且a∥c，则下列说法正确的是(　　) A.|b|= B.m=4 C.(2b+c)⊥a D.cos〈b，c〉=- 答案　ABD 解析　设b=(x，y，z)，因为a=(1，2，3)，则2a+b=(2+x，4+y，6+z)=(0，3，7)，所以 解得所以b=(-2，-1，1)，则|b|==所以选项A正确；因为a=(1，2，3)，c=(2，m，6)，a∥c，所以==得m=4，所以选项B正确；因为b=(-2，-1，1)，c=(2，4，6)，所以2b+c=(-2，2，8)，又a=(1，2，3)，则(2b+c)·a=-2+4+24=26≠0，所以选项C错误；因为b=(-2，-1，1)，c=(2，4，6)，则cos〈b，c〉==-所以选项D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.已知e1 ，e2是夹角为60°的两个单位向量，则向量e1+e2在向量e1上的投影向量为　　　　. 答案　e1 解析　(e1+e2)·e1=|e1|2+e2·e1 =1+1×1×= 向量e1+e2在向量e1上的投影向量为e1=e1. 11.已知空间三点A(0，0，1)，B(-1，1，1)，C(1，2，-3)，若直线AB上一点M满足⊥则点M的坐标为　　　　　　. 答案　 解析　由A(0，0，1)，B(-1，1，1)，C(1，2，-3)，得=(-1，1，0)=(1，2，-4)，又点M在直线AB上，所以设=λ=(-λ，λ，0)，λ∈R，则=-=(-λ-1，λ-2，4)，又⊥则(-λ-1)·(-1)+(λ-2)·1+4×0=2λ-1=0，解得λ=则=即M. 12.已知O为坐标原点，A(1，0，0)，B(0，-1，1)，若+λ与的夹角为120°，则实数λ=　　　　. 答案　- 解析　∵O(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，-1，1)， ∴+=(1，-λ，λ)=(0，-1，1)， ∵+λ与的夹角为120°， ∴cos 120°= ==-又λ<0，解得λ=-. 四、解答题(共37分) 13.(12分)如图，已知ABCD-A1B1C1D1是四棱柱，底面ABCD是正方形，AA1=3，AB=2，且∠C1CB=∠C1CD=60°，设=a=b=c. (1)试用a，b，c表示；(4分) (2)已知O为对角线A1C的中点，求CO的长.(8分) 解　(1)=++ =-+- =---=-c-b-a=-a-b-c. (2)由题意知|a|=2，|b|=2，|c|=3， a·b=0，a·c=2×3×=3，b·c =2×3×=3， ∵==(a+b+c)， ∴||= = = ==. 14.(12分)已知空间三点A(0，2，3)，B(-2，1，6)，C(1，-1，5). (1)若|a|=且a分别与垂直，求向量a的坐标；(5分) (2)若∥且||=2求点P的坐标.(7分) 解　(1)=(-2，-1，3)=(1，-3，2). 设a=(x，y，z)，因为|a|=且a分别与垂直， 所以 解得或 所以a=(1，1，1)或a=(-1，-1，-1). (2)因为∥ 所以可设=λ(λ∈R). 因为=(3，-2，-1)， 所以=λ=(3λ，-2λ，-λ). 又因为||=2 所以=2 解得λ=±2. 所以=(6，-4，-2)或=(-6，4，2). 设点P的坐标为(x1，y1，z1)， 则=(x1，y1-2，z1-3). 所以或 解得或 故所求点P的坐标为(6，-2，1)或(-6，6，5). 15.(13分)已知A(1，2，0)，B(0，4，0)，C(2，3，3). (1)求cos〈；(3分) (2)已知点P(-3，m，n)在直线AC上，求m+n的值；(5分) (3)当实数λ为何值时与+λ垂直？(5分) 解　(1)=(-1，2，0)=(1，1，3)， ∴||=||= ·=-1+2=1， ∴cos〈==. (2)∵点P(-3，m，n)在直线AC上， ∴与共线， 则存在μ∈R，使得=μ 即(-3-1，m-2，n-0)=μ(1，1，3)， ∴解得 故m+n=-14. (3)+λ=(-1，2，0)+λ(1，1，3)=(λ-1，λ+2，3λ)， ∵与+λ垂直， ∴·(+λ)=-1×(λ-1)+2×(λ+2)+0×3λ=0，∴λ=-5， ∴当λ=-5时与+λ垂直. 学科网（北京）股份有限公司 $