1.3空间向量基本定理及坐标运算 专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以空间向量基本定理为核心，构建从基底概念到坐标运算的完整方法体系，通过分层题型训练培养抽象能力与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点梳理|5个核心知识点|基底三要素判断、正交分解步骤、坐标运算公式、对称点规律|从一般基底到单位正交基底，再到坐标表示与运算，形成“定理-分解-坐标-应用”的递进逻辑| |题型训练|10类题型/25道典例|基底判断用不共面性、向量表示用线性组合、参数求解用共面定理|覆盖基底应用、坐标运算、平行垂直等高频考点，典例结合正方体、正四面体等情境，体现从概念到复杂问题的推理能力|

空间向量基本定理及坐标运算 知识点1：空间向量基本定理 1、空间向量基本定理 如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 2、基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 对基底正确理解，有以下三个方面： （1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底； （2）因为可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是； （3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念． 知识点2：空间向量的正交分解 1、单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用表示． 2、正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量，，使得. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 我们把称作向量在单位正交基底下的坐标．记作此时向量的坐标恰是点在空间直角坐标系中的坐标其中分别叫做点的横坐标、纵坐标、竖坐标． 3、特殊向量的坐标表示 （1）当向量平行于轴时，纵坐标、竖坐标都为，即 （2）当向量平行于轴时，纵坐标、横坐标都为，即 （3）当向量平行于轴时，横坐标坐标、纵坐标都为，即 （4）当向量平行于平面时，竖坐标为，即 （5）当向量平行于平面时，横坐标为，即 （6）当向量平行于平面时，纵坐标为，即 知识点3：空间向量的正交分解及其坐标表示 1、空间直角坐标系 空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系. (2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分． 2、空间向量的坐标表示 （1）空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． （2）空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空 （3）、几类特殊位置的点的坐标 （1）轴上的点的坐标为 （2）轴上的点的坐标为 （3）轴上的点的坐标为 （4）平面内的点的坐标为 （5）平面内的点的坐标为 （6）平面内的点的坐标为 （4）、空间中点的对称点的坐标：设点为空间直角坐标系中的点，则 （1）与点关于原点对称的点是 （2）与点关于轴对称的点是 （3）与点关于轴对称的点是 （4）与点关于轴对称的点是 （5）与点关于平面对称的点是 （6）与点关于平面对称的点是 （7）与点关于平面对称的点是 【注意】对称点问题常常采用“关于谁对称，谁就保持不变，其余坐标相反”这个结论． 知识点4：空间向量运算的坐标表示 设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 知识点5：空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示 1、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了. 2、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 3、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 4、两点间的距离公式 已知，则 空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作. 题型一 空间向量基底的判断 例1（1）（24-25高二上·重庆·期末）正方体中的有向线段，不能作为空间中的基底的是（    ） A． B． C． D． （2）（多选题）（25-26高二下·江苏徐州·期中）（多选）若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． （3）（多选题）（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知是空间的一个单位正交基底，则下列向量可以做基底的是（    ） A． B． C． D． （4）（25-26高二上·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． （5）（多选题）（25-26高二下·江苏徐州·期末）在正四面体中，可以与构成空间的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 例2（1）（2026·浙江·三模）已知是空间的一组基底，则能与构成另一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， （2）（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（ ） A． B． C． D． （3）（25-26高一下·河北·阶段检测）已知是空间的一组基底，则不能与构成另一组基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， （4）（2024·云南大理·高二统考期末）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B． C． D． （5）（多选题）（25-26高二上·江苏南通·期末）已知为空间的一个基底，则下列结论正确的是（    ） A．至多有一个零向量 B．也是空间的一个基底 C．空间任一向量均可用唯一线性表示 D．若，其中，则 （6）（多选题）（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）关于空间向量，以下说法正确的是（   ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则是钝角 C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 题型二 用基底表示空间向量 例3（1）（25-26高二上·福建莆田·期末）在正方体中，若，，，E为线段上一点，且，则（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高二上·福建厦门·期中）如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高二上·四川成都·期末）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，则（   ） A． B． C． D． （4）（25-26高二下·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，与的交点为，则（    ）    A． B． C． D． （5）（2026·江苏连云港·高二统考期中）在正四面体中，为的重心，记，，．若，，则______．（用，，表示） 题型三 利用空间向量基本定理求参数 例4（1）（25-26高二下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． （2）（25-26高二上·天津·阶段检测）如图，在正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，则（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高二上·山东临沂·期末）在四面体中，为线段靠近的三等分点，为的中点，若，则（   ） A． B． C． D． （4）（2026·云南昆明·模拟预测）在平行六面体中，分别为棱，的中点，点在平面上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 例5（1）（25-26高二上·河北唐山·期末）在正方体中，为棱的中点，，则（　　） A． B． C． D． （2）（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，过点的平面分别与棱、、交于点、、，若，，则（　　） A． B． C． D． （3）（25-26高二上·山东聊城·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，且是棱的中点，设平面，则的值为__________.    （4）（25-26高二上·河南信阳·期末）如图，在三棱锥中，点G为的重心，点M在上，且，过点M任意作一个平面分别交线段，，于点D，E，F，若，，，则的值为__________． （5）（2025·陕西·统考一模）空间四边形中，与是四边形的两条对角线，，分别为线段，上的两点，且满足，，若点在线段上，且满足，若向量满足，则______． 题型四 空间向量基本定理的应用（平行、垂直、数量积、模长、夹角问题） 例6（1）（25-26高二下·江苏南京·期中）如图，在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点为棱的中点，点在棱上．若，则线段的长度为（     ） A． B．1 C． D．2 （2）（25-26高二上·山西晋城·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，是和的交点，则（   ） A．8 B．6 C．0 D． （3）（25-26高二上·吉林延边·期末）已知三棱锥的体积为15，是空间中一点，，则三棱锥的体积是（    ） A．15 B．12 C．9 D．10 （4）（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）已知正四面体的棱长为2，空间中一点满足，其中，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例7（1）（25-26高二上·湖北·期中）在三棱锥中，为的重心，，，.若交平面于点，且，则的最小值为（   ）    A． B． C． D． （2）（24-25高二上·福建南平·期末）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． （3）（24-25高二上·广东江门·期末）如图，在棱长为的正四面体（四个面都是正三角形）中，，分别为，的中点，且在方向上的投影向量为，则的值为（    ） A． B． C． D． （4）（24-25高二上·山西·阶段检测）如图，在平行四边形中，，，将沿折起到位置，使得二面角的大小为，则_____. 例8（1）（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）如图，在平行六面体中，，且，. （1）分别求，的长； （2）证明：. （2）如图，在空间中平移到，连接对应顶点，设分别是的中点，是上一点． （1）若为的中点，用向量法证明：； （2）若，问是否存在点使得，并说明理由． （3）（25-26高二上·浙江·期中）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，． （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，求的值． （4）（2025·四川达州·统考二模）如图，、、分别是正方体的棱、、的中点，是上的点，平面.若，则___________. 题型五 空间向量的正交分解 例9（1）已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标为（   ） A． B． C． D． （3）（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）在空间直角坐标系中，是一个单位的正交基底，且向量，，则与夹角的余弦值为______． （4）（25-26高二上·广东广州·期中）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量，则________. （5）（24-25高二上·湖北武汉·月考）已知是空间的一组单位正交基底，若向量在基底下用有序实数组表示为，则与向量同向的单位向量在基底下用有序实数组表示为（    ） A． B． C． D． 题型六 空间向量中点的坐标表示与对称问题 例10（1）（25-26高二上·江苏南通·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若向量，则（   ） A． B． C． D． （2）（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）点关于平面的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知点是点在坐标平面内的投影，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． （4）（25-26高二下·甘肃兰州·期中）在空间直角坐标系Oxyz中，点到平面Oxy的距离为（    ） A．1 B． C．5 D． 例11（1）（25-26高二上·河南洛阳·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面Oxz对称的点为，点与点关于轴对称，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． （2）（24-25高二上·湖南·开学考试）已知空间向量，，则以为单位正交基底时的坐标为（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高二上·广西玉林·期末）已知点，，若，则点的坐标是______. （4）（25-26高二上·河南新乡·期中）一束光线自点发出，被平面反射后到达点被吸收，则该光线所走的路程是______． 题型七 空间向量线性运算、数量积的坐标表示 例11（1）（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）已知，，则（   ） A．21 B．8 C．68 D．-3 （2）（25-26高二上·河北张家口·期末）已知空间中三点，，，则（   ） A． B． C． D． （3）（25-26高二上·江苏南通·期中）已知，，是轴上一点，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． （4）（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 例12（1）（25-26高二上·北京·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，为的中点，为的中点．若，，则（   ） A．0 B．-4 C．-8 D．8 （2）（25-26高二下·福建宁德·期中）已知，则为（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高二上·广东广州·期中）已知空间三点，，.则以，为邻边的平行四边形的面积是（   ） A． B． C． D． （4）（多选题）（25-26高一下·广东深圳·期末）已知空间向量，则（ ） A． B．向量不是共面向量 C． D． 题型八 空间向量坐标中夹角、模长的运算 例13（1）（25-26高二上·广东东莞·期末）已知向量，，若，则的取值为（    ） A．±1 B． C．1 D． （2）（25-26高二上·山东淄博·期中）已知空间向量，．若，则实数的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 （3）（25-26高二上·江西抚州·期末）设向量，，若，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． （4）（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例14（1）（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 （2）（25-26高二下·安徽·期中）在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． （3）（25-26高二下·福建龙岩·期中）在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． （4）（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知向量，，，若向量，，共面，则的值为（    ） A． B． C． D．6 例15（1）（25-26高二上·广东·阶段检测）已知直线的方向向量为，点在上，现有直线外一点，则与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）已知在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面为PC上一动点，，若为钝角，则实数的值可能为（   ） A． B． C．1 D．2 （3）（25-26高二上·四川绵阳·阶段检测）设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，求的值（   ） A． B． C． D． （4）（25-26高二下·福建厦门·期末）已知为单位向量，且与夹角的余弦值为，向量，则（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 （5）（25-26高二上·山东泰安·期中）已知四棱锥，底面是边长为的菱形，不是钝角，，，为中点，在上的投影向量的模为，则_____. 题型九 空间向量坐标中平行、垂直、共面关系的运算 例16（1）（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知空间中三点共线，则（    ） A．2 B．0 C．1 D．-1 （2）（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． （3）（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）已知空间四点，，，，若A，B，C，D四点共面，则实数（    ） A．－1 B．1 C．2 D．3 （4）（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知空间向量，若点在平面内，则（    ） A． B． C． D．0 例17（1）（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）若，则与共线反向的单位向量=___________. （2）（25-26高二上·广东·期末）设空间向量，，若，则的值为 _____________． （3）（25-26高二上·福建莆田·期末）在正方体中，分别过作直线的垂线，垂足分别为M，N，则（   ） A． B． C． D． 题型十 空间向量坐标中投影向量的运算 例18（1）（24-25高二上·河南许昌·阶段检测）已知是空间的一个单位正交基底，，则空间向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． （2）（25-26高二下·安徽安庆·期中）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高二下·甘肃兰州·阶段检测）向量在向量上的投影长为（ ） A． B． C． D． （4）（2026·山西太原·二模）已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 例19（1）（25-26高二上·安徽芜湖·期末）下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ） A．若空间向量，，则在上的投影向量为 B．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 C．若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 D．已知向量，，若，则与的夹角为锐角 （2）（25-26高二上·广东中山·阶段检测）已知，在的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高二上·山东临沂·期中）在空间直角坐标系中，向量，则下列选项中正确的是（   ） A．若，则 B．向量是的一个单位向量 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 （4）（25-26高二上·福建福州·期中）空间向量，向量与夹角为，且，若在上的投影向量为，则等于________． （5）（多选题）（25-26高二上·河南周口·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知，则（    ） A． B．与平行且模为的向量的坐标为或 C．与夹角的余弦值为 D．在上投影向量的坐标为 （6）（多选题）（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知空间向量，，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为锐角，则 课后练习 1.（25-26高二上·福建福州·期中）已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高一下·重庆·期末）三棱锥中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 4.（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5.（25-26高一下·河南郑州·期末）在空间直角坐标系中，四点共面，则的值为（   ） A．4 B．1 C．6 D．－6 6.（25-26高二下·安徽安庆·期末）已知为空间两两垂直的单位向量，设空间向量，则向量的模为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 7.（25-26高二下·河南许昌·期末）已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 8.（24-25高二上·安徽·期中）在空间直角坐标系中，已知，则是与夹角为锐角的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 9.（25-26高二上·辽宁大连·期末）如图，M是三棱锥的底面的重心.若，则的值为（   ）    A．1 B．2 C． D． 10.如图，在四面体OABC中，，，，若，且∥平面ABC，则实数（    ） A． B． C． D． 11.（24-25高二下·甘肃临夏·期末）在平行六面体中，M，N分别是线段，上的点，且，，若，，，则下列说法中正确的是（    ）    A．与的夹角为45° B． C．线段的长度为1 D．直线与所成的角为60° 12.（多选题）（25-26高二下·江苏南通·期中）关于空间向量，以下说法正确的有（   ） A．向量，，若，则 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若空间四个点，，，，满足，则，，三点共线 13.（多选题）（25-26高一下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，点，分别是棱长为的正四面体的边和的中点，点在线段上，且．则（    ）    A． B． C． D．向量在方向上的投影向量为 14.（多选题）（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知空间向量，，，，若存在实数组和，满足，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则，，共面 B．若，，共面，则 C．若，，不共面，则，， D．若，，共面，则 15.（多选题）（25-26高一下·黑龙江鸡西·期末）在棱长均为的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法正确的是（   ） A．当点为棱的中点时， B．当时，四点共面 C．当时， D．当时，面积的最小值为 16.（多选题）（24-25高二上·安徽亳州·期末）已知四棱柱的底面是边长为2的菱形，底面，，，点满足，其中，，，则下列说法正确的是（    ） A．若点到点，，，的距离相等，则 B．若，则长度的最小值为 C．若，则长度的最大值为2 D．若，则点的轨迹的长度为 17.（多选题）（25-26高一下·广东肇庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，设，，，则（    ） A． B． C．点在底面的射影在线段上 D．三棱锥的外接球的表面积为 18.（25-26高二下·甘肃庆阳·期末）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是________． 19.（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为__. 20.（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）如图，在棱长为9的正四面体中，是的重心，是棱的中点，点在线段上，且有，则线段的长度为_______________. 21.（25-26高二上·广东茂名·期末）在四面体中，Q为的重心，E，F，G分别为侧棱，，上的点，若，，，，则_____. 22.（25-26高二上·河南·阶段检测）三棱锥中，点为的重心，点为的中点，过点的平面分别交于点，且，且，，则的最小值为________． 23.（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知空间中三点，，，设，． （1）若且，求实数； （2）求向量与向量的夹角的余弦值． 24.（25-26高一下·浙江宁波·期末）如图，在平行六面体中，为中点， ， ，设，，，以为空间的一个基底． （1）用基底表示向量，并求出线段的长度； （2）直线与平面 交于点求的值 25.如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.    （1）求证：共面； （2）当为何值时，； （3）若，且，求的长. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 空间向量基本定理及坐标运算 知识点1：空间向量基本定理 1、空间向量基本定理 如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 2、基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 对基底正确理解，有以下三个方面： （1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底； （2）因为可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是； （3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念． 知识点2：空间向量的正交分解 1、单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用表示． 2、正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量，均可以分解为三个向量，，使得. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 我们把称作向量在单位正交基底下的坐标．记作此时向量的坐标恰是点在空间直角坐标系中的坐标其中分别叫做点的横坐标、纵坐标、竖坐标． 3、特殊向量的坐标表示 （1）当向量平行于轴时，纵坐标、竖坐标都为，即 （2）当向量平行于轴时，纵坐标、横坐标都为，即 （3）当向量平行于轴时，横坐标坐标、纵坐标都为，即 （4）当向量平行于平面时，竖坐标为，即 （5）当向量平行于平面时，横坐标为，即 （6）当向量平行于平面时，纵坐标为，即 知识点3：空间向量的正交分解及其坐标表示 1、空间直角坐标系 空间直角坐标系及相关概念 (1)空间直角坐标系：在空间选定一点和一个单位正交基底，以为原点，分别以 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系. (2)相关概念：叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面、平面、平面，它们把空间分成八个部分． 2、空间向量的坐标表示 （1）空间一点的坐标：在空间直角坐标系中，为坐标向量，对空间任意一点，对应一个向量，且点的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.在单位正交基底下与向量 对应的有序实数组叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标． （2）空间向量的坐标：在空间直角坐标系中，给定向量，作.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使.有序实数组叫做在空 （3）、几类特殊位置的点的坐标 （1）轴上的点的坐标为 （2）轴上的点的坐标为 （3）轴上的点的坐标为 （4）平面内的点的坐标为 （5）平面内的点的坐标为 （6）平面内的点的坐标为 （4）、空间中点的对称点的坐标：设点为空间直角坐标系中的点，则 （1）与点关于原点对称的点是 （2）与点关于轴对称的点是 （3）与点关于轴对称的点是 （4）与点关于轴对称的点是 （5）与点关于平面对称的点是 （6）与点关于平面对称的点是 （7）与点关于平面对称的点是 【注意】对称点问题常常采用“关于谁对称，谁就保持不变，其余坐标相反”这个结论． 知识点4：空间向量运算的坐标表示 设，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 知识点5：空间向量平行与垂直的条件，几何计算的坐标表示 1、两个向量的平行与垂直 平行（） 垂直（） （均非零向量） 特别提醒：在中，应特别注意，只有在与三个坐标平面都不平行时，才能写成.例如，若与坐标平面平行，则，这样就没有意义了. 2、向量长度的坐标计算公式 若，则，即 空间向量长度公式表示的是向量的长度，其形式与平面向量长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的体对角线的长度 3、两个向量夹角的坐标计算公式 设，则 4、两点间的距离公式 已知，则 空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作. 题型一 空间向量基底的判断 例1（1）（24-25高二上·重庆·期末）正方体中的有向线段，不能作为空间中的基底的是（    ） A． B． C． D． 【解析】A选项，共面，不能作为空间中的一组基底，A正确；B选项，不共面，能作为空间中的一组基底，B错误；C选项，不共面，能作为空间中的一组基底，C错误；D选项，因为，，设，即，，无解故不共面，能作为空间中的一组基底，D错误. （2）（多选题）（25-26高二下·江苏徐州·期中）（多选）若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【详解】选项A，因为，所以共面，所以A错误；选项B，因为与互为相反向量，又为空间的一个基底，所以能构成空间的一个基底，故B正确； 选项C，若共面，则存在实数使得，即， 因为不共面，所以，解得，进而则可得，得到共面，与已知矛盾，所以C正确；选项D，因为，所以共面，所以D错误. （3）（多选题）（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知是空间的一个单位正交基底，则下列向量可以做基底的是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以共面，故A不符合题意；因为方程，化简可得，由题意易知方程无解，所以不共面，故B符合题意；因为，所以共面，故C不符合题意；因为方程，化简可得，由题意可得，易知该方程组无解，所以不共面，故D符合题意.故选：BD. （4）（25-26高二上·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 【详解】对于A，设存在实数，使得，可得，所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以A不符合题意；对于B，设存在实数，使得，可得，所以，解得，所以共面，不能作为空间基底，所以B符合题意；对于C，向量，不存在实数使得，所以不共面，可以作为空间基底，所以C不符合题意；对于D，设存在实数，使得，可得，所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以D不符合题意.故选：B. （5）（多选题）（25-26高二下·江苏徐州·期末）在正四面体中，可以与构成空间的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【详解】选项A：，.设，整理得，因，，不共面，则系数全为0，所以，故三个向量线性无关，可构成基底，A正确. 选项B：，，三个向量都仅含，分量，都在平面内，故共面，不能构成基底，B错误.选项C：，.设，整理得， 解得，线性无关，故可构成基底，C正确.选项D：，. 设，整理得，解得，线性无关，故可构成基底，D正确. 例2（1）（2026·浙江·三模）已知是空间的一组基底，则能与构成另一组基底的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【详解】对于选项A，假设存在实数，，使得， 则，方程无解，即不存在实数，使得上式成立，所以，，不共面，能构成一组基底，故A正确；对于选项B，假设存在实数，，使得，则，解得，即存在实数，使得上式成立，所以，，共面，不能构成一组基底，故B错误；对于选项C，假设存在实数，，使得，则，解得，即存在实数，使得上式成立，所以，，共面，不能构成一组基底，故C错误；对于选项D，假设存在实数，，使得，则，解得，即存在实数，使得上式成立，所以，，共面，不能构成一组基底，故D错误． （2）（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（ ） A． B． C． D． 【详解】对于A，，共面，不可为基底；对于B，，共面，不可为基底；对于C，假设共面，则，则，得，即为零向量，这与为空间的一个基底，不为零向量矛盾，故不共面，可作为空间的一个基底，对于D，，共面，不可为基底. （3）（25-26高一下·河北·阶段检测）已知是空间的一组基底，则不能与构成另一组基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【详解】对于A，假设存在实数，，使得，则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立，所以，，不共面，能构成一组基底.对于B，假设存在实数，，使得，则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立，所以，，不共面，能构成一组基底.对于C，假设存在实数，，使得，则，解得，即存在实数，使得上式成立，所以，，共面，不能构成一组基底.对于D，假设存在实数，，使得，则，方程组无解，即不存在实数，使得上式成立，所以，，不共面，能构成一组基底. （4）（2024·云南大理·高二统考期末）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（    ） A． B． C． D． 【详解】因为向量，，不能构成空间的一个基底，所以、、共面，故存在实数、使得，即，因为是空间的一个基底，则，解得.故选：D. （5）（多选题）（25-26高二上·江苏南通·期末）已知为空间的一个基底，则下列结论正确的是（    ） A．至多有一个零向量 B．也是空间的一个基底 C．空间任一向量均可用唯一线性表示 D．若，其中，则 【详解】对于A，零向量与任意向量共面，不满足空间基底中三个向量不共面的条件，故A错误； 对于B，假设共面，则存在实数使得，说明共面，与是空间的一个基底矛盾，所以不共面，所以是空间的一个基底，故B正确；对于C，根据空间向量基本定理，空间任一向量均可用空间一组基底唯一线性表示，故C正确；对于D，因为是空间的一个基底，所以不共面，所以当且仅当时，才成立，故D正确；故选：BCD （6）（多选题）（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）关于空间向量，以下说法正确的是（   ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则是钝角 C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 【详解】对于A，因为有两个向量共线，所以这三个向量一定共面，正确；对于B，若，则是钝角或是，错误；对于C，因为是空间中的一组基底，所以不共面且都不为，假设共面，则存在不全为零的实数使得，整理得，因为是空间中的一组基底，所以线性无关，故，解得，所以假设不成立，也是空间的一个基底，正确；对于D，因为，且，所以P，A，B，C四点共面，正确． 题型二 用基底表示空间向量 例3（1）（25-26高二上·福建莆田·期末）在正方体中，若，，，E为线段上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【详解】，故选：B. （2）（25-26高二上·福建厦门·期中）如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】连接，∵E是CD的中点，，，∴， 在中，，又，∴． （3）（25-26高二上·四川成都·期末）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，则（   ） A． B． C． D． 【详解】因为是中点，在线段上，满足，在线段上，满足， 所以，，于是，已知，所以，于是：，所以.故选：A （4）（25-26高二下·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，与的交点为，则（    ）    A． B． C． D． 【详解】由已知，在中，与的交点为，所以，与互相平分， .所以，. （5）（2026·江苏连云港·高二统考期中）在正四面体中，为的重心，记，，．若，，则______．（用，，表示） 【详解】依题意，为的重心，则，所以 .故答案为：    题型三 利用空间向量基本定理求参数 例4（1）（25-26高二下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【详解】由题意可得，，设，，且， ，因为， 所以 所以. （2）（25-26高二上·天津·阶段检测）如图，在正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，则（    ） A． B． C． D． 【详解】假设，因为，因为，，所以，，所以，又，所以, 因为、、、四点共面，所以，解得，所以.故选：B. （3）（25-26高二上·山东临沂·期末）在四面体中，为线段靠近的三等分点，为的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【详解】如下图所示： 因为为的中点，所以，由题意可知， 所以，在三棱锥中，、、不共面，且，所以，，故.故选：A. （4）（2026·云南昆明·模拟预测）在平行六面体中，分别为棱，的中点，点在平面上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【详解】设基底，以为原点，令，则，因此，D点，，是中点，，因此，是中点，，因此，因为在平面上，所以可表示为平面内的向量的线性组合，，即：，代入，整理得：，，解得，代入得，即. 例5（1）（25-26高二上·河北唐山·期末）在正方体中，为棱的中点，，则（　　） A． B． C． D． 【详解】如下图所示：因为为的中点，所以，又因为 ，，且， 即 ，显然、、不共面，所以，解得，故.故选：C. （2）（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，过点的平面分别与棱、、交于点、、，若，，则（　　） A． B． C． D． 【详解】设，连接，则．因为，即，故，因为、、、四点共面，且、不共线，存在、，使得，所以，由空间向量的基本定理可得，解得，所以.故选：A. （3）（25-26高二上·山东聊城·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，且是棱的中点，设平面，则的值为__________.    【详解】以为一组基底，所以， ，由已知点在平面内，即与共面，可设，又因为为的中点，所以，所以，由与共线，设， 所以，即，解得，所以，故答案为：. （4）（25-26高二上·河南信阳·期末）如图，在三棱锥中，点G为的重心，点M在上，且，过点M任意作一个平面分别交线段，，于点D，E，F，若，，，则的值为__________． 【详解】连接并延长，交于点，以为空间一组基底，由于是的重心，点M在上，且，所以 ①，连接，因为四点共面，所以存在实数，使得，即，②，由①②以及空间向量的基本定理可知：，，所以. 故答案为：4. （5）（2025·陕西·统考一模）空间四边形中，与是四边形的两条对角线，，分别为线段，上的两点，且满足，，若点在线段上，且满足，若向量满足，则______． 【详解】因为 ，所以．故答案：. 题型四 空间向量基本定理的应用（平行、垂直、数量积、模长、夹角问题） 例6（1）（25-26高二下·江苏南京·期中）如图，在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点为棱的中点，点在棱上．若，则线段的长度为（     ） A． B．1 C． D．2 【详解】由题意，因为点为棱的中点，所以，又因为点为棱的中点，点在棱上，设，所以，因为，，，所以，，，因为， 所以，所以，所以，解得，因为，所以. （2）（25-26高二上·山西晋城·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，是和的交点，则（   ） A．8 B．6 C．0 D． 【详解】令，，，由题意可知，， 则，， ，即， 则， 整理得.故选：A. （3）（25-26高二上·吉林延边·期末）已知三棱锥的体积为15，是空间中一点，，则三棱锥的体积是（    ） A．15 B．12 C．9 D．10 【详解】   因为，则， 即，即，所以，因为，由空间向量基本定理可知，在平面内存在一点，使得成立，即，所以，即，则，又三棱锥的体积为15，则．故选：D． （4）（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）已知正四面体的棱长为2，空间中一点满足，其中，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【详解】设，则，，所以点在平面内，依题意当平面时，最小，四面体为正四面体，为底面的中心，如图，连接并延长交于点，则为的中点. 则，所以， 即的最小值为，又，所以，即的最小值为．故选：B． 例7（1）（25-26高二上·湖北·期中）在三棱锥中，为的重心，，，.若交平面于点，且，则的最小值为（   ）    A． B． C． D． 【详解】因为的重心，所以 ， 又，，，，所以，因为点在平面内， 所以，得，且.所以当且仅当时等号成立.故选：D. （2）（24-25高二上·福建南平·期末）如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意可知， 因为，，，四点共面，所以存在实数，使，所以，所以 ，所以，所以．故选：B. （3）（24-25高二上·广东江门·期末）如图，在棱长为的正四面体（四个面都是正三角形）中，，分别为，的中点，且在方向上的投影向量为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题知，在方向上的投影向量为，又 ，且，所以，所以.故选：A （4）（24-25高二上·山西·阶段检测）如图，在平行四边形中，，，将沿折起到位置，使得二面角的大小为，则_____. 【详解】因为二面角的大小为，所以，又且，所以，所以.故答案为： 例8（1）（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）如图，在平行六面体中，，且，. （1）分别求，的长； （2）证明：. 【详解】（1）因为，且，，故， 又，故 ， 由于， 所以 ， （2）， 所以． （2）如图，在空间中平移到，连接对应顶点，设分别是的中点，是上一点． （1）若为的中点，用向量法证明：； （2）若，问是否存在点使得，并说明理由． 【详解】（1）当为的中点时， ， ，所以． （2）设，则 ， 由于，，所以 ，即，故不存在点使得． （3）（25-26高二上·浙江·期中）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，． （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，求的值． 【详解】（1）因为，所以，所以，因为点E为的中点，所以，. （2）已知，，因为，，所以 =. （4）（2025·四川达州·统考二模）如图，、、分别是正方体的棱、、的中点，是上的点，平面.若，则___________. 【详解】设，其中，， ，，因为平面，则、、共面，显然、不共线，所以，存在、，使得，即 ，因为为空间中的一组基底，所以，，解得，因此，.故答案为：. 题型五 空间向量的正交分解 例9（1）已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为平面，平面，所以，． 因为,即两两垂直，又，，，所以空间的一个单位正交基底可以为．故选：B. （2）（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标为（   ） A． B． C． D． 【详解】依题意可知，设向量在基底下的坐标为， 即，则，由空间向量基本定理得，，解得.故选：C. （3）（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）在空间直角坐标系中，是一个单位的正交基底，且向量，，则与夹角的余弦值为______． 【详解】由题意得，所以， ， ，所以.故答案为： （4）（25-26高二上·广东广州·期中）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量，则________. 【详解】设，则.所以，解得. 所以.故答案为：. （5）（24-25高二上·湖北武汉·月考）已知是空间的一组单位正交基底，若向量在基底下用有序实数组表示为，则与向量同向的单位向量在基底下用有序实数组表示为（    ） A． B． C． D． 【解析】因为向量在基底下用有序实数组表示为，所以与向量同向的单位向量的有序实数组表示为，设与向量同向的单位向量在基底下有序实数组表示为，所以，又因为，所以，解得，则与向量同向的单位向量在基底下用有序实数组表示为.故选：C. 题型六 空间向量中点的坐标表示与对称问题 例10（1）（25-26高二上·江苏南通·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若向量，则（   ） A． B． C． D． 【详解】设，已知，向量.所以， 解得：，，.所以.故选：A （2）（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）点关于平面的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知点是点在坐标平面内的投影，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． （4）（25-26高二下·甘肃兰州·期中）在空间直角坐标系Oxyz中，点到平面Oxy的距离为（    ） A．1 B． C．5 D． 【详解】因为，所以点P到平面Oxy的距离为5. 例11（1）（25-26高二上·河南洛阳·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面Oxz对称的点为，点与点关于轴对称，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【详解】由题意得，则.故选：D （2）（24-25高二上·湖南·开学考试）已知空间向量，，则以为单位正交基底时的坐标为（    ） A． B． C． D． 【详解】空间向量，，则，故以为单位正交基底时的坐标为.故选：B. （3）（25-26高二上·广西玉林·期末）已知点，，若，则点的坐标是______. 【详解】由点，，得，则，所以点的坐标是. 故答案为： （4）（25-26高二上·河南新乡·期中）一束光线自点发出，被平面反射后到达点被吸收，则该光线所走的路程是______． 【详解】因为入射光线被平面反射后到达点被吸收，所以根据光的反射定律可知，入射光线必过点，故该光线从发射到吸收所走过的路程为． 故答案为：. 题型七 空间向量线性运算、数量积的坐标表示 例11（1）（25-26高二下·江苏泰州·阶段检测）已知，，则（   ） A．21 B．8 C．68 D．-3 【详解】根据题意，，则. （2）（25-26高二上·河北张家口·期末）已知空间中三点，，，则（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，，，所以故选：D. （3）（25-26高二上·江苏南通·期中）已知，，是轴上一点，若，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【详解】设，则，， ∵，∴，即，∴，即.故选：C. （4）（24-25高二下·江苏连云港·期中）已知满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【详解】由已知，，所以， 又，所以.故选：D. 例12（1）（25-26高二上·北京·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，为的中点，为的中点．若，，则（   ） A．0 B．-4 C．-8 D．8 【详解】平面，底面为正方形，以为原点，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示. ，，，，，，， 为的中点，为的中点，，，，，.故选：C. （2）（25-26高二下·福建宁德·期中）已知，则为（    ） A． B． C． D． （3）（25-26高二上·广东广州·期中）已知空间三点，，.则以，为邻边的平行四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【详解】易知,所以，则，所以以，为邻边的平行四边形的面积为. （4）（多选题）（25-26高一下·广东深圳·期末）已知空间向量，则（ ） A． B．向量不是共面向量 C． D． 【详解】，A正确；设，即，解得，即，所以是共面向量，B错误；，所以，C正确； ，D错误. 题型八 空间向量坐标中夹角、模长的运算 例13（1）（25-26高二上·广东东莞·期末）已知向量，，若，则的取值为（    ） A．±1 B． C．1 D． 【详解】因为向量，，所以,又因为，所以，故，故选：B （2）（25-26高二上·山东淄博·期中）已知空间向量，．若，则实数的值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【详解】由题意知，，由，得， 即，所以，所以，解得.故选：C （3）（25-26高二上·江西抚州·期末）设向量，，若，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，则有， ，解得，由题得，故. 故选：B （4）（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】因为空间向量，，若与的夹角是锐角，则且不成立，所以或.故选：C. 例14（1）（25-26高二下·河南平顶山·期末）已知空间直角坐标系中的满足，，则（   ） A． B．3 C． D．5 【详解】由向量加法得， 所以. （2）（25-26高二下·安徽·期中）在长方体中，，，，向量，则（   ） A． B． C． D． 【详解】 以D为坐标原点，以直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则，所以，所以，所以，所以． （3）（25-26高二下·福建龙岩·期中）在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由可得，又，所以， 所以. （4）（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知向量，，，若向量，，共面，则的值为（    ） A． B． C． D．6 解：向量，，共面，，使得，，解得， ，． 例15（1）（25-26高二上·广东·阶段检测）已知直线的方向向量为，点在上，现有直线外一点，则与所成的角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，，所以，又直线的方向向量为，所以直线与所成的角的余弦值为.故选：B. （2）（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）已知在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面为PC上一动点，，若为钝角，则实数的值可能为（   ） A． B． C．1 D．2 【详解】以为原点，所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，因为，所以，则，则，故，因为为钝角，所以，即，又一元二次函数，，所以恒成立，故，得，故只有B选项满足题意.故选：B    （3）（25-26高二上·四川绵阳·阶段检测）设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，求的值（   ） A． B． C． D． 【详解】由已知，均为单位向量，可知，又，则；同理，则， 代入，即，解得，则，故选：C. （4）（25-26高二下·福建厦门·期末）已知为单位向量，且与夹角的余弦值为，向量，则（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 【详解】由题可知①，又②，①②联立，结合，得，.因为， 所以当时，取得最大值为.故选：A （5）（25-26高二上·山东泰安·期中）已知四棱锥，底面是边长为的菱形，不是钝角，，，为中点，在上的投影向量的模为，则_____. 【详解】由为中点，则，设，由在上的投影向量的模为，则 ，化简得，即， 整理得，即或，又不是钝角，，故， 则 . 故答案为：. 题型九 空间向量坐标中平行、垂直、共面关系的运算 例16（1）（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知空间中三点共线，则（    ） A．2 B．0 C．1 D．-1 【详解】因为三点共线，所以，因为，所以，解得.故选：B （2）（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）设，，若，则k的值是（   ） A． B． C．3 D． 【详解】由题可得.因，则.故选：B （3）（25-26高二上·浙江嘉兴·期末）已知空间四点，，，，若A，B，C，D四点共面，则实数（    ） A．－1 B．1 C．2 D．3 【详解】，显然这两个向量不共线，若A，B，C，D四点共面， 则有.故选：C （4）（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知空间向量，若点在平面内，则（    ） A． B． C． D．0 【详解】已知点在平面内，，故，解得，． 例17（1）（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）若，则与共线反向的单位向量=___________. 【详解】∵ ，∴ .∵ 单位向量与共线且反向， ∴ . （2）（25-26高二上·广东·期末）设空间向量，，若，则的值为 _____________． 【详解】，，所以，∵，∴，即，∴.故答案为：8. （3）（25-26高二上·福建莆田·期末）在正方体中，分别过作直线的垂线，垂足分别为M，N，则（   ） A． B． C． D． 【详解】在正方体中，以为坐标原点，以所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，则，，，设，所以，所以，解得，所以.设，所以，所以，解得，所以.所以. 题型十 空间向量坐标中投影向量的运算 例18（1）（24-25高二上·河南许昌·阶段检测）已知是空间的一个单位正交基底，，则空间向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为是空间的一个单位正交基底，所以，， 则，，所以空间向量在方向上的投影向量为，故选：D （2）（25-26高二下·安徽安庆·期中）已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【详解】设向量、的夹角为，因为在上的投影向量为:， 又因为，， 所以， ， ，所以向量在向量上的投影向量：，故A选项正确. （3）（25-26高二下·甘肃兰州·阶段检测）向量在向量上的投影长为（ ） A． B． C． D． 【详解】因为向量，所以，所以向量在向量上的投影向量为：，所以向量在向量上的投影长为：. （4）（2026·山西太原·二模）已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【详解】向量在法向量上的投影向量为， 设向量在平面上的投影向量，由平行四边形法则可得，故. 例19（1）（25-26高二上·安徽芜湖·期末）下列关于空间向量的命题中，正确的是（    ） A．若空间向量，，则在上的投影向量为 B．若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底 C．若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 D．已知向量，，若，则与的夹角为锐角 【详解】对于A，在上的投影向量为，A错；对于B，是空间的一组基底，而，即，，是共面向量，故不是空间的一组基底，即B错误；对于C，在中，故P，A，B，C四点不共面，C错；对于D，，若，则，可得，若，共线，则，解得，即当时，，不共线，，的夹角为锐角，故D正确.故选：D. （2）（25-26高二上·广东中山·阶段检测）已知，在的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由题可得：，因为在的投影向量为， 所以，即：，且， 代入，，化简得：，解得：，所以. （3）（25-26高二上·山东临沂·期中）在空间直角坐标系中，向量，则下列选项中正确的是（   ） A．若，则 B．向量是的一个单位向量 C．若为钝角，则 D．若在上的投影向量为，则 【详解】由，，可得，故A错误；由的单位向量是，故B错误；由为钝角，则，又当，所以为钝角，则且，故C错误；由在上的投影向量为，故D正确；故选：D. （4）（25-26高二上·福建福州·期中）空间向量，向量与夹角为，且，若在上的投影向量为，则等于________． 【详解】由向量，得，，因此在上的投影向量，所以. （5）（多选题）（25-26高二上·河南周口·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知，则（    ） A． B．与平行且模为的向量的坐标为或 C．与夹角的余弦值为 D．在上投影向量的坐标为 【详解】对A，因为，所以A错误；对B，因为，所以，因为所求的向量与平行，且模为， 所以所求的向量为：或，即所求向量坐标为或，所以B正确；对C，又因为，所以与夹角的余弦值为，所以C错误；对D在上投影向量为：，所以选项D正确．故选：BD． （6）（多选题）（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知空间向量，，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若在上的投影向量为，则 D．若与夹角为锐角，则 【详解】选项A：由题意，解得，故A正确；选项B：若，则，解得，故B正确；选项C：在上的投影向量为， 所以，即，判别式，方程无实数根，故C错误； 选项D：若与夹角为锐角，则，且与不共线，所以，解得，由与不共线，得所以，故D正确.故选：ABD 课后练习 1.（25-26高二上·福建福州·期中）已知点，，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【详解】因为点，所以的中点，所以关于平面对称的点的坐标为，故选：C． 2.（25-26高一下·重庆·期末）三棱锥中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 【详解】由，且，则，整理得，因此， 由，知是的中点，则，由，则. 3.（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【详解】由 可得：，展开得： ①， 已知 ，则，，，代入①可得： ，解得：. 4.（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【详解】平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，设顶点的坐标为，因为，所以，所以，所以的坐标为. 5.（25-26高一下·河南郑州·期末）在空间直角坐标系中，四点共面，则的值为（   ） A．4 B．1 C．6 D．－6 【详解】由，得. 因为四点共面，所以存在唯一实数对，使得，所以，解得.故的值为. 6.（25-26高二下·安徽安庆·期末）已知为空间两两垂直的单位向量，设空间向量，则向量的模为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【详解】由可得，则，因为为空间两两垂直的单位向量，故，则． 7.（25-26高二下·河南许昌·期末）已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 【详解】， 又，则，所以. 8.（24-25高二上·安徽·期中）在空间直角坐标系中，已知，则是与夹角为锐角的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】与的夹角为锐角，则要满足，即且不等于1，解得：且，因为是的真子集，所以是“与的夹角为锐角”的必要不充分条件.故选：B 9.（25-26高二上·辽宁大连·期末）如图，M是三棱锥的底面的重心.若，则的值为（   ）    A．1 B．2 C． D． 【详解】是三棱锥的底面的重心，，由向量加法法则得， ，，，而， ，，，，则.故选：A 10.如图，在四面体OABC中，，，，若，且∥平面ABC，则实数（    ） A． B． C． D． 【详解】由条件可知，延长与交于，连接，因为平面，平面，平面平面，所以∥，令，，则有， ，根据向量基底表示法的唯一性，得解得∥，，， 11.（24-25高二下·甘肃临夏·期末）在平行六面体中，M，N分别是线段，上的点，且，，若，，，则下列说法中正确的是（    ）    A．与的夹角为45° B． C．线段的长度为1 D．直线与所成的角为60° 【详解】由题可得，，，对于A，由题，所以，，所以， 因为，所以，故A错误；对于B，由题得 ，故B错误；对于C，因为，， 所以 ，故C正确；对于D，因为， 又，所以，所以，所以直线与所成的角为，故D错误.故选：C 12.（多选题）（25-26高二下·江苏南通·期中）关于空间向量，以下说法正确的有（   ） A．向量，，若，则 B．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C．设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D．若空间四个点，，，，满足，则，，三点共线 【详解】选项A：若，可能或，零向量与任意向量的点积为0，但零向量没有垂直的定义，因此不能推出，故A 错误；选项B：空间四点共面的充要条件是：对空间任意一点，存在实数，使得，且，所以，因此四点共面，故B 正确；选项C：因为，所以为共面向量，因此不能作为基底，故C 错误；选项D：若，且，则根据共线向量定理的推论，三点共线，故D正确. 13.（多选题）（25-26高一下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，点，分别是棱长为的正四面体的边和的中点，点在线段上，且．则（    ）    A． B． C． D．向量在方向上的投影向量为 【详解】对于A，由点，分别是边和的中点，则，， 又，且点在线段上，则，则，所以，故A正确；对于B，由正四面体的棱长为，即，且，，两两的夹角都为， 则，则， 所以，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，向量在方向上的投影向量为，故D正确． 14.（多选题）（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知空间向量，，，，若存在实数组和，满足，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则，，共面 B．若，，共面，则 C．若，，不共面，则，， D．若，，共面，则 【详解】对于A：因为，，所以， 因为，所以，所以向量，，共面，故A正确．对于B、D：若，，，则，，共面，令，则，，，可为任意实数，此时由，，得不到，也得不到，故B、D错误；对于C：若，，不共面，由，，则，，，故C正确；故选：AC 15.（多选题）（25-26高一下·黑龙江鸡西·期末）在棱长均为的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法正确的是（   ） A．当点为棱的中点时， B．当时，四点共面 C．当时， D．当时，面积的最小值为 【详解】对于A，当点为棱的中点时， ，所以，，，，A错误； 对于B，当时，， 所以，即，所以四点共面，B正确； 对于C，当时，，所以，所以 ，C正确；对于D，当时， ， ，所以点到的距离，因为，所以， 当且仅当时，等号成立，所以的面积，即面积的最小值为，D正确． 16.（多选题）（24-25高二上·安徽亳州·期末）已知四棱柱的底面是边长为2的菱形，底面，，，点满足，其中，，，则下列说法正确的是（    ） A．若点到点，，，的距离相等，则 B．若，则长度的最小值为 C．若，则长度的最大值为2 D．若，则点的轨迹的长度为 【详解】对于A，若点P到点B，，D，的距离相等，则点P在经过对角面的中心，且垂直于平面的直线上，分别取，的中点，，连接，如图（1），则点P在线段上，则，，所以，故A正确；   对于B，若，则点在上及其内部，如图（2），   则长度的最小值为点到平面的距离，设为与的交点，则所求距离转化为点到直线的距离，易知为等腰直角三角形，所以，故B正确；对于C，若，则点P在上及其内部，如图（3），   则长度的最大值为，，中的一个，计算可得，，所以长度的最大值为，故C错误；对于D，若，则，所以， 所以，所以，则点在平面内，且在以为圆心，半径为1的圆弧上，这段圆弧的长度为，故D正确.故选：ABD. 17.（多选题）（25-26高一下·广东肇庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，设，，，则（    ） A． B． C．点在底面的射影在线段上 D．三棱锥的外接球的表面积为 【详解】对于A，，故A错误；对于B，由A知，，而，，， 则 ，故B正确；对于C，连接，设，连接， 由题意，四边形为正方形，则，， 而，，则为全等的等边三角形，所以，而为的中点，则，即，则，即， 因为平面，所以平面，则点在底面的射影为点， 所以点在底面的射影在线段上，故C正确；对于D，由C知， 则三棱锥的外接球的球心为点，半径为，所以三棱锥的外接球的表面积为，故D正确. 18.（25-26高二下·甘肃庆阳·期末）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是________． 【详解】由题意可知.设，所以，解得，则，则以为基底时的坐标是． 19.（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为__. 【详解】根据题意与的夹角为钝角，则，解得；若两向量方向相反，则存在，使得，即，解得，故有且，所以实数的取值范围为. 20.（25-26高二下·内蒙古赤峰·期末）如图，在棱长为9的正四面体中，是的重心，是棱的中点，点在线段上，且有，则线段的长度为_______________. 【详解】设， 因为是棱长为的正四面体， 所以，且两两夹角为， 则，, 因为是的重心，所以， 因为是棱的中点，所以， 所以,因为点在线段上，且，所以， 则， 所以 ， 所以，即线段的长度为. 21.（25-26高二上·广东茂名·期末）在四面体中，Q为的重心，E，F，G分别为侧棱，，上的点，若，，，，则_____. 【详解】如图所示：设中点为R，，连接，由P，R，C，Q，S，G共面， 可知与平面的交点即与的交点D. 因为，，，设，则，设， 则，故，故，解得，代入，可得，即.由重心性质可得，设，又，则， 故，解得，故，则，由D，E，F，G四点共面， 可知：（其中），所以，则.故答案为：. 22.（25-26高二上·河南·阶段检测）三棱锥中，点为的重心，点为的中点，过点的平面分别交于点，且，且，，则的最小值为________． 【详解】 点为的重心，  ，为的中点，，，，， ，四点共面，，， ，当且仅当时取等号．故答案为：． 23.（25-26高二上·陕西汉中·期中）已知空间中三点，，，设，． （1）若且，求实数； （2）求向量与向量的夹角的余弦值． 【详解】（1），所以， 则，解得． （2）因为，，所以，又，，所以，即向量与向量的夹角的余弦值为． 24.（25-26高一下·浙江宁波·期末）如图，在平行六面体中，为中点， ， ，设，，，以为空间的一个基底． （1）用基底表示向量，并求出线段的长度； （2）直线与平面 交于点求的值 【详解】（1）由题意， ，因为为的中点，所以 . 所以 .因为 ，且 － ，所以 ，所以 ，即线段的长度为. （2）设 ，因为点在平面 上，所以关于基底 的系数之和为1，即 ，解得 .所以 . 25.如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.    （1）求证：共面； （2）当为何值时，； （3）若，且，求的长. 【详解】（1）在平行六面体中，连接，因为， 所以，， 所以，即且，所以四边形为平行四边形，即共面. （2）当时，，理由如下，设，且与、与、与的夹角均为，因为底面为菱形，所以， ， ，若，则， 即，即，解得或舍去， 所以时，    （3），，， 所以 ，所以的长为 1 学科网（北京）股份有限公司 $