第3章 圆（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦九年级上册圆的基础与综合应用，以刘徽割圆术、钟表残片等文化与生活情境为载体，覆盖圆周角、切线判定等核心知识点，适配单元复习，强化数学眼光与推理思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|圆周角定义、点与圆位置关系|基础概念辨析，如第1题图形辨析圆周角| |填空题|6/18|正多边形边数、直角三角形外接圆直径|结合方程与几何，如第13题用根与系数关系求直径| |解答题|9/72|切线证明、垂径定理、圆与正多边形综合|分层设计，如20题尺规作图找圆心（基础），25题同心圆与正六边形综合（创新），体现推理能力与空间观念|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第3章圆·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 6 7 8 9 10 C D A A D D A C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.8 12.9 13.0 14.100 15.31.5 9 16.5元 三、解答题（共9小题，共72分） 17. 【详解】证明：，AC=BC, ∴.∠CAB=∠CBA :BE=亦 2分 :-F=E-示 ∴.AE=BF, AE=BF. 4分 18.【详解】AC=AD,理由如下： :四边形ABCD内接于⊙O, ∠B+∠ADC=180°， ∠B=105°. .∠ADC=1800-1050=750,3分 1/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠A0D=150°， .∠ACD= A0D=)X150°=758 2 ∴.∠ADC=∠ACD、 AC=AD,.6分 19.【详解】证明：AB是⊙O的直径， ∠ACB=90°， ..AC=AC .∠B=∠D=60°，… 3分 ∠BAC=90°-∠B=30°， .∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°， 即：BA⊥AE, ∴AE⊙O ”是的切线： 6分 20.【详解】(1)解：如图，点O即为所求； y 3分 B (2)解：如图，连接OA, 设圆的半径为r,则OA=r,OD=r-3, .CD⊥AB,AB=12 4D-14B-6 21 .5分 2/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Ra1OD中， AD2 +0D2=0A2 63+-3=2 解得：r=7.5, 即圆的半径为7.5… 8分 21.【详解】(1) 证明：，AB=AC, AB-AC :半径OE,OF分别与弦AB,AC垂直， :AB=BE,AF=C示 2分 AE=BE=AF=CF .∠A0E=LA0F; 4分 (2) 证明：，AM∥OF,AN∥OE, ∴，四边形AMON为平行四边形， :半径OE,OF分别与弦AB,4C垂直， .AG-AB.AH -TAC, 2 2 .AB=AC, .AG=AH,6分 .S四边形MON=OM·AG=ON·AH ..OM =ON, .四边形AM0N为菱形.8分 22.【详解】(1)证明连接AD, 3/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为 的直径， 为弦， 于点， O AB⊙O CD CD⊥AB E CE=DE AC=AD AC=AD 2分 .CG=AG, .∠ACD=∠CAF, :∠ACD=∠AFD,∠CAF=∠CDF, .∠AFD=∠CDF. .AD=CF, AC=CF 5分 (2)解：根据题意，得AC=CF, .∠CAF=LCFA, .∠ACD=∠AFD=∠CAF=∠CDF=∠CFA, .GD=Gf,.7分 :DF为⊙O的直径， .∠DCF=90°， .∠CAF=∠CDF=∠CFA=30° 在Rt△GCF中，FG=2CG. （Gcrj+(6j-cr 解得：GF=12, ∴GD=GF=12 .10分 B D 4/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23.【详解】(1)解：四边形ABCP是⊙O的内接四边形 .∠ABC+∠P=180°， ∠ABC=2∠P, .∠P+2∠P=180°， 2分 .∠P=60°， ∴.∠A0C=2∠P=120°， 0A=0C, ∠04C=∠0CA=180°-∠40C=30 2 .5分 (2).∠C0B=90°，∠AC0=90°」 ∴.EC=2OE. 在RtOCE中， 0C=25 .0E2+0C2=EC2, 解得0E=2, ……………………….7分 5am=0500=2x2w5=2w5, .S扇形O8c= 0x×5-3. 360 :.5阴E=S形oac-S.oc=3z-2V5 10分 24.【详解】(1)证明：连接OM,如图所示： ,为斜边 的中点， B:∠ACB=90°D AB ∴.CD=DA=DB= -AB ∠ACD=∠A, 5/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ...OC=OM. .∠ACD=∠OMC. .∠OMC=∠A,… .2分 .OM∥AB, ME⊥AB, .ME⊥OM, 又：OM为⊙0的半径， .ME⊙O 是的切线。… 5分 (2)解：连接DM,如图所示： M D B·CD=5 由(1)可知，BD=AD=CD=5, CD为⊙O的直径， ∠CMD=90°， .DM⊥AC，.7分 在等腰。DC中，由三线合-性质可得DM是边AC上的中线，印4M=CM-号4C=4, ∴在Rt4CDM中，由勾股定理可得DM=VCD2-CM=VS-平=3， S.ow-AM.DM=AD-ME ME-AM.DM 4x3 =2.4 AD 5 10分 25.证明：如图所示，连接OE,OC,OD,设OD,CE交于H, ,正六边形ABCDEF为大圆O的内接正六边形， ∴.DE=DC=BC, .∠DOC=∠BOC, 6/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又.0E=OC, .OD垂直平分CE, .0HC=90°，1 2分 :小圆O与CA相切于点K, .∠OKC=90°=∠OHC, 又：0C=0C, ,aOHC≌aOKC(AAS) ..OH=OK. 点H在小圆O上， 又：OH⊥CE, .CE是小圆O的切线； 5分 E B (2②)12x-18V3 (2)解：：正六边形ABCDEF为大圆O的内接正六边形， A∠B0C-360-60,0B=0C. 6 ∴.△OCB是等边三角形， ,小圆O与CA相切于点K, .CK⊥OK, :0C=0B=20K=2V5 CK=0C2-0K=3 8分 aw8.cK-*25x3=35, 2 SE六边形BCDEF=6 S&OcA=18V3 7/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .S阴影=S大圆0-SE大边形Bc0er=元×(2V5-185=12r-185 10分 8/8………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第3章 圆·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各图中的为圆周角的是（     ） A． B． C． D． 2．下列命题正确的是（    ） A．各边相等的多边形是正多边形 B．正多边形一定是中心对称图形 C．各角相等的圆内接多边形是正多边形 D．正多边形外接圆的半径是正多边形的半径 3．已知的半径为，线段，则点A与的位置关系是（     ） A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．不能确定 4．如图，是的直径，，是上的两点，连接，，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ）． A． B． C． D． 6．如图，是的弦，半径于点D．若，．则的长是（     ） A．5 B．6 C．8 D．10 7．我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，可以用圆内接正十二边形的面积来近似估计的面积，如图，若取及其内接正十二边形的四分之一图，测得半径为，则图中圆部分去掉圆内接正十二边形部分的剩余面积为（    ） A． B． C． D． 8．如图，正六边形的边长为1．扇形（阴影部分）的面积为（     ） A． B． C． D． 9．如图，直线与相切于点，线段，是的两条弦，且；若的半径为，，则弦的长为（     ） A． B． C． D． 10．如图，，是的切线，，是切点，点在上，且，则（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知的半径为，是内一点，，则点到上各点的最大距离是_________． 12．如图，是的内接正多边形的一条边，连接，，，则这个正多边形的边数为________． 13．一直角三角形的两直角边是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为________． 14．如图，中，，点C、D是弧上任两点，则的度数是________°． 15．如图，，已知点B为的中点，切于点C，点A，O，D在一条直线上．若，则_____． 16．如图，是的切线，是切点，过点作的平行线，交于点，若，，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留）． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（4分）如图，在中，，以为直径的分别交于点E，F．求证：． 18．（6分）如图，四边形内接于，，．比较的大小，并说明理由． 19．（6分）已知：如图，是的直径，点、在上，．求证：是的切线； 20．（8分）如图1是一块钟表残片，图2是其示意简图．弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D， 连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出残片所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求残片所在圆的半径． 21．（8分）如图，是的弦，，半径，分别与弦，垂直，垂足分别为，，，交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 22．（10分）如图，为的直径，为弦，于点E，连接并延长交于点F，连接交于点G，连接，，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 23．（10分）已知四边形是的内接四边形，，连接． (1)如图①．求的度数； (2)如图②，连接与相交于点E，若，求的长和阴影部分的面积． 24．（10分）如图，是的斜边上的中线，，以为直径作，分别交于点，过点作于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 25．（10分）大圆O和小圆O为同心圆，正六边形为大圆O的内接正六边形，连接．连接与交于点K，同时小圆O与相切于点K． (1)求证：是小圆O的切线． (2)若，求阴影部分的面积．（结果用表示） 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第3章圆·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.下列各图中的∠1为圆周角的是() A B D 【答案】C 【详解】解：根据圆周角的定义，选项C中的∠I为圆周角. 2.下列命题正确的是() A.各边相等的多边形是正多边形 B.正多边形一定是中心对称图形 C.各角相等的圆内接多边形是正多边形 D,正多边形外接圆的半径是正多边形的半径 【答案】D 【详解】解：A、各边相等的多边形不一定是正多边形，如菱形各边相等但角不等，故该选项不符合题意； B、正多边形不一定是中心对称图形，只有当边数为偶数时才是，如正三角形不是中心对称图形，故该选 项不符合题意： C、各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，如矩形各角相等但边不等，故该选项不符合题意： D、正多边形外接圆的半径就是正多边形的半径，故该选项符合题意： 故选：D 3.已知O0的半径为3cm,线段OA=5Cm,则点A与⊙0的位置关系是() A.点A在⊙0外 B.点A在OO上 C.点A在⊙0内 D.不能确定 【答案】A 【详解】解：⊙0的半径为3cm,OA=5cm,且5>3， 1/21 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 点A在⊙0外. 4,如图，BC是OO的直径，A,D是O0上的两点，连接AB,AD,BD,若∠ADB=70°，则∠ABC 的度数是() ○ A.20° B.30° C.40° D.50° 【答案】A 【详解】解：如图，连接AC, :∠ADB与∠CB 是B 所对的圆周角， .∠ACB=∠ADB=70°， :BC是⊙O的直径， ∴.∠BAC=90° ∴.∠ABC=90°-∠ACB=90°-70°=20° 5.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5cm,BC=12cm,则它的外心与顶点的距离为(). A.6cm B.13cm C.7cm D.6.5cm 【答案】D 【详解】解：，Rt△ABC,∠C=90°，AC=5cm,BC=12cm, :4B=√4C2+BC2=V5F+12=V169=13cm 2121 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,:Rt△ABC外心为斜边AB的中点， :外接圆半径R=9-号=650m 22 .外心与顶点的距离为6.5cm. 故选：D 6.如图，AB是O0的弦，半径0C⊥AB于点D.若AB=16,CD=4.则OC的长是() A.5 B.6 C.8 D.10 【答案】D 【详解】解： D 连接OB, :OC⊥AB,且AB=16, :AD=BD=)4B=8, 2 设圆的半径为R, .CD=4 则在RIODB中，有OD+BD2=OB即(R-4+8=R2 解得R=10,即OC=10, 故选项D符合题意 7.我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积， 3/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ⊙0 ⊙0 可以用圆内接正十二边形的面积来近似估计的面积，如图，若取及其内接正十二边形的四分之 一图，测得O0半径为2m，则图中圆部分去掉圆内接正十二边形部分的剩余面积为() A.(π-3)cm2 B.(π-4)cm2 c.(π-2v5)cm D.(π-2V2)cm2 【答案】A 【详解】解：设圆半径为r,则r=2, ·四分之一圆的圆心角为90°， 四分之圆的面积S三360r2、1 =40×22=元， :正十二边形的中心角为360°÷12=30°， .图中四分之一正十二边形包含90°÷30°=3个全等的等腰三角形， 设其中一个等腰三角形为△OAB,OA=OB=2,∠AOB=30°， 过点A作AD⊥OB于点D, 在RtAOAD中，：∠AOD=30°，OA=2, ∴.AD=5OA=1 2 1 1 S0s=20BAD=2×2x1=1, 2 四分之一正十二边形的面积 2=3×SAo4B=3 4/21 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ·剩余面积 S=S,-S2=(π-3)cm2 8.如图，正六边形ABCDEF的边长为1.扇形EAC(阴影部分)的面积为() B V3π A.8 B.2 c.2 D.π 【答案】C 【详解】解：正六边形ABCDEF的边长为1， ∠FAB=∠B=(6-2x180 =120°，AB=BC 六∠BAC=∠BCA=180°-120° 2 =30° 同理可得：∠FAE=30°， ∠EAC=∠FAB-∠FAE-∠BAC=120°-30°-30°=60° 过点B作BG⊥AC于G, B .AB=BC ·4G=Gc=4C 2 ∠BAC=30°， BG=1AB=1 21 2 .AG=AB2-BG2 5/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AC=24G=3 :扇形EAC(阴影部分)的面积 60πx(V3月 360 9.如图，直线AB与⊙0相切于点A,线段AC,CD是OO的两条弦，且CDAB;若⊙0的半径为10， CD=16,则弦AC的长为() A.20 B16 C.&5 D 8V3 【答案】C 【详解】解：如下图所示，连接AO并延长，交CD于点E,连接OC, :直线AB与⊙O相切于点A, .OA⊥AB, CD‖AB .AE⊥CD CD=16, CECD :⊙0的半径为10， .0C=OA=10 .0E=V0C2-CE2=V102-82=6 ∴.AE=OA+OE=10+6=16 AC=VCE2+AE2=V82+162=85 6121 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D B 10.如图，PA,PB是⊙0的切线，A,B是切点，点C在⊙0上，且∠ACB=58°，则∠APB=() B A.54° B.58 C.64° D.68 【答案】C 【详解】解：如图，连接AO,延长AO,交⊙O于E,连接BE,则AE为⊙O的直径， B :AE为⊙O的直径， .∠ABE=90°， ∠ACB和∠AEB AB ∠ACB=58° 都是 所对的圆周角， ·∠AEB=∠ACB=58°， ∴.∠EAB=90°-∠AEB=32°， :PA,PB是⊙O的切线，A,B是切点， AE⊥PA,PA=PB, .∠PAB=90°-∠EAB=58°，∠PAB=∠PBA, 7121 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠APB=180°-2∠PAB=64° 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分) 11.己知⊙0的半径为5cm,P是⊙0内一点，OP=3cm,则点P到⊙0上各点的最大距离是 cm 【答案】8 【详解】解：⊙0的半径为5cm,OP=3cm, ∴.OP<5cm,即点P在⊙O内， ,点P到⊙O上各点的最大距离为5+3=8cm. 12.如图，AB是⊙0的内接正多边形的一条边，连接OA,OB,∠AOB=40°，则这个正多边形的边数为 A B 【答案】9 【详解】解：圆内接正多边形的中心角之和为360°，且每个中心角相等. 已知该正多边形的一个中心角∠AOB=40°，设正多边形的边数为n,则： 360°360° n= =9 ∠AOB40° 13.一直角三角形的两直角边是方程2-4x+3=0的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为 v10 【答案】 【详解】解：x2-4x+3=0, (x-1)(x-3)=0 8/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 X=1x2=3 解得 或 故两直角边长分别为1和3 由勾股定理，斜边长为 V12+32=V1+9=V10 V10 故外接圆直径为 v10 故答案为： 14.如图，⊙0中，∠AOB=100°，点C、D是弧AmB上任两点，则∠C+∠D的度数是°. B 【答案】100 【详解】解：∠40B=10°∠ 和<D 都是AB AmB 所对的圆周角，点C、D是弧 上任两点， .∠C=∠D=7∠AOB=50。 .∠C+∠D=50°+50°=100° 15.如图，已知点B为1C的中点，D切O0于点C点4,0，D在一条直线上.若D=36°，则 ∠BAC= B 【答案】31.5° 【分析】 【详解】解：，CD是⊙O的切线， 9/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠OCD=90°， .∠C0D=90°-∠D=90°-36°=54°. .∠A0C=180°-∠C0D=180°-54°=126°， :点B为1C的中点， ZB0C=∠A0B)∠A0C=638 由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：ZB4C=,∠BOC=」 2×63°=31.50. 故答案为：31.5°」 16.如图，PA是⊙O的切线，A是切点，过点A作OP的平行线，交⊙0于点B,若OB=3, ∠AP0=36°，则图中阴影部分的面积为 (结果保留π)· 9 【答案】5π 【详解】解：如图所示，连接OA. A 点A是切点， ∴.∠0AP=90° :∠AP0=36°， ∴.∠A0P=90°-36°=54° .AB∥OP, LOAB=∠AOP=54°， .OA=OB. 10/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△AOB为等腰三角形， .∠OBA=∠OAB=54°， ∴.∠A0B=180°-54°-54°=72°， :△AOB与△ABP同底等高， S△AOB=S△ABP :半径r=3,圆心角n=72°， ÷扇形面积S=72x元×329 360360 三、解答题（共9小题，共72分） 17.(4分)如图，在△ABC中，AC=BC,以AB为直径的⊙O分别交AC,BC于点E,F.求证： AE=BF. E 【详解】证明：，AC=BC, ∴.∠CAB=∠CBA BE=AF 2分 :R-脉=B成-所 ∴.AE=BF, .AE=BF,4分 18.(6分)如图，四边形ABCD内接于⊙0，∠A0D=150°，∠B=105°.比较AC,AD的大小，并说明 理由. 11/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 【详解】AC=AD,理由如下： :四边形ABCD内接于OO, ∠B+∠ADC=180°， ∠B=105°， ∠ADC=180°-1050=750， .3分 :∠A0D=150°， 1 1 ∴.∠ACD=二∠AOD=-×150°=75° 2 2 .∠ADC=∠ACD .AC=AD.… 6分 19.(6分)己知：如图，AB是⊙0的直径，点C、D在⊙0上，∠EAC=LD=60°.求证：AE是⊙0 的切线： 少 D E 【详解】证明：：AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， AC-Ac .∠B=∠D=60°， 3分 .∠BAC=90°-∠B=30°， 12121 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°， 即：BA⊥AE, .AE⊙O 是的切线： .6分 20.(8分)如图1是一块钟表残片，图2是其示意简图.弦AB的垂直平分线交弧AB于点C,交弦AB于 点D,连接AC D 4、 B (1)请用无刻度的直尺和圆规作出残片所在圆的圆心O；(保留作图痕迹，不写作法) (2)若AB=12,CD=3,求残片所在圆的半径. 【详解】(1)解：如图，点O即为所求： 3分 B (2)解：如图，连接OA, 设圆的半径为r,则OA=r,OD=r-3, CD⊥AB,AB=12, :4D=4B=6 5分 Rt△AOD,AD2+CQD2=OA2 在 中 13121 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :62+0-3=r2 解得：r=7.5, 即圆的半径为7.5 .8分 21.(8分)如图，AB,AC是⊙O的弦，AB=AC,半径OE,OF分别与弦AB,AC垂直，垂足分别为 G,H,AM∥OF,交OE于点M,AN∥OE交OF于点N,连接OA. E H 0 B (1)求证：∠AOE=∠AOF； (2)求证：四边形AMON是菱形. 【详解】(1) 证明：AB=AC, AB-AC :半径OE,OF分别与弦AB,AC垂直， :E=BE,AF=C示 2分 :AE=B舵=f=C示 、∠AOE=LA0F; 4分 (2) 证明：，AM∥OF,AN∥OE, .四边形AMON为平行四边形， :半径OE,OF分别与弦AB,AC垂直， 14121 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 .AG=AB,AH=AC. .AB=AC. AG=AH .6分 S四边形AMON=OM·AG=ON·AH ..OM=ON, 四边形AM0N为菱形.8分 22.(I0分)如图，AB为⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于点E,连接D0并延长交⊙O于点F,连接 AF交CD于点G,连接AC,CF,且CG=AG. C D (I)求证：AC=CF: Q)若CF=6V ,求GD的长. 【详解】(1)证明连接AD, C 为 的直径， 为弦， 于点， .:AB⊙O CD CD⊥AB E :CE=DE AC=AD AC=AD ,2分 .CG=AG. ∴，∠ACD=∠CAF :∠ACD=∠AFD.∠CAF=∠CDF, .∠AFD=LCDF, 15121 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AD=CF, AC=CF… 5分 (2)解根据题意，得AC=CF, ∴.∠CAF=∠CFA, ∴.∠ACD=∠AFD=∠CAF=∠CDF=∠CFA. :DF为⊙O的直径， .∠DCF=90°， .∠CAF=∠CDF=∠CFA=30° ∴在Rt△GCF中，FG=2CG, （3orj+6w-6r 解得：GF=12, .GD=GF=12.10分 23.(10分)已知四边形ABCP是⊙O的内接四边形，∠ABC=2∠P,连接OC、OA、AC. E B B 图① 图② (1)如图①.求∠OCA的度数： 16/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)如图②.连接OB、OB与4C相交于点E,若∠COB=90,0C=25,求BC ,求的长和阴影部分的面积. 【详解】(1)解：：四边形ABCP是⊙O的内接四边形 .∠ABC+∠P=180°， ,∠ABC=2∠P, .∠P+2∠P=180°， 2分 .∠P=60°， ∴，∠A0C=2∠P=120°， .OA=OC. ∠0AC=∠0CA=180°-∠A0C=30° 2 5分 (2),∠C0B=90°，∠AC0=90°， ∴.EC=2OE. 在RtOCE中， 0C=2V3 .OE2+OC2=EC2, 解得OE=2,7分 .SAOEC=2 0E:00=×2x25=2y5 90π×(23 .S扇形OBC 360 2=3π， :.S明影=Sm形0ac-S0Ec=3z-2√5 10分 24.(10分)如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线，∠ACB=90°，以CD为直径作OO,分别交 AC,BC于点M,N,过点M作ME⊥AB于点E. 17121 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D (1)求证：ME是⊙O的切线： (2)若CD=5,AC=8,求ME的长。 【详解】(1)证明：连接OM,如图所示： M ,为斜边 的中点， B:∠ACB=90°D AB :CD-DA=DB=号AB, ∠ACD=LA, ..OC=OM, .∠ACD=∠OMC, ,∠OMC=∠A,…… 2分 ∴.OM∥AB :ME⊥AB. .ME⊥OM, 又OM为⊙0的半径， .ME⊙0 是的切线.… 5分 (2)解：连接DM,如图所示： 18/21 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 N E D B·CD=5 ∴由(1)可知，BD=AD=CD=5. :CD为⊙O的直径， .∠CMD=90°. .DM L AC,… 7分 在等腰。4DC中，由三线合-性质可得DM是边4C上的中线，即4M=CM=4C=4, “在RtCDM中，由勾殷定理可得DM=VCD2-CM=VS2-4=3 :Sam号Aw-DM=4DME 21 ME=4M.DM_43-=24 AD 10分 25.(10分)大圆O和小圆O为同心圆，正六边形ABCDEF为大圆O的内接正六边形，连接AC,CE. 连接OB与AC交于点K,同时小圆O与CA相切于点K. E B (1)求证：CE是小圆O的切线. 2)考O水=V5 求阴影部分的面积.（结果用”表示） 证明：如图所示，连接OE,OC,OD,设OD,CE交于H, :正六边形ABCDEF为大圆O的内接正六边形， .'DE DC=BC, ·∠DOC=∠B0C. 又：OE=OC, 19121 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.OD垂直平分CE, .∠0HC=90°，… 2分 :小圆O与CA相切于点K, ∴.∠OKC=90°=∠OHC, 又，0C=0C, :aOiC≌aOKC(AAS) ..OH=OK 点H在小圆O上， 又：OH⊥CE, .CE是小圆O的切线：… 5分 E D ②12π-18V5 (2)解：正六边形ABCDEF为大圆O的内接正六边形， :<B0C=3600 6 =60,0B=0C. :.△OCB是等边三角形， :小圆O与CA相切于点K, .CK⊥OK, :0C=0B=20K=2V5 CK=0C2-0K7=3 8分 .OB-CK2 SE六边形SABCDEF=6 S&OCR=18V5 20121 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·S阴影=S大圆0-SE大边形ARCDEF=π×(2V3-18V3=12π-18√5 10分 21/21 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第3章 圆·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各图中的为圆周角的是（     ） A． B． C． D． 2．下列命题正确的是（    ） A．各边相等的多边形是正多边形 B．正多边形一定是中心对称图形 C．各角相等的圆内接多边形是正多边形 D．正多边形外接圆的半径是正多边形的半径 3．已知的半径为，线段，则点A与的位置关系是（     ） A．点A在外 B．点A在上 C．点A在内 D．不能确定 4．如图，是的直径，，是上的两点，连接，，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ）． A． B． C． D． 6．如图，是的弦，半径于点D．若，．则的长是（     ） A．5 B．6 C．8 D．10 7．我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，可以用圆内接正十二边形的面积来近似估计的面积，如图，若取及其内接正十二边形的四分之一图，测得半径为，则图中圆部分去掉圆内接正十二边形部分的剩余面积为（    ） A． B． C． D． 8．如图，正六边形的边长为1．扇形（阴影部分）的面积为（     ） A． B． C． D． 9．如图，直线与相切于点，线段，是的两条弦，且；若的半径为，，则弦的长为（     ） A． B． C． D． 10．如图，，是的切线，，是切点，点在上，且，则（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．已知的半径为，是内一点，，则点到上各点的最大距离是_________． 12．如图，是的内接正多边形的一条边，连接，，，则这个正多边形的边数为________． 13．一直角三角形的两直角边是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为________． 14．如图，中，，点C、D是弧上任两点，则的度数是________°． 15．如图，，已知点B为的中点，切于点C，点A，O，D在一条直线上．若，则_____． 16．如图，是的切线，是切点，过点作的平行线，交于点，若，，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留）． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（4分）如图，在中，，以为直径的分别交于点E，F．求证：． 18．（6分）如图，四边形内接于，，．比较的大小，并说明理由． 19．（6分）已知：如图，是的直径，点、在上，．求证：是的切线； 20．（8分）如图1是一块钟表残片，图2是其示意简图．弦的垂直平分线交弧于点C，交弦于点D， 连接． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出残片所在圆的圆心O；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，求残片所在圆的半径． 21．（8分）如图，是的弦，，半径，分别与弦，垂直，垂足分别为，，，交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形． 22．（10分）如图，为的直径，为弦，于点E，连接并延长交于点F，连接交于点G，连接，，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 23．（10分）已知四边形是的内接四边形，，连接． (1)如图①．求的度数； (2)如图②，连接与相交于点E，若，求的长和阴影部分的面积． 24．（10分）如图，是的斜边上的中线，，以为直径作，分别交于点，过点作于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 25．（10分）大圆O和小圆O为同心圆，正六边形为大圆O的内接正六边形，连接．连接与交于点K，同时小圆O与相切于点K． (1)求证：是小圆O的切线． (2)若，求阴影部分的面积．（结果用表示） 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $