1.2.1 必要条件与充分条件 课件-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦必要条件、充分条件与充要条件，以王昌龄《从军行》诗句情境导入，从生活实例抽象出数学概念，通过命题判断、定理辨析构建知识脉络，为后续逻辑推理学习提供支架。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，以诗句情境激发探究欲，通过问题链与反例培养推理意识，结合几何定理（如平行四边形判定）帮助学生用数学语言表达条件关系。学生能深化概念理解，教师可依托丰富例题提升教学效率。

情境：王昌龄是盛唐时期著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵读至今. 青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关. 黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还. 由此推断，“攻破楼兰”与“返回家乡” 存在什么关系呢? 从诗中描述可得，“攻破楼兰”是“返回家乡”的前提条件. 1.2.1 课时1 必要条件与充分条件 问题1：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ （1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； （2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； （3）若x2-4x+3=0，则x=1； （4）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a∥b. 知识点：必要条件与充分条件 真 假 假 真 必要条件与充分条件 一般地，“若p，则q”为真命题，是指由 p 通过推理可以得出 q；这时就说，由 p 可以推出 q； 记作：p ⇒ q . 推出符号 p是q的充分条件 q是p的必要条件 注意：如果“若p，则q”为假命题，那么由条件 p 不能推出结论 q，记作：p⇏q，此时我们就说 p 不是 q 的充分条件，q 不是 p 的必要条件. 问题2：判断下列“若p，则q”形式的命题中，p 是 q 什么条件？ （1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； （2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； （3）若x2-4x+3=0，则x=1； （4）若平面内两条直线 a 和 b 均垂直于直线l，则a∥b. 命题(1)、(4)中：p是q的充分条件，q是p的必要条件； 命题(2)、(3)中：p不是q的充分条件，q不是p的必要条件. 例1：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的 q 是 p 的必要条件？ (1) 若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； (2) 若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； (3) 若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形； (4) 若x=1，则x2=1； (5) 若ac=bc，则a=b； (6) 若xy为无理数，则x，y为无理数. 解：（1）这是平行四边形的一条性质定理，p⇒q，所以 q 是 p 的必要条件； （2）这是相似三角形的一条性质定理，p⇒q，所以 q 是 p 的必要条件； （3）四边形ABCD对角线互相垂直，但它不是菱形，p⇏q，所以q不是p的必要条件. A D C B （4）显然，p⇒q，所以q是p的必要条件； （5）由(-1)×0=1×0，但-1≠1，p⇏q，所以q不是p的必要条件； （6）由于1× = 为无理数，但 1， 不全为无理数，p⇏q，所以 q 不是 p 的必要条件. 注：判断“若 p，则 q”形式的命题中 q 是否为 p 的必要条件，只需判断是否有“p⇒q”，即“若 p，则 q”是否为真命题. (4) 若x=1，则x2=1；(5) 若ac=bc，则a=b；(6) 若xy为无理数，则x，y为无理数. 思考：例1中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，这样的必要条件唯一吗？若不唯一，你能给出几个其它的必要条件吗？ 四边形的两组对边分别相等；四边形的一组对边平行且相等；四边形的两条对角线互相平分都是其必要条件. 结论：一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件. 练习1：下列选项中，哪个是“8 - x < 5”的必要条件 (　　) A．x>2 B．x>5 C．0<x<5 D．4<x<7 A 分析：p⇒q，则q是p的必要条件，8-x<5即-x<-3，得x>3，若“x>3”一定满足“x>2”即“x>3”⇒“x>2”. 例2：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的 p 是 q 的充分条件？ (1) 若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； (2) 若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； (3) 若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4) 若x2 = 1，则x = 1； (5) 若a = b，则ac = bc； (6) 若 x，y 为无理数，则 xy 为无理数. 解：（1）这是一条平行四边形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件； （2）这是一条相似三角形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件； （3）这是一条菱形的性质定理，p⇒q，所以p是q的充分条件. (4) 若x2 = 1，则x = 1；(5) 若a = b，则ac = bc；(6) 若 x，y 为无理数，则 xy 为无理数. （4）由于(-1)2=1，但-1≠1，p⇏q，所以p不是q的充分条件； （5）由等式的性质知，p⇒q，所以p是q的充分条件； （6）为无理数，但× = 2为有理数，p⇏q，所以p不是q的充分条件. 注：举反例是判断一个命题是假命题的重要方法. 思考：例2中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，这样的充分条件唯一吗？若不唯一，那么你能给出不同的充分条件吗？ 四边形的两组对边分别相等，四边形的一组对边平行且相等，四边形的两条对角线互相平分都是其充分条件 结论：一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件. 练习3：指出下列哪些命题中 p 是 q 的充分条件. （1）在△ABC中，p：∠A＞∠B， q：BC＞AC； （2）对于实数x，y，p：xy＞0，q：x＞0，且y＞0； （3）已知x，y∈R，p：x=1，q：(x-1)(x-2)=0. 解：(1)(3) p 是 q 的充分条件，(2) p 不是 q 的充分条件. 根据今天所学，回答下列问题： （1）如何区分必要条件和充分条件？ （2）判断是否为必要条件和充分条件的依据是什么？ 1.2.1 课时2 充要条件 回顾：我们初中学过的勾股定理及其逆定理的内容分别是什么？ 勾股定理：如果ΔABC为直角三角形，那么 a2 + b2 = c2； 勾股定理的逆定理：如果 a2 + b2 = c2，那么ΔABC为直角三角形. 充分 设 a，b，c 分别是 ΔABC 的三条边，且 a ≤ b ≤ c. 必要 在勾股定理中： “ΔABC为直角三角形”是“a2+b2=c2”的_____________条件； “a2+b2=c2”是“ΔABC为直角三角形”的_____________条件； 在勾股定理的逆定理中： “ΔABC为直角三角形”是“a2+b2=c2”的_____________条件； “a2+b2=c2”是“ΔABC为直角三角形”的_____________条件. 必要 充分 16 问题1：勾股定理及其逆定理有何关系？ 勾股定理：如果ΔABC为直角三角形，那么a2+b2=c2. 勾股定理的逆定理：如果a2+b2=c2，那么ΔABC为直角三角形. “若p，则q” “若q，则p” 互为逆命题. 归纳：将命题“若 p，则 q”中的条件 p 和结论 q 互换，就得到一个新的命题“若q，则 p”，我们称这个新命题为原命题的逆命题； 17 问题2：下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ (1) 若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； (2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； (3) 若一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 有两个不相等的实数根，则ac < 0； (4) 若 A∪B 是空集，则 A 与 B 均是空集. (1) p：两个三角形的两角和其中 一角所对的边分别相等(AAS)   q：两个三角形全等 (4) p：A∪B是空集   q：A 与 B 均是空集 18 充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p ，就记作 p⇔q . 此时，p 既是 q 的充分条件，也是 q 的必要条件，我们说 p 是 q 的充分必要条件，简称为充要条件. 显然，如果 p 是 q 的充要条件，那么 q 也是 p 的充要条件. 19 问题3：判断下列原命题与逆命题的真假. (1) 若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； (2) 若一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 有两个不相等的实数根，则 ac < 0. (1) 原命题真，逆命题假； p：两个三角形全等 q：两个三角形的周长相等  ⇏ (2) 原命题假，逆命题真； （p是q的充分不必要条件） （p是q的必要不充分条件） p：一元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根 q： ac < 0  ⇏ 20 归纳小结 充分不必要条件 必要不充分条件 既不充分也不必要条件 充要条件 （1）若 p ⇒ q 且 q ⇏ p，则 p 是 q 的_______________________； （2）若 p ⇏ q 且 q ⇒ p，则 p 是 q 的_______________________； （3）若 p ⇒ q 且 q ⇒ p，则 p 是 q 的_______________________； （4）若 p ⇏ q 且 q ⇏ p，则 p 是 q 的_______________________. 21 例1：下列各题中，哪些 p 是 q 的充要条件？ (1) p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分； (2) p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例； (3) p：xy > 0， q：x > 0 ，y > 0； (4) p：x = 1 是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0的一个根，q：a + b + c = 0 (a ≠ 0). (1) p ⇒ q 且 q ⇏ p，p 是 q 的充分不必要条件； (2) p⇔q，p 是 q 的充要条件； (3) p ⇏ q 且 q ⇒ p，p 是 q 的必要不充分条件； (4) p⇔q，p 是 q 的充要条件. 22 例2：试着给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？ 定义：“四边形的两组对边分别平行” ①“四边形的两组对角分别相等” ③“四边形的一组对边平行且相等” ②“四边形的两组对边分别相等” ④“四边形的对角线互相平分” 归纳：根据充要条件可以对某些概念从不同角度给出相互等价的定义. 思考：试着给出“三角形全等”或“三角形相似”的其他形式的定义？  四边形是平行四边形 23 练习1：下列各题中，p 是 q 的什么条件？ (1) p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等； (2) p：⊙O 内两条弦相等，q：⊙O 内两条弦所对的圆周角相等； (3) p：A∩B 是空集， q：A 与 B 之一为空集． A B C D (1) p⇔q，p 是 q 的充要条件； (2) p ⇏ q 且 q ⇒ p，p 是 q 的必要不充分条件； (3) p ⇏ q 且 q ⇒ p，p 是 q 的必要不充分条件； 24 练习2：分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件. ①“两个三角形的三边相等” ③“两个三角形的两角和它们的夹边分别相等” ②“两个三角形的两边和它们的夹角分别相等” ④“两个三角形的两角和其中一角的对边相等”  两个三角形全等 ①“两个三角形的三边成比例” ③“两个三角形的其中两角相等” ②“两个三角形的两边成比例且它们的夹角相等” 两个三角形相似 25 1.充要条件的定义 2.充要条件与数学定义的关系 根据充要条件可以对某些概念从不同角度给出相互等价的定义. 充分不必要条件 必要不充分条件 既不充分也不必要条件 充要条件 （1）若 p ⇒ q 且 q ⇏ p，则 p 是 q 的_______________________； （2）若 p ⇏ q 且 q ⇒ p，则 p 是 q 的_______________________； （3）若 p ⇒ q 且 q ⇒ p，则 p 是 q 的_______________________； （4）若 p ⇏ q 且 q ⇏ p，则 p 是 q 的_______________________. 26 $