5.4+第2课时+用一次函数解决图象信息问题课件2026-2027学年苏科版（2024）数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“用一次函数解决图象信息问题”，通过复习一次函数定义导入，结合运输费用选择的实际情境，搭建从概念到应用的学习支架，帮助学生衔接旧知与新知。 其亮点是以实际问题为载体，如运输费用比较、列车运行状况分析等实例，发展学生几何直观和模型观念。教学中引导学生分析图象交点意义、分段建立函数模型，培养应用意识。学生能提升用数学解决实际问题的能力，教师可借助丰富实例优化教学流程。

5.4.2 用一次函数解决图象信息问题 第五章 一次函数 1.能根据实际生活情境建立一次函数模型并结合函数图象和 函数表达式的性质解决问题. 2.通过建立实际情境、函数表达式、函数图象等之间关联的 过程，发展几何直观、模型观念和应用意识. 教学目标 导入新课 什么样的函数是一次函数？什么样的函数是正比例函数？ 形如y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的函数叫作一次函数. 特别地，当b＝0时，y＝kx(k为常数，k≠0)叫作x的正比例函数. 3 “选择”是现实生活中经常遇到的问题，选择通常与经济效益相联系，在处理这类问题时，我们又该如何去考虑呢？ 某农业基地要将一批农产品运往外地，有汽车、火车两种运输方式可供选择，汽车运输的费用和火车运输的费用都是运输里程的一次函数，用y元表示运输的费用，xkm表示运输的里程，这两种运输方式的图象如图所示，你认为哪种运输方式花费较少? 新课探究 问题:某农业基地要将一批农产品运往外地,有汽车、火车两种运输方式可供选择 .汽车运输的费用和火车运输的费用都是运输里程的一次函数,用y元表示运输的费用,xkm 表示运输的里程,这两种运输方式的图象如图所示 .你认为哪种运输方式花费较少? 新课探究 观察图象可以发现,当x=80时,两个函数图象相交于一点, 此时两种运输方式费用相等,都是570元; 当0≤x<80时,表示汽车运输方式的函数图象位于表示火车运输方式的函数图象的下方,所以当里程小于80km 时,汽车运输花费较少; 当x>80时,表示汽车运输方式的函数图象位于 表示火车运输方式的函数图象的上方,所以当 里程大于80km 时,火车运输方式花费较少 . 观察图象解答问题时要明确坐标轴所表示的含义.要注意两直线的交点的意义，在横轴上的一定取值范围内，位于上方图象的函数值要比位于下方图象的函数值大. 利用一次函数的图象还可以解决如利润最大、成本最小、话费最少、运费最省以及是否合算等问题，这些问题我们都可以利用一次函数的图象和性质进行求解. 新课探究 观察图象解答问题时要明确坐标轴所表示的含义，要注意两直线的交点的意义，在横轴上的一定取值范围内，位于上方图象的函数值要比位于下方图象的函数值大. 例1 如图描述了某列车在甲、乙两站之间的运行状况，其中横轴表示运行时间，纵轴表示运行速度. (1)在3~10 min这个时间段列车运行的路程是多少？ (2)列车发车12 min时的速度是多少？ 解：(1)由图可知，当时，v=5 km/min. 在3~10 min这个时间段列车运行的路程为(km). (2)当10<t≤14时，设函数表达式为v=kt+b. 函数图象经过点(10，5)和(14，0)，将这两个点坐标代入函数表达式，得 解得 所以当10<t≤14时，v=-1.25t+17.5.当t=12时，v=-1.25×12+17.5=2.5(km/ min). 所以列车发车12 min时的速度是2.5 km/min. 分析：由图象可知，当0≤t≤3 及10≤≤14 时，速度v是时间t的一次函数;当3≤t≤10 时，速度v是常数. 新课探究 分段列函数的步骤： (1)确定自变量的取值范围； (2)写出每个取值范围内的函数关系式； (3)整合函数：用大括号将每段的函数关系式写到一起，并且分别注明自变量的取值范围。 注意：（1)要特别注意相应自变量的取值范围，在关系式上要反映出自变量的相应取值范围。 (2)解答时需要分段讨论. 分段列函数的步骤： (1) 确定自变量的取值范围； (2) 写出每个取值范围内的函数关系式； (3) 整合函数：用大括号将每段的函数关系式写到一起，并且分别注明自变量的取值范围. 注意： (1) 要特别注意相应自变量的取值范围，在关系式上要反映出自变量的相应取值范围. (2) 解答时需要分段讨论. 例题精讲 ◁例1 如图,在长方形电子广告屏ABCD中,AB =8m,AD =6m.动态效果设计如下:动点P 从点A 出发沿长方形的边AB,BC以2m/s的速度向点C运动,逐渐展开主体广告画面 . (1)写出屏幕展开面积Sm2关于点P 的运动 时间ts的函数表达式,并画出函数图象; (2)当屏幕展开面积达到电子屏面积的时开始播放广告语,播放时间持续3s,求播放结束时电子屏幕未展开的面积 . 例2 如图，在长方形电子广告屏ABCD中，AB=8 m，BC=6 m.画面设计如下：动点P从点A出发沿长方形的边AB，BC以2 m/s的速度向点C运动，逐渐展开主体广告画面.当△APD 的面积达到电子屏的时开始播放广告语，直至点P到达点C.画出△APD的面积S(m2)关于点P的运动时间t(s)的函数图象，并求出广告语的播放时间(结果精确到0.1 s). 解：当点P在边AB上运动时，AP=2t.S=AD×AP=×6×2t=6t(m2). 此时，t的取值范围是0≤t≤4. 当点P在边BC上运动时，S=AD×AB=×6×8=24(m2). 此时，t的取值范围是4≤t≤7.函数图象如图所示. 当(m2)时，开始播放广告语. 过点画横轴的平行线，与函数图象交于点A.令6t=16，解得t=所以点A的坐标为. 当时，.所以广告语播放时间为=≈ (s). 例题精讲 ◁例3 如图描述了某列车在甲、乙两站之间的运行状况,列车 运行时间为tmin,运行速度为vkm/min. (1)在3~10min这个时间段列车运行的路程 是多少? (2)列车发车12min时的速度是多少? 分析：根据列车运行状况的图象,当0≤t≤3及10≤t≤14时,速度v是时间t的一次函数;当3≤t≤10时,速度v是常数 . 例题精讲 解：(2)当S=×8×6=16(m2)时,开始播放广告语,此时点P 在边 AB 上运动,则6t=16,解得t=. 当t=+3=(s)时,广告语播放结束,此时点P在边BC上运动, 则S=8×-8=(m2). 电子屏幕未展开的面积为6×8-=(m2). 所以电子屏幕未展开的面积为m2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=4，点P从点B出发，沿折线B→C→A运动，当点P到达点A时停止运动，设点P在运动过程中，其运动路程为x，△ABP的面积为y(y>0). (1)直接写出y关于x的函数关系式，并注明x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，结合函数图象，直接写出y=6时，x的值. (1)如图，当点P在BC上时，； 如图，当点P在AC上时，y=S△ABP=AP×BC=×6×=30-3x 综上所述，y= (2)如图时，当时，，当时，， 当y=6时，x的值为3或8. 新课探究 分析实际问题中的数量关系 建立一次函数数学模型 探求解决实际问题的最优方案 分析变量间的关系 选取一个取值能够影响其他变量值的变量作为_________ 寻求可以反映实际问题的________ 模型观念 数形结合 自变量 函数 1.如图是某复印店复印收费y(元)与复印面数(8开纸)x(面)的函数图象， 那么从图象中可看出，复印超过100面的部分，每面收费( ) A.0.4元 B.0.45元 C.约0.47元 D.0.5元 A 课堂练习 2.甲、乙两车沿同一路线从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y（km）与时刻t之间的对应关系如图所示.有下列结论：① A，B两城相距300km；② 甲车的平均速度是60km/h，乙车的平均速度是100km/h；③ 乙车先出发，先到达B城；④ 甲车在9：30追上乙车.其中，正确的是（　D　） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①④ D 3.如图，OA，BA分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图象，图中s和t分别表示运动路程和运动时间，根据图象可知，快者的速度比慢者的速度每秒快( ) A．2.5米　　　　　　B．2米 C．1.5米 D．1米 C 课堂练习 4.现有甲、乙两个长方体蓄水池，将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙 两个蓄水池中水的深度与注水时间 之间的函数图象如图所示， 当甲、乙两池中水的深度相同时，注水时间为__ . 5.某人驾车从乡村进城，各时间段的行驶速度 如图.当 时，其行驶路程与时间 的函数关系式是________; 当时，其行驶路程与时间 的函数关系式是____________; 当时，其行驶路程与时间 的函数关系 式是_____________. 22 6．已知正比例函数 y＝(a－1)x． (1)若函数图象经过第二、四象限，求a的取值范围； (2)点(1，－2)在它的图象上，求它的表达式． 解：(1)∵函数图象经过第二、四象限， ∴a－1＜0，即a＜1． (2)当x＝1，y＝－2 时，有 a－1＝－2， 解得 a＝－1，故 y＝－2x． 课堂练习 7.已知三个正比例函数：， ， . （1）写出这三个正比例函数的图象都具有的一条性质； 解：这三个正比例函数的图象都具有以下性质： ①都是直线，②都经过原点，③都只经过两个象限（写一条即可）. 课堂总结 谈谈你今天学习的收获. 25 谢谢大家聆听 $