专题09立方根、实数的运算同步培优讲义 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

本讲义聚焦立方根与实数运算核心知识点，在平方根基础上构建完整开方体系，涵盖立方根的定义、符号、性质及与平方根的对比，系统梳理实数运算规则和混合运算顺序，形成从概念到应用的学习支架。 资料设计亮点突出，通过10类题型（含概念理解、实际应用、规律探索等）分层训练，知识对比表格强化辨析能力，实际应用题（如正方体体积计算）培养空间观念与模型意识，易错提醒助力提升运算准确率，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，发展数学思维与应用能力。

专题09立方根、实数的运算同步培优讲义 ✺知识框架 1.立方根概念体系：由立方运算逆向推出开立方运算，掌握立方根的定义、符号表示、基本性质，结合表格对比平方根与立方根的区别，夯实开方基础。 2.实数运算规则：有理数的运算法则和运算律在实数范围内全部适用，实数可进行加、减、乘、除、乘方、开方运算。 3.实数混合运算：掌握实数混合运算的固定顺序，能规范处理含平方根、立方根、绝对值的综合计算题型。 ✅本节在平方根知识的基础上新增立方根内容，完善实数开方运算体系。有理数的运算性质可直接迁移到实数范围，本节核心是熟练掌握开方规则与实数混合运算步骤，是后续根式运算的必备基础。 ✺学习目标 1.理解立方根、开立方的定义，掌握立方根的规范书写形式，熟练区分平方根与立方根的性质差异。 2.能够准确求解任意实数的立方根，牢记实数开方的取值规则，规范完成实数基础运算。 3.熟练掌握实数混合运算顺序，能正确化简含开方、乘方、绝对值的综合算式。 4.规避实数运算常见错误，养成步骤规范、结果最简的答题习惯，提升实数运算准确率。 ✺题型归纳 题型1.立方根概念理解 题型2.求一个数的立方根 题型3.已知一个数的立方根，求这个数 题型4.立方根的实际应用 题型5.与立方根有关的规律探索 题型6.算术平方根和立方根的综合应用 题型7.计算器——平方根和立方根 题型8.实数的混合运算 题型9.实数运算的实际应用 题型10.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、立方根 定义：如果一个数的立方等于a，即x3=a，那么这个数x叫做a的立方根（三次方根）。 表示方法：数a的立方根记作，其中a为被开方数，左上角数字3为根指数，立方根的根指数3不可省略。 开立方：求一个数立方根的运算叫做开立方，开立方与立方互为逆运算。 立方根的基本性质: 正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是 0。任意实数有且只有一个立方根。 基础恒等式：=a,=a, =﹣. 【拓展探究】小数点变化规律：被开方数的小数点向左或向右移动三位，它的立方根的小数点向相同方向移动一位。 知识点二、平方根与立方根对比 对比项目 平方根 立方根 存在条件 仅非负数有平方根，负数没有平方根 任意实数都有且只有一个立方根 根的个数 正数有两个互为相反数的平方根；0 的平方根是0 任意实数仅有一个立方根 符号规律 算术平方根为非负数 立方根与被开方数符号一致 书写形式 ±(a≥0)，根指数2可省略 ，根指数3不可省略 知识点三、实数的运算基本规则 ▲实数范围内，有理数的四则运算法则、运算顺序、运算律（交换律、结合律、分配律）仍然成立。 开方运算规则：非负数可以开平方；任意实数都可以开立方。 运算要求：实数运算结果若含根式，能化简的要化简。 知识点四、实数混合运算顺序 1.有括号先算括号内； 2.再算乘方、开方； 3.然后算乘法、除法； 4.最后算加法、减法； 5.同级运算，从左至右依次计算。 知识点五、实数常见运算类型 基础运算：单独的乘方、开方、四则运算； 综合运算：包含平方根、立方根、绝对值的实数混合运算。 【易错提醒】 1.概念混淆：误认为负数可以开平方，或正数有两个立方根； 2.书写错误：书写立方根时遗漏根指数 3； 3.顺序错误：混合运算颠倒运算顺序，优先计算加减； 4.化简错误：去绝对值时未判断绝对值内式子的正负，化简出错； 5.结果不规范：根式运算结果没有化简。 ✺题型精讲 题型1.立方根概念理解 1．要使成立，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意数 2．2是______的立方根；______的立方根是． 3．小颖和小聪对话如下： 请根据小聪的解题思路，帮小颖解答这道题． 题型2.求一个数的立方根 1．的立方根是（     ） A． B． C． D． 2．25的算术平方根是________，的立方根是________． 3．求下列各数的立方根： (1)125； (2)； (3)0.729． 题型3.已知一个数的立方根，求这个数 1．已知，则x的值为（   ） A．8 B． C．6 D． 2．若一个数的立方根是，则这个数是__________． 3．已知的立方根是3，的算术平方根是4，求的值． 题型4.立方根的实际应用 1．如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1的正方体礼盒的表面积为，图2的正方体礼盒的体积比图1的正方体礼盒的体积大，则图2的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，问锻造成的立方体铁块的棱长为__________． 3．手工课上，同学们将两个半径分别是，的实心彩泥球揉捏融合做成了一个更大的实心球（不计损耗，球的体积公式是，其中r是球的半径）． (1)求融合后大球的半径（结果保留根号）； (2)判断融合后大球的半径能否达到，并说明理由． 题型5.与立方根有关的规律探索 1．已知，，那么约为（   ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为________． 3．小明在学完立方根后，不知道如何在不使用计算器的情况下求出的立方根．同桌小华提醒他可以按照教材上数学家华罗庚的方法口算立方根，于是他们进行了下面的探究： ①首先进行估算：因为，，，所以，所以能确定是两位数． ②其次观察立方数：，，，，，，，，．由的个位上的数是，，确定的个位上的数是． ③接着划去后面的三位得到数，而，，，所以，所以，所以的十位上的数是，于是得到，即的立方根是． 请你根据小明和小华探究的方法完成下列问题： (1)填空：的立方根是一个______位数，其个位上的数是_______； (2)根据上面的步骤，请计算的立方根，并书写详细过程． 题型6.算术平方根和立方根的综合应用 1．一个数的算术平方根是8，则这个数的立方根是（     ） A．8或-8 B．4或-4 C．-4 D．4 2．已知x为64的立方根，y为4的算术平方根，则_____． 3．已知的算术平方根为，的立方根为，求的立方根． 题型7.计算器——平方根和立方根 1．科学计算器的按键顺序如下，则计算器输出的结果是（     ） A． B． C． D． 2．利用计算器求值（结果精确到）： （1）_______． （2）_______． （3）_______． （4）_______． 3．用计算器求下列各数的立方根： (1)1331； (2)（精确到）． 题型8.实数的混合运算 1．计算的结果为（    ） A．11 B． C．1 D． 2．计算：___________． 3．计算：． 题型9.实数运算的实际应用 2．若x为实数，在“”的“□”中添上一种运算符号（在“，，，”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（　　） A．4 B． C． D． 2．如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要____个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 3．如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） ✺课堂小练 一、单选题 1．的立方根是（    ） A．3 B． C． D． 2．对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下： 甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值． 下列对甲、乙说法的判断正确的是（    ） A．甲说得对，符合条件的x的值只有1 B．乙说得对，还有另一个值2 C．乙说得对，还有另一个值 D．两人说得都不对，应有个不同值 3．若是实数M的立方根，则实数M是（   ） A．9 B．27 C． D． 4．已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 二、填空题 5．27的立方根是________． 6．填空：（1）______；（2）______；（3）______；（4）______． 7．已知一个体积为的正方体，则这个正方体的棱长为_____． 8．如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为_____．    三、解答题 9．已知正数的两个不相等的平方根分别是和，的立方根为．分别求出，，的值． 10．一个棱长为的正方体的容器中盛满水，将这些水倒入另一个正方体容器时，还需再加水才满，求另一个正方体容器的棱长． 11．按要求解题 (1)若，求的立方根； (2)若，求的值． 12．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09立方根、实数的运算同步培优讲义 ✺知识框架 1.立方根概念体系：由立方运算逆向推出开立方运算，掌握立方根的定义、符号表示、基本性质，结合表格对比平方根与立方根的区别，夯实开方基础。 2.实数运算规则：有理数的运算法则和运算律在实数范围内全部适用，实数可进行加、减、乘、除、乘方、开方运算。 3.实数混合运算：掌握实数混合运算的固定顺序，能规范处理含平方根、立方根、绝对值的综合计算题型。 ✅本节在平方根知识的基础上新增立方根内容，完善实数开方运算体系。有理数的运算性质可直接迁移到实数范围，本节核心是熟练掌握开方规则与实数混合运算步骤，是后续根式运算的必备基础。 ✺学习目标 1.理解立方根、开立方的定义，掌握立方根的规范书写形式，熟练区分平方根与立方根的性质差异。 2.能够准确求解任意实数的立方根，牢记实数开方的取值规则，规范完成实数基础运算。 3.熟练掌握实数混合运算顺序，能正确化简含开方、乘方、绝对值的综合算式。 4.规避实数运算常见错误，养成步骤规范、结果最简的答题习惯，提升实数运算准确率。 ✺题型归纳 题型1.立方根概念理解 题型2.求一个数的立方根 题型3.已知一个数的立方根，求这个数 题型4.立方根的实际应用 题型5.与立方根有关的规律探索 题型6.算术平方根和立方根的综合应用 题型7.计算器——平方根和立方根 题型8.实数的混合运算 题型9.实数运算的实际应用 题型10.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、立方根 定义：如果一个数的立方等于a，即x3=a，那么这个数x叫做a的立方根（三次方根）。 表示方法：数a的立方根记作，其中a为被开方数，左上角数字3为根指数，立方根的根指数3不可省略。 开立方：求一个数立方根的运算叫做开立方，开立方与立方互为逆运算。 立方根的基本性质: 正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是 0。任意实数有且只有一个立方根。 基础恒等式：=a,=a, =﹣. 【拓展探究】小数点变化规律：被开方数的小数点向左或向右移动三位，它的立方根的小数点向相同方向移动一位。 知识点二、平方根与立方根对比 对比项目 平方根 立方根 存在条件 仅非负数有平方根，负数没有平方根 任意实数都有且只有一个立方根 根的个数 正数有两个互为相反数的平方根；0 的平方根是0 任意实数仅有一个立方根 符号规律 算术平方根为非负数 立方根与被开方数符号一致 书写形式 ±(a≥0)，根指数2可省略 ，根指数3不可省略 知识点三、实数的运算基本规则 ▲实数范围内，有理数的四则运算法则、运算顺序、运算律（交换律、结合律、分配律）仍然成立。 开方运算规则：非负数可以开平方；任意实数都可以开立方。 运算要求：实数运算结果若含根式，能化简的要化简。 知识点四、实数混合运算顺序 1.有括号先算括号内； 2.再算乘方、开方； 3.然后算乘法、除法； 4.最后算加法、减法； 5.同级运算，从左至右依次计算。 知识点五、实数常见运算类型 基础运算：单独的乘方、开方、四则运算； 综合运算：包含平方根、立方根、绝对值的实数混合运算。 【易错提醒】 1.概念混淆：误认为负数可以开平方，或正数有两个立方根； 2.书写错误：书写立方根时遗漏根指数 3； 3.顺序错误：混合运算颠倒运算顺序，优先计算加减； 4.化简错误：去绝对值时未判断绝对值内式子的正负，化简出错； 5.结果不规范：根式运算结果没有化简。 ✺题型精讲 题型1.立方根概念理解 1．要使成立，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意数 【答案】D 【详解】解：开立方与立方运算互为逆运算，任意实数都有立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是， 对任意实数，都满足． 2．2是______的立方根；______的立方根是． 【答案】 8 【分析】本题考查立方根的概念：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，即，那么x叫做a的立方根.根据立方根的定义求值即可． 【详解】解：∵， ∴2是8的立方根， ∵， ∴的立方根是． 故答案为8，． 3．小颖和小聪对话如下： 请根据小聪的解题思路，帮小颖解答这道题． 【答案】12 【分析】本题主要考查了平方根与立方根，先根据一个正数的平方根是互为相反数，列出关于m的方程，求出m，再根据立方根的定义列出关于n的方程，解方程求出n，然后求出，进而求出它的算术平方根即可． 【详解】解：∵这个正数的两个平方根是和， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， 解得：， ∴ ， ∴的算术平方根是12． 题型2.求一个数的立方根 1．的立方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据立方根的定义求解即可，任意一个数都有立方根，正数立方根是正值、负数的立方根是负值、的立方根是本身． 【详解】解：∵， ∴的立方根是． 2．25的算术平方根是________，的立方根是________． 【答案】 【分析】根据算术平方根和立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴25的算术平方根是5，的立方根是． 3．求下列各数的立方根： (1)125； (2)； (3)0.729． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：125的立方根是； （2）解：的立方根是； （3）解：0.729的立方根是． 题型3.已知一个数的立方根，求这个数 1．已知，则x的值为（   ） A．8 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查立方根的定义，掌握“若，则”是解题的关键． 根据立方根的定义，解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 2．若一个数的立方根是，则这个数是__________． 【答案】 【分析】根据立方根的定义，若一个数的立方根是，则这个数是的立方． 【详解】解：， 的立方根是， 这个数是． 3．已知的立方根是3，的算术平方根是4，求的值． 【答案】9 【分析】根据立方根、算术平方根的定义先求出、的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵的立方根是3， ∴， 解得：， ∵的算术平方根是， ∴， 解得：， ∴． 题型4.立方根的实际应用 1．如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1的正方体礼盒的表面积为，图2的正方体礼盒的体积比图1的正方体礼盒的体积大，则图2的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由图1表面积求棱长及体积，再由体积差求图2体积及棱长，最后求图2表面积． 【详解】解：设图1正方体棱长为，图2正方体棱长为， 图1正方体表面积为， ， 解得， 图1正方体体积为， 图2正方体体积比图1大， 图2正方体体积为， ， 解得， 图2正方体表面积为． 2．把一个长、宽、高分别为，，的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，问锻造成的立方体铁块的棱长为__________． 【答案】 【分析】依据锻造前后铁块体积不变，先计算原长方体的体积，再根据立方体体积公式结合立方根的概念即可求出棱长． 【详解】解：由题意得，锻造前后铁块的体积不变，原长方体铁块的体积为， 设立方体铁块的棱长为， 根据立方体体积公式得， 因此即锻造成的立方体铁块的棱长为． 3．手工课上，同学们将两个半径分别是，的实心彩泥球揉捏融合做成了一个更大的实心球（不计损耗，球的体积公式是，其中r是球的半径）． (1)求融合后大球的半径（结果保留根号）； (2)判断融合后大球的半径能否达到，并说明理由． 【答案】(1)融合后大球的半径为 (2)融合后大球的半径不能达到． 理由如下： 因为，，， 所以，即融合后大球的半径不能达到． 【分析】（1）融合后大球的体积等于半径为的球与半径为的球的体积之和，根据球的体积公式求出，再开立方求出r； （2）判断融合后大球的半径能否达到，就是比较无理数与6的大小关系，可将和6分别立方，立方大的，立方根也大． 【详解】（1）解：融合后大球的体积V= 设融合后大球的半径为． 根据题意，得， 所以． 所以 答：融合后大球的半径为． （2） 略． 题型5.与立方根有关的规律探索 1．已知，，那么约为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于立方根，若被开方数扩大为原来的倍，则开方后的数比原来扩大10倍，据此解答即可． 【详解】解：， 又， ． 2．已知，则的值为________． 【答案】34.56 【详解】解：， ． 3．小明在学完立方根后，不知道如何在不使用计算器的情况下求出的立方根．同桌小华提醒他可以按照教材上数学家华罗庚的方法口算立方根，于是他们进行了下面的探究： ①首先进行估算：因为，，，所以，所以能确定是两位数． ②其次观察立方数：，，，，，，，，．由的个位上的数是，，确定的个位上的数是． ③接着划去后面的三位得到数，而，，，所以，所以，所以的十位上的数是，于是得到，即的立方根是． 请你根据小明和小华探究的方法完成下列问题： (1)填空：的立方根是一个______位数，其个位上的数是_______； (2)根据上面的步骤，请计算的立方根，并书写详细过程． 【答案】(1)两， (2)解：． 详细过程如下： ，，， ， 的立方根是一个两位数， 由的个位上的数是，，可得的个位数为， 接着划去后面的三位得到数，而，，则， ， ， ， 的十位上的数是，结合其个位上的数是，于是得到， 即的立方根是． 【分析】（1）类比材料中的解法步骤①②求解即可； （2）类比材料中的解法步骤①②③求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， 的立方根是一个两位数， 由的个位上的数是，，可得的个位数为； （3） 略 题型6.算术平方根和立方根的综合应用 1．一个数的算术平方根是8，则这个数的立方根是（     ） A．8或-8 B．4或-4 C．-4 D．4 【答案】D 【分析】根据算术平方根的定义：若一个非负数的平方等于，即，那么这个非负数就叫作的算术平方根；立方根的定义，若一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根；据此解答即可． 【详解】解：∵一个数的算术平方根是8， ∴这个数是， ∴的立方根是， 故选：D． 【点睛】本题考查了算术平方根以及立方根的定义，熟记定义并理解是解本题的关键． 2．已知x为64的立方根，y为4的算术平方根，则_____． 【答案】16 【分析】根据立方根和算术平方根可求出x、y的值，然后代入求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴，， ∴； 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查立方根与算术平方根，熟练掌握求一个数的立方根与算术平方根是解题的关键． 3．已知的算术平方根为，的立方根为，求的立方根． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根和立方根．利用算术平方根和立方根的定义列出方程，求出a和b的值，再计算的值，最后求其立方根． 【详解】解：由题意，∵的算术平方根为， ∴， 解得． 又∵的立方根为， ∴， 解得． ∴， ∴的立方根为． 题型7.计算器——平方根和立方根 1．科学计算器的按键顺序如下，则计算器输出的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据计算器按键功能， 表示开立方运算， 表示分数输入，确定算式为 ，计算即可． 【详解】解：由按键顺序可知，该算式为，， ∴． 2．利用计算器求值（结果精确到）： （1）_______． （2）_______． （3）_______． （4）_______． 【答案】 【分析】此题考查了用计算器求立方根和算术平方根，熟练掌握计算器的用法是关键． （1）利用计算器求算术平方根即可； （2）利用计算器求立方根即可； （3）利用计算器求立方根即可； （4）利用计算器求立方根和算术平方根，再求差即可． 【详解】解：（1） 故答案为： （2） 故答案为： （3） 故答案为： （4） 故答案为： 3．用计算器求下列各数的立方根： (1)1331； (2)（精确到）． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2） 解：． 题型8.实数的混合运算 1．计算的结果为（    ） A．11 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】解：． 2．计算：___________． 【答案】5 【详解】解： ． 3．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 题型9.实数运算的实际应用 2．若x为实数，在“”的“□”中添上一种运算符号（在“，，，”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（　　） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数的运算，根据实数的相关运算法则即可求得答案，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据选项代入判断即可． 【详解】A．与4，无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意； B．，均为有理数，故本选项不符合题意； C．，为有理数，故本选项不符合题意； D．，均为有理数，故本选项不符合题意． 故选：A． 2．如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要____个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 【答案】13 【分析】本题考查了整式的混合运算，利用圆柱的体积公式表示出瓶子中大圆柱与小圆柱的体积，以及杯子的体积，即可得到结果. 【详解】解：瓶子中大圆柱的容积为， 瓶子中小圆柱容积， 杯子的容积为， 则所需杯子个数为， 则一共需要13个这样的杯子. 3．如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确列出算式，是解题的关键： （1）根据直角三角形的面积公式列式计算即可； （2）利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）解：由题意，三角形的面积为； （2）由题意， ． ✺课堂小练 一、单选题 1．的立方根是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据算术平方根的定义化简，然后再根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：， 又的立方根是， 的立方根是， 故选：C 【点睛】本题考查了算术平方根、立方根的定义，熟练掌握这两个定义是解题的关键． 2．对问题“已知，求的值”，甲、乙两人的说法如下： 甲：的值是；乙：甲考虑的不全面，还有另一个值． 下列对甲、乙说法的判断正确的是（    ） A．甲说得对，符合条件的x的值只有1 B．乙说得对，还有另一个值2 C．乙说得对，还有另一个值 D．两人说得都不对，应有个不同值 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的定义．本题可通过换元法，利用立方根的定义求解方程，再判断甲、乙的说法是否正确． 【详解】解：设，则原方程变为． ∵一个数的立方根等于它本身的数是、、． ∴分三种情况讨论： ①当时，，解得． ②当时，，解得． ③当时，，解得． ∴的值为、、，共3个不同值． ∴甲、乙两人的说法都不对． 故选：D． 3．若是实数M的立方根，则实数M是（   ） A．9 B．27 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据一个数的立方根求这个数，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求解即可． 【详解】解：∵是实数M的立方根， ∴实数M是， 故选：C． 4．已知，则的值约是（   ） A．15.11 B．32.55 C．70.14 D．151.1 【答案】B 【分析】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律．根据被开方数小数点移动3位，立方根的小数点移动1位解答即可． 【详解】解：， ∴， 故选B． 二、填空题 5．27的立方根是________． 【答案】3 【分析】找到立方等于27的数即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴的立方根是． 6．填空：（1）______；（2）______；（3）______；（4）______． 【答案】 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 7．已知一个体积为的正方体，则这个正方体的棱长为_____． 【答案】/分米 【分析】设正方体的棱长为，根据正方体的体积为列方程求解即可． 【详解】解：设正方体的棱长为， 由题意得：， ， 答：正方体的棱长为． 8．如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为_____．    【答案】 【分析】根据题意可知阴影部分可看作高为1，底为的三角形，求解即可； 【详解】解：大正方形的边长为：，小正方形的边长为：1； 阴影部分的面积为：； 故答案为：. 【点睛】本题主要考查实数混合运算的应用，正确列出算式是解题的关键. 三、解答题 9．已知正数的两个不相等的平方根分别是和，的立方根为．分别求出，，的值． 【答案】，， 【分析】根据正数的两个不相等的平方根互为相反数，可求出的值，再根据立方根的定义求出的值即可解答． 【详解】解：正数的两个不相等的平方根分别是和， ， 解得， ， ． 的立方根为， ， 解得． 故，，． 10．一个棱长为的正方体的容器中盛满水，将这些水倒入另一个正方体容器时，还需再加水才满，求另一个正方体容器的棱长． 【答案】 【分析】根据棱长为的正方体的容器的容积+=另一个正方体容器的容积求解即可． 【详解】解∶设另一个正方体容器的棱长为， 根据题意，得， 解得， 答∶ 另一个正方体容器的棱长为． 11．按要求解题 (1)若，求的立方根； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用算术平方根的非负性求出x、y的值，再计算的立方根即可； （2）利用立方根的性质求出x的值，进而代入计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得， ∴， ∵； 的立方根为； （2）解：∵， ∴， ∴， 解得， ∴ ． 12．团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示． (1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ； (2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短． 【答案】(1)， (2)圆的周长较小 【分析】本题考查扇形面积的计算，实数的运算，掌握圆周长，面积的计算方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据圆面积、正方形面积公式进行计算即可； （2）求出两种形状的扇子的周长即可． 【详解】（1）解：设圆形扇的半径为，正方形的边长为， 由题意得，，， ，， 故答案为：，； （2）解：圆形扇的周长为：， 正方形扇的周长为：，， ∴圆的周长较小． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $