3.3 立方根 同步讲义 2026-2027学年浙教版数学七年级上册

本初中数学讲义聚焦“立方根”核心知识点，系统梳理其定义（若x³=a则x为a的立方根）、性质（正数、0、负数均有唯一立方根）、开立方运算及注意事项（根指数“3”不可省略），通过定义解析、性质归纳、典例与变式题构建学习支架，衔接过关验收巩固提升。 资料以“解题知识-典例-变式-验收”递进设计，涵盖选择、填空、解答及立方体棱长等实际应用题，助力学生发展抽象能力（符号意识）、运算能力与应用意识。课中辅助分层教学，课后便于学生查漏补缺，强化知识理解与实际应用。

第三章 3.3 立方根 内 容 导 航 题型1 立方根 考 点 演 练 题型1 立方根 解｜题｜知｜识 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【典例1】下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A．，原计算错误，不符合题意； B．，原计算错误，不符合题意； C．，正确，符合题意； D．，原计算错误，不符合题意， 故选：C． 【变式1】下列说法中正确的是（　　） A．0.09的平方根是0.3 B．±4 C．0的立方根是0 D．1的立方根是±1 【答案】C 【解答】解：A.0.09的平方根是±0.3，故此选项错误； B.，故此选项错误； C.0的立方根是0，故此选项正确； D.1的立方根是1，故此选项错误； 故选：C． 【变式2】下列说法正确的是（　　） A．4的平方根是2 B．8的立方根是±2 C．3 D．﹣6没有平方根 【答案】D 【解答】解：A.4的平方根是±2，因此选项A不符合题意； B.8的立方根是2，因此选项B不符合题意； C.3，因此选项C不符合题意； D．﹣6没有平方根，因此选项D符合题意； 故选：D． 【变式3】下列说法不正确的是（　　） A．0.09的平方根是±0.3 B． C．1的立方根是±1 D．0的立方根是0 【答案】C 【解答】解：A、0.09的平方根是±0.3，说法正确，故此选项不符合题意； B、，计算正确，故此选项不符合题意； C、1的立方根是1，原说法错误，故此选项符合题意； D、0的立方根是0，说法正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 过 关 验 收 1．下列说法中，正确的是（　　） A．2是﹣4的算术平方根 B．﹣5是（﹣5）2的算术平方根 C．16的平方根是±4 D．27的立方根是±3 【答案】C 【解答】解：A、﹣4没有算术平方根，错误； B、5是（﹣5）2的算术平方根，错误； C、16的平方根是±4，正确； D、27的立方根是3，错误； 故选：C． 2．下列各式，正确的是（　　） A．3 B．±4 C．4 D．4 【答案】A 【解答】解：A.3，故本选项正确； B.4，故本选项错误； C．±±4，故本选项错误； D.4，故本选项错误； 故选：A． 3．已知1.333，2.872，则 　13.33　 ． 【答案】13.33． 【解答】解：∵1.333， ∴10≈1.333×10≈13.33． 故答案为：13.33． 4．已知m、n都是实数，且满足，则（m+n）的立方根是　﹣2　 ． 【答案】﹣2． 【解答】解：由条件可知8+m＝0，1+n2＝1， m＝﹣8，n＝0， ∴． 故答案为：﹣2． 5．已知6.882，若68.82，则x的值约为 　326000　 ． 【答案】326000． 【解答】解：∵68.82＝6.882×10， ∴x＝326×103＝326000， 故答案为：326000． 6．已知2m+2的立方根是2，m+n的算术平方根是3．若，则　　 ． 【答案】． 【解答】解：由条件可知2m+2＝8， ∴m＝3，m+n＝9， ∴n＝6， ∴， ∴， 故答案为：． 7．若将一个棱长为10cm的立方体体积减少V（cm3），而保留立方体形状不变，则棱长应减少　　 cm（用含V的代数式表示），若V＝875cm3，则棱长应减少　5　 cm． 【答案】；5． 【解答】解：由题意可得：立方体的体积为103＝1000cm3， ∴剩余的体积为（1000﹣V）cm3， ∴此时的棱长为， ∴棱长应减少， 当V＝875cm3时，， ∴若V＝875cm3，则棱长应减少5cm， 故答案为：；5． 8．已知3a+1的两个平方根分别是7﹣m和2﹣2m，9+b的立方根是2． （1）求m，a，b的值； （2）求7a﹣b的平方根． 【答案】（1）m＝3，a＝5，b＝﹣1；（2）7a﹣b的平方根为±6． 【解答】解：（1）根据题意可知，3a+1的两个平方根分别是7﹣m和2﹣2m， ∴7﹣m＝﹣（2﹣2m）， 7﹣m＝﹣2+2m， 3m＝9， 解得m＝3， ∴3a+1＝（7﹣m）2＝（7﹣3）2＝16， 解得a＝5， ∵9+b的立方根是2． ∴9+b＝23，解得b＝﹣1， 故m，a，b的值分别是3，5，﹣1； （2）∵a＝5，b＝﹣1， ∴7a﹣b＝7×5﹣（﹣1）＝36， 又因为36的平方根为±6， ∴7a﹣b的平方根为±6． 9．请根据如图所示的对话内容回答下列问题． （1）求该魔方的棱长； （2）求该长方体纸盒的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设魔方的棱长为xcm， 由题意可得x3＝216， 解得x＝6， 答：该魔方的棱长为6cm； （2）设该长方体纸盒的长为ycm， 由题意可得6y2＝600， 解得y＝10， 答：该长方体纸盒的长为10cm． 10．解方程． （1）9（4x﹣5）2＝81； （2）27（x+3）3＝﹣216． 【答案】1），x2＝2； （2）x＝﹣5． 【解答】解：（1）两边同除以9得，（4x﹣5）2＝9， 由平方根的定义可得，4x﹣5＝±3， ∴，x2＝2； （2）两边都除以27得，（x+3）3＝﹣8， 由立方根的定义可得，x+3＝﹣2， 解得：x＝﹣5． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 3.3 立方根 内 容 导 航 题型1 立方根 考 点 演 练 题型1 立方根 解｜题｜知｜识 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【典例1】下列各式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】下列说法中正确的是（　　） A．0.09的平方根是0.3 B．±4 C．0的立方根是0 D．1的立方根是±1 【变式2】下列说法正确的是（　　） A．4的平方根是2 B．8的立方根是±2 C．3 D．﹣6没有平方根 【变式3】下列说法不正确的是（　　） A．0.09的平方根是±0.3 B． C．1的立方根是±1 D．0的立方根是0 过 关 验 收 1．下列说法中，正确的是（　　） A．2是﹣4的算术平方根 B．﹣5是（﹣5）2的算术平方根 C．16的平方根是±4 D．27的立方根是±3 2．下列各式，正确的是（　　） A．3 B．±4 C．4 D．4 3．已知1.333，2.872，则 　 　 ． 4．已知m、n都是实数，且满足，则（m+n）的立方根是　 　 ． 5．已知6.882，若68.82，则x的值约为 　 　 ． 6．已知2m+2的立方根是2，m+n的算术平方根是3．若，则 ． 7．若将一个棱长为10cm的立方体体积减少V（cm3），而保留立方体形状不变，则棱长应减少 cm（用含V的代数式表示），若V＝875cm3，则棱长应减少　 　 cm． 8．已知3a+1的两个平方根分别是7﹣m和2﹣2m，9+b的立方根是2． （1）求m，a，b的值； （2）求7a﹣b的平方根． 9．请根据如图所示的对话内容回答下列问题． （1）求该魔方的棱长； （2）求该长方体纸盒的长． 10．解方程． （1）9（4x﹣5）2＝81； （2）27（x+3）3＝﹣216． 学科网（北京）股份有限公司 $