1.1.1 集合的概念与表示课件-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦集合的概念、元素性质及表示方法，以“白马非马”历史故事导入引发思考，通过偶数、新生等实例抽象出元素与集合定义，逐步讲解确定性互异性无序性等性质、列举法描述法及区间表示，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于用情境导入激发兴趣，借生活实例培养数学眼光，通过元素性质辨析发展数学思维，规范描述法符号强化数学语言。如用“白马非马”引导元素与集合关系探究，练习题巩固表示方法，助力学生抽象能力提升，也为教师提供清晰教学脉络。

一般地，我们把研究对象统称为元素，如 (1) 中的几个偶数 2，4 等； 把由元素组成的总体叫做集合(简称为集)，如上面左侧的6个集合. （1）1~10之间的所有偶数； （2）卢老师所在高中今年入学的全体高一新生； （3）所有的正方形； （4）到直线M的距离等于定长d的所有点； （5）方程的所有解； （6）地球上的七大洲 2，4，6，8，10 全部正方形，无数个 点构成了直线 亚洲、欧洲、北美洲、南美洲、南极洲、非洲、大洋洲 全部新生 1.集合和元素的概念 1.1.1 集合的概念与表示 “白马非马”： 战国时，公孙龙骑白马到 函谷关. 秦令马匹不得入关， 他辩称：“马者，所以命形也. 白者，所以命色也.命色者， 非命形也，故曰白马非马.” “要马可给黄黑马，要白马则不行，所以白马非马，我骑白马入关，不违反规定”. 守关小吏被绕得晕头转向，最后让公孙龙骑着白马大摇大摆地进了关. 思考：如果把所有的马看成一个大家庭，那 “一匹具体的白马”，属不属于 “马” 这个大家庭呢？ 集合中的“对象”所指的范围非常广泛，现实生活中我看到的、听到的、想到的、触摸到的事物和抽象的符号等等，都可以看做对象. 比如数、点、图形、多项式、方程、函数、人等等. 集合是一个整体，已暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成集合，那么这个集合就是全体，而非个别对象了. 对象 总体 对于一个给定的集合，它的元素必须是确定的. 也就是说，对于一个已知的集合来说，某个元素在不在这个集合里，是确定的，要么在，要么不在，不能含糊其辞. 比如“较小的数”就不能构成集合，因为组成它的元素是不确定的. 一个给定的集合当中的元素是互不相同的，即集合中的元素不会重复 出现 集合中的元素排列没有顺序之分，只要某两个集合当中的元素相同， 那么它们就是相等的集合. {1，2，3}和{3，2，1}是同样的集合. 互异性 无序性 确定性 2.集合中元素的性质 一般来说： 用大写拉丁字母A、B、C…等表示集合 元素与集合的关系： 如果是是集合A的元素，那么就说属于集合A，记作∈A； 3.元素、集合的表示和关系 如果是不是集合A的元素，那么就说不属于集合A，记作∉A； 比如，3∈自然数集；4∉奇数集 用小写拉丁字母 … 等表示元素 R Q 【自然数集】 全体自然数组成的集合，包括0，1，2…等，记作N，也叫非负整数集 【正整数集】 全体正整数组成的集合，记作N*或N+； 【整 数 集】 全体整数组成的集合，记作Z； 【有理数集】 全体有理数组成的集合，记作Q； 【实 数 集】 全体实数组成的集合，记作R； 以上数集之间的关系如图所示： 注意写法 从上面可以看出：用自然语言可以描述集合，除此之外，还可以用什么方法吗? 4.常用数集及其表示 Z N N* “地球上的四大洋”组成的集合可以表示为{大西洋，太平洋，北冰洋，印度洋}； “方程的所有实数根”组成的集合可以表示为{0，2}； 像这样，把集合的元素一一列出来，并用花括号{}括起来表示集合的方法叫做列举法. 【注意】（1）花括号表示的是“所有”“整体”的含义，如实数集可以写成{实数}，但不能写成{实数集}{全体实数}{R}； （2）列举法表示集合时要注意： ① 元素之间用逗号隔开； ② 一个集合中的元素书写一般不考虑顺序. 5.列举法 问题1：根据列举法的特点，说说哪些集合适合用列举法表示？ （1）含有有限个元素且元素个数较少的集合； （2）元素较多，但是元素的排列呈现一定的规律，在不至于发生误解的情况下，也可以列出几个元素作代表，其他元素用省略号表示，如自然数集 N可以表示为{0，1，2，…，n…}； （3）当集合所含元素属性特征不易表述时，用列举法比较方便，如 {} 一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P()的元素所组成的集合表示为{ ∈A|P()}，这种表示集合的方法称为描述法. 例如，我们可以把奇数集表示为{ ∈Z| =(∈Z)}，偶数集表示为 { ∈Z| =(∈Z)}；把不等式的解集表示为{ ∈R| ＞3} 6.描述法 问题2：用描述法表示集合需要注意什么问题？ （1）竖线前面表示的是集合的元素，{ |}，{ |}， { |}分别是三个不同的集合； （2）竖线后面写清元素满足的条件，一般是方程或者不等式； （3）不能出现未说明的字母，如{}未说明的取值情况，故集合中的 元素不确定； （4）所有描述内容都要写在花括号里面，如写法{ }，∈Z不符合 要求，应改为{ ，∈Z }； （5）多层描述时，要准确适用“或”“且”等表示元素关系的词语，如 {|}. 问题3：集合 { x∈R | x2 ＜ 0} 中有几个元素？ 0个元素 有限集、无限集和空集 1. 有限集：含有有限个元素的集合叫作有限集； 2. 无限集：含有无限个元素的集合叫作无限集； 3. 空集：不含任何元素的集合叫作空集，记作 ∅. 12 区间：设 a，b 是两个实数，且 a < b. 集合表示 符号表示 数轴表示 名称 {x | a ≤ x ≤ b} [a，b] 闭区间 {x | a < x < b} (a，b) 开区间 {x | a ≤ x < b} [a，b) 半开半闭区间 {x | a < x ≤ b} (a，b] 半开半闭区间 {x | x ≥ a} [a， + ∞) 半开半闭区间 {x | x > a} (a， + ∞) 开区间 {x | x ≤ b} ( - ∞，b] 半开半闭区间 {x | x < b} ( - ∞，b) 开区间 R ( - ∞， + ∞) 开区间 练习1：用列举法表示下列集合 （1）小于 7 的所有自然数的集合； （2）方程 x2 + 2x = 0 的所有实数根组成的集合. 解：（1）{0，1，2，3，4，5，6}； （2）{-2，0}. 练习2： 请用描述法表示下列集合： （1）方程的所有实数根组成的集合A； （2）由大于10而小于20的所有整数组成的集合B. 解：（1）A={| }； （2）B={∈Z|} 练习3：（1）区间 ( - 3，2] 用集合可表示为（ ） A. { -2， -1，0，1，2} B. {x| -3 < x < 2} C. {x| -3 < x ≤ 2} D. {x| -3 ≤ x ≤ 2} （2）用区间表示下列集合： ① { x | x > -1 } = ____________； ② { x | 2 < x ≤ 5 } = ___________； ③ { x | x ≤ -3 } = ____________； ④ { x | 2 ≤ x ≤ 4 } = ___________. C ( -1， +∞) (2，5] ( -∞，-3] [2，4] 注意：1. 区间两端点之间用“，”隔开； 2. 含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号. 16 方法 自然语言 列举法 描述法 特点 举例 自然语言是最基本的语言形式，使用范围广，但是具有多义性，有时难于表达. 列举法直观地体现了元素的个体，但是有局限性，多适用于元素个数较少的有限集. 描述法具有抽象概括、普遍性的特点，适用于元素共同特征明显的集合，有些集合元素没有明显的共同特征，则不能用描述法. {1} 回顾：集合的三种表示方法 方程的解集 {| } $