1.1.1 第2课时 集合的表示 课件-2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦集合的表示方法，涵盖列举法、描述法、区间及有限集、无限集、空集等核心知识点，通过“思考”问题（如列举法适用集合、描述法元素类型）衔接集合概念旧知，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于结合数学思维（逻辑推理、分类讨论，如含参方程集合问题）和数学语言（规范表示，如区间符号、描述法格式），通过题型探究（公约数集合、函数交点）和误区警示（元素互异性），帮助学生深化概念理解，提升解题能力，为教师提供系统教学资源，提高教学效率。

第2课时　集合的表示 必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基 必备知识•探新知 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 基础知识 　　　列举法 (1)方法：把集合中的元素____________出来写在花括号“{}”内． (2)一般形式：{a，b，c，…}． (3)关注点：元素的排列________可以不同． 一一列举　 知识点1 顺序　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 思考1：哪些集合适合用列举法表示？ 提示：(1)含有有限个元素且个数较少的集合． (2)元素较多，元素的排列又呈现一定的规律，在不至于发生误解的情况下，也可列出几个元素作代表，其他元素用省略号表示，如N可表示为{0，1，2，…，n，…}． (3)当集合所含元素不易表述时，用列举法表示方便．如集合{x2，x2＋y2，x3}． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 　　　描述法 知识点2 定义 通过描述元素满足的条件表示集合的方法 形式 __________________________________ 方法 在花括号内先写出集合中元素的____________及________，再画一条竖线“|”，在竖线后写出集合中元素所具有的____________ {x及x的范围|x满足的条件}　 一般符号　 范围　 共同特征　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 思考2：{(x，y)|y＝x2＋2}能否写成{x|y＝x2＋2}或{y|y＝x2＋2}呢？为什么？ 提示：不能，(x，y)表示集合的元素是有序实数对或点，而x或y则表示集合的元素是数，所以用描述法表示集合时一定要弄清集合的元素是什么． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 　　　有限集、无限集和空集 (1)有限集：含有__________元素的集合叫作有限集； (2)无限集：含有__________元素的集合叫作无限集； (3)空集：不含________元素的集合叫作空集，记作∅． 有限个　 知识点3 无限个　 任何　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 思考3：∅与0，{0}，{∅}有何区别？ 提示：   ∅与0 ∅与{0} ∅与{∅} 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 ∅是集合；0是实数 ∅不含任何元素；{0}含一个元素0 ∅不含任何元素；{∅}含一个元素，该元素是空集 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 　　　区间 知识点4 [a，b]　 (a，b)　 [a，b)　 (a，b]　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [a，＋∞)　 (a，＋∞)　 (－∞，b]　 (－∞，b)　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 说明：(1)实数a，b称为区间的端点．[a，b]称为__________，(a，b)称为__________，[a，b)，(a，b]称为半开半闭区间． (2)在数轴上表示区间时，用__________表示属于区间的端点，用__________表示不属于区间的端点． (3)符号“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”，实数集R可以表示为________________． 闭区间　 开区间　 实心点　 空心点　 (－∞，＋∞)　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 基础自测 1．判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)由1，1，2，3组成的集合可用列举法表示为{1，1，2，3}． (　　) (2)集合{(1，2)}中的元素是1和2． (　　) (3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合． (　　) ×　 ×　 √　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） {1，2，　 3，4} 　 ①②④　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 4．用区间表示下列数集： (1){x|2＜x≤3}＝___________； (2){x|－3≤x≤0}＝______________； (3){x|－2＜x＜3}＝____________． (2，3]　 　[－3，0]　 　(－2，3)　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 关键能力•攻重难 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 题型探究 题型一 列举法表示集合  例 1 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　1．用列举法表示集合，要注意是数集还是点集． 2．列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然． 因此，集合是有限集还是无限集，是选择恰当的表示方法的关键． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 【对点练习】❶　用列举法表示下列集合： (1)不大于10的非负偶数组成的集合； (2)方程x2＝x的所有实数解组成的集合； (3)直线y＝2x－3与y轴的交点所组成的集合． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [解析]　(1)因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思．所以不大于10的非负偶数集是{0，2，4，6，8，10}． (2)方程x2＝x的解是x＝0或x＝1，所以方程的解组成的集合为{0，1}． (3)将x＝0代入y＝2x－3，得y＝－3，即交点是(0，－3)，故两直线的交点组成的集合是{(0，－3)}． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 题型二 描述法、区间法表示集合  例 2 D　 [－3，＋∞)　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 2．用描述法表示集合应注意的四点 (1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x＜1}不能写成{x＜1}． (2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如：{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） (3)不能出现未被说明的字母． (4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解组成的集合可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 3．区间表示集合的适用情况和注意点 (1)适用情况：表示一定范围内的所有实数所构成的集合，也就是数轴上某一“段”所有点所对应的实数． (2)注意点：①区间的两个端点必须保证左小右大； ②“∞”是一个符号，不是数，以－∞或＋∞为区间一端时，这一端必须是小括号． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 【对点练习】❷　(1)已知集合M＝{x|x＝7n＋2，n∈N}，则2 018 ______M，2 019______M．(填“∈”或“∉”)． (2)用描述法表示下列集合： ①小于10的非负整数构成的集合； ②数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合； ③平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合； ④集合{1，3，5，7，…}． ∈　 ∉　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [解析]　(1)因为2 018＝7×288＋2，2 019＝7×288＋3，所以2 018∈M，2 019∉M． (2)①小于10的所有非负整数构成的集合，用描述法可表示为{x∈Z|0≤x＜10}． ②数轴上与原点的距离大于3的点构成的集合，用描述法可表示为{x||x|＞3}． ③平面直角坐标系中第二、四象限内的点构成的集合，用描述法可表示为{(x，y)|xy＜0}． ④{1，3，5，7，…}用描述法可表示为{x|x＝2k－1，k∈N＋}． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 题型三 集合表示方法的综合应用  角度1　用适当的方法表示集合 　　　　用适当的方法表示下列集合： (1)函数y＝x2－2x的图象与x轴的公共点的集合； (2)不等式2x－3＜5的解组成的集合； (3)3和4的正的公倍数构成的集合； (4)大于4的奇数构成的集合． 例 3 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [解析]　(1)列举法：{(0，0)，(2，0)}． (2)不等式2x－3＜5的解组成的集合可表示为{x|2x－3＜5}，即{x|x＜4}．也可用区间表示为(－∞，4)． (3)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x＝12n，n∈N*}． (4)用描述法表示为D＝{x|x＝2k＋1，k≥2，k∈N}或D＝{x|x＝2k＋3，k∈N*}． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 角度2　方程、不等式等知识与集合交汇 　　　　已知集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A． [解析]　(1)当k＝0时，方程kx2－8x＋16＝0变为－8x＋16＝0，解得x＝2，A＝{2}； (2)当k≠0时，要使集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}中只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有一个实数根，所以Δ＝64－64k＝0，解得k＝1，此时集合A＝{4}．综上所述，k＝0时，集合A＝{2}；k＝1时，集合A＝{4}． 例 4 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　1．解答集合表示方法综合题的策略 (1)若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键． (2)若已知集合是用列举法给出的，整体把握元素的共同特征是解题的关键． 2．方程、不等式等知识与集合交汇问题的处理 (1)准确理解集合中的元素，明确元素的特征性质． (2)解题时还应注意方程、不等式等知识以及转化、分类与整合思想的综合应用． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 【对点练习】❸　(1)(角度1)以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－6＝0的解为元素的集合为_________________． (2)(角度2)设y＝x2－ax＋b，A＝{x|y－x＝0}，B＝{x|y－ax＝0}，若A＝{－3，1}，试用列举法表示集合B． [解析]　(1)解方程x2－5x＋6＝0，得x＝2或x＝3， 解方程x2－x－6＝0，得x＝－2或3，所以以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－6＝0的解为元素的集合为{－2，2，3}． {－2，2，3}　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 误区警示 忽视集合中元素的互异性 　　　　方程x2－(a＋1)x＋a＝0的解集为______________________ ____________． [错解]　x2－(a＋1)x＋a＝0，即(x－a)(x－1)＝0，所以方程的实数根为x＝1或x＝a，则方程的解集为{1，a}． {1}(a＝1)或{1，a} 　 例 5 (a≠1)　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [错因分析]　错解中没有注意到字母a的取值带有不确定性，得到了错误答案{1，a}．事实上，当a＝1时，不满足集合中元素的互异性． [正解]　x2－(a＋1)x＋a＝(x－a)(x－1)＝0，所以方程的解为x＝1或x＝a． 若a＝1，则方程的解集为{1}；若a≠1，则方程的解集为{1，a}．故填{1}(a＝1)或{1，a}(a≠1)． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [方法点拨]　在刚学习集合的相关概念时，对含有参数的集合问题容易出错，尽管知道集合中元素是互异的，也不会写出{1，1}这种形式，但当字母a出现时，就会忽略a＝1的情况，因此要重点注意．一定要记住：当集合中的元素用字母表示时，求出参数后一定要代入检验，确保集合中元素的互异性． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 学科素养 解决集合的新定义问题的基本方法 集合命题中与运算法则相关的问题已经成为新课标高考的热点．这类试题的特点：通过给出新的数学概念或新的运算方法，在新的情况下完成某种推理证明或指定要求是集合命题的一个新方向．常见的有定义新概念、新公式、新运算和新法则等类型． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 　　　　当x∈A时，若x－1∉A且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合A＝{0，1，2，3，5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为_________． [分析]　准确理解题中给出的新定义，并将其翻译成自然语言是解答此类题的关键． {5}　 例 6 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [解析]　由“孤立元素”的定义知，对任意x∈A，要成为A的孤立元素，必须是集合A中既没有x－1，也没有x＋1，因此只需逐一考查A中的元素即可．0有1相伴，1，2则是前后的元素都有，3有2相伴，只有5是“孤立的”，从而集合A＝{0，1，2，3，5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为{5}，故填{5}． [归纳提升]　解决这类问题的基本方法：仔细审题，准确把握新信息，想方设法将新定义的问题化归为已经解决的熟悉问题，从而使问题得到解决．也就是“以旧带新”法． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 课堂检测•固双基 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 1．下列集合中，不同于另外三个集合的是 (　　) A．{x|x＝2 020}　 B．{y|(y－2 020)2＝0} C．{x＝2 020}　 D．{2 020} [解析]　选项A、B是集合的描述法表示，选项D是集合的列举法表示，且都表示集合中只有一个元素2 020，都是数集．而选项C它是由方程构成的集合，集合是列举法且只含有一个方程． C　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 2．由大于－3且小于11的偶数所组成的集合是 (　　) A．{x|－3＜x＜11，x∈Q} B．{x|－3＜x＜11} C．{x|－3＜x＜11，x＝2k，k∈N} D．{x|－3＜x＜11，x＝2k，k∈Z} [解析]　因为所求的数为偶数，所以可设为x＝2k，k∈Z，又因为大于－3且小于11，所以－3＜x＜11，即大于－3且小于11的偶数所组成的集合是{x|－3＜x＜11，x＝2k，k∈Z}．故选D． D　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 3．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为 (　　) A．3　 B．6 C．8　 D．10 [解析]　由A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，当x＝5时，y＝4，3，2，1，当x＝4时，y＝3，2，1，当x＝3时，y＝2，1，当x＝2时，y＝1，所以B＝{(5，4)，(5，3)，(5，2)，(5，1)，(4，3)，(4，2)，(4，1)，(3，2)，(3，1)，(2，1)}，所以B中所含元素的个数为10． D　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 4．已知集合A＝{－1，0，1}，集合B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝____________． [解析]　A＝{－1，0，1}，当x＝－1，或1时，y＝1，当x＝0时，y＝0，∴B＝{0，1}． {0，1}　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 定义 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} ______________ {x|a＜x＜b} ____________ {x|a≤x＜b} _____________ {x|a＜x≤b} _____________ 定义 符号 数轴表示 {x|x≥a} _______________ {x|x＞a} ______________ {x|x≤b} _______________ {x|x＜b} ______________ 2．不等式x－3＜2且x∈N*的解集用列举法可表示为_________ _________． 3．方程组的解集可表示为__________(填序号)． ①； ②； ③{1，2}；④{(x，y)|x＝1，y＝2}． 　　　　用列举法表示下列集合： (1)36与60的公约数组成的集合； (2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根组成的集合； (3)一次函数y＝x－1与y＝－x＋的图象的交点组成的集合． [分析]　(1)(2)可直接求出相应元素，然后用列举法表示；(3)联立→求方程组的解→写出交点坐标→用集合表示． [解析]　(1)36与60的公约数有1，2，3，4，6，12，所求集合为{1，2，3，4，6，12}． (2)方程(x－4)2(x－2)＝0的根是4，2，所求集合为{2，4}． (3)方程组的解是所求集合为． 　　　　(1)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为 (　　) A．1　 B．2 C．3　 D．4 (2)使有意义的所有实数x取值的集合为________________. (用区间表示) (3)用描述法表示下列集合： ①； ②被5除余1的正整数组成的集合； ③坐标平面内坐标轴上的点集． [解析]　(1)由题意得，－1≤x≤1，－1≤y≤1，x∈Z，y∈Z，A＝{(0，1)，(1，0)，(－1，0)，(0，－1)}，所以A中元素的个数为4． (2)为使有意义，实数x需满足x＋3≥0，即x≥－3， 故所求集合可表示为[－3，＋∞)． (3)①集合用描述法表示为． ②根据被除数＝商×除数＋余数，故此集合可表示为{x|x＝5n＋1，n∈N}． ③注意到坐标轴上点的横坐标或纵坐标至少有一个为0，故可表示为{(x，y)|xy＝0，x∈R，y∈R}． [归纳提升]　1．描述法表示集合的两个步骤 — ⇩ — (2)集合A中的方程为x2－ax＋b－x＝0，整理得x2－(a＋1)x＋b＝0． 因为A＝{－3，1}，所以方程x2－(a＋1)x＋b＝0的两根为－3，1． 由根与系数的关系，得解得 所以集合B中的方程为x2＋6x－3＝0， 解得x＝－3±2， 所以B＝{－3－2，－3＋2}． 5．用列举法表示下列集合． (1)A＝； (2)B＝{y|y＝－x2＋9，x∈Z，y∈Z，y＞0}； (3)C＝{(x，y)|y＝－x2＋6，x∈N，y∈N}． [解析]　(1)要使x，是整数，则|3－x|必是6的约数，当x＝－3，0，1，2，4，5，6，9时，|3－x|是6的约数， ∴A＝{－3，0，1，2，4，5，6，9}． (2)由y＝－x2＋9，x∈Z，y∈Z，y＞0，可知0＜y≤9． 当x＝0，±1，±2时，y＝9，8，5符合题意， ∴B＝{5，8，9}． (3)点(x，y)满足条件y＝－x2＋6，x∈N，y∈N， 则有或或 ∴C＝{(0，6)，(1，5)，(2，2)}． $