福建福清西山学校2025-2026学年第一学期九年级12月份数学适应性练习

**基本信息** 以古钱币文化、黄金矩形实践为情境，梯度设计覆盖二次函数、圆、反比例函数等核心知识，注重推理能力与数学建模的九年级数学适应性练习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|轴对称与中心对称（古钱币图形）、概率必然事件、点与圆位置关系|结合文化遗产素材，考查几何直观与抽象能力| |填空题|6/24|圆锥侧面积、反比例函数分布、网格图形面积计算|融入空间观念，检测基础运算与几何应用| |解答题|9/86|二次函数与x轴交点证明、圆中动态线段关系探究（23题）、黄金矩形折叠操作（24题）、抛物线整点问题（25题）|分层设计，从基础推理到创新应用，体现逻辑思维与模型意识|

福清西山学校2025-2026学年第一学期九年级12月份适应性练习 数 学 试 卷 班级：__________ 姓名：__________ 座号：__________ 1、 选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1、 古钱币是我国悠久的历史文化遗产，以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分 图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A、 B、 C、 D、 2、下列事件为必然事件的是（ ） A、某种彩票中奖率为10%，买10000张该种彩票一定会中奖. B、正月十五的晚上一定能看到圆月. C、打开电视机，正在播放广告. D、口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球. 3、已知⊙O的半径为3，点P到圆心O的距离为4，则点P在（ ） A、⊙O内 B、⊙O外 C、⊙O上 D、无法确定 4、一元二次方程(x+1)(x-2)＝0的解是（ ） A、x＝-1 B、x＝2 C、x1＝-1，x2＝2 D、无法确定 5、若二次函数y＝x²＋bx＋5配方后为y＝(x-3)2-4，则b的值为（ ） A、0 B、5 C、6 D、-6 6、 在平面直角坐标系xoy中，将抛物线y＝x² 先向左平移3个单位长度，再向下平移4个 单位长度，所得到的抛物线的表达式为（ ） A、 y＝(x＋3)²－4 B、y＝(x－3)²－4 C、y＝(x＋3)²＋4 D、y＝(x－3)²＋4 7、正方形ABCD内接于⊙O，若正方形的半径为，则该正方形边心距的长是（ ） A、 B、 C、 D、 8、如图，点C在弧AB上，点D在半径OA上，则下列结论正确的是（ ） A、 B、 C、 D、 9、在函数（m是常数）的图象上有三点A1(x1，y1)、 ( （ 第8题图 ） )A2(x2，y2)、A3(x3，y3)，已知x1＜x2＜0＜x3，则下列各式中 正确的是( ) A、y1＜y2＜y3 B、y3＜y2＜y1 C、y2＜y1＜y3 D、y3＜y1＜y2 10、若函数y=x2(x≥0)的图象与直线y=kx+k+1有公共点，则k的取值范围是（ ） A、k≤0 B、k≤-1 C、k≥-1 D、k为任意实数 2、 填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 11、在-3、-2、1、2、3五个数中随机选取一个数作为二次函数y＝ax²＋4x-2中的a值，则该抛物线开口向上的概率是_____. 12、一个圆锥的高为4，母线长为5，则这个圆锥的侧面积是________． 13、若双曲线分布在第一、三象限，则k的取值范围是_______. 14、如图，点A在函数的图象上，过点A作AH⊥y轴于点H，点P是x轴上一点，则△AHP的面积为_____. 15、如图，在边长为1的正方形网格中，“叶状”图案（阴影部分）是由半径分别为1和2，圆心在格点上的两种弧围成的，则该图案的面积为___________ 16、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=4，BC的中点为D．将△ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF的中点为G，连接DG．在旋转过程中，DG的最大值是_________. ( （第14题图 ） ) ( （第16题图 ） ) ( （第15题图 ） ) 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17、(8分)解方程：x(x-5)＝2x-10 18、(8分）求证：不论k取何值，抛物线y＝x2-(k+3)x+2k+2与x轴总有交点. 19、(8分)如图，∠1＝∠2，∠B＝∠D，求证： 20、（8分）如图，4张背面完全相同的纸牌，在纸牌的正面分别写有四个数字,小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后，先随机摸出一张(不放回),再随机摸出一张. 求两次摸到的数字的和为偶数的概率. 21、 （8分）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数 的图象相交于点A(-2，1)、B(1，n). （1） 请直接写出不等式的解集； （2） 求一次函数的解析式； （3） 求△AOB的面积. 22、（10分）如图，P为⊙O外一点，M为OP的中点. （1） 过点P作⊙O的一条切线PQ，且Q为切点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2） 在（1）的条件下，若PQ＝PM，求证：点M在⊙O上. 23、（10分） 如图1，AC为⊙O的直径，AB＝BC＝4．点D是弧AC上一动点（不与A、C重合），连接BD，DC，AD． （1）求∠BDC的度数； （2）探究线段AD、CD、BD之间的数量关系，并证明． （3）如图2，若BD与AC相交于点E，过点E分别作EF⊥AC于点F，EG⊥CD于点G， 求△AEF与△ECG面积之和的最大值． 24.（12分） 折叠黄金矩形 背景资料 古希腊人认为黄金矩形具有严格比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，是美的构成典型．黄金矩形是指长宽比满足黄金比例的矩形，其短边与长边之比确切值为，近似值为． 用矩形纸片折叠一个黄金矩形 操作步骤 第一步：在一张足够长的矩形纸片的一端，按照图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形对折成两个全等的矩形，再把纸片展平；第三步：折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到如图3所示的AD处：第四步：展平纸片，由点D折出DE得到矩形BCDE（图4），它就是黄金矩形． 问题解决 1 找出图4中的另一个黄金矩形：___________． 2 证明矩形BCDE是黄金矩形． 3 如图，在直角坐标系中，矩形OABC是黄金矩形（OC＜OA）．分别以边AB向外作正方形AEDB，以OA为边向上作正方形OAFG．判断D、F两点是否在同一个反比例函数图象上，并说明理由． 25.（14分）已知抛物线y＝ax²＋bx＋c（a，b，c都是常数，a＜0）与x轴交于A、B两点，对称轴为直线x＝1． （1）若x≥2时y的最大值为m，x＜2时的最大值为m＋2，求a的值． （2）若a－b＋c＝0． ①求抛物线顶点坐标（用含a的代数式表示）； ②规定：在坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不含边界）恰有6个整点，求a的取值范围． 福清西山学校2025-2026学年第一学期九年级12月适应性练习 数学试卷（参考答案） 1、 选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D D B C D A A B D C 2、 填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 11、 12、 13、k＞1 14、3 15、2π－4 16、6 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17、（8分）解：x(x－5)＝2(x－5) x(x－5)－2(x－5)＝0 (x－5)(x－2)＝0 x－5＝0或x－2＝0 x1＝5，x2＝2 18、（8分）证明：b²－4ac ＝[-(k＋3)]²－4·1·(2k＋2) ＝k²＋6k＋9－8k－8 ＝k²－2k＋1 ＝(k－1)² ∵(k－1)²≥0 即：b²－4ac≥0 ∴不论k取何值，该抛物线与x轴总有交点 19、（8分）略 20、（8分）（过程略） 21、 （8分） 解：（1）x＜－2或0＜x＜1（2分） （2）把A（－2，1）代入得： 解得：m＝－2 ∴反比例函数的解析式为 把B（1，n）代入得： n＝ ∴点B的坐标为（1,－2） 把A（－2，1）、B（1,－2）代入y＝kx＋b得： 解得： ∴一次函数的解析式为y＝－x－1（6分） （3）连接OA、OB y＝－x－1 当y＝0时，x＝－1 ∴点C的坐标为（－1,0） ∴S△AOB＝S△ACO＋S△BCO＝ （8分） 22、（10分） ( （ 4分 ） ) ( （ 10分 ） ) 23、（10分） 23、（10分）解：（1）45°（略） （2） 证明：延长至 点M，使 得，连 接， ， ． ． 在△ABM和△CBD中 ∴△ABM≌△CBD ． ， 在中， ， ． （3）过点 作 交点N， 为直径， ． ， ． ． 平分 ． 又 ， ． 四边形为正方形． ． ， ． ， ． 在△EFN和△EGC中 ∴△EFN≌△EGC ． 设 ，则， ， 当，取得最大值，最大值为4． 即 最大值为 4 ． 22、 （12分）解：（1）矩形 （2） （3） 25、（14分）解：（1）∵抛物线的对称轴是直线，且， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∵时，的最大值为， ∴顶点坐标为， ∴， ∵时，的最大值为， ∴当时，， ∴，，； （2）①∵抛物线的对称轴是直线， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； ②不妨设点在点的左侧 可得：点A、B的坐标分别为（－1,0）、（3,0） 该抛物线与y轴的交点的坐标为（0,－3a），顶点的坐标为（1，－4a） ( 九年级数学试卷共4页，第 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $