福建福清西山学校2026-2027学年第一学期九年级9月份数学适应性练习

**基本信息** 本试卷以一元二次方程与二次函数为核心，融合本地文化（虎溪公园游客增长、杨辉矩形面积问题）与生活实践（农庄水渠设计、饲养室面积最值），通过分层设问（基础计算到函数单调性证明）考查运算能力、推理意识与模型意识，适配九年级月考学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|方程解法、函数性质|第5题以虎溪公园游客增长考查增长率模型| |填空题|6/24|方程求解、抛物线平移|第14题引用杨辉问题体现文化传承| |解答题|9/86|方程应用、函数证明|第22题农庄饲养室设计考查二次函数最值，第24题单调性证明培养推理能力|

福清西山学校2026-2027学年第一学期九年级9月份适应性练习 数 学 试 卷 班级：__________ 姓名：__________ 座号：__________ 1、 选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1、下列各数是一元二次方程x²－4＝0的一个根的是（ ） A、2 B、1 C、0 D、－1 2、用配方法解一元二次方程x²－4x－1＝0，配方后所得的方程是（ ） A、(x＋2)²＝5 B、(x－2)²＝5 C、(x＋2)²＝1 D、(x－2)²＝1 3、已知关于x的一元二次方程x²－mx＋1＝0的一个根为－1，则m的值是（ ） A、2 B、－2 C、0 D、±2 4、 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ） A、x²－x＝0 B、x²＋2x＋1＝0 C、(x－1)²－3＝0 D、2x²＋3＝0 5、福清市虎溪公园是福州市首个3.0版的城市公园，自2024年10月1日开放后，深受市民的喜爱。已知该公园今年三月份共接待游客25万人次，五月份共接待游客64万人次，设每月的平均增长率为x，则可列方程（ ） A、25(1－x)²＝64 B、64(1－x)²＝25 C、25(1＋x)²＝64 D、64(1＋x)²＝25 6、关于二次函数y＝(x－1)²＋2的图象，下列描述错误的是（ ） A、 该抛物线开口向上 B、当x＝1时，y有最小值2 B、 当x＜1时，y随x的增大而减小 D、当x＞1时，y随x的增大而减小 7、 下列对抛物线y＝x²－x的描述，正确的是（ ） A、开口向下 B、对称轴是y轴 C、经过原点 D、在对称轴右侧部分是下降的 8、生物兴趣小组的同学，将自己收集到的标本向本组其他成员各赠送一件，全组互赠了182件. 若全组有x名学生，则下面所列方程正确的是（ ） A、x(x－1)＝182 B、x(x＋1)＝182 C、 D、 9、已知A(－3，y1），B(－2，y2)，C（2，y3）三点均在抛物线y＝－x²－2x＋c上，则 y1，y2，y3的大小关系为（ ） A、y1＞y2＞y3 B、y2＞y1＞y3 C、y3＞y2＞y1 D、无法判断 10、已知函数y＝2ax²－4ax＋b（a＜0），当x＞m时，y＜b－a；当x＜n时，y＜b－a， 则m与n之间满足的关系是（ ） A、m－n＝1 B、m－n＝2 C、m＋n＝1 D、m＋n＝2 二、填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 11、方程x（x－2025）＝0的解是 . 12、把抛物线y＝2x²向上平移1个单位长度，得到抛物线_____________. 13、若抛物线y＝x²－x－1与x轴的一个交点为(m,0),则代数式2m²－2m＋2023的值为_____. 14、我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四（平方步），云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少12 步），问阔及长各几步？”如果设矩形田地的宽为x步，请根据题意列出方程： . 第15题图： 第16题图： 15、如图，抛物线y＝ax²＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，则(a＋c)²______b²（填＞、＜或＝）. 16、如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，D为边BC上一点，过点B作BC的垂线并截取BE＝CD，连接DE，则△BDE周长的最小值为___________. 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17、(8分)解一元二次方程：x(x－2)＋x－2＝0. 18、(8分)求证：不论m为任何实数，抛物线y＝x2＋(m＋2)x＋m－1与x轴总有两个交点． 19、（8分）绿茵争锋，“足”够精彩！2015年教育部下发《关于公布2015年全国青少年校园足球特色学校及试点县（区）名单的通知》，认定福清西山学校等校为全国青少年校园足球特色学校。若学校体艺办要组织一次足球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，问应邀请多少支球队参赛？ 20、（8分）“若一元二次方程ax²＋bx＋c＝0的两个实数根分别为x1、x2，则x1＋x2＝，x1·x2＝.”此定理是由法国数学家弗朗索瓦·韦达在16世纪提出的，因此得名“韦达定理”. 若x1、x2是一元二次方程(x－1)(x－2)＝m²的两个实数根，求证：(x1－1)(x2－1)≤0. 21、（8分）已知二次函数y＝x²＋2x－3，完成下列各题： （1） 该抛物线的顶点坐标是________， 对称轴是直线x＝____； （2） 请在图中的网格中建立合适的平面直角坐标系， 画出该抛物线的简图； （3） 根据图象回答： ( （第21题图） ) 当x的取值范围为_________时，y＞0. 22、（10分）“绿水青山就是金山银山！”福清市天生林艺农庄，位于新厝镇，创办于2001年8月，占地面积1078 亩,是迄今为止福州地区规模最大的集观光、种植、养殖、科普教育、运动休闲等多功能于一体的特色生态休闲旅游度假基地。 （1）如图1，该农庄内有一块矩形耕地，长20m，宽10m，在这块地上沿东西、南北方向各挖两条、三条等宽的水渠,要使余下的耕地的面积是136m2,水渠的宽应为多少m？ （2）如图2，该农庄拟用总长为60m的建筑材料建设三间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙长40m），中间用建筑材料做的墙隔开（如图所示）.设三间饲养室平行于墙的一边合计使用建筑材料xm，三间饲养室的总占地总面积为y m²，当x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ ( （图2） ) ( （图1） ) 23.（8分）数学思想方法是数学的灵魂,是形成数学能力、意识的桥梁。我国著名的数学家华罗庚曾讲过：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，唯有铭记在头脑中的数学思想、研究方法等，能随时随地发挥作用，使人们受益终身。” 请同学们阅读下面例题的解答过程，体会、理解其方法，并完成（1）、（2）问. 例题：解方程x²－|x|－2＝0 解：①当x≥0时，原方程可化为x²－x－2＝0 解得：x1＝2，x2＝－1（舍去） ②当x＜0时，原方程可化为x²＋x－2＝0 解得：x1＝1（舍去），x2＝－2 ∴原方程的解是x1＝2，x2＝－2. （1） 我们在解方程x²－|x|－2＝0时用到的数学思想方法是______. A.数形结合的思想 B.整体的思想 C.分类讨论的思想 D.特殊到一般的思想 （2）解方程：x²－|x－1|－1＝0. 24.（14分）同学们，你们还记得“上*下*，左*右*”这个口诀吗？这个口诀描述的是函数图象平移时解析式的变化规律，此口诀适用于任意函数. （Ⅰ）把抛物线y＝2x²先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度， 得到抛物线_______________. （Ⅱ）请利用所学完成以下探究： （1）请借助下表，在图1所给的平面直角坐标系中画出函数y＝|x|的图象. x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y＝|x| … 3 2 1 0 1 2 3 … ( （图1） ) ( （图2） ) （2）请在图2所给的平面直角坐标系中画出函数y＝|x＋1|－2的图象 （无需列表）,并结合图象解答下列问题. ①若|x＋1|－2≥a恒成立,则a的取值范围是 ； ②若0≤|x＋1|－2≤2，则x的取值范围是 ； ③我们知道，对于二次函数y＝x²：当x＜0时，y随x的增大而减小，这时我们说：“当x＜0时，函数y＝x²单调递减”；当x＞0时，y随x的增大而增大，这时我们说：“当x＞0时，函数y＝x²单调递增”. 现给出“当x＞0时，函数y＝x²单调递增”的证明： 证明：设点（x1，y1）、（x2，y2）在函数y＝x²的图象上，且0＜x1＜x2，则： y1－y2＝x1²－x2²＝(x1＋x2)(x1－x2) ∵0＜x1＜x2 ∴x1＋x2＞0，x1－x2＜0 ∴y1－y2＜0 ∴y1＜y2 即当0＜x1＜x2时，y1＜y2 ∴当x＞0时，函数y＝x²单调递增. 请证明：函数y＝|x＋1|－2，当x＜－1时，单调递减. 25、（14分）已知抛物线y＝ax²＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）． （1）若a＋b＋c＝0，且该抛物线的图象经过A(－1,4)，B(0，－1)，C(1,1）三个点中的其中两个点，则这两个点分别是 ，该抛物线的解析式为 . （2）若抛物线与x轴两个交点的横坐标为k，－2k(k≠0)，求证：2b²＋ac＝0. （3）若抛物线的对称轴为直线，函数图象过点（1,0），当a＞b≥c时，求的最小值． 福清西山学校2026-2027学年第一学期九年级9月适应性练习 数学试卷参考答案 1、 选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B B D C D C A B D 2、 填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 11、 x1＝0，x2＝2025 12、y＝2x²＋1 13、2025 14、x(x＋12)＝864 15、＜ 16、 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17、（8分）解：(x－2)(x＋1)＝0 x－2＝0或x＋1＝0 x1＝2，x2＝－1 18、（8分）解：证明：b²－4ac＝（4m＋1）²－4·1·（2m－1） ＝16m²＋8m＋1－8m＋4 ＝16m²＋5 ∵m²≥0 ∴16m²≥0 ∴16m²＋5≥5 即：b²－4ac≥5 ∴不论m为任何实数，该抛物线与x轴总有两个交点. 19、 （8分）解：设应邀请x支球队参赛，则 解得：x1＝6，x2＝－5（舍去） 答：应邀请6支球队参赛. 20、 （8分）证明：把（x－1）（x－2）＝m²化成一般形式得： x²－3x＋2－m²＝0 由“韦达定理”可得： ∵－m²≤0 ∴(x1－1)(x2－1)≤0 21、 （8分）解：（1）（－1，－4） －1（4分） （2）略（6分） （3）x＜－3或x＞1（8分） 22、（10分）解：（1）设水渠的宽应为xm，则 （20－3x）（10－2x）＝136 解得：x1＝1，x2＝（舍去） 答：水渠的宽应为1m.（5分） （2）y＝x·＝x·（15－）＝ ∵a＝＜0， ∴当x＝30时，y有最大值，最大值＝30×＝225（10分） 23、（8分）解：（1）C（2分） （2）①当x－1≥0，即x≥1时，原方程可化为x²－（x－1）－1＝0 解得：x1＝0（舍去），x2＝1 ②当x－1＜0，即x＜1时，原方程可化为x²－（1－x）－1＝0 解得：x1＝－2，x2＝1（舍去） ∴原方程的解是x1＝1，x2＝－2.（8分） 24、 （14分）解：（Ⅰ）y＝2（x＋1）²－2（2分） （Ⅱ）（1）图象略（4分） （2）图象略（6分） ①a≤－2（8分） ②－5≤x≤－3或1≤x≤3（10分） ③证明：当x＜－1时，x＋1＜0 ∴y＝－（x＋1）－2 ＝－x－3 设点（x1，y1）、（x2，y2）在此函数的图象上， 且x1＜x2＜－1，则 y1－y2＝（－x1－3）－（－x2－3）＝x2－x1 ∵x1＜x2＜－1 ∴y1－y2＞0 ∴y1＞y2 即：当x1＜x2＜－1，y1＞y2 ∴当x＜－1时，该函数单调递减. （14分） 25、 （14分）解：（1）A、B y＝3x²－2x－1 （4分） （2） 令y＝0，则ax²＋bx＋c＝0 由“韦达定理”可得： 即： ( 九年级数学试卷共4页，第 1 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $