第四章 一次函数 单元卷 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学一次函数单元复习卷，聚焦函数概念、图像性质及实际应用，通过马拉松行程、机器人搬运等真实情境，考查抽象能力、几何直观与模型意识，适配单元知识巩固与核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|函数定义、一次函数识别、图像象限判断|结合图像辨析（如第1题函数图像识别），基础概念辨析| |填空题|6/18|函数平移、象限分布、实际问题建模（如第14题檀香燃烧）|融入生活情境，考查符号意识与量感| |解答题|8/72|解析式求解、图像与面积计算、实际应用（运输费用、爬山行程）|分层设计，如20题运输费用问题培养模型意识，22题行程图像分析提升应用能力|

第四章 一次函数（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A．B．C．D． 2、下列函数中，是一次函数的是（ ） A. B. C. y＝5x2＋x D. y＝−8 3、若一次函数的函数值随的增大而减小，则的值可以是（   ） A． B． C．0 D．3 4、某市马拉松赛开跑，甲、乙两选手的行程（千米）随时间（小时）变化的图象（全程）如图所示．下列说法中错误的是（    ） A．起跑后1小时内，甲在乙的前面 B．1小时时，两人都跑了20千米 C．甲比乙先到达终点 D．两人都跑了42千米 5、一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 6、对于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象不经过第三象限 C．随的增大而减小 D．图象可由直线向上平移2个单位长度得到 7、如图是一次函数的图象，则函数的图象大致为（    ） A．B．C． D． 8、关于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过第二、三、四象限 B．图象与x轴交于点 C．点在函数图象上 D．点和在函数的图象上，若，则 9、若直线与直线平行，且与x轴交于点，则该直线的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 10、某物流公司引进A，B两种机器人用来搬运货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时．A种机器人于某日0时开始搬运，1小时后，B种机器人也开始搬运．如图，线段OG表示A种机器人的搬运量yA（千克）与时间x（时）的函数图象，线段EF表示B种机器人的搬运量yB（千克）与时间x（时）的函数图象．根据图象提供的信息，下列说法：①A型机器人每小时搬运60千克；②B型机器人每小时搬运90千克；③A型机器人连续搬运5小时后的搬运量是G点的纵坐标m的值，且m＝300千克；④如果A，B两种机器人各连续搬运5小时，那么B种机器人比A种机器人多搬运了240千克；其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①② 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、当k＞0时，一次函数y=kx+3k的图象上不经过第_______象限． 12、将直线向上平移3个单位长度后经过点，则m的值为 ． 13、已知点，都在直线上，则与的大小关系为 ． 14、檀香具有镇静安神、调理脾胃等功效，已知某品牌檀香线每支长，每分钟燃烧的长度是，檀香线剩余长度与燃烧时间x（分钟）之间的关系为 （不需要写出自变量的取值范围）. 15、在锅中倒入了一些油，用煤气灶均匀加热，每隔20秒测一次油温，得到下表： 时间x（秒） 0 20 40 60 … 油温y（℃） 10 50 90 130 … 加热110秒时，油刚好沸腾了，估计这种油沸点的温度为_____℃． 16、如图，在如图1矩形中，动点P从B点出发，沿，，运动至点A停止，设P点运动的路程为x，的面积y，且x与y的关系如图2所示，则矩形的面积是 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-20，每题8分,21-22，每题10分， 23-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、已知y与x成正比例函数，当x=1时，y=2.求： (1)求y与x之间的函数关系式； (2)求当x=－1时的函数值； (3)如果当y的取值范围是-4≤y≤6，求x的取值范围. 18、已知一次函数，设图象与x轴、y轴的交点于点A，点B． （1）求点A与点B的坐标，并画出函数图象； （2）求△AOB的面积； 19、已知一函数的图像与坐标轴围成的三角形的面积为8，求此一函数表达式． 20、某省疾控中心将一批10万剂疫苗运往A，B两城市，根据预算，运往A城的费用为800元/万剂，运往B城的费用为600元/万剂．结合A城的疫苗预约情况，A城的需求量不低于4万剂，设运输这批10万剂疫苗的总费用为y（元），运往A城x（万剂）． （1）求y与x的函数关系式； （2）在满足A城市最低需求量的情况下，求运输费用最少的方案，最少费用是多少？ 21、如图，直线交轴和轴于点和点，点在轴上，连接． (1)求点和点的坐标； (2)若点是直线上一点，若的面积为3，求点的坐标； 22、甲、乙同学周末相约去爬山，山脚到山顶的路程为720米，由于乙同学因事迟到，等他到达山脚时，甲同学已爬到距离山脚120米的位置，接着两人均以匀速爬山，乙同学在12分钟时停下休息，然后继续按原来的速度爬山，结果两人同时到达山顶．甲、乙同学距离山脚的路程y（米）和乙同学的爬山时间x（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）甲同学的爬山速度是 　　 米/分，乙同学的爬山速度是 　　 米/分； （2）求线段MN的函数关系式； （3）乙同学休息结束后，经过几分钟与甲同学之间恰好相距90米？ 23、小赵根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程． (1)下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … m … 写出表中m的值：___________． (2)如图，在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (3)小赵结合该函数图象，解决了以下问题： ①对于图象上两点，，若，则___________（填“”，“”或“”）； ②对于函数，当时，y的取值范围是___________； ③写出由函数的图象得到的图象的平移方式． 24、如图1，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线与x轴、y轴分别交于D，C两点，并与直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)如图2，若P为直线上一动点，的面积，求点P的坐标； (3)如图3，直线上一点Q位于第三象限，以为斜边向右侧作等腰直角，直角顶点H恰好落在x轴上，请直接写出Q点的坐标． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 一次函数（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【详解】解：根据函数的定义，对任意的一个都存在唯一的与之对应，而B、C、D都是一对多，只有A是对任意的一个都存在唯一的与之对应． 2、下列函数中，是一次函数的是（ ） A. B. C. y＝5x2＋x D. y＝−8 【答案】B 【详解】是反比例函数，故A错误； 是一次函数，也是正比例函数，故B正确； y＝5x2＋x，是二次函数，故C错误； y＝−8不是一次函数，故D错误； 3、若一次函数的函数值随的增大而减小，则的值可以是（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【详解】解：∵一次函数的函数值y随着x的增大而减小， ∴，解得，即A选项符合题意． 4、某市马拉松赛开跑，甲、乙两选手的行程（千米）随时间（小时）变化的图象（全程）如图所示．下列说法中错误的是（    ） A．起跑后1小时内，甲在乙的前面 B．1小时时，两人都跑了20千米 C．甲比乙先到达终点 D．两人都跑了42千米 【答案】C 【详解】解：由图象可得，起跑后1小时内，甲在乙的前面，故A说法正确，不符合题意； 1小时时，两人都跑了20千米，故B说法正确，不符合题意； 乙比甲先到达终点，故C说法错误，符合题意； 两人都跑了42千米，故D说法正确，不符合题意； 5、一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】B 【详解】解：对于一次函数， ，， 函数图象经过第一、二、四象限， 6、对于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象不经过第三象限 C．随的增大而减小 D．图象可由直线向上平移2个单位长度得到 【答案】D 【详解】解：∵， 当时，， ∴图象过点，故A不符合题意； ∵，， ∴图象经过第一、二，三象限，y随着x的增大而增大，故B，C不符合题意； 图象可由直线向上平移2个单位长度得到，故D符合题意； 7、如图是一次函数的图象，则函数的图象大致为（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【详解】解：由一次函数的图象可得：，， ∴， ∴函数的图象经过一、二、三象限，如图： ， 8、关于一次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过第二、三、四象限 B．图象与x轴交于点 C．点在函数图象上 D．点和在函数的图象上，若，则 【答案】C 【详解】A、因为，，所以一次函数的图象经过第一、二、四象限，所以选项A错误，不符合题意； B、令，则，解得，所以图象与x轴交于点，所以选项B错误，不符合题意； C、当时，，所以点在函数图象上，所以选项C正确，符合题意； D、因为，，所以y随着x的增大而减小，若点和在函数的图象上，当，则，所以选项D错误，不符合题意． 9、若直线与直线平行，且与x轴交于点，则该直线的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵直线y=kx+b与直线y=-2x+2平行， ∴ k=-2， ∵直线与x轴相交于点M(4，0)， ∴把点M(4，0)代入得：-8+b=0， 解得：b=8， ∴直线的函数关系式为y=-2x +8， 10、某物流公司引进A，B两种机器人用来搬运货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时．A种机器人于某日0时开始搬运，1小时后，B种机器人也开始搬运．如图，线段OG表示A种机器人的搬运量yA（千克）与时间x（时）的函数图象，线段EF表示B种机器人的搬运量yB（千克）与时间x（时）的函数图象．根据图象提供的信息，下列说法：①A型机器人每小时搬运60千克；②B型机器人每小时搬运90千克；③A型机器人连续搬运5小时后的搬运量是G点的纵坐标m的值，且m＝300千克；④如果A，B两种机器人各连续搬运5小时，那么B种机器人比A种机器人多搬运了240千克；其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①② 【答案】D 【解答】解：A型机器人每小时搬运180÷3＝60（千克）， ∴①正确，符合题意； B型机器人每小时搬运180÷（3﹣1）＝90（千克）， ∴②正确，符合题意； A型机器人连续搬运4小时后的搬运量是G点的纵坐标m的值，且m＝240千克， ∴③不正确，不符合题意； 如果A，B两种机器人各连续搬运5小时，那么B种机器人比A种机器人多搬运了（90﹣60）×5＝150（千克）， ∴④不正确，不符合题意． 综上，①②正确． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、当k＞0时，一次函数y=kx+3k的图象上不经过第_______象限． 【答案】四 【详解】∵k>0， ∴一次函数y=kx的图象经过第一、三象限． 又∵3k>0时， ∴一次函数y=kx+3k的图象与y轴交于正半轴． 综上所述，该一次函数图象经过第一、二、三象限， 即不经过第四象限． 12、将直线向上平移3个单位长度后经过点，则m的值为 ． 【答案】5 【详解】解：∵直线向上平移3个单位长度， ∴平移后的直线解析式为， ∵直线经过点， ∴； 故答案为：5． 13、已知点，都在直线上，则与的大小关系为 ． 【答案】 【详解】解：点，都在直线上， ，． ， ． 故答案为： 14、檀香具有镇静安神、调理脾胃等功效，已知某品牌檀香线每支长，每分钟燃烧的长度是，檀香线剩余长度与燃烧时间x（分钟）之间的关系为 （不需要写出自变量的取值范围）. 【答案】 【详解】解：∵每分钟燃烧的长度是，燃烧时间x分， ∴燃烧的长度为， ∴檀香线剩余长度与燃烧时间x（分钟）之间的关系为：， 故答案为：． 15、在锅中倒入了一些油，用煤气灶均匀加热，每隔20秒测一次油温，得到下表： 时间x（秒） 0 20 40 60 … 油温y（℃） 10 50 90 130 … 加热110秒时，油刚好沸腾了，估计这种油沸点的温度为_____℃． 【答案】230 【详解】解：由表格中的数据可得，每20秒钟，油温升高40℃， 则y＝10+（40÷20）t＝10+2t， 当t＝110时，y＝10+2×110＝10+220＝230， 故答案为：230． 16、如图，在如图1矩形中，动点P从B点出发，沿，，运动至点A停止，设P点运动的路程为x，的面积y，且x与y的关系如图2所示，则矩形的面积是 ． 【答案】20 【详解】解：结合图形可以知道，P点在上，的面积为y增大， 当x在4-9之间时的面积不变，得出，， ∴矩形的面积为：． 故答案为：20． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-20，每题8分,21-22，每题10分， 23-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、已知y与x成正比例函数，当x=1时，y=2.求： (1)求y与x之间的函数关系式； (2)求当x=－1时的函数值； (3)如果当y的取值范围是-4≤y≤6，求x的取值范围. 【答案】（1） ； （2） ；（3）-2≤x≤3 【详解】解：（1）∵y与x成正比例函数 ∴设(k≠0) ∵当x=1时，y=2， ∴，即=2. ∴y与x之间的函数关系式： （2）∵ ∴当x=－1，2（-1） （3）∵，y的取值范围是-4≤y≤6 ∴当y=-4时，x=-4÷2=-2 当y=6时，x=6÷2=3 ∵=2 ∴函数值随的增大而增大 ∴x的取值范围是：-2≤x≤3 18、已知一次函数，设图象与x轴、y轴的交点于点A，点B． （1）求点A与点B的坐标，并画出函数图象； （2）求△AOB的面积； 【答案】（1）点A（3，0），点B（0，﹣4），图像见详解；（2）6 【详解】解：（1）令x＝0，则y＝﹣4 令y＝0则x＝3 所以点A（3，0），点B坐标（0，﹣4）． 图象如图所示： （2）S△AOB＝•BO•OA＝×3×4＝6． 19、已知一函数的图像与坐标轴围成的三角形的面积为8，求此一函数表达式． 【答案】或． 【详解】解：设函数与x、y轴相交于A(x，0)，B(0，y)， 把B点代入得y=4，则B(0，4)， 把A点代入得x=-，A(，0)， ∵围成三角形的面积为8， ∴， 解得， ∴此函数表达式为或． 20、某省疾控中心将一批10万剂疫苗运往A，B两城市，根据预算，运往A城的费用为800元/万剂，运往B城的费用为600元/万剂．结合A城的疫苗预约情况，A城的需求量不低于4万剂，设运输这批10万剂疫苗的总费用为y（元），运往A城x（万剂）． （1）求y与x的函数关系式； （2）在满足A城市最低需求量的情况下，求运输费用最少的方案，最少费用是多少？ 【答案】（1） （2）运往A城4万剂，运往B城6万剂，最低费用是6800元． 【小问1详解】 解：设运往A城x万剂，运往B城万剂， 依据题意可得 答：运输这批10万剂疫苗的费用y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 根据A城的疫苗预约情况，A城的需求量不低于4万剂，可得 因为，所以y随着x的增大而增大， 所以，当时，y取最小值，（元） 答：在满足A城市需求量的情况下，费用最低的调运方案是：运往A城4万剂，运往B城6万剂，最低费用是6800元． 21、如图，直线交轴和轴于点和点，点在轴上，连接． (1)求点和点的坐标； (2)若点是直线上一点，若的面积为3，求点的坐标； 【答案】(1)，； (2)或 【详解】（1）解：交轴和轴于点和点， 当时，则； 当时，解得， ，； （2）设点，如图，连接， 则，解得， 故点或； 22、甲、乙同学周末相约去爬山，山脚到山顶的路程为720米，由于乙同学因事迟到，等他到达山脚时，甲同学已爬到距离山脚120米的位置，接着两人均以匀速爬山，乙同学在12分钟时停下休息，然后继续按原来的速度爬山，结果两人同时到达山顶．甲、乙同学距离山脚的路程y（米）和乙同学的爬山时间x（分钟）之间的函数关系如图所示． （1）甲同学的爬山速度是 　　 米/分，乙同学的爬山速度是 　　 米/分； （2）求线段MN的函数关系式； （3）乙同学休息结束后，经过几分钟与甲同学之间恰好相距90米？ 【答案】（1）15，30； （2）y＝30x﹣480（28≤x≤40）； （3）6． 【详解】解：（1）甲同学的爬山速度是（720﹣120）÷40＝15（米/分钟），乙同学的爬山速度是360÷12＝30（米/分钟）． 故答案为：15，30． （2）设M（m，360）， 乙在爬山过程中所用时间为720÷30＝24（分钟）， 则12+40﹣m＝24， 解得m＝28， ∴M（28，360）， y＝360+30（x﹣28）＝30x﹣480， ∴线段MN的函数关系式y＝30x﹣480（28≤x≤40）． （3）当乙同学休息结束后，与甲同学之间恰好相距90米时，得120+15x﹣（30x﹣480）＝90， 解得x＝34， 34﹣28＝6（分钟）． 答：乙同学休息结束后，经过6分钟与甲同学之间恰好相距90米． 23、小赵根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程． (1)下表是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 … y … m … 写出表中m的值：___________． (2)如图，在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (3)小赵结合该函数图象，解决了以下问题： ①对于图象上两点，，若，则___________（填“”，“”或“”）； ②对于函数，当时，y的取值范围是___________； ③写出由函数的图象得到的图象的平移方式． 【答案】(1) 0 (2)见详解 (3)①；②；③向左平移1个单位，向下平移个单位 【详解】（1）解：当时，， ∴； 故答案为：0； （2）解：函数图象如图所示； ； （3）解：观察该函数图象： ①对于图象上两点，若，则； ②对于函数，当时，y的取值范围是； ③当时，，当时，， ∴函数的图象得到的图象的平移方式是向左平移1个单位，向下平移个单位． 故答案为：①；②；③向左平移1个单位，向下平移个单位． 24、如图1，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线与x轴、y轴分别交于D，C两点，并与直线相交于点． (1)求直线的解析式； (2)如图2，若P为直线上一动点，的面积，求点P的坐标； (3)如图3，直线上一点Q位于第三象限，以为斜边向右侧作等腰直角，直角顶点H恰好落在x轴上，请直接写出Q点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)或 (3)点的坐标为 【详解】（1）解：把点代入得， ， 把代入得， ， 直线的解析式为； （2）在中，令，则， ， 在中，令，则， ， ∴ 设， ， ， 或 解得或， 或； （3）在中，令，则， ， ， 设， 过Q作轴于， 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 点的坐标为． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $