1.4 第4课时 相似三角形的判定定理3 导学案 2026-2027学年湘教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦相似三角形的判定定理3，通过课前检测中直角三角形相似问题（运用已学“两角分别相等”判定）导入，新知探究以填空式证明搭建学习支架，衔接旧知与新知的逻辑脉络。 资料亮点在于“动脑筋”环节引导学生自主构建定理证明过程，培养推理能力，例题与习题分层设计，从基础判断到综合证明，助力学生提升应用意识，用数学思维与语言解决问题。

1.4 相似三角形的判定 第4课时 相似三角形的判定定理3 【学习目标】  1.使学生了解相似三角形的判定定理3. 2.会用相似三角形的判定定理3判定两三角形相似. 【课前检测】 如图，∠C=∠E=90°，AC=3，BC=4，AE=2，则AD= 【新知探究】 教师叙述：前面我们学习了判定两三角形相似的判定定理，大家想一想，还有没有其他的判定方法或定理呢？想掌握更多的判定定理吗？这节课我们就来探讨一下.  (一) 相似三角形的判定定理3的学习 动脑筋 已知△ABC，然后作一个△A'B'C'，使△ABC的各边与△A'B'C'的各边对应成比例，即满足△A'B'C'与△ABC 相似吗？为什么？ 证明：在△A'B'C'的边A'B'上取一点 D，使A'D = . 过点D作DE∥ . ，交A'C'于点 E. ∴△ ∴= 又∵A'D=AB，， ∴=== ∴== ∴A'E= ,DE= ∴△ ∴△ 通过上面的分析证明， 我们可得到相似三角形的判定定理3： . [几何语言] ∵ ∴ 【例题讲解】 1. 判断下图中的两个三角形是否相似，并说明理由. 【基础演练】 1.已知和的三边长，下列条件能判断它们相似的是（   ） A．，，；    ，， B．，，；    ，， C．，，；    ，， D．，，；    ，， 2.已知的三边之比为．在中，．当_______时，． 3.观察下列每组三角形，不一定相似的是（   ） A． B． C． D． 【综合提升】 4. 如图，在四边形中，，相交于点F，点E在上，且． 求证：(1)； (2)． 1.4 第4课时 相似三角形的判定定理3 参考答案与解析 课前检测 题目：如图，∠C=∠E=90°，AC=3，BC=4，AE=2，则AD= 。 解析： ∵∠C=∠E=90°，∠BAC=∠DAE ∴△ABC∽△ADE（两角分别相等，两三角形相似）。 Rt△ABC中，AB=√(AC²+BC²)=√(3²+4²)=5。 由相似对应边成比例：AB/AD = AC/AE，即 5/AD = 3/2，解得 AD=10/3。 答案：10/3。 新知探究 填空答案 在△A'B'C'的边A'B'上取一点 D，使A'D = AB。 过点D作DE∥B'C'，交A'C'于点 E。 ∴△A'DE ∽ △A'B'C' ∴ A'E/A'C' = A'D/A'B' = DE/B'C' 又∵A'D=AB，AB/A'B' = AC/A'C' = BC/B'C'， ∴ A'D/A'B' = AC/A'C'，A'D/A'B' = BC/B'C'，DE/B'C' = BC/B'C'。 ∴ A'E/A'C' = A'D/A'B' = AC/A'C'，DE/B'C' = A'D/A'B' = BC/B'C'。 ∴A'E=AC，DE=BC。 ∴△A'DE≌△ABC（SSS）。 ∴△ABC ∽ △A'B'C'。 相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似。 几何语言： ∵ AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C' ∴ △ABC ∽ △A'B'C' 例题讲解 1. 判断下图中的两个三角形是否相似，并说明理由。 △ABC三边 AC=3，BC=3.5，AB=4；△DFE三边 DF=1.8，DE=2.4，EF=2.1。 解： 把边长从小到大排序： △DFE：1.8，2.1，2.4 △ABC：3，3.5，4 比值：1.8/3=0.6，2.1/3.5=0.6，2.4/4=0.6 三组对应边比值相等。 ∴△DFE∽△ACB（三边成比例的两个三角形相似）。 结论：两个三角形相似。 基础演练 1.已知△ABC和△DEF的三边长，下列条件能判断它们相似的是（） 解析：解题方法：把两个三角形三边从小到大排序，计算三组对应边的比值，如果三组比值全部相等，则三角形相似，选出对应选项。 2.已知△ABC的三边之比为___。在△A₁B₁C₁中，___。当_______时，△ABC∽△A₁B₁C₁。 解析：利用三边对应成比例，代入已知边长求出未知边长，填写结果。 3.观察下列每组三角形，不一定相似的是（） 解析：三边成比例、两角对应相等，三角形一定相似；两边成比例但是夹角不相等，三角形不一定相似，据此选出答案。 综合提升 4.在四边形ABCD中，AC，BD相交于点F，点E在AC上，且∠1=∠2。 求证：(1)△ABE∽△ACD；(2) BE/CD = AB/AC。 证明(1)： ∵∠1=∠2， ∴∠1+∠EAF = ∠2+∠EAF，即∠BAE = ∠CAD。 又∵AB/AC = AE/AD（题干条件），两边对应成比例，夹角相等。 ∴△ABE ∽ △ACD（两边成比例且夹角相等，两个三角形相似）。 证明(2)： 由（1）△ABE∽△ACD，相似三角形对应边成比例， ∴ BE/CD = AB/AC。 学科网（北京）股份有限公司 $