4.2 指数函数（分层作业练题型）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 分层递进的指数函数同步练习，以核心素养为导向，构建“基础巩固-能力提升-高考衔接”的知识巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|指数函数概念、图像、单调性等基础知识点|基础题型（选择、填空）对应数学眼光，强化概念理解与图像识别| |B组|指数型复合函数、参数范围等综合应用|综合题型培养数学思维，提升推理与运算能力| |C组|奇偶性、对称性等抽象性质探究|探究题型发展创新意识，深化逻辑推理| |拓展|高考真题与新定义问题|高考题型链接数学语言，培养应用意识与实践能力|

分层作业 4.2 指数函数 参考答案 指数函数的概念题型01 1．D 2. ①④⑦ 3． 指数函数的解析式题型02 4.A 5．B 6． ； 指数函数的图像题型03 7.D 8．A 9.BCD 利用指数函数的单调性比较指数幂的大小题型04 10.A 11．B 12.C 13. B 14.A 利用指数函数的单调性解指数不等式题型05 15．D 16.B 17. 利用指数函数的单调性求最值（值域）题型06 18. A 19.C 20. 21.【答案】(1)或；(2)， 【详解】（1）当 时，在 上单调递增，最大值为，最小值为 ， 由题意得，解得； 当 时，在 上单调递减，最大值为，最小值为， 由题意得，解得； 综上， 或 . （2）由得，即，则. 因为，且在上是增函数， 所以. 指数型函数图像过定点题型07 22.B 23．ACD 24. 25. 指数型函数的图像题型08 26．D 27．B 28. D 29． 指数型函数图像的应用题型09 30.C 31．C 指数型函数的定义域和值域题型10 32. 33.【答案】(1)定义域为，值域为；(2)定义域为，值域为；(3)定义域为，值域为. 【详解】（1）应满足，，定义域为. ，，的值域为. （2）定义域为.，， 此函数的值域为. （3），，，定义域为. ，.又，. ， ，此函数的值域为. 指数型复合函数的值域（最值）题型11 33. C 35．B 36.D 37.C 38．【答案】(1)定义域为，值域且；(2)定义域为R，值域；(3)定义域为，值域；(4)定义域为R，值域 【详解】（1）要使函数有意义，需，即，故所求函数的定义域为． 可知，所以， 因为，所以函数的值域为且. （2）可知定义域为R， 因为， 所以，所以函数的值域为. （3）要使函数有意义，应满足，即，所以函数的定义域为， 设，则， 则，故所求函数的值域为． （4）可知定义域为R. 因为， 因为，所以，得， 所以函数的值域为． 根据指数型复合函数的单调性求参数的范围题型12 39.A 40．C 41.2 指数型函数的奇偶性题型13 42. C 43.C 44.C 45．A 指数型函数的对称性题型15 46.5 47.【答案】(1)1；(2)1；(3) 【详解】（1） ； （2）； （3）设 则， 所以， 由（2）知， 所以. 1． D 2．A 3．A 4．D 5．D 6．D 7．A 8．B 9.ABD 10. AB 11.ABD 12. 13.5 14. 15. 【答案】(1)2；(2)①；②6；(3)函数图象为： 值域为，单调递增区间为，单调递减区间为 【详解】（1）由题意，得， 而且，则. （2）①由（1）知，， 则，即. ②由，解得. （3）由（1）知，， 则函数的图象为： 由图可知，函数在上的值域为， 单调递增区间为，单调递减区间为. 16.【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）解：因为是定义在上的奇函数，所以． 当时，， 当时，，则， 则． 故； （2）当时，，则，， 即当时，． 因为是定义在上的奇函数，所以当时，． 又，所以的值域为． 17.【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）当时，， 则， ∴当即时，． （2）当时，则在上为增函数， 故的值域为，不符合条件； ∴，此时在上为减函数， 故， 由题意得，得，又， 解得，即实数的取值范围为． 18.【答案】(1)，奇函数；(2) 【详解】（1）由， 令，有，得， 令，则， 因为不恒为0，定义域为，所以， 则在上为奇函数. （2）因为，所以， 所以， 因为函数图象上不存在两点P，Q，使得PQ轴. 所以函数在定义域上严格单调， 下面讨论单调性：令，则t在上是增函数，且t＞0. 令， ①当，即或时， 若，在上单调递减， 则在上单调递减，符合； 若，在上单调递增， 则在上单调递增，符合； ②若时， 由对勾函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 不符合题意； 综上：a的取值范围为 19.【答案】(1)为“位差奇函数”，不是“位差奇函数”，理由： 为“位差奇函数”，不是“位差奇函数”，理由如下： 由，得 ， 函数为奇函数， 对于任意m有为位差奇函数， 又，设， 此时，若为奇函数， 则恒成立，矛盾， 不存在m有为“位差奇函数”； (2) ①证明：由已知，， 因为为“位差奇函数”，所以存在实数m， 使得为奇函数， 即在R上恒成立； 由 恒成立， 因为， 当且仅当，即时取等号， 所以，即， 因为，所以； ②由①知，，则不等式化为： ，则， 因为 ， 令，则，， 故当时，取到最小值，所以， 故a的取值范围为. ． 1.B 2．C 3.C 4. BC 5.（答案不唯一） 6. 7. 【详解】(1)令， 定义域为关于原点对称，又， 所以是奇函数， 所以函数的图象关于点成中心对称图形； (2)（i）由推论知是奇函数，则， 即，即， 令，则，即； （ii）因为函数的图象过点， 所以，解得，则， 因为，所以， ， 当且仅当，即时，等号成立，又，则， 因为， 所以， 所以对任意非零实数都成立， 即为对任意非零实数都成立， 而，所以，则的取值范围是. 1.A 2．D 3. C 4.A 5. D 6. D 7.D 8. C 9.【详解】（1）没有，理由如下： 例如当时，显然成立， ，根据指数函数的单调性可知， 所以有，这与“性质”矛盾，故函数不具有“性质”； （2）因为函数具有“性质”，所以取，有， 于是有， 当时，由， 当时，由， 若，若，则有， 取， 此时，但是，不符合“性质”，所以不符合题意， 故，此时， 若时，则， 由， 若时，则， 由， 因此， 综上所述：当且仅当时，满足条件； (3)证明：充分性：若具有“性质”，则是偶函数. 若存在，，不妨设， 记，即， 因为函数的值域为， 所以， 若，则有， 若，则有， 故对任意，，这与的值域为矛盾， 所以不成立，则有，因此函数是偶函数； 必要性：若是偶函数，则具有“性质”. 当时，因为在上是严格增函数， 所以， 又因为函数是偶函数， 所以由，因此具有“性质”. 所以是偶函数的充要条件是：具有“性质”. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.2 指数函数 说明：目录为超链接形式，ABC三组为必做内容，拓展部分为选做。 目 录 A组 巩固过关 题型01 指数函数的概念 题型02 指数函数的解析式 题型03 指数函数的图像 题型04 利用指数函数的单调性比较指数幂的大小（重点） 题型05 利用指数函数的单调性解指数不等式（重点） 题型06 利用指数函数的单调性求最值（值域） 题型07 指数型函数过定点（常考点） 题型08 指数型函数的图像 题型09 指数型函数图像的应用 题型10 指数型函数的定义域和值域 题型11 指数型复合函数的值域（重点） 题型12 根据指数型复合函数的单调性求参数范围（常考点） 题型13 指数型函数的奇偶性（常考点） 题型14 指数型函数的对称性 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 指数函数的概念题型01 1．下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由指数函数的形式为且，注意指数式前的系数为1， 由，A不满足要求， 由中前有负号，B不满足要求， 由中前系数不为1，C不满足要求， 而中且指数式的系数为1，D满足. 2．下列函数是指数函数的有______（填序号）. ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦为常数，且. 【答案】①④⑦ 【详解】因为形如且的函数称为指数函数， 所以所给的7个函数中，只有①④⑦是指数函数. 3．（25-26高一上·上海杨浦·期末）若函数 是指数函数，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】因为函数 是指数函数， 所以有，且， 所以的取值范围是. 指数函数的解析式题型02 4．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 【答案】A 【详解】因为函数是指数函数，所以且， 即且，解得. 故选：A. 5．若函数是指数函数，求实数的值（    ） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】B 【详解】函数是指数函数，可得，解得． 6．若指数函数的图象经过点，则______，______． 【答案】 ； 【详解】由题知，即，，，. 指数函数的图像题型03 7．（2026高三·全国·专题练习）函数且的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，则函数需向下平移个单位，不过点，所以排除A，当时，有，所以排除B，当时，有，所以排除C，故选D. 8．（25-26高一上·广东惠州·期中）指数函数①；②满足不等式，则它们的图象是（   ）. A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】已知，因此和都是增函数（排除选项 C、D，因为 C、D 是减函数）； 由于，的增长速度比更快， 因此在时，的图象在的上方（对应选项 A中 “①在②上方”）. 故选：A 9．（多选）（24-25高一上·四川成都·阶段检测）当时，函数和的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A选项，由一次函数的图象知，，， 由指数函数的图象知，函数为减函数，则， 若，则，满足题意； 对于B选项，由一次函数的图象可知，，， 由指数函数的图象知，函数为减函数，则， 若，则，矛盾； 对于C选项，由一次函数的图象可知，，， 由指数函数的图象知，函数为增函数，则， 若，则，矛盾； 对于D选项，由一次函数的图象可知，，， 由指数函数的图象知，函数为减函数，则， 若，则，矛盾. 故选：BCD. 利用指数函数的单调性比较指数幂的大小题型04 10．已知，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题，，函数在上是减函数，所以. 11．（25-26高一下·陕西汉中·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于在R上单调递减，故，即， 由于在上单调递增，故，即， 综上， 12．（2026·重庆北碚·模拟预测）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】构造指数函数，底数，所以单调递减，即； ，即. 13．（25-26高三下·湖北随州·阶段检测）设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 【答案】B 【详解】，由幂函数在上单调递增，得，即；由指数函数在上是单调递减，得，即； . 14．（26-27高一上·浙江·开学考试）若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】指数函数的底数，故该函数在R上单调递减，因为，所以； 幂函数的指数，故该函数在上单调递增，因为，所以； 综上，. 利用指数函数的单调性解指数不等式题型05 15．（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：D. 16．（25-26高一下·广东广州·期末）“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】“”，即得，解集为； “”，即得，解集为； 是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件 17．（24-25高一上·广东广州·期中）函数的定义域是__________． 【答案】 【详解】要使函数有意义，则，变形可得， 因为指数函数在上单调递增，则，解得， 故函数的定义域是. 利用指数函数的单调性求最值（值域）题型06 18．（25-26高一上·云南昭通·期中）已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数在上单调递增，则， 所以的值域为. 故选：A 19．当时，函数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为指数函数为增函数，所以函数在区间上单调递增， 则当时，取到最小值， 当时，取到最大值， 所以函数在区间上的取值范围为. 20．（25-26高一上·天津蓟州·阶段检测）已知函数，，则此函数的值域为__________ 【答案】 【详解】令，因为，所以， 因为函数在单调递减，且时，；时，， 所以函数的值域为， 21．已知函数. (1)若函数在区间上的最大值比最小值大，求的值； (2)若函数的图象过，比较与的大小. 【答案】(1)或；(2)， 【详解】（1）当 时，在 上单调递增，最大值为，最小值为 ， 由题意得，解得； 当 时，在 上单调递减，最大值为，最小值为， 由题意得，解得； 综上， 或 . （2）由得，即，则. 因为，且在上是增函数， 所以. 指数型函数图像过定点题型07 22．（25-26高一下·浙江宁波·开学考试）函数的图象一定过定点（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】易知函数恒过定点， 将向右平移1个单位，再向上平移2个单位，可得到函数， 因此该函数图象一定过定点. 23．（多选）（24-25高一上·山西阳泉·期末）已知函数恒过定点，则函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ACD 【详解】时，，所以恒过定点，即， 代入得，的图像经过第一、三、四象限. 24．（25-26高一下·上海·阶段检测）函数且的图像经过一个定点，这个定点的坐标是_________． 【答案】 【详解】令，解得， 将代入函数，得， 故函数恒过定点． 25．（24-25高一上·四川泸州·阶段检测）若函数的图象恒过定点，则的取值范围是_________. 【答案】 【详解】因为函数的图象恒过定点， 所以，解得，所以， 因为在上单调递增，所以，所以， 即的取值范围是. 指数型函数的图像题型08 26．（25-26高一上·江苏南京·期末）已知函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的图象是由指数函数向下平移而得到， 由图可知，解得． 故选：D. 27．（24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】先做出函数的图象，保留轴右边的图象不变，并将轴右边的图象对称到轴左边，可得的图象，再将的图象向左平移1个单位，可得的图象，如下图：   . 故选：B 28．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【详解】由函数过原点可知，即可得，即； 又函数定义域为，且满足，可知函数为偶函数， 当时，趋近于0，所以函数趋近于, 因此可得，所以； 即. 故选：D 29．（25-26高一上·上海宝山·阶段检测）函数的图像不经过第二象限，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】因为在定义域R上单调递增， 又的图像不经过第二象限， 所以当时，解得， 所以实数的取值范围为. 指数型函数图像的应用题型09 30．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）若直线与函数的图象有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知函数的图象如下图所示： 如图与函数的图象有且仅有两个交点， 所以. 31．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，直线与函数的图象有两个公共点， 当时，的图象如图（1）所示，可得，解得； 当时，的图象如图（2）所示，可得，解得， 因为，此时不存在实数， 综上可得，实数a的取值范围为． 故选：C.      指数型函数的定义域和值域题型10 32．（2026·广西崇左·一模）函数的值域为______. 【答案】 【详解】因为，所以，所以，故. 33．求下列函数的定义域和值域： (1)；(2)；(3)y＝. 【答案】(1)定义域为，值域为；(2)定义域为，值域为；(3)定义域为，值域为. 【详解】（1）应满足，，定义域为. ，，的值域为. （2）定义域为.，， 此函数的值域为. （3），，，定义域为. ，.又，. ， ，此函数的值域为. 指数型复合函数的值域（最值）题型11 34．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 又函数是增函数，所以， 则所求函数的值域为． 35．（25-26高一上·四川凉山·期末）函数的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】令,通过配方可知,当时，取得最大值1， 又函数，由指数函数的单调性可知当取得最大值时，取得最大值为2. 故选：B. 36．（25-26高一下·安徽安庆·开学考试）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为R，，当且仅当时取等号， 又函数在上单调递减，因此， 所以函数的值域是. 37．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数的定义域是A，则函数的最大值是（    ） A． B． C．0 D．8 【答案】C 【详解】由函数有意义，则满足，即， 解得，即函数的定义域为，即， 又由函数， 令，可得且， 因为函数的图像开口向上，且对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又由，所以函数的最大值为，即函数的最大值为. 故选：C. 38．求下列函数的定义域和值域； (1)；(2)；(3)；(4) 【答案】(1)定义域为，值域且；(2)定义域为R，值域；(3)定义域为，值域；(4)定义域为R，值域 【详解】（1）要使函数有意义，需，即，故所求函数的定义域为． 可知，所以， 因为，所以函数的值域为且. （2）可知定义域为R， 因为， 所以，所以函数的值域为. （3）要使函数有意义，应满足，即，所以函数的定义域为， 设，则， 则，故所求函数的值域为． （4）可知定义域为R. 因为， 因为，所以，得， 所以函数的值域为． 根据指数型复合函数的单调性求参数的范围题型12 39．（25-26高一下·陕西西安·开学考试）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，由于底数 ， 所以指数函数在上单调递减， 因此的单调性与的单调性相反， 要使在上单调递减， 需使在区间上单调递增， 二次函数开口向上，对称轴为， 要使在区间上单调递增， 需满足对称轴在区间的左侧， 所以． 40．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知可看作由和复合而成； 当时，函数单调递增，要使在上单调递增， 则需在上单调递增，因此需满足，解得， 结合得； 当时，函数单调递减，要使在上单调递增， 则需在上单调递减，因此需满足，解得，此时a不存在； 综合可知的取值范围为. 41．（25-26高一下·陕西汉中·期中）若函数的单调递增区间是，则______. 【答案】2 【详解】设， 因为函数的对称轴为，其单调递增区间为， 且函数为上增函数， 则依题意可得，解得. 指数型函数的奇偶性题型13 42．（25-26高一下·云南昭通·期末）已知函数为奇函数，则（    ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】C 【详解】函数的定义域为. 因为函数为奇函数，则，解得，此时， 又因为， 所以函数为奇函数，所以符合题意. 43．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知都是上的奇函数，，且当时，，则（   ） A．2 B．4 C．－2 D．－4 【答案】C 【详解】已知是定义在上的奇函数，满足， 即，解得，经检验符合题意， 已知是上的奇函数，因此满足，即， 当时，，所以， 因此，即. 44．已知函数为奇函数，则下列结论不正确的是（    ） A．的定义域为 B． C．的单调递减区间为 D．的值域为 【答案】C 【详解】对于A，由，解得，所以的定义域为，故A正确； 对于B，因为函数是定义域为的奇函数，所以， 即，解得， 当时，，， 则符合题意，所以B正确； 对于C，当时，，且在上递增，则在上递减， 所以在上递减，又是奇函数， 则的单调递减区间为和，故C错误， 对于D，由选项B可知，，当时，，则， 所以，又是奇函数，当时，， 所以的值域，故D正确． 45．（2026高三·全国·专题练习）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】设， 的定义域为， 且， 所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除D， 又， 当时，，，，，即，排除C， 在上单调递减，排除B． 指数型函数的对称性题型15 46．（26-27高一上·全国·课后作业）设，则______． 【答案】5 【详解】，，， 则，所以，原式. 47．已知函数. (1)求，的值； (2)求的值； (3)利用（2）的结论求的值. 【答案】(1)1；(2)1；(3) 【详解】（1） ； （2）； （3）设 则， 所以， 由（2）知， 所以. 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏常州·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的定义域为， 所以对于函数有，解得， 所以函数的定义域是. 故选：D. 2．（25-26高一上·陕西西安·期末）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，令， 由二次函数的性质可知，当时，二次函数在上单调递减， 在上单调递增，故， 又易知在上单调递减，故， 即函数的值域为. 故选：A. 3．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则的值是（    ） A． B．27 C． D．9 【答案】A 【详解】由函数的图象无限接近直线但又不与该直线相交，可得出， 又函数的图象过原点，则，可得， 因此. 故选：A 4．（25-26高一上·河北·期末）已知，且，若函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数在上单调递增，所以要使函数的值域为， 须满足函数在上单调递增，即， 且，解得， 则． 故选：D 5．（25-26高一上·云南昭通·期中）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减， 因此，解得，所以的取值范围是， 故选：D. 6．（2026·陕西·三模）已知函数，若正实数，满足，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，， 则，故是定义在上的奇函数， 由，得， 由为增函数，知是增函数， 所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值是. 7．（25-26高一下·贵州遵义·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，是单调递增函数，且； 当时，，是单调递增函数，且（时）， 所以是奇函数，且在上单调递增； 则，因为是奇函数，且在上单调递增，所以，解得. 8．（2026高一上·全国·专题练习）已知函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 设， ， 由，得， 又因为， 所以是上的奇函数，即， 又有， 因为是上的增函数，是上的增函数，所以是上的增函数； 则， 即，整理得：，解得：或， 所以实数的取值范围为，故选B． 二、多选题 9．（2025高一上·广东汕头·竞赛）下列选项正确的是（     ） A．函数是指数函数，则 B．指数函数（，且）的值域为 C．函数（，且）的图象可以由的图象向右平移一个单位长度得到 D．函数（，且）恒过定点 【答案】ABD 【详解】对于A，且，，则，A正确； 对于B，不论，还是，值域都为，B正确； 对于C，的图象向左平移一个单位长度得到的图象，C错误； 对于D，令，则，，所以函数（，且）恒过定点，D正确． 故选：. 10．（25-26高一上·浙江衢州·期末）已知实数x，y满足：，则下列不等式可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】设函数，设， 当时，直线与函数的图象交点的横坐标为，    由函数图象可知，，则，所以， 故A，B，C，D错误； 当时，直线与函数的图象交点的横坐标为，    由函数图象可知，，则，所以， 故A，B正确，C，D错误； 故选：AB. 11．（25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．的单调递增区间为 C．当时， D．的最小值为 【答案】ABD 【详解】定义域为， ，则为偶函数，故A正确； 当时，，令， 为增函数，在单调递减，在单调递增， 时，的单调递增区间为， 又为偶函数， 则函数在和单调递减，在和单调递增， 所以的单调递增区间为，故B正确； 当时，，且函数在单调递减， ，故C错误； 函数在和单调递减，在和单调递增， ，故D正确． 三、填空题 12．（25-26高一上·上海·期末）函数的定义域是__________. 【答案】 【详解】对于函数， 则，解得且， 所以函数的定义域为. 13．（25-26高一上·江西吉安·期末）已知函数，则的最大值为________. 【答案】 【详解】当时，， 故当时，取得最大值； 当时，， 由于时，， 所以 综上，函数的最大值为. 14．（25-26高一上·福建漳州·期末）若函数的值域为，则实数的取值范围是______. 【答案】 【详解】当时，的值域为， 当时，的值域为， 若使函数的值域为，则, 画出函数和在同一坐标系下的图象，如下图： 显然当和时，，当时，满足题意； 因此不等式的解集为. 4、 解答题 15．（25-26高一上·广西玉林·期中）已知函数（且）经过点． (1)求的值； (2)①求值；②若，求的值． (3)画出函数图象，直接写出该函数在上的值域及单调区间； 【答案】(1)2；(2)①；②6；(3)函数图象为： 值域为，单调递增区间为，单调递减区间为 【详解】（1）由题意，得， 而且，则. （2）①由（1）知，， 则，即. ②由，解得. （3）由（1）知，， 则函数的图象为： 由图可知，函数在上的值域为， 单调递增区间为，单调递减区间为. 16．（25-26高一上·四川成都·期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求的解析式； (2)求的值域． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）解：因为是定义在上的奇函数，所以． 当时，， 当时，，则， 则． 故； （2）当时，，则，， 即当时，． 因为是定义在上的奇函数，所以当时，． 又，所以的值域为． 17．（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知函数，其中且． (1)若，求的最小值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）当时，， 则， ∴当即时，． （2）当时，则在上为增函数， 故的值域为，不符合条件； ∴，此时在上为减函数， 故， 由题意得，得，又， 解得，即实数的取值范围为． 18．（25-26高一下·湖南邵阳·期中）已知定义在上的函数不恒为0，且. (1)求的值，并判断的奇偶性. (2)对于定义在上的偶函数，满足，若函数的图象上不存在两点P，Q使得PQ//x轴，求a的取值范围. 【答案】(1)，奇函数；(2) 【详解】（1）由， 令，有，得， 令，则， 因为不恒为0，定义域为，所以， 则在上为奇函数. （2）因为，所以， 所以， 因为函数图象上不存在两点P，Q，使得PQ轴. 所以函数在定义域上严格单调， 下面讨论单调性：令，则t在上是增函数，且t＞0. 令， ①当，即或时， 若，在上单调递减， 则在上单调递减，符合； 若，在上单调递增， 则在上单调递增，符合； ②若时， 由对勾函数的性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 不符合题意； 综上：a的取值范围为 19．（25-26高一下·湖南长沙·期中）对于定义在D上的函数，若存在实数m，使得为奇函数，则称函数为“位差奇函数”. (1)判断和是否是“位差奇函数”，并说明理由. (2)若，，且为“位差奇函数”. ①证明：； ②若，对于，，求a的取值范围. 【答案】(1)为“位差奇函数”，不是“位差奇函数”，理由： 为“位差奇函数”，不是“位差奇函数”，理由如下： 由，得 ， 函数为奇函数， 对于任意m有为位差奇函数， 又，设， 此时，若为奇函数， 则恒成立，矛盾， 不存在m有为“位差奇函数”； (2) ①证明：由已知，， 因为为“位差奇函数”，所以存在实数m， 使得为奇函数， 即在R上恒成立； 由 恒成立， 因为， 当且仅当，即时取等号， 所以，即， 因为，所以； ②由①知，，则不等式化为： ，则， 因为 ， 令，则，， 故当时，取到最小值，所以， 故a的取值范围为. 1.【新定义问题】（25-26高一下·广东广州·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．依据推广结论，给定函数，设其对称中心为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，若的对称中心为，则为奇函数，对定义域内任意均有， 即： 代入得： ， 对第二项分母变形得，因此第二项可化简为，原等式变为： ， 要使等式对任意恒成立，令，解得， 代入左边得： 因此，解得， 故. 2.【知识融合】（24-25高一上·广东深圳·期中）函数的图象恒过定点A，若点A坐标满足方程，且，则的最小值为（ ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】C 【详解】由题，令，可得，则， 所以函数图象恒过定点， 代入方程，可得，则， 因为， 所以， 当且仅当时，可得的最小值为， 3．【分类讨论】（25-26高一上·北京顺义·期中）已知函数，且在R上存在最值，则的取值范围是（　　） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】当且， ，在上单调递增，则， 若时，在上单调递减，则，此时，存在最大值； 若时，在上单调递增，则，此时没有最值； 当时，，此时，存在最小值； 当， ，在上单调递减，则， 在上单调递增，则，此时，存在最小值； 综上，或. 故选：C 4．【新定义问题】（多选）（25-26高一上·云南德宏·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有＂数学王子＂的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的＂高斯函数＂为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：．已知函数，则下列叙述中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．的值域是 D．在上是减函数 【答案】BC 【详解】对于A：因为，， 所以，则不是偶函数，故A错误； 对于B：函数的定义域为， 且，所以是奇函数，故B正确； 对于C：因为，所以，则，， 所以，即， 所以的值域为，故C正确； 对于D：因为，函数在上单调递增且， 又在上单调递增， 所以在R上是增函数，故D错误； 故选：BC 5.【数学抽象】（25-26高一上·江苏南通·期末）写出一个满足的函数解析式__________. 【答案】（答案不唯一） 【详解】由题意知， 当，时满足条件， 当，且时， 可得， 形如，或且均可. 故答案为：（答案不唯一） 6．【数学运算】（25-26高一上·安徽宿州·期末）记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是_____________. 【答案】 【详解】令，可得， 当时，；当时，，所以， 故在上的最小值为，即， 由， 令，可得，则，解得或， 当时，， 对于，，使得成立， 即在上的值域为值域的子集， 所以需要在上的值域是的子集， 所以，所以， 所以的取值范围是. 7．【新定义问题】（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.事实上该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)证明：函数的图象关于点成中心对称图形； (2)若函数的图象关于点成中心对称图形. （i）证明：； （ii）已知函数的图象过点，下面含有实数的不等式对任意非零实数都成立，求的取值范围. 【详解】(1)令， 定义域为关于原点对称，又， 所以是奇函数， 所以函数的图象关于点成中心对称图形； (2)（i）由推论知是奇函数，则， 即，即， 令，则，即； （ii）因为函数的图象过点， 所以，解得，则， 因为，所以， ， 当且仅当，即时，等号成立，又，则， 因为， 所以， 所以对任意非零实数都成立， 即为对任意非零实数都成立， 而，所以，则的取值范围是. 1．（2025·北京·高考真题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（   ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变） 【答案】A 【详解】因为，所以将函数的图象上所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象， 故选：A. 2．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】D 【详解】∵，∴， 当时，定义域上严格单调递减， 此时若，则一定有成立，故D正确，C错误； 当时，定义域上严格单调递增，要满足，需，即A、B错误. 故选：D 3．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 4．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故选：D. 6．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由在R上递增，则， 由在上递增，则. 所以. 故选：D 7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 8．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，故A错误，C正确； ，不是常数，故BD错误； 故选：C． 9．（2026·上海·高考真题）设是定义在上的函数.定义性质：若对任意，当时，，则称函数具有“性质”. (1)判断函数是否具有“性质”； (2)若分段函数具有“性质”，求所有满足条件的实数和的解； (3)已知的值域为，且在上是严格增函数，证明：是偶函数的充要条件是：具有“性质”. 【详解】（1）没有，理由如下： 例如当时，显然成立， ，根据指数函数的单调性可知， 所以有，这与“性质”矛盾，故函数不具有“性质”； （2）因为函数具有“性质”，所以取，有， 于是有， 当时，由， 当时，由， 若，若，则有， 取， 此时，但是，不符合“性质”，所以不符合题意， 故，此时， 若时，则， 由， 若时，则， 由， 因此， 综上所述：当且仅当时，满足条件； (3)证明：充分性：若具有“性质”，则是偶函数. 若存在，，不妨设， 记，即， 因为函数的值域为， 所以， 若，则有， 若，则有， 故对任意，，这与的值域为矛盾， 所以不成立，则有，因此函数是偶函数； 必要性：若是偶函数，则具有“性质”. 当时，因为在上是严格增函数， 所以， 又因为函数是偶函数， 所以由，因此具有“性质”. 所以是偶函数的充要条件是：具有“性质”. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 4.2 指数函数 说明：目录为超链接形式，ABC三组为必做内容，拓展部分为选做。 目 录 A组 巩固过关 题型01 指数函数的概念 题型02 指数函数的解析式 题型03 指数函数的图像 题型04 利用指数函数的单调性比较指数幂的大小（重点） 题型05 利用指数函数的单调性解指数不等式（重点） 题型06 利用指数函数的单调性求最值（值域） 题型07 指数型函数过定点（常考点） 题型08 指数型函数的图像 题型09 指数型函数图像的应用 题型10 指数型函数的定义域和值域 题型11 指数型复合函数的值域（重点） 题型12 根据指数型复合函数的单调性求参数范围（常考点） 题型13 指数型函数的奇偶性（常考点） 题型14 指数型函数的对称性 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 指数函数的概念题型01 1．下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数是指数函数的有______（填序号）. ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦为常数，且. 3．（25-26高一上·上海杨浦·期末）若函数 是指数函数，则的取值范围是__________. 指数函数的解析式题型02 4．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）函数是指数函数，则a的值为（   ） A． B．1 C． D．1或 5．若函数是指数函数，求实数的值（    ） A．1 B．2 C．0 D． 6．若指数函数的图象经过点，则______，______． 指数函数的图像题型03 7．（2026高三·全国·专题练习）函数且的图像可能是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·广东惠州·期中）指数函数①；②满足不等式，则它们的图象是（   ）. A．   B．   C．   D．   9．（多选）（24-25高一上·四川成都·阶段检测）当时，函数和的图象不可能是（   ） A． B． C． D． 利用指数函数的单调性比较指数幂的大小题型04 10．已知，则有（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一下·陕西汉中·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 12．（2026·重庆北碚·模拟预测）设，则（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高三下·湖北随州·阶段检测）设，则（    ） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a 14．（26-27高一上·浙江·开学考试）若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 利用指数函数的单调性解指数不等式题型05 15．（24-25高一上·吉林长春·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高一下·广东广州·期末）“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17．（24-25高一上·广东广州·期中）函数的定义域是__________． 利用指数函数的单调性求最值（值域）题型06 18．（25-26高一上·云南昭通·期中）已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 19．当时，函数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高一上·天津蓟州·阶段检测）已知函数，，则此函数的值域为__________ 21．已知函数. (1)若函数在区间上的最大值比最小值大，求的值； (2)若函数的图象过，比较与的大小. 指数型函数图像过定点题型07 22．（25-26高一下·浙江宁波·开学考试）函数的图象一定过定点（        ） A． B． C． D． 23．（多选）（24-25高一上·山西阳泉·期末）已知函数恒过定点，则函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 24．（25-26高一下·上海·阶段检测）函数且的图像经过一个定点，这个定点的坐标是_________． 25．（24-25高一上·四川泸州·阶段检测）若函数的图象恒过定点，则的取值范围是_________. 指数型函数的图像题型08 26．（25-26高一上·江苏南京·期末）已知函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 27．（24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）函数的图象大致为（   ） A．   B．   C．   D．   28．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交.则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 29．（25-26高一上·上海宝山·阶段检测）函数的图像不经过第二象限，则实数的取值范围是______. 指数型函数图像的应用题型09 30．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）若直线与函数的图象有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 指数型函数的定义域和值域题型10 32．（2026·广西崇左·一模）函数的值域为______. 33．求下列函数的定义域和值域： (1)；(2)；(3)y＝. 指数型复合函数的值域（最值）题型11 34．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 35．（25-26高一上·四川凉山·期末）函数的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 36．（25-26高一下·安徽安庆·开学考试）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 37．（25-26高一上·四川成都·期中）已知函数的定义域是A，则函数的最大值是（    ） A． B． C．0 D．8 38．求下列函数的定义域和值域； (1)；(2)；(3)；(4) 根据指数型复合函数的单调性求参数的范围题型12 39．（25-26高一下·陕西西安·开学考试）若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 40．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 41．（25-26高一下·陕西汉中·期中）若函数的单调递增区间是，则______. 指数型函数的奇偶性题型13 42．（25-26高一下·云南昭通·期末）已知函数为奇函数，则（    ） A．1 B．0 C． D．2 43．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知都是上的奇函数，，且当时，，则（   ） A．2 B．4 C．－2 D．－4 44．已知函数为奇函数，则下列结论不正确的是（    ） A．的定义域为 B． C．的单调递减区间为 D．的值域为 45．（2026高三·全国·专题练习）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   指数型函数的对称性题型15 46．（26-27高一上·全国·课后作业）设，则______． 47．已知函数. (1)求，的值； (2)求的值； (3)利用（2）的结论求的值. 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏常州·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·陕西西安·期末）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则的值是（    ） A． B．27 C． D．9 4．（25-26高一上·河北·期末）已知，且，若函数的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·云南昭通·期中）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·陕西·三模）已知函数，若正实数，满足，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·贵州遵义·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．（2026高一上·全国·专题练习）已知函数，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（2025高一上·广东汕头·竞赛）下列选项正确的是（     ） A．函数是指数函数，则 B．指数函数（，且）的值域为 C．函数（，且）的图象可以由的图象向右平移一个单位长度得到 D．函数（，且）恒过定点 10．（25-26高一上·浙江衢州·期末）已知实数x，y满足：，则下列不等式可能成立的是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．的单调递增区间为 C．当时， D．的最小值为 12．（25-26高一上·上海·期末）函数的定义域是__________. 13．（25-26高一上·江西吉安·期末）已知函数，则的最大值为________. 14．（25-26高一上·福建漳州·期末）若函数的值域为，则实数的取值范围是______. 4、 解答题 15．（25-26高一上·广西玉林·期中）已知函数（且）经过点． (1)求的值； (2)①求值；②若，求的值． (3)画出函数图象，直接写出该函数在上的值域及单调区间； 16．（25-26高一上·四川成都·期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求的解析式； (2)求的值域． 17．（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知函数，其中且． (1)若，求的最小值； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 18．（25-26高一下·湖南邵阳·期中）已知定义在上的函数不恒为0，且. (1)求的值，并判断的奇偶性. (2)对于定义在上的偶函数，满足，若函数的图象上不存在两点P，Q使得PQ//x轴，求a的取值范围. 19．（25-26高一下·湖南长沙·期中）对于定义在D上的函数，若存在实数m，使得为奇函数，则称函数为“位差奇函数”. (1)判断和是否是“位差奇函数”，并说明理由. (2)若，，且为“位差奇函数”. ①证明：； ②若，对于，，求a的取值范围. 1.【新定义问题】（25-26高一下·广东广州·期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．依据推广结论，给定函数，设其对称中心为，则（    ） A． B． C． D． 2.【知识融合】（24-25高一上·广东深圳·期中）函数的图象恒过定点A，若点A坐标满足方程，且，则的最小值为（ ） A．4 B．6 C． D．8 3．【分类讨论】（25-26高一上·北京顺义·期中）已知函数，且在R上存在最值，则的取值范围是（　　） A． B．或 C．或 D．或 4．【新定义问题】（多选）（25-26高一上·云南德宏·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有＂数学王子＂的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的＂高斯函数＂为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：．已知函数，则下列叙述中正确的是（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．的值域是 D．在上是减函数 5.【数学抽象】（25-26高一上·江苏南通·期末）写出一个满足的函数解析式__________. 6．【数学运算】（25-26高一上·安徽宿州·期末）记表示，二者中较大的一个，函数，，若，，使得成立，则的取值范围是_____________. 7．【新定义问题】（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.事实上该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)证明：函数的图象关于点成中心对称图形； (2)若函数的图象关于点成中心对称图形. （i）证明：； （ii）已知函数的图象过点，下面含有实数的不等式对任意非零实数都成立，求的取值范围. 1．（2025·北京·高考真题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（   ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变） 2．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 3．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 6．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 9．（2026·上海·高考真题）设是定义在上的函数.定义性质：若对任意，当时，，则称函数具有“性质”. (1)判断函数是否具有“性质”； (2)若分段函数具有“性质”，求所有满足条件的实数和的解； (3)已知的值域为，且在上是严格增函数，证明：是偶函数的充要条件是：具有“性质”. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $