4.1～4.2指数与指数函数综合课后同步练习（基础版）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本练习为指数与指数函数综合基础版同步练，分层设计梯度合理，覆盖概念理解、运算技能到综合应用，适配新授课知识内化与基础巩固需求，体现数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|指数运算、函数概念|单选为主（1-8题），直接考查定义与基本运算，培养抽象能力| |中档应用|性质辨析、简单综合|多选（9-11题）与填空（12-14题），涉及奇偶性、单调性辨析，提升推理意识| |综合提升|运算综合、实际应用|解答题（15-16题），如指数模型应用（第5题）及单调性证明（第16题），发展模型意识与逻辑推理|

4.1~4.2指数与指数函数综合课后同步练习（基础版） 1．（25-26高一上·浙江湖州·阶段检测）若，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二次根式的性质求解. 【详解】，，， . 故选：B. 2．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知正数满足，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】将给定式子两边平方后，即可得解. 【详解】正数满足，则， 可得． 故选：A． 3．（25-26高一下·陕西汉中·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和幂函数单调性可比较出大小 【详解】由于在R上单调递减，故，即， 由于在上单调递增，故，即， 综上， 4．（2026·江苏徐州·模拟预测）若函数（）是奇函数，则（    ） A． B．1 C．3 D．9 【答案】D 【分析】先求得定义域，结合奇函数的性质取特殊求解即可，注意检验． 【详解】由题知，，定义域为， 由是奇函数得（负根舍去）， 则，，符合题意． 故. 5．（25-26高三上·北京西城·阶段检测）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖．假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量．当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍．若，则（   ） A．1000 B．800 C．600 D．400 【答案】B 【分析】根据题目所给模型，通过指数的计算得到结果. 【详解】由题意可知，即，∴， 又∵，即，∴， . 故选：B. 6．（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）若是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据分段函数的单调递增所满足的三个条件计算可得. 【详解】因为分段函数在上单调递增，需要同时满足三个条件： ①当时，指数函数单调递增，所以底数需满足； ②当时，一次函数单调递增：所以斜率需满足，解得； ③在分界点处，左段的函数值不能超过右段在处的起始值， 即当时： ，化简得，解得. 联立三个条件，解得，即. 因此实数的取值范围为. 7．（2026·湖南张家界·模拟预测）已知函数的图象经过点，.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由题目条件结合指数幂运算律可得答案. 【详解】由题可得，，. 两式相乘可得，又，可得，结合，可得. 8．（25-26高二下·浙江金华·期末）已知实数，满足，，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】C 【分析】假设，则，即，而在上单调递减，则，同理，从而得出矛盾. 【详解】假设，则，即， 而在上单调递减，又，故， 同理，即， 而在上单调递减，又，故． 综上，假设不成立，故. 9．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】运用分数指数幂与根式转化公式，结合指数幂性质求解即可. 【详解】A项错误，,而； B项正确，； C项正确，； D项正确，. 故选：BCD. 10．（2026·江苏南通·一模）（多选）已知正数满足，则的大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】设，将用表示后分情况讨论比较大小. 【详解】设，则， 当时，指数函数单调递增，因为，所以， 即； 当时，指数函数单调递减，因为，所以， 即； 故选：BD. 11．（2026高二下·浙江·学业考试）（多选）已知函数，下列说法正确的有（   ） A．在上单调递增 B．函数的图象关于点中心对称 C．当时， D．若，则 【答案】AC 【分析】由导数判断A项，由判断B项，利用函数的单调性可判断CD项． 【详解】对于A项，由已知，又函数为增函数， 所以函数为减函数，所以函数在上单调递增，故A项正确； 对于B项，，则函数的图象关于点中心对称，故B项错误； 对于C项，因为在上单调递增，所以当时，得，故C项正确； 对于D项，因为，所以， 当时，得， 因为在上单调递增，所以， 则,故D项错误． 12．（2026高一·全国·专题练习）函数（且）的图象必经过点________． 【答案】 【详解】由函数，令，解得，此时， 所以函数且的图象必经过点． 13．（25-26高一上·广东深圳·期中）_____． 【答案】 【分析】根据方根和分数指数幂运算性质进行计算即可. 【详解】原式 故答案为： 14．（2026高三·全国·专题练习）函数的递增区间是________________． 【答案】 【详解】因为是减函数，在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数的单调性，所以函数的递增区间是. 15．（25-26高一上·湖北荆州·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由指数的运算即可计算出结果； （2）将条件等式两边同时平方得到的值，再两边同时平方即可求出的值，代入代数式即可求得结果； （3）对条件等式各项同除，化简得到关于的二次方程，然后解二次方程求得的值. 【详解】（1）原式； （2）原方程两边同时平方得：，解得， 方程两边再平方得：，解得， 所以. （3）由可得，即， 又，令，则， 解得，即. 16．（25-26高一下·吉林长春·开学考试）已知函数为奇函数. (1)求实数a的值； (2)判断函数的单调性，并用函数单调性的定义证明： (3)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)函数在上单调递增，理由见解析 (3) 【分析】（1）对恒成立，可得的关系式，进而计算可求实数a的值； （2）利用单调性的定义可证函数在上单调递增； （3）利用函数的奇偶性和单调性可解不等式. 【详解】（1）函数的定义域为， 又为奇函数，所以对恒成立， 所以对恒成立，即， 所以，所以， 因为，所以； （2）函数在上单调递增，理由如下： 由（1）可得， ，且， 则 ， 因为，所以，所以， 又，所以， 即，所以， 所以函数在上单调递增. （3）由，得， 由（2）知函数在上单调递增，所以， 所以，所以，解得， 所以实数m的取值范围. 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1~4.2指数与指数函数综合课后同步练习（基础版） 1．（25-26高一上·浙江湖州·阶段检测）若，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知正数满足，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（25-26高一下·陕西汉中·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏徐州·模拟预测）若函数（）是奇函数，则（    ） A． B．1 C．3 D．9 5．（25-26高三上·北京西城·阶段检测）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖．假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量．当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍．若，则（   ） A．1000 B．800 C．600 D．400 6．（26-27高三上·湖北武汉·开学考试）若是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 7．（2026·湖南张家界·模拟预测）已知函数的图象经过点，.若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（25-26高二下·浙江金华·期末）已知实数，满足，，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．不确定 9．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·江苏南通·一模）（多选）已知正数满足，则的大小关系可能是（    ） A． B． C． D． 11．（2026高二下·浙江·学业考试）（多选）已知函数，下列说法正确的有（   ） A．在上单调递增 B．函数的图象关于点中心对称 C．当时， D．若，则 12．（2026高一·全国·专题练习）函数（且）的图象必经过点________． 13．（25-26高一上·广东深圳·期中）_____． 14．（2026高三·全国·专题练习）函数的递增区间是________________． 15．（25-26高一上·湖北荆州·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值. 16．（25-26高一下·吉林长春·开学考试）已知函数为奇函数. (1)求实数a的值； (2)判断函数的单调性，并用函数单调性的定义证明： (3)若，求实数m的取值范围. 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $