4.3 指数函数与对数函数的关系（题型专练）数学人教B版2019必修第二册

4.3 指数函数与对数函数的关系 题型一 反函数判断与确定 1．（24-25高二上·广东广州·期中）函数的反函数是（    ） A． B． C． D．（） 2．（23-24高一上·上海·阶段练习）下列命题组真命题的个数为（     ） ①存在反函数的函数一定是单调函数 ②偶函数存在反函数 ③奇函数必存在反函数 A．0 B．1 C．2 D．3 3．（23-24高一下·广东江门·阶段练习）若函数是函数（，且）的反函数，且满足，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·广东茂名·期末）若指数函数经过点，则它的反函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 题型二 根据反函数关系求函数值 1．（24-25高一上·山西大同·期末）已知函数，若函数是的反函数，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一上·广东潮州·期中）函数与互为反函数，且的图像过点，则（    ） A． B． C． D． 3．（19-20高一上·湖南长沙·期中）函数与指数函数（且）互为反函数，且过点，则（   ） A． B．0 C．1 D． 5.（24-25高一上·全国·课堂例题）若函数是函数的反函数，则的值为（    ） A．16 B．0 C．1 D．2 题型三 根据图象对称性求函数值 1．（24-25高一上·北京·阶段练习）若函数与的图像关于直线对称，则（    ） A． B． C． D．3 2．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数的图象与的图象关于直线对称，则（   ） A． B．10 C．12 D． 题型四 互为反函数图象的对称性 1．（24-25高一上·辽宁大连·期末）函数的图象与函数的图象（   ） A．关于直线对称 B．关于y轴对称 C．关于x轴对称 D．关于原点对称 2．（20-21高一上·北京昌平·期中）函数的反函数的图象是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·福建龙岩·阶段练习）已知函数是的反函数，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 题型五 反函数的定义域 1．（24-25高一上·全国·课前预习）函数的反函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，的反函数的定义域是（    ）． A． B． C． D． 题型六 根据反函数关系求参数 1．（22-23高一上·广西钦州·期末）若点在函数的图像上，点在的反函数图像上，则 . 2．（2025高三·全国·专题练习）设函数的反函数是它自身，则常数 ． 3．（2018·上海·高考真题）设常数R，函数，若的反函数的图像经过点，则 4．（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则当时， ． 题型七 反函数图象过定点问题 1．（24-25高一上·甘肃天水·期末）已知是函数（且）的反函数，则的图象经过的定点坐标为 ． 2．（24-25高一上·四川成都·期末）已知是函数（，且）的反函数，则的图象经过的定点坐标为 ． 题型八 简单的指数方程、对数方程 1．（23-24高一上·四川宜宾·阶段练习）已知函数，若，则（    ） A．16 B． C．16或 D．2或 2．（多选）（22-23高二下·湖北恩施·阶段练习）已知函数，若，则实数a的值可以是（    ） A．1 B． C．5 D． 3．（24-25高一上·上海·单元测试）解方程： (1)； (2)． 4．（23-24高一上·重庆长寿·期末）已知函数. (1)求函数定义域; (2)若函数，求实数的值. 5．（23-24高一上·山东威海·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求在上的解析式； (2)解方程. 题型一 反函数的单调性问题 1．（24-25高一上·云南昆明·期末）若函数，函数与函数图象关于对称，则的单调减区间是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·辽宁丹东·期末）已知函数与的图象关于直线对称，且，则函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·重庆·阶段练习）函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的单调递增区间为 . 题型二 函数、反函数综合问题 1．（23-24高一上·山东淄博·期中）给出下列命题， ①函数图象恒在轴的下方； ②将的图像经过先关于轴对称，再向右平移1个单位的变化后为的图像； ③若函数的值域为，则实数的取值范围是； ④函数的图像关于对称的函数解析式为.其中正确的命题是 2．（23-24高一上·云南昆明·期末）若的反函数为，且，则的最小值为 . 3.（2025高一上·全国·专题练习）函数与互为反函数，若．求函数的解析式，定义域，值域． 4．（24-25高一上·江西抚州·阶段练习）已知函数，函数与函数的图象关于直线对称. (1)求的解析式； (2)求函数在区间内的值域. 5．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）如图，对数函数的图象与一次函数的图象有A，B两个公共点，且B点的纵坐标为lg2.    (1)求一次函数的解析式. (2)求对数函数的解析式 (3)写出（2）中函数的反函数，并写出其定义域 6．（24-25高一上·辽宁盘锦·阶段练习）已知函数是函数的反函数． (1)写出函数的解析式；（无需证明） (2)设， ①写出函数的单调区间，并指明单调性；（无需证明） ②求在区间（其中）上的最小值和最大值． 7．（24-25高一上·黑龙江黑河·阶段练习）已知函数的图象与（且）的图象关于直线对称，且的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)若成立，求x的取值范围． 8．（24-25高一上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知是上的奇函数 (1)求的值； (2)求的反函数，并用表示； (3)对任意的解不等式. 1．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知实数x，y满足，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·浙江·期中）已知，则下列不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山西太原·开学考试）已知，，，，则 . 4．（23-24高一上·重庆·期末）已知指数函数的反函数为． (1)求函数的解析式； (2)已知函数，求不等式的解集． 5．（23-24高一上·辽宁大连·期末）已知函数． (1)若方程的两根为与，求的值； (2)设函数，若的最小值为1，求实数的值； (3)设函数，记为的反函数，设函数，当时，，求实数的取值范围． 6．（24-25高一上·海南·阶段练习）已知函数，. (1)解关于的不等式； (2)，，求实数的取值范围. 7．（22-23高一上·北京·期末）已知函数其中且. (1)求的单调区间； (2)判断并证明的奇偶性； (3)求函数的反函数； (4)求使的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3 指数函数与对数函数的关系 题型一 反函数判断与确定 1．（24-25高二上·广东广州·期中）函数的反函数是（    ） A． B． C． D．（） 【答案】A 【分析】把y看作常数，解方程求出，x，y互换，得到即可得解. 【详解】因为，所以，所以，即 x，y互换，得：，. 故选：A 2．（23-24高一上·上海·阶段练习）下列命题组真命题的个数为（     ） ①存在反函数的函数一定是单调函数 ②偶函数存在反函数 ③奇函数必存在反函数 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】取特例结合反函数定义和性质判断即可. 【详解】对①，取函数，显然存在反函数，但不单调，①错误； 对②，取偶函数函数，则，显然函数不存在反函数，②错误； 对③，取奇函数函数，当时有和与之对应， 即从到的映射不满足函数定义，故奇函数没有反函数，③错误. 故选：A 3．（23-24高一下·广东江门·阶段练习）若函数是函数（，且）的反函数，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数与对数函数的关系可得，再由代入求出，即可得解. 【详解】函数（且）的反函数为， 即，又，所以，所以， 则. 故选：A 4．（23-24高一上·广东茂名·期末）若指数函数经过点，则它的反函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数的定义，结合反函数的概念即可求解. 【详解】设指数函数且，点在的图象上， 所以，解得. 所以，故反函数. 故选：A 题型二 根据反函数关系求函数值 1．（24-25高一上·山西大同·期末）已知函数，若函数是的反函数，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】先根据对数的反函数为指数函数可求，然后代入求值即可. 【详解】是的反函数，，． 故选：D 2．（24-25高一上·广东潮州·期中）函数与互为反函数，且的图像过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反函数的性质与经过的点，求出表达式，再求 【详解】设，于是，即反函数表达式为：， 由，解得， 于是. 故选：B 3．（19-20高一上·湖南长沙·期中）函数与指数函数（且）互为反函数，且过点，则（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的反函数为对数函数知，函数的图象过，代入可得，然后代入求值即可得解. 【详解】因为指数函数（且）的反函数为（且）， 因为的图象过点，故函数的图象过， 所以，故，所以，所以. 故选：A 5.（24-25高一上·全国·课堂例题）若函数是函数的反函数，则的值为（    ） A．16 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】运用反函数概念求反函数解析式，结合对数函数性质计算即可. 【详解】函数是函数的反函数,则. 故. 故选：B. 题型三 根据图象对称性求函数值 1．（24-25高一上·北京·阶段练习）若函数与的图像关于直线对称，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据同底的指数函数和对数函数互为反函数可解. 【详解】因为函数与的图像关于直线对称， 所以，所以. 故选：B. 2．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数的图象与的图象关于直线对称，则（   ） A． B．10 C．12 D． 【答案】C 【分析】由已知可得函数与互为反函数，所以，根据对数的运算性质求解即可. 【详解】因为函数的图象与的图象关于直线对称， 所以函数与互为反函数， 所以， 所以. 故选：. 题型四 互为反函数图象的对称性 1．（24-25高一上·辽宁大连·期末）函数的图象与函数的图象（   ） A．关于直线对称 B．关于y轴对称 C．关于x轴对称 D．关于原点对称 【答案】A 【分析】证得与互为反函数，由反函数的图象关于直线对称可直接得答案. 【详解】的反函数满足，化简可得， 所以，因为反函数的图象关于直线对称， 即与关于直线对称， 故选：A. 2．（20-21高一上·北京昌平·期中）函数的反函数的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得函数的反函数，根据对数函数的图象，结合选项，即可求解. 【详解】由题意，函数，可得，即， 即函数的反函数， 结合对数函数的图象，结合选项，可得D项符合. 故选：D. 3．（22-23高一上·福建龙岩·阶段练习）已知函数是的反函数，则函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数的解析式，再根据函数的定义域和单调性利用排除法求解即可. 【详解】因为函数是的反函数， 所以， 则， 则，解得， 所以函数的定义域为，故排除AB； 令，在上是减函数， 而函数是减函数， 所以函数在上是增函数，故排除C. 故选：D. 题型五 反函数的定义域 1．（24-25高一上·全国·课前预习）函数的反函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算函数的值域，可求出原函数的反函数的定义域. 【详解】由对数函数的性质可得：函数的值域为， 则反函数的定义域为. 故选：D. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，的反函数的定义域是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反函数的定义域就是原函数的值域求解即可. 【详解】因为函数在单调递增， 所以， 即， 因为反函数的定义域是原函数的值域， 所以反函数的定义域为， 故选：C． 题型六 根据反函数关系求参数 1．（22-23高一上·广西钦州·期末）若点在函数的图像上，点在的反函数图像上，则 . 【答案】 【分析】根据对数运算，结合反函数的概念，建立方程，可得答案. 【详解】由点在函数的图象上，则，即，解得， 由的反函数为，则，解得. 故答案为：. 2．（2025高三·全国·专题练习）设函数的反函数是它自身，则常数 ． 【答案】 【分析】求出反函数，与原解析式比较列式求解即可. 【详解】因为，所以，则函数的反函数是， 所以恒成立，即恒成立，所以. 当时，，其定义域为，值域为， 定义域和值域相同，故满足题意，所以. 故答案为： 3．（2018·上海·高考真题）设常数R，函数，若的反函数的图像经过点，则 【答案】 【分析】根据反函数的概念，代值计算即可. 【详解】根据题意，，即，∴. 故答案为：7 4．（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则当时， ． 【答案】 【分析】先根据已知得出，再代入运算即可得解. 【详解】因为函数的图象与函数的图象关于直线对称，、 所以，即， 当时，. 故答案为：. 题型七 反函数图象过定点问题 1．（24-25高一上·甘肃天水·期末）已知是函数（且）的反函数，则的图象经过的定点坐标为 ． 【答案】 【分析】由对数的性质确定图象所过的定点，再由反函数的性质得图象所过的定点. 【详解】由恒过点，又是函数（且）的反函数， 所以的图象经过的定点坐标为. 故答案为： 2．（24-25高一上·四川成都·期末）已知是函数（，且）的反函数，则的图象经过的定点坐标为 ． 【答案】 【分析】由条件先确定函数的解析式，结合指数函数性质求结论. 【详解】是函数的反函数， 所以， 所以的图象经过的定点. 故答案为：. 题型八 简单的指数方程、对数方程 1．（23-24高一上·四川宜宾·阶段练习）已知函数，若，则（    ） A．16 B． C．16或 D．2或 【答案】C 【分析】利用分段函数性质，对参数进行分类讨论解方程，即可求得或. 【详解】根据题意可知，当时，，解得； 当时，，解得. 综上，或. 故选：C 2．（多选）（22-23高二下·湖北恩施·阶段练习）已知函数，若，则实数a的值可以是（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】BC 【分析】根据分段函数解析式进行分类讨论，通过解方程求得的值. 【详解】当时，，解得； 当时，，解得，又，所以舍去． 综上所述，或． 故选：BC 3．（24-25高一上·上海·单元测试）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用对数的运算性质，真数大于求出的范围，将，从而建立等式求解； （2）利用换元的思想将等式转化成一元二次方程求解，注意参数的取值范围，得到即可求解． 【详解】（1）解：由题意，根据对数的运算性质，可得， 可得 解得． ∴原方程的解为． （2）解：令，则方程变为：， 即， ∴， 解得，（舍去）． ∴，． ∴原方程的解为． 4．（23-24高一上·重庆长寿·期末）已知函数. (1)求函数定义域; (2)若函数，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由对数函数的概念可得，解之即可求解； （2）根据对数的运算性质可得，结合指、对数互化即可求解. 【详解】（1）由，解得，∴， ∴函数的定义域 （2） 则，由解得. 5．（23-24高一上·山东威海·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求在上的解析式； (2)解方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由奇函数的性质即可求解. （2）由题意首先有，进一步通过换元法以及指对互换解方程即可. 【详解】（1）因为是奇函数， ①当时，， ②当时，，， 所以， 所以. （2）由题意知，， 得， 令，则，即， 解得或， 即或， 解得或. 题型一 反函数的单调性问题 1．（24-25高一上·云南昆明·期末）若函数，函数与函数图象关于对称，则的单调减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由题中条件，求出，得到，再求出其定义，利用复合函数单调性的判断方法，即可得出结果. 【详解】∵函数与的图象关于直线对称，则， ∴，由，解得，令，， 在上单调递增，在上单调递减，又在上单调递减， ∴的单调减区间为. 故选：D. 2．（23-24高一上·辽宁丹东·期末）已知函数与的图象关于直线对称，且，则函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用反函数知识求出，结合复合函数的单调性可判断出的单调递减区间. 【详解】因为函数与的图象关于直线对称， 所以， 因为，所以，解得：. 所以， 由，可得的定义域为， 令，则在单调递减， 而在定义域单调递增， 由复合函数的单调性可知:在单调递减. 故选：C. 3．（24-25高一上·重庆·阶段练习）函数的图象与函数的图象关于直线对称，则的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】由题意可知函数与函数互为反函数，可得，根据复合函数的单调性即可求解. 【详解】因为函数的图象与函数的图象关于直线对称， 所以函数与函数互为反函数， 所以，所以， 令，，则或， 所以在单调递减，在上单调递增， 又函数是增函数， 所以的单调递增区间为. 故答案为：. 题型二 函数、反函数综合问题 1．（23-24高一上·山东淄博·期中）给出下列命题， ①函数图象恒在轴的下方； ②将的图像经过先关于轴对称，再向右平移1个单位的变化后为的图像； ③若函数的值域为，则实数的取值范围是； ④函数的图像关于对称的函数解析式为.其中正确的命题是 【答案】①②④ 【分析】对于①：根据对数函数单调性与最值分析判断即可；对于②：根据函数图像的翻折、平移变化即可判断；对于③：满足能取到所有的正数，可得，即可求得的取值范围；对于④：根据关于对称的函数互为反函数,求得反函数即可判断. 【详解】对于①：因为，当且仅当时，等号成立， 可得， 所以函数图像恒在轴的下方，故①正确； 对于②：的图像经过先关于轴对称,可得; 再向右平移1个单位可得，故②正确； 对于③：若函数的值域为， 则满足能取到所有的正数， 即满足，解得或，故③错误； 对于④：函数的图像关于对称的函数为的反函数， 根据指数函数与对数函数互为反函数可知，其反函数为，故④正确. 综上可知：正确的有①②④. 故答案为：①②④. 2．（23-24高一上·云南昆明·期末）若的反函数为，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先利用指、对数式的互化得到函数的反函数，再利用对数的运算性质化简，最后由基本不等式求得最值即可． 【详解】因为和（，）互为反函数， 若，则， 又因为，所以，所以，且，， 又，当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 故答案为：. 3.（2025高一上·全国·专题练习）函数与互为反函数，若．求函数的解析式，定义域，值域． 【答案】，定义域为，值域为． 【分析】结合反函数的定义，先求的定义域和值域，再求. 【详解】易知是增函数， 且，则，所以， 所以，所以， 故的定义域为，值域为， 所以，其定义域为，值域为. 4．（24-25高一上·江西抚州·阶段练习）已知函数，函数与函数的图象关于直线对称. (1)求的解析式； (2)求函数在区间内的值域. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由指数函数与对数函数的关系结合题设即可得解； （2）由（1）结合得，再结合一元二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）因为函数与函数的图象关于直线对称， 所以函数与函数互为反函数， 又函数，所以. （2）由（1）， 令，若，则， 所以 又在上单调递减，在上单调递增， 且， 所以当时， 所以函数在区间内的值域为. 5．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）如图，对数函数的图象与一次函数的图象有A，B两个公共点，且B点的纵坐标为lg2.    (1)求一次函数的解析式. (2)求对数函数的解析式 (3)写出（2）中函数的反函数，并写出其定义域 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）由图象可得，，利用待定系数法求解； （2）将点坐标代入解析式求得，得解； （3）根据同底的指对数函数互为反函数求解. 【详解】（1）由图象可得，， 设，则，解得， . （2）将点坐标代入，可得， ，解得， 所以对数函数的解析式为. （3）由（2），，其反函数为，定义域为. 6．（24-25高一上·辽宁盘锦·阶段练习）已知函数是函数的反函数． (1)写出函数的解析式；（无需证明） (2)设， ①写出函数的单调区间，并指明单调性；（无需证明） ②求在区间（其中）上的最小值和最大值． 【答案】(1) (2)①在区间上是减函数，在区间上是增函数； ②， 【分析】（1）根据函数与互为反函数求解； （2）①根据分段函数的解析式，结合指数函数的性质求解； ②根据的范围分类讨论，结合的单调性求解. 【详解】（1）由题意知：． （2）①函数， 在区间上，是增函数，则是增函数； 在区间上，是减函数，则是减函数， ∴在区间上是减函数，在区间上是增函数． ②（i）当时，即时， ，． （ii）当时，． （iii）当时，即时，， 因为． 当时，； 当时，； 综上：，． 7．（24-25高一上·黑龙江黑河·阶段练习）已知函数的图象与（且）的图象关于直线对称，且的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)若成立，求x的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）已知点坐标代入求得，然后由求得，再把互换位置即得； （2）由的单调性解不等式． 【详解】（1）的图象过点，则，即，∴（负值舍去）， ∴， 由得，所以； （2）在定义域内是减函数， 因此由得，解得． 8．（24-25高一上·宁夏石嘴山·阶段练习）已知是上的奇函数 (1)求的值； (2)求的反函数，并用表示； (3)对任意的解不等式. 【答案】(1) (2) (3)当时，原不等式的解集为：， 当时，原不等式的解集为：. 【分析】（1）由是上的奇函数可知，求解参数即可； （2）由（1）可知的解析式且为奇函数，利用反函数的定义求解其反函数即可； （3）由（2）可知，由此两边底数一致，利用对数函数的单调性求解即可. 【详解】（1）是上的奇函数， 所以，所以，解得.经检验此时函数为奇函数， 所以. （2）由（1）可知，且为奇函数， ， 得， 所以的反函数为. （3）由（2）可知，， ，所以， 即， 所以当时，原不等式的解集为：， 当时，原不等式的解集为：. 1．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知实数x，y满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指对函数互为反函数的性质，将原式子变为结构相似的形式，再利用对称性即可解题. 【详解】将题中式子变形得，， 令，则， 故，分别为和与的交点， 由函数的对称性可知，，关于对称， 故，即， 故选：B． 2．（24-25高一下·浙江·期中）已知，则下列不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由方程与函数的关系，可得点的对称关系，从而可得等量关系，可得答案. 【详解】因为，所以，， 所以a，b分别是，与图象交点的横坐标， 因为，的图象关于直线对称，也关于直线对称， 所以两交点，关于直线对称， 所以，，所以，故A正确； 因为，，所以，故B正确； 因为，所以，故C正确； 若成立，再结合，可得，与矛盾，故D错误. 故选：D. 3．（24-25高一下·山西太原·开学考试）已知，，，，则 . 【答案】1 【分析】根据给定条件，构造函数，结合对称性求得答案. 【详解】依题意，分别可视为函数与和图象交点的横坐标， 函数的图象关于直线对称，的图象也关于直线对称， 因此两个交点也关于直线对称，则， 由，得，所以. 故答案为：1 4．（23-24高一上·重庆·期末）已知指数函数的反函数为． (1)求函数的解析式； (2)已知函数，求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数的定义可得，再根据指数函数的反函数是对数函数分析可解； （2）根据奇偶性的定义以及复合函数单调性判断的奇偶性和单调性，进而解不等式. 【详解】（1）若为指数函数， 则，且，解得，即， 所以指数函数的反函数为. （2）因为，可知的定义域为， 且， 可知为定义在上的偶函数， 又因为在上单调递增，且在定义域内单调递增， 所以在上单调递增，且在内单调递减， 对于不等式，可得， 整理得，解得， 所以等式的解集为. 5．（23-24高一上·辽宁大连·期末）已知函数． (1)若方程的两根为与，求的值； (2)设函数，若的最小值为1，求实数的值； (3)设函数，记为的反函数，设函数，当时，，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用换元法令,然后结合，利用根与系数的关系从而求解. （2）利用换元法可得，然后分类讨论，从而求解. （3）求出的反函数，然后得到的解析式，然后利用换元法,再根据函数的单调性从而求解. 【详解】（1）因为，所以， 令，则为的两根， 所以， 所以. （2）， 令，所以， 当且仅当，即时等号成立， 又因为， 所以的最小值为1，对称轴为， 当时，，解得，不符合题意， 当时，，解得或（舍）， 综上所述. （3）因为，所以， 所以， 令，所以， 因为在上是增函数，且当时，， 所以，即， 所以在上恒成立， 所以，得， 故的取值范围为. 【点睛】方法点睛：对于函数，利用换元法并结合二次函数等式及根与系数关系可求解；对于最值问题通过换元后利用二次函数的性质可求解最值的情况；对于恒成立问题换元后多借助函数单调性求解. 6．（24-25高一上·海南·阶段练习）已知函数，. (1)解关于的不等式； (2)，，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据题意列出不等式，分类讨论的取值范围，求出不等式的解集. （2）先将参数分离，要对不含参数部分构造二次函数，最后根据二次函数单调性求的取值范围. 【详解】（1）由，得，即. 当，即时，恒成立，解集为； 当，即时，由，得，两边同取以为底的对数，得. 综上，当时，的解集为，当时，的解集为. （2）由，得， 即， 两边同除以，得. 设， 令，，则. 当时，是增函数， 所以的值域为， 因为，，所以， 故实数的取值范围为. 7．（22-23高一上·北京·期末）已知函数其中且. (1)求的单调区间； (2)判断并证明的奇偶性； (3)求函数的反函数； (4)求使的取值范围. 【答案】(1)见解析 (2)为奇函数，证明见解析； (3)； (4)见解析 【分析】（1）令，则，利用复合函数单调性的判断方法，分和两种情况讨论即可； （2）利用奇偶性定义证明即可； （3）根据反函数定义即可求； （4）根据函数单调性解不等式即可. 【详解】（1）由解得或， 令，则， 所以函数的减区间为和， 而当时，函数在上单调递减， 则函数的增区间为和； 当时，函数在上单调递增， 则函数的减区间为和； 综上，所以当时，函数的增区间为和，无减区间；当时，函数的减区间为和，无增区间. （2）为奇函数，证明如下： 由（1）知，函数的定义域为，关于原点对称， ， 所以为奇函数. （3）令，则，所以， 所以函数的反函数为. （4）当时，由可得，，解得， 当时，由可得，，解得， 所以，当时，不等式解集为；当时，不等式解集为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $