第二讲 实数 专题复习 2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

本讲义聚焦初中数学“实数”核心知识点，系统梳理无理数概念（特征及四种形式）、实数分类（按定义与大小关系）、与数轴对应关系、大小比较、混合运算，以及程序设计、新定义、规律题等拓展应用，构建从基础到进阶的学习支架。 资料通过概念辨析培养抽象能力，变式练习提升运算与推理意识，新定义及规律题发展模型与应用意识。如无理数形式辨析、数轴中点问题、“幸福数”运算等实例，课中辅助教师系统教学，课后助力学生巩固查漏。

第2讲 实数 题型一：无理数 概念：有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 注意：(1)无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 (2)常见的无理数有四种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数（人造数），如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.④无限不循环小数； 例1．实数，，，0，中，无理数的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式练习 1．有下列实数：，，，，，其中无理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在，，0，，，六个实数中，无理数的个数有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．在实数：，，，，（相邻两个1之间依次多一个0）中，无理数的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．在实数、、、、中，属于无理数的有（     ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．下列实数：，，，，中，无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．给出下列实数：，，，，，其中无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型二：实数的分类 1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 按定义分： 按与0的大小关系分： 实数 实数 3.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 例1．将下列各数填入相应的大括号里： ，，，，，，． 负数集合：{ …} 分数集合：{ …} 非负整数集合：{ …} 变式练习 1．把下列各数填在相应的表示集合的大括号里． ，4.3，，0，，，，，2025，． 整数集合：{ }； 分数集合：{ }； 非负数集合：{ }； 负有理数集合：{ }． 2．下面的大括号表示一些数的集合，把下列各数填入相应的大括号里： ，0.13，，，0，π， ，． 正有理数集：{ …}； 整数集：{ …}； 负分数集：{ …}； 非负数集：{ …}． 3．把下列序号填在相应的大括号里（只填序号，多填或少填不给分）． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨0 整数集合{______________________________……} 负有理数集合{______________________________……} 非负数集合{______________________________……} 题型三：实数与数轴 例1．如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段的中点，则点A表示的数（     ） A． B． C． D． 变式练习 1．在如图所示的数轴上，点是线段的中点，，两点对应的实数分别是和，则点所对应的实数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在数轴上，点A与点C到点B的距离相等，A，B两点所对应的实数分别是1和﹣，则点C对应的实数是（） A．1+ B．2+ C．2﹣1 D．2+1 3．在如图的数轴上，点与点到点的距离相等，、两点对应的实数分别是1，，则点对应的实数是（    ） A． B． C． D． 题型四：实数的大小比较 例1． 比较大小：______． 变式练习 1．气温比要高一些．（__________） 2．比较大小：______（填“”，“”或“”）． 3．比较大小（填“”或“”）：﹣___﹣ 4．比较大小：___________（填“”或“”）． 5．比较大小：___________（填“”、“”或“”号）． 题型五：实数的混合运算 例1． 计算：． 例2．计算与解方程 (1)计算：； (2) 求方程中x的值：． 变式练习 1．按要求完成下列各题： (1)计算：； (2)解方程：． 2．计算、求x的值： (1)； (2)． 3．计算： (1) (2)求x的值： 4．计算和求值 (1)计算： (2)求的值： 5．计算： (1) (2) 6． （1）计算： （2）求x的值： 题型六：程序设计与实数运算 例1．在如图所示的运算程序中，若输入x的值是64，则输出y的值是（     ） A． B． C． D． 变式练习 1．在如图所示的运算程序中，若输入的值是729，则输出的值是（   ） A． B． C． D． 2．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是81，则输出的y的值是（　　） A． B． C．2 D．4 3．小吴是一个编程爱好者，他设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是，那么输出的结果是，当输入的值是时，输出的值是（     ） A． B． C． D． 4．有一个数值转换器，原理如下：当输入的为时，输出的是（    ）    A． B．2 C． D． 5．如图是一个无理数筛选器的工作流程图．当输入的x为16时，y值是（    ）    A． B． C． D． 题型七：新定义下的实数运算 例1．对于任意有理数、，定义一种新运算．例如：．请根据上述定义，解决下列问题： (1)若，求的取值范围； (2)若，求所有满足条件的整数的值． 变式练习 1．对于任意有理数，，定义一种新运算：，例如：．请回答下列问题： (1)________，________； (2)若，，求的值； (3)若的解集只有个整数解，求的取值范围． 2．在有理数范围内定义运算“”，其规则为． (1)求的值； (2)求方程的解． 3．对于有理数a、b定义一种新运算“”：． (1)求34的值． (2)若，求x的值． 例2．设a、b、c是任意三个实数，用表示a、b两个数中的较大者，表示a、b、c三个数中的较大者 例如，，． 根据以上材料，回答相关问题： (1)______，______； (2)若，求x的取值范围． 变式练习 1．对于实数a，b，定义的含义为： 当时，； 当时，． 例如：，． (1)=_____； (2)已知，求k的取值范围； (3)已知，求x的值． 2．对于实数，定义符号：的意义为：当时，；当时，，例：． 根据上面的材料回答下列问题： (1)直接写出：___；____； (2)当时，求的取值范围． 3．规定：表示取一组数据中的最大的数，例如：． (1)___________． (2)若，求的值； (3)①若，则的最小值为___________； ②已知点，当最小时，求点的坐标． 例3．阅读下面的文字，解答问题． 新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“阳光区间”为；同理规定无理数的“阳光区间”为．例如：因为，所以，所以的“阳光区间”为，的“阳光区间”为． 请解答下列问题： (1)的“阳光区间”是_______；的“阳光区间”是_______； (2)若无理数（为正整数）的“阳光区间”为，的“阳光区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的算术平方根的“阳光区间”． 例4．【教材呈现】教材七年级下册第一章课后习题： 观察下列各式： ，，，…… 个位数字是5的两位数平方后，结果末尾的两个数字有什么规律？为什么？你还能找到哪些类似的规律？试举一例． (1)依据上述等式的规律，填空：______； (2)【拓展探究】同学们进一步思考发现：十位数字相同，个位数字和为10的两个两位数相乘，也可以用类似的规律进行计算． 例如：， ， ， …… 依据上述等式的规律，写出计算的过程与结果：____________________； (3)设两个两位数的十位数字为，个位数字分别为，，且，请用代数式表示上述规律，并说明理由． 例5．对于任一个四位正整数，若各个数位上的数字均不相等，且满足千位数字减去十位数字的差等于百位数字减去个位数字的差，且都等于3，则称为“幸福数”，例如：，，，，互不相等，且，是“幸福数”．若一个正整数是另外一个正整数的平方，则称正整数为完全平方数，例如：，则4为完全平方数．若一个“幸福数”为，则____________；若是“幸福数”，记，若是一个完全平方数，则满足条件的“幸福数”的最大值与最小值的差为_____________． 变式练习 1．一个四位正整数的各数位上的数字不完全相同且均不为零，若满足千位和百位数字之和是十位和个位数字之和的两倍，则称这样的四位数为“二阶数”．将“二阶数”的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调得到一个新的“二阶数”记为，记，例如：当时，，则．若，则______．已知两个“二阶数”，，满足是一个完全平方数，且为整数，则的最小值为______． 2．规定：一个四位正整数的各个数位上的数字均不为0且互不相同，并满足百位数字比千位数字大3，十位数字是个位数字的2倍，则称这个四位数为“三心二意数”．若将的千位数字与百位数字组成的两位数记为，将的十位数字与个位数字组成的两位数记为，例如：当时，为69，为21．记，若一个“三心二意数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为．当为整数时，则_____；且为完全平方数，则满足条件的正整数为_____． 3．如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，且满足，那么称这个四位数为“共和数”，例如：四位数1235，∵，∴1235是“共和数”，又如：四位数3824，，∴3824不是“共和数”． （1）若一个“共和数”为，则m的值为________； （2）若一个“共和数”M的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差，再减去，结果能被7整除，则满足条件的M的最小值是________． 4．如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，满足，那么称这个四位数为“天天向上数”．例如：四位数2129，，是“天天向上数”：又如3465，∵，不是“天天向上数”．若一个“天天向上数”为，则此时_____________；若一个“天天向上数”的前三个数字组成的三位数与后三位数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值与最小值的差为_____________． 题型八：与实数运算相关的规律题 例1．拓展探究题：复数的乘方规律探究 【阅读材料】 ，则的平方根为； ，则的平方根为． 在实数范围内，负数没有平方根．数学家引入新数，规定，拓展出复数范围． 举例：，则的平方根为； 观察的乘方运算： ，，，，，，… 【发现规律】 (1)求的平方根； 【规律应用】 (2)计算的值； (3)计算的值； 【规律拓展】 (3) 简便计算：的值． 变式练习 1．小明是一位善于思考．勇于创新的同学．在学习了有关平方根的知识后，小明知道负数没有平方根．比如：因为没有一个数的平方等于，所以没有平方根．有一天，小明想：如果存在一个数，使，那么，因此就有两个平方根了．进一步，小明想：因为，所以的平方根是；因为，所以的平方根就是．请你根据上面的信息解答下列问题： （1）求，的平方根； （2）求，，，，，，…的值，你发现了什么规律？请你将发现的规律用式子表示出来； （3）求的值． 例2．观察下列各式的化简过程 ① ② ③ (1)写出①式的具体化简过程； (2)从上面的式子看，你发现了什么规律？请用字母表示出来____________； (3)利用上面的规律计算：． 变式练习 1．观察下列等式： ； ； ； 回答下列问题： (1)______； (2)______；为正整数 (3)利用上面所揭示的规律计算：． (4)拓展升华：若求的值 2．观察下列算式，你发现了什么规律？ ；，；；… (1)根据你发现的规律，计算下面算式的值：； (2)请用一个含n的算式表示这个规律： ； (3)根据你发现的规律，计算下面算式的值：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲 实数 题型一：无理数 概念：有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 注意：(1)无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 (2)常见的无理数有四种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数（人造数），如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.④无限不循环小数； 例1．实数，，，0，中，无理数的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C 【详解】解：是分数，是整数，二者均为有理数； ，是开方开不尽的数，与均为无理数； ∴无理数共有3个． 变式练习 1．有下列实数：，，，，，其中无理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 【分析】先计算算术平方根，然后根据无理数的定义即可求解 【详解】解：， ∵ 、、均为有理数，、均为无理数， ∴ 无理数共有2个 2．在，，0，，，六个实数中，无理数的个数有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 D 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，无理数包括：，等；开方开不尽的数；以及像（每两个1之间0的个数依次加）等有这样规律的数，逐一判断六个数，即可得到无理数的个数． 【详解】解：是开立方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数； 是分数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 中是无限不循环小数，因此是无理数； 是有限小数，属于有理数； 综上，无理数的个数为2，D选项符合． 3．在实数：，，，，（相邻两个1之间依次多一个0）中，无理数的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C 【详解】解：是无理数，是无理数，（相邻两个1之间依次多一个0）是无理数；是有理数，是有理数， ∴无理数共3个． 4．在实数、、、、中，属于无理数的有（     ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 B 【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，据此逐一判断即可． 【详解】解：是开方开不尽的数，属于无理数， 是无限循环小数，属于有理数， 含无理数，属于无理数， 是有限小数，属于有理数， 是分数，属于有理数， 综上，无理数共2个． 5．下列实数：，，，，中，无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 B 【分析】先明确无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，再逐个判断给出的实数，统计无理数的个数即可得到答案． 【详解】解：是有限小数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 中是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数； 中是无限不循环小数，因此也是无理数； 综上，无理数共有个． 6．给出下列实数：，，，，，其中无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 A 【分析】根据实数的分类，无理数的定义解答即可． 【详解】解：，，为有理数， ，为无理数； 故无理数共2个． 题型二：实数的分类 1.实数的概念：有理数和无理数统称为实数. 2.实数的分类 按定义分： 按与0的大小关系分： 实数 实数 3.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 例1．将下列各数填入相应的大括号里： ，，，，，，． 负数集合：{ …} 分数集合：{ …} 非负整数集合：{ …} ，，； ，，； ， 【分析】本题主要考查有理数的分类，掌握有理数的分类的依据是解题的关键，注意有限小数与无限循环小数都属于分数一类．根据负数集合、分数集合和非负整数集合的定义对题目进行分析，即可得到答案． 【详解】解：负数集合：； 分数集合：； 非负整数集合：． 变式练习 1．把下列各数填在相应的表示集合的大括号里． ，4.3，，0，，，，，2025，． 整数集合：{ }； 分数集合：{ }； 非负数集合：{ }； 负有理数集合：{ }． 整数集合：； 分数集合：； 非负数集合：； 负有理数集合：． 【分析】本题考查了有理数的分类，利用有理数的分类和定义解答． 【详解】略 2．下面的大括号表示一些数的集合，把下列各数填入相应的大括号里： ，0.13，，，0，π， ，． 正有理数集：{ …}； 整数集：{ …}； 负分数集：{ …}； 非负数集：{ …}． 0.13，20%，，；，0，；；0.13，20%，，0，π， 【分析】根据正有理数、整数、负分数和非负数的定义进行解答即可． 【详解】解：正有理数集：{0.13，，，}， 整数集：{，0，…}， 负分数集：{}， 非负数集：{ 0.13，，，0，π，}， 故答案为：0.13，，，；，0，；；0.13，，，0，π，． 3．把下列序号填在相应的大括号里（只填序号，多填或少填不给分）． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨0 整数集合{______________________________……} 负有理数集合{______________________________……} 非负数集合{______________________________……} ①③⑨； ①⑤⑥⑦⑧； ②③④⑨； 【分析】本题考查了有理数的分类．掌握整数、负有理数、非负数的定义与特点是解答此类题目的关键． 根据整数、负有理数、非负数的定义与特点，进行作答，即可求解； 【详解】解：整数包括：、、0； 负有理数包括：、、、、； 非负数包括：、、、0； 故答案为：①③⑨； ①⑤⑥⑦⑧； ②③④⑨； 题型三：实数与数轴 例1．如图，数轴上表示2，的点分别为点C，点B，点C是线段的中点，则点A表示的数（     ） A． B． C． D． D 【分析】先求出，再根据中点的定义求出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵数轴上表示2，的点分别为点C，点B， ∴， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴点A表示的数为． 变式练习 1．在如图所示的数轴上，点是线段的中点，，两点对应的实数分别是和，则点所对应的实数是（    ） A． B． C． D． 【分析】根据题意可得，根据线段中点的性质可得，进而求得点所对应的实数． 【详解】解：∵，两点对应的实数分别是和， ∴ ∵点是线段的中点， ∴， ∴点所对应的实数是 故选：D． 2．如图，在数轴上，点A与点C到点B的距离相等，A，B两点所对应的实数分别是1和﹣，则点C对应的实数是（） A．1+ B．2+ C．2﹣1 D．2+1 B 【详解】试题分析：已知A，B两点所对应的实数分别是﹣和1，可得AB=1+，又因点A与点C到点B的距离相等，即CA=AB=1+，所以OC=2+，即点C对应的实数是2+，故答案选B． 考点：实数与数轴． 3．在如图的数轴上，点与点到点的距离相等，、两点对应的实数分别是1，，则点对应的实数是（    ） A． B． C． D． 【分析】设点C所表示的数为x，根据点B、C到点A的距离相等列出方程，即可求出x． 【详解】解：设点C所表示的数为x， ∵点B与点C到点A的距离相等， ∴AC=AB，即， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了实数与数轴的知识，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，根据条件点B、C到点A的距离相等列出方程是关键． 题型四：实数的大小比较 例1． 比较大小：______． 【分析】先比较两个数的绝对值，将整数化为二次根式形式，再根据负数比较大小的规则判断，绝对值大的负数反而小． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴． 变式练习 1． 气温比要高一些．（__________） × 【分析】本题考查负数大小的比较以及在实际生活中的应用．代表零下6摄氏度；代表零下5摄氏度，根据实际意义可知气温比要低；从负数大小的比较也可以可知 【详解】解：因为；所以气温比要低一些． 故答案为：× 2． 比较大小：______（填“”，“”或“”）． 【分析】先通分，再根据负数比较大小的方法进行比较． 【详解】解：因为=，=，||<||, 所以>,即>. 故答案为>. 【点睛】本题考查有理数的大小比较，解题关键是熟练掌握大小比较法则：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两各负数相比较，绝对值大的反而小． 3． 比较大小（填“”或“”）：﹣___﹣ 【分析】根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得答案． 【详解】解：先求绝对值，， ，即， ∴， 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了有理数大小比较，两个负数大小比较，绝对值大的数反而小． 4． 比较大小：___________（填“”或“”）． 【分析】本题考查了有理数的大小比较，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 5． 比较大小：___________（填“”、“”或“”号）． 【分析】根据有理数大小的比较方法进行解答即可． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数大小的比较，解题的关键是熟练掌握两个负数大小的比较方法，绝对值大的反而小． 题型五：实数的混合运算 例1． 计算：． 【详解】解：原式 ． 例2．计算与解方程 (1)计算：； (2) 求方程中x的值：． (1) (2) 【分析】（1）根据有理数的乘方，算术平方根，立方根的定义和绝对值的性质分别化简后，再合并即可； （2）直接利用平方根的定义计算得出答案； 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ． 变式练习 1．按要求完成下列各题： (1)计算：； (2)解方程：． (1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∴， ∴， 即． 2．计算、求x的值： (1)； (2)． (1) (2)， 【分析】（1）先运算立方根，算术平方根，乘方，再运算加减法，即可作答． （2）先移项，方程两边同时除以2，最后开平方，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵， ∴， ∴， 则， 解得，． 3．计算： (1) (2)求x的值： (1) (2)， 【详解】（1）解：原式； （2）解：， ， ， ∴，. 4．计算和求值 (1)计算： (2)求的值： (1) (2)， 【分析】（1）先分别计算算术平方根、立方根以及绝对值，再合并结果即可； （2）先通过移项、系数化为1将方程变形为的形式，根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：    ；     （2）解：      ， 5．计算： (1) (2) (1) (2)或 【分析】本题考查实数的计算，利用平方根的定义解方程， （1）根据算术平方根，绝对值的意义，立方根将原式化简，再进行加减运算即可； （2）将原式化为，再根据平方根可将方程化为，即可得解； 掌握相应的定义，性质是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）， ∴， ∴， 解得：或． 6． （1）计算： （2）求x的值： （1） （2）或 【分析】本题考查了算术平方根、立方根的运算以及利用平方根解方程，熟练掌握平方根的定义是解题关键． （1）分别计算各项的值，再进行加减运算． （2）先对方程进行化简，将含未知数的项化为完全平方的形式，再根据平方根的定义求出未知数的值． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：， 移项得， 两边同时除以，可得． 所以， 当时，解得； 当时，解得， 综上，或． 题型六：程序设计与实数运算 例1．在如图所示的运算程序中，若输入x的值是64，则输出y的值是（     ） A． B． C． D． A 【分析】根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当输入的x值是64时，取算术平方根得， 由于8是有理数，所以再取立方根得， 由于2是有理数，所以再取算术平方根得， 由于是无理数，所以输出y的值是． 变式练习 1．在如图所示的运算程序中，若输入的值是729，则输出的值是（   ） A． B． C． D． C 【分析】根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当输入的值是729时，取算术平方根得， 27是有理数，再取立方根得， 3是有理数，再取算术平方根得， 由于是无理数， 所以输出的值是． 2．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是81，则输出的y的值是（　　） A． B． C．2 D．4 B 【分析】计算81的算术平方根，若为无理数，则输出，若为有理数则继续取算术平方根判断，据此求解即可． 【详解】解：是有理数， 是有理数， 不是有理数，故输出的y的值为． 3．小吴是一个编程爱好者，他设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是，那么输出的结果是，当输入的值是时，输出的值是（     ） A． B． C． D． C 【分析】根据立方根和算术平方根的定义，并结合流程图计算即可得出结果． 【详解】解：当输入的值是时，，为有理数，再取立方根为，为无理数， 故输出的值是． 4．有一个数值转换器，原理如下：当输入的为时，输出的是（    ）    A． B．2 C． D． 【分析】直接利用规定的运算顺序计算得出答案． 【详解】解：的立方根为：，则4的算术平方根为2，2是有理数， 2的算术平方根为，是无理数， 则输出的是， 故选：C． 5．如图是一个无理数筛选器的工作流程图．当输入的x为16时，y值是（    ）    A． B． C． D． 【分析】根据题中运算规则即可求解． 【详解】解：当x=16时，， 而，是无理数， 故y值为， 故选A． 【点睛】本题考查了算术平方根和无理数，正确理解给出的运算方法是关键． 题型七：新定义下的实数运算 例1．对于任意有理数、，定义一种新运算．例如：．请根据上述定义，解决下列问题： (1)若，求的取值范围； (2)若，求所有满足条件的整数的值． (1) (2)满足条件的整数的值为， 【分析】（1）将新运算转化为常规整式运算，解一元一次不等式得到的取值范围； （2）将新运算转化为常规整式运算，解连不等式得到的范围，再找出其中的整数解． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ， ； （2）解：， ∵， ∴， ， ， ∵为整数， ∴满足条件的整数为，． 变式练习 1．对于任意有理数，，定义一种新运算：，例如：．请回答下列问题： (1)________，________； (2)若，，求的值； (3)若的解集只有个整数解，求的取值范围． (1)， (2)； (3)． 【分析】（1）根据新运算计算即可； （2）由新运算，结合已知可得，，解得，，代入计算即可； （3）由新运算，结合已知可得的解集只有个整数解，可得，即可得的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴，． （2）解：∵， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵的解集只有个整数解， ∴的解集只有个整数解， ∴的解集只有个整数解， ∴， ∴． 2．在有理数范围内定义运算“”，其规则为． (1)求的值； (2)求方程的解． (1) (2) 【分析】(1 )原式利用题中的规则把2021※2022转化为，再进行计算即可得出答案； (2)原式利用题中的规则把x※3 = 2转化为一般的方程，再根据一元一次方程的解法求解． 【详解】（1）原式， （2）由题意可得， 解得． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，根据规则转化出关于x的一元一次方程是解题的关键． 3．对于有理数a、b定义一种新运算“”：． (1)求34的值． (2)若，求x的值． (1)15 (2) 【分析】本题考查定义新运算，有理数的四则混合运算，解一元一次方程． （1）根据新定义的运算计算即可； （2）根据新定义的运算得到，解该方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 解得． 例2．设a、b、c是任意三个实数，用表示a、b两个数中的较大者，表示a、b、c三个数中的较大者 例如，，． 根据以上材料，回答相关问题： (1)______，______； (2)若，求x的取值范围． (1)；2 (2) 【分析】（1）根据所给定义可得答案； （2）根据所给定义可得，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）解：∵， ∴， 解不等式得， 解不等式得， ∴原不等式组的解集为． 变式练习 1．对于实数a，b，定义的含义为： 当时，； 当时，． 例如：，． (1)=_____； (2)已知，求k的取值范围； (3)已知，求x的值． (1)5 (2) (3)6或-5 【分析】（1）根据的定义直接解答即可； （2）根据的定义可得出关于k的一元一次不等式，解出k即可； （3）分类讨论：①当，即时和②当，即时，根据的定义可分别得出关于x的一元一次方程，解出x即可． 【详解】（1）∵-5<5， ∴． 故答案为：5； （2）∵ ∴， 解得：； （3）分类讨论：①当，即时，， ∴， 解得：； ②当，即时，， ∴， 解得：． 综上可知，x的值为6或-5． 【点睛】本题考查新定义，一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用．读懂题意，掌握定义的含义是解题关键． 2．对于实数，定义符号：的意义为：当时，；当时，，例：． 根据上面的材料回答下列问题： (1)直接写出：___；____； (2)当时，求的取值范围． (1)，1 (2) 【分析】（1）根据所给的定义求解即可； （2）根据所给的定义可得，解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．规定：表示取一组数据中的最大的数，例如：． (1)___________． (2)若，求的值； (3)①若，则的最小值为___________； ②已知点，当最小时，求点的坐标． (1) (2)或； (3)①；②点 【分析】（1）找出中最大数即可求解； （2）根据题意分和两种情况讨论，即可求解； （3）①根据题意分和两种情况讨论，得到，据此即可求解； ②根据题意得当时，才能取最小，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：当时， ∴或， 当时，，满足条件； 当时，，不满足条件，舍去； 当时，； ∴或， 当时，，满足条件； 当时，，不满足条件，舍去； 综上所述，或； （3）解：①当时，； 当时，； 综上所述，； ∴的最小值为； ②当时，才能取最小， ∴或； 当时，； 当时，； 而，因此时，最小， 则点． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集、理解新定义列出不等式组是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 例3．阅读下面的文字，解答问题． 新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“阳光区间”为；同理规定无理数的“阳光区间”为．例如：因为，所以，所以的“阳光区间”为，的“阳光区间”为． 请解答下列问题： (1)的“阳光区间”是_______；的“阳光区间”是_______； (2)若无理数（为正整数）的“阳光区间”为，的“阳光区间”为，求的值； (3)实数，，满足关系式：，求的算术平方根的“阳光区间”． (1)， (2)或 (3) 【分析】（1）根据“阳光区间”的定义求解即可； （2）先根据“阳光区间”的定义分别求出a的范围，再结合为正整数，确定a的值； （3）先根据，，得出，进而得出，可得，再根据“阳光区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的“阳光区间”为， ∵， ∴， ∴的“阳光区间”为； （2）解：∵无理数（为正整数）的“阳光区间”为， ∴， ∴， ∵的“阳光区间”为， ∴， ∴，解得， ∴， 又∵为正整数， ∴或； （3）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， 得， ∴， ∴的算术平方根为， ∵， ∴， ∴的“阳光区间”为． 例4．【教材呈现】教材七年级下册第一章课后习题： 观察下列各式： ，，，…… 个位数字是5的两位数平方后，结果末尾的两个数字有什么规律？为什么？你还能找到哪些类似的规律？试举一例． (1)依据上述等式的规律，填空：______； (2)【拓展探究】同学们进一步思考发现：十位数字相同，个位数字和为10的两个两位数相乘，也可以用类似的规律进行计算． 例如：， ， ， …… 依据上述等式的规律，写出计算的过程与结果：____________________； (3)设两个两位数的十位数字为，个位数字分别为，，且，请用代数式表示上述规律，并说明理由． (1)2025 (2)，3016 (3)规律为： 理由：左边 （乘法对加法的分配律逆运算） 因为， 所以左边， 右边左边 所以等式的规律正确． 【分析】（1）设两位数的十位数字为a，则两位数为，则有，然后问题可求解； （2）根据题中所给例子进行总结规律，然后问题可求解； （3）根据（2）中例子及多项式乘多项式进行求解即可． 【详解】（1）解：个位数字是5的两位数平方后，结果末尾的两个数字为25；理由如下： 设两位数的十位数字为a，则两位数为， ∴， ∴末尾的两个数为25； ∴； （2）解：∵， ， ， ……， ∴依据上述等式的规律，； （3）略 例5． 对于任一个四位正整数，若各个数位上的数字均不相等，且满足千位数字减去十位数字的差等于百位数字减去个位数字的差，且都等于3，则称为“幸福数”，例如：，，，，互不相等，且，是“幸福数”．若一个正整数是另外一个正整数的平方，则称正整数为完全平方数，例如：，则4为完全平方数．若一个“幸福数”为，则____________；若是“幸福数”，记，若是一个完全平方数，则满足条件的“幸福数”的最大值与最小值的差为_____________． 【分析】第一空根据“幸福数”的定义求出，再计算；第二空根据“幸福数”的定义表示出，化简后结合完全平方数和数位数字的要求，找出所有符合条件的“幸福数”，计算最大值与最小值的差． 【详解】解：∵“幸福数”满足千位数字与十位数字之差、百位数字与个位数字之差都为， ∴， 解得， ∴； 设四位“幸福数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， 根据定义得十位数字，个位数字， ∵，是数位上的数字，需满足，，且，， ∴，，即，， ， ∵是完全平方数， ∴设，其中为正整数， 代入得， 化简得， 由，，得，即， 整理得，符合条件的正整数对应的为，，，，， 对应分别为，，，，， 当时，，，，，四个数字，，，均不相等，符合条件，得； 当时，，，，，四个数字，，，均不相等，符合条件，得； 当时，，，得，不符合数位要求，舍去； 当时，，，，，数字重复，不符合要求，舍去； 当时，，，，，四个数字，，，均不相等，符合条件，得； ∴符合条件的中，最大值为，最小值为，差为． 变式练习 1． 一个四位正整数的各数位上的数字不完全相同且均不为零，若满足千位和百位数字之和是十位和个位数字之和的两倍，则称这样的四位数为“二阶数”．将“二阶数”的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调得到一个新的“二阶数”记为，记，例如：当时，，则．若，则______．已知两个“二阶数”，，满足是一个完全平方数，且为整数，则的最小值为______． 12 【分析】本题考查新定义，整式的运算，分式的求值，熟练掌握新定义，是解题的关键，直接根据新定义求出的值，根据，结合新定义，得出，，，然后得出并化为最简分式，最后由是一个完全平方数（等量关系），且为整数（等量关系），求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ， ， ， 千位和百位数字之和是十位和个位数字之和的两倍， ， ， ， ， 同理可得：，即， ∴， ∴， ， 是不完全相同的正整数且均不为零， ， ， 是一个完全平方数， 或， 解得：或（舍去）， ∴， ， ∵为整数即为整数， 是正整数且均不为零，， 当时（不符合题意舍去）， 当时（符合题意）， 当时（不符合题意舍去）， 当时（不符合题意舍去）， ， ， 求的最小值只需最小， ，， ， ， ； 故答案为：；． 2． 规定：一个四位正整数的各个数位上的数字均不为0且互不相同，并满足百位数字比千位数字大3，十位数字是个位数字的2倍，则称这个四位数为“三心二意数”．若将的千位数字与百位数字组成的两位数记为，将的十位数字与个位数字组成的两位数记为，例如：当时，为69，为21．记，若一个“三心二意数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为．当为整数时，则_____；且为完全平方数，则满足条件的正整数为_____． 7 5842 【分析】根据百位数字比千位数字大3，十位数字是个位数字的2倍，可得，，所以有，，且、均为整数，所以可得：，根据能被整除的数的个位是或，可知的个位数为或，又因为四位正整数的各个数位上的数字均不为且互不相同，所以可知的个位数为； 把整理可得：，根据能被整除的数的个位数是或，可知的个位数是，又因为的值为、、、，的值为、、、、、，又因为为完全平方数，所以只有当、时满足条件，求出此时的即可． 【详解】解：的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， ，， 则有，，且、均为整数， ，， ， 为整数， 的个位数为或， 的个位数为或， 或， 四位正整数的各个数位上的数字均不为且互不相同， 的个位数为， ； 解：为完全平方数， 整理得：， 的个位数是或， 的个位数是， 的值为、、、，的值为、、、、、，且a与d不相同 当，时，， 是完全平方数， 符合题意； 此时，， ； 符合条件的有， 故答案为： ；． 【点睛】本题考查了新定义计算、有理数的运算、列代数式、整式的加减运算、完全平方数，解决本题的关键是百位数字比千位数字大3，十位数字是个位数字的2倍，可得，，列出关于、的代数式． 3．如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，且满足，那么称这个四位数为“共和数”，例如：四位数1235，∵，∴1235是“共和数”，又如：四位数3824，，∴3824不是“共和数”． （1）若一个“共和数”为，则m的值为________； （2）若一个“共和数”M的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差，再减去，结果能被7整除，则满足条件的M的最小值是________． 4 1684 【分析】（1）根据新定义，列出方程进行求解即可； （2）根据新定义得到，根据前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差，再减去，结果能被7整除，得到是整数，当时，M最小，进行求解即可． 【详解】解：（1）由题可得，解得； （2）由题意可得，，整理得． 一个“共和数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的差，再减去为： ． 又∵结果能被7整除， ∴是整数， ∵，且均为整数， ∴时，原四位数可得最小值，此时b只能取6， ∴，即，此时只有符合题意． 故满足条件的M的最小值是1684． 4.如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，满足，那么称这个四位数为“天天向上数”．例如：四位数2129，，是“天天向上数”：又如3465，∵，不是“天天向上数”．若一个“天天向上数”为，则此时_____________；若一个“天天向上数”的前三个数字组成的三位数与后三位数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值与最小值的差为_____________． 【分析】本题考查了新定义运算、整式的加减的应用，根据“天天向上数”定义计算即可得出的值，根据“天天向上数”的定义得出，由题意得出，结合、、、的取值得出或或，再分别求解即可得出答案，理解“天天向上数”定义是解此题的关键． 【详解】解：∵一个“天天向上数”为， ∴， ∴， 解得：； ∵如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，满足，那么称这个四位数为“天天向上数”， ∴， ∴， ∵一个“天天向上数”的前三个数字组成的三位数与后三位数字组成的三位数的和能被9整除， ∴ ， ∴（为正整数）， 由题意得：，，，， ∴， ∵的和为偶数， ∴或或， 当时，解得或或或， ∵， ∴当时，此时、无符合题意的取值，不符合题意； 当时，此时，，即这个“天天向上数”为， 当时，此时，，即这个“天天向上数”为， 当时，此时，，即这个“天天向上数”为； 当时，解得或或或， ∵， ∴当时，此时，，即这个“天天向上数”为， 当时，此时、无符合题意的取值，不符合题意； 当时，此时、无符合题意的取值，不符合题意； 当时，此时、无符合题意的取值，不符合题意； 当时，解得， ∵， ∴当时，此时、无符合题意的取值，不符合题意； 综上所述，符合题意的“天天向上数”为，，，， ∵， ∴， 故答案为：，． 题型八：与实数运算相关的规律题 例1．拓展探究题：复数的乘方规律探究 【阅读材料】 ，则的平方根为； ，则的平方根为． 在实数范围内，负数没有平方根．数学家引入新数，规定，拓展出复数范围． 举例：，则的平方根为； 观察的乘方运算： ，，，，，，… 【发现规律】 (1)求的平方根； 【规律应用】 (2)计算的值； (3)计算的值； 【规律拓展】 (3) 简便计算：的值． (1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据阅读材料，即可解决； （2）先确定循环周期为4，将指数2027除以4求得余数为3，可知，即可求解； （3）先算一个周期的和为0，再用总项数2027除以4得到506个周期余3项，可知剩余项为，根据总和＝周期和×周期数＋剩余项和，即可求解； （4）先确定总项数为12，再用总项数12除以4得到3个完整周期，根据每个周期的和为0 ，即可求解． 【详解】（1）解：，则的平方根为； （2）解：∵，，，，，，… ∴循环周期为4， ∴， ∴， （3）解：∵一个周期内4项和为：，且从到共2027项， ∴， ∴， ， ， ， ； （4）解：∵从到共项， ∴， ∴． 变式练习 1．小明是一位善于思考．勇于创新的同学．在学习了有关平方根的知识后，小明知道负数没有平方根．比如：因为没有一个数的平方等于，所以没有平方根．有一天，小明想：如果存在一个数，使，那么，因此就有两个平方根了．进一步，小明想：因为，所以的平方根是；因为，所以的平方根就是．请你根据上面的信息解答下列问题： （1）求，的平方根； （2）求，，，，，，…的值，你发现了什么规律？请你将发现的规律用式子表示出来； （3）求的值． （1），；（2），，，，，；规律：，，，（其中是正整数）；（3）． 【分析】（1）仿照题干信息，直接求，的平方根即可； （2）从开始，逐次往后推导，即可得出，，，，，，…的值，从而根据每一个的结论总结规律即可； （3）在（2）的基础之上，结合周期性规律求解即可． 【详解】（1）∵， ∴的平方根是， ∵， ∴的平方根是． （2）， ， ， ， ， ，…， 规律是：每四个相邻次方为一个循环， 用式子表示为：，，，（其中是正整数）． （3）由（2）可知，中，相邻四个数的和为0， ∵， ∴原式． 【点睛】本题考查平方根的拓展应用，掌握平方根的基本定义，以及；理解题干中给出的定义是解题关键． 例2．观察下列各式的化简过程 ① ② ③ (1)写出①式的具体化简过程； (2)从上面的式子看，你发现了什么规律？请用字母表示出来____________； (3)利用上面的规律计算：． (1) 解：； (2) (3)2007 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的运算： （1）利用分母有理化进行化简即可； （2）根据给定的等式，写出规律即可； （3）利用规律裂项相加，再利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）由题意，得： 故答案为：； （3）原式 ． 变式练习 1．观察下列等式： ； ； ； 回答下列问题： (1)______； (2)______；为正整数 (3)利用上面所揭示的规律计算：． (4)拓展升华：若求的值 (1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了二次根式的化简求值，数字规律，完全平方公式变形求值； （1）各式分母有理化，计算即可求出值； （2）分母有理化，计算即可求出值； （3）根据规律化简原式各项后，计算即可求出值； （4）原式利用完全平方公式化简后，把x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）解： ； （4）解：， ， ∴，， 则 2．观察下列算式，你发现了什么规律？ ；，；；… (1)根据你发现的规律，计算下面算式的值：； (2)请用一个含n的算式表示这个规律： ； (3)根据你发现的规律，计算下面算式的值：． (1)225； (2)； (3)14175． 【分析】（1）根据所给的等式的形式进行求解即可； （2）分析所给的等式，不难得出结果； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： =225； （2）解：∵； ； ； … ∴， 故答案为：； （3）解：依题意得： =14400-225 =14175． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． 1 学科网（北京）股份有限公司 $