第10章 数的开方（高效培优讲义）数学华东师大版2024八年级上册

该初中数学“数的开方”单元复习讲义通过知识框架图系统梳理了平方根、立方根、实数等核心内容，用对比表格呈现平方根与算术平方根的区别联系，以考点清单形式串联开方运算、无理数估算等知识，突出概念辨析和运算规律的内在逻辑。 讲义亮点在于分层题型设计，如“算术平方根非负性应用”题型通过“若√a+√b=0则a=b=0”实例培养推理意识，“无理数夹逼法估算”结合数轴培养几何直观。每个题型配典例和变式题，基础题巩固概念，综合题提升运算能力，助力学生自主复习，也为教师精准教学提供支持。

第10章 数的开方 教学目标 1.掌握平方根、算术平方根、立方根的定义、表示方法及性质，明确平方与开平方、立方与开立方的互逆关系。 2.理解无理数、实数的概念，能对实数进行分类，知道实数与数轴上的点一一对应。 3.熟练进行开方运算，能估算无理数的大致范围，会进行简单的实数大小比较与混合运算。 4.能运用开方知识解决实际问题及相关方程求解，辨析概念易错点。 5.体会数系扩张的意义，培养数感与严谨的数学思维。 教学重难点 1.重点 （1）平方根、算术平方根、立方根的概念辨析与规范表示。 （2）开方运算的法则与实际应用。 （3）实数的概念、分类及与数轴的对应关系。 （4）无理数的识别与估算方法。 2.难点 （1）平方根与算术平方根的区别与联系。 （2）无理数“夹逼法”估算的精度控制与逻辑推理。 （3）实数混合运算中符号、运算顺序的准确把握。 （4）含平方根、立方根的非负性问题应用。 考点01平方根的概念与性质 1.平方根定义：如果一个数的平方等于，那么这个数叫作的平方根（记作，）； 2.算术平方根定义：正数的正的平方根叫作的算术平方根（记作，），0的算术平方根是0； 核心性质：①正数有两个平方根，互为相反数； ②0的平方根和算术平方根均为0； ③负数没有平方根； ④算术平方根具有双重非负性（且）。 考点02立方根的概念与性质 1.立方根定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫作的立方根（记作）； 2.核心性质：①任意实数都有且只有一个立方根； ②正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0； ③立方根与立方运算互为逆运算（，）。 考点03开方运算（开平方与开立方） 1.开平方：求非负数平方根的运算，被开方数必须是非负数； 2.开立方：求任意实数立方根的运算，被开方数可为任意实数； 3.运算关系：开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算； 4.解方程：①（）的解为； ②的解为。 考点04无理数与实数的概念 1.无理数定义：无限不循环小数（常见形式：开方开不尽的数，如、；含的数，如；无限不循环小数，如）； 2.实数定义：有理数和无理数统称为实数； 3.实数分类：①按定义分为有理数（有限小数或循环小数）和无理数（无限不循环小数）； ②按正负分为正实数、0、负实数。 考点05实数与数轴的关系 1.核心结论：实数与数轴上的点一一对应； 2.应用：①在数轴上表示无理数（如利用正方形对角线、勾股定理构造长度为无理数的线段）； ②根据数轴上点的位置判断实数的大小、符号及绝对值化简。 考点06实数的大小比较 1.基本法则：①正数>0>负数； ②两个正数，绝对值大的数大； ③两个负数，绝对值大的数小； ④数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数； 2.常用方法：数轴比较法、绝对值法、估算法、平方（立方）法、近似值法、中间值法、作差法、特殊值法。 考点07实数的运算 1.运算依据：有理数的运算法则（加、减、乘、除、乘方）和运算律（交换律、结合律、分配律）在实数范围内仍然适用； 2.运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右，有括号先算括号内的； 3.特殊运算：①非负实数的开平方运算； ②任意实数的开立方运算； ③无理数的近似计算（精确到指定位数）。 考点08算术平方根的非负性应用 核心性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0（常见非负数：、、）； 典型题型：已知，求、、的值或相关代数式的值。 考点09无理数的估算与整数、小数部分 估算方法：利用“夹逼法”确定无理数的取值范围（如，）； 整数与小数部分：若（为正整数），则的整数部分为，小数部分为。 考点10开方运算的实际应用 1.几何应用：①求正方形的边长（已知面积，边长为面积的算术平方根）； ②求正方体的棱长（已知体积，棱长为体积的立方根）； ③利用勾股定理求线段长度（结果含无理数）； 2.实际问题：解决与体积、面积相关的实际问题（如蓄水池棱长计算、材料裁剪中的长度计算等）。 题型01平方根与算术平方根的辨析 方法技巧：①明确平方根（表示为，，正数有两个互为相反数的平方根）与算术平方根（表示为，，唯一非负）的定义区别； ②牢记0的平方根和算术平方根均为0，负数没有平方根； ③判断时先化简被开方数，再根据定义验证。 【典例1】．（25-26八年级上·上海松江·期中）下列说法正确的是（    ） A．4的平方根是2 B．的平方根是 C．4是2的算术平方根 D．的算术平方根是2 【答案】D 【分析】本题考查平方根和算术平方根的概念．根据定义，正数的平方根有两个且互为相反数，算术平方根是非负的；负数没有实数平方根，据此逐项判断即可． 【详解】解：∵ 4的平方根是，A只给出2，故A错误； ∵ 负数没有平方根，故B错误； ∵ 2的算术平方根是，不是4，故C错误； ∵，4的算术平方根是2，故D正确． 故选：D． 【变式1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）下面的说法中，正确的是（    ） A．一个数的算术平方根一定是正数 B．的算术平方根是2 C．是的算术平方根 D．如果，那么没有意义 【答案】B 【分析】本题考查了对算术平方根的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．根据算术平方根的意义，求出各个数，再判断即可． 【详解】A．0的算术平方根是0，故本选项不符合题意； B．，4的算术平方根是2，正确，故本选项符合题意； C．是的平方根中负的那一个，7才是的算术平方根，故本选项不符合题意； D．如果，则，那么有意义，故本选项不符合题意． 【变式2】．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）若一个正数的平方根分别为和，则这个正数是（   ） A．7 B．49 C．3 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的性质与定义，熟练掌握平方根的性质与定义是解题的关键．利用正数的平方根互为相反数的性质，列出方程求解，再求平方根，最后得到这个正数。． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， 化简得：， ∴， 则这个数的平方根为和， ∴这个正数为， 故选：D． 【变式3】．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）下列命题中正确的是（    ） A．4的平方根是2 B．16的负的平方根是 C．任何数的平方根都是正数 D．任何数的算术平方根都是正数 【答案】B 【分析】根据平方根，算术平方根解答即可． 本题考查了平方根，算术平方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. 4的平方根是，错误，不符合题意； B. 16的负的平方根是，正确，符合题意； C. 0的平方根是0，错误，不符合题意； D. 0的算术平方根是0，错误，不符合题意； 故选：B． 题型02直接求平方根、立方根 方法技巧：①平方根：被开方数需满足，结果为，化简时先分解因数（如）；②立方根：被开方数为任意实数，结果为，牢记；③特殊数速记：，，，。 【典例1】．（25-26八年级上·甘肃天水·期中）16的平方根是（   ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根， 根据平方根的定义，一个正数的平方根有两个，互为相反数． 【详解】解：∵， ∴16的平方根是． 故选：B． 【变式1】．（25-26七年级上·浙江温州·期中）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，求一个数的平方根，求一个数的立方根，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据平方根，立方根，算术平方根的意义，对四个式子逐一分析，再作判断． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误． 故选：C． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）下列说法不正确的是（  ） A．的算术平方根是 B． C．的平方根是 D．的立方根是 【答案】D 【分析】本题考查平方根、算术平方根和立方根的概念，注意区分立方根与平方根． 根据算术平方根、平方根和立方根的定义判断各选项的正确性即可． 【详解】解：A．0的算术平方根是0，正确，不符合题意； B．，正确，不符合题意； C．25的平方根是，正确，不符合题意； D．∵，∴9的立方根不是3，而是，故原说法不正确，符合题意． 故选D． 【变式3】．（25-26八年级上·福建漳州·期中）的立方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的立方根，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据立方根的定义求解． 【详解】解：的立方根为， 故答案为：． 题型03利用开方运算解方程 方法技巧：①平方型方程（或）：先化为（或），再开平方得（或），注意； ②立方型方程（或）：直接开立方得（或），无需考虑符号； ③解方程后需检验结果是否符合题意（如实际问题中边长为正）。 【典例1】．（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）解方程： 【答案】或 【分析】本题考查了利用平方根的性质解方程，解题的关键是熟练掌握平方根的定义． 先将原方程变形为，再由平方根的性质解方程． 【详解】解： ， ∴或 【变式1】．（25-26八年级上·山东济南·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了根据平方根与立方根的定义解方程，熟练掌握平方根与立方根的定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可求解； （2）先变形为，再根据立方根的定义，解方程即可求解． 【详解】（1）解： ， 解得：或； （2）解： ∴， 解得：． 【变式2】．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查平方根和立方根，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）方程直接开立方求解即可； （2）原式移项变形后直接开平方求解即可． 【详解】（1）解：， ， 解得； （2）解：， ， ， 即或． 【变式3】．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根解方程，解题关键是熟记平方根与立方根的相关概念， （1）移项后，转化为的形式，利用平方根的定义进行开方，从而求出未知数的值； （2）移项后，转化为的形式，利用立方根的定义进行开立方，从而求出未知数的值． 【详解】（1）解： ∴， ∴，； （2）解： ∴． 题型04无理数的识别与实数分类 方法技巧：①无理数判断标准：无限不循环小数（含开方开不尽的数，如；含的数，如；规律不循环小数，如）； ②实数分类：按定义分为有理数（有限小数、循环小数）和无理数，按正负分为正实数、0、负实数； ③注意（有理数）、（无理数）的区分。 【典例1】．13．（25-26八年级上·四川巴中·期中）在下列各数中，，，，，无理数个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是依据“无理数是无限不循环小数”的概念，区分有理数与无理数．逐一判断每个数的类型，统计其中无理数的个数． 【详解】解：根据无理数（无限不循环小数）的定义，逐一判断 是开方开不尽的无限不循环小数，是无理数； 中是无限不循环小数，故是无理数； 是有限小数，是有理数； 是无限循环小数，是有理数； 是分数，是有理数． 综上，无理数有2个，此选项B符合题意． 故选：B． 【变式1】．（25-26七年级上·山东泰安·期中）下列各数：，，，（每相邻的和之间的个数逐次加），，，其中是无理数的有（   ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数．根据“无限不循环小数是无理数”，即可求解． 【详解】解：无理数有（每相邻的和之间的个数逐次加），，，共个， 故选：B． 【变式2】．（25-26七年级上·浙江温州·期中）已知下列实数：①②③，④0，⑤⑥⑦，⑧（每两个“3”之间依次多一个“1”）（只需填写序号）其中整数有：___________；分数有：___________；无理数有：___________． 【答案】②④；①③⑥；⑤⑦⑧ 【分析】本题主要考查了有理数的定义，无理数的定义，无理数是无限不循环小数，初中范围内常见的无理数有三类：①类；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此结合整数和分数的定义求解即可． 【详解】解：， 整数有②④， 分数有①③⑥， 无理数有⑤⑦⑧， 故答案为：②④；①③⑥；⑤⑦⑧． 【变式3】．（25-26七年级上·浙江金华·期中）请把下列各数的序号填入相应的集合中：①，②，③0，④，⑤，⑥，⑦，⑧2025，⑨…（每两个4之间的0依次多一个）． (1)整数集合：______…； (2)分数集合：______…； (3)负数集合：______…； (4)无理数集合：______…． 【答案】(1)③⑥⑧ (2)①②⑤⑦ (3)⑥⑦⑨ (4)④⑨ 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键．分别根据整数、分数、负数和无理数的定义进行解答即可． （1）根据整数的概念求解即可； （2）根据分数的概念求解即可； （3）根据负数的概念求解即可； （4）根据无理数的概念求解即可． 【详解】（1）整数集合：③⑥⑧； （2）分数集合：①②⑤⑦； （3）负数集合：⑥⑦⑨； （4）无理数集合：④⑨． 题型05算术平方根的双重非负性应用 方法技巧：①双重非负性：（算术平方根本身非负）且（被开方数非负）； ②常见题型：若或，则且； ③解题时先列不等式组确定字母取值范围，再代入求值。 【典例1】．（25-26八年级上·北京昌平·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】根据非负数的性质，算术平方根和绝对值都非负，它们的和为零，则每个部分必须为零； 本题考查了代数式求值，算术平方根和绝对值的非负性，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ 且 ， ∴且， 解得，， 则． 故答案为：． 【变式1】．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，立方根等知识，根据非负数的性质，平方项和算术平方根项均非负，它们的和为零，则每个部分均为零，从而求出和的值，再计算并求其立方根． 【详解】解：∵， ∴ ，， ∴，， 解得，， ∴， ∴的立方根为， 故答案为：． 【变式2】．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知a，b为实数，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根和平方项的非负性，代数式求值；根据非负数的性质，算术平方根和平方项均非负，它们的和为零，则每个部分均为零，从而求出和的值． 【详解】解： ， ，且 ， 且 ， ，即， ，即， 则 ， ． 故答案为：． 【变式3】．（25-26八年级上·河北邢台·期中）已知实数a，b满足，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根和平方的非负性，根据算术平方根和平方的非负性，求出和的值，再计算的值，最后求其立方根即可． 【详解】 ，，且， ，， 即，， ，， ， ， 的立方根为（因为）． 故答案为：． 题型06无理数的估算 方法技巧：①“夹逼法”核心：找到无理数所在的两个连续整数的平方(或立方)，如估算：，； ②估算整数部分：的整数部分为小于的最大整数，小数部分为整数部分； ③精度要求时，可进一步细化(如)。 【典例1】．（25-26八年级上·上海闵行·期中）的十分位上的数字是 ． 【答案】6 【分析】本题考查无理数的估算，利用夹逼法，求出的范围，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴ 在 2.6 和 2.7 之间， 故的十分位上的数字为6． 故答案为：6． 【变式1】．（25-26七年级上·浙江温州·期中）实数在两个相邻的正整数之间，这两个正整数是（   ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法求出的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【变式2】．（25-26九年级上·重庆·期中）已知，则整数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解决本题的关键． 先将原不等式化简为 ，通过估算的范围，确定的取值范围，从而得到整数 ． 【详解】解：原不等式化简为 ， 由题意可知， 为 的整数部分， ，且 ， ， 则 ， 故整数 ， 故选：C． 【变式3】．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）估算 在哪两个整数之间（　　） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．由于，然后利用算术平方根即可得到． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 题型07实数的大小比较 方法技巧：①基础法则：正数>0>负数，两个负数比较绝对值大的反而小； ②常用方法：平方法(适用于正无理数，如比较与，平方后，故)、估算法(化为近似值比较)、作差法()； ③立方根比较：(任意实数适用)。 【典例1】．（25-26八年级上·陕西安康·期中）比较大小： ．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较；根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小． 【详解】解：，． 由于（因为）， 所以， 因此． 故答案为：． 【变式1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）用估算法比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和； (3)和5． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了无理数的估算，实数的大小比较． （1）估算出的大小后与比较即可； （2）估算出的大小后与比较即可； （3）估算出的大小后与5比较即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∴， ∴． （3）∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，若，则；若，则；若，则． 例：比较和2的大小． 由“作差法”得，因为，所以，所以，所以． 请你根据上面的方法解决下列问题： (1)比较和1的大小； (2)比较和7的大小． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查无理数的估算，实数的大小比较． （1）根据“作差法”比较大小即可； （2）根据“作差法”比较大小即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3】．（25-26八年级上·山西运城·期中）本学期我们在《实数》中，学习了平方根和立方根，如表是平方根和立方根的部分内容． 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫作的平方根或二次方根． 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫作的立方根或三次方根． 运算 求一个数的平方根的运算，叫作开平方． 开平方与平方互为逆运算． 求一个数的立方根的运算，叫作开立方． 开立方与立方互为逆运算． 性质 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数 的立方根是负数． 表示 方法 正数的平方根可以用“”表示，读作 “正负根号”． 一个数的立方根可以用“”表示，读作 “三次根号”． 我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根． (1)探究定义：类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义： ； (2)探究性质： ①的四次方根是 ；的四次方根是 ； ②类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ． (3)巩固与应用 ①计算： ； ②比较大小： ． 【答案】(1)如果一个数的四次方等于，即，那么这个数叫作的四次方根 (2)① ；；②正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根 (3)①；② 【分析】本题考查了实数的大小比较，平方根和立方根的意义，四次方根的定义、性质和应用，运用类比思想得出四次方根的定义和性质是解答本题的关键． （1）类比平方根的定义解答即可； （2）根据四次方根的定义求解即可； （3）根据四次方根的运算法则进行计算，并利用乘方法比较大小即可． 【详解】（1）解：根据题意得：类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义：一般地，如果一个数的四次方等于，那么这个数叫作的四次方根． 故答案为：一般地，如果一个数的四次方等于，即，那么这个数叫作的四次方根； （2）①根据题意：的四次方根是；的四次方根是； 故答案为：；； ②四次方根的性质：正数有两个四次方根，它们互为相反数，的四次方根是，负数没有四次方根； 故答案为：正数有两个四次方根，它们互为相反数，的四次方根是，负数没有四次方根； （3）①， 故答案为：； ②∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 题型08求无理数的整数部分与小数部分 方法技巧：①步骤：先确定无理数的整数部分(为最大整数且)； ②小数部分无理数整数部分(如的整数部分为，小数部分为)； ③注意：小数部分一定为正数，负数的无理数需先变形(如的整数部分为，小数部分为)。 【典例1】．（25-26八年级上·山东济南·期中）已知，则的整数部分是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了无理数的估算，熟练掌握算术平方根定义，是解题的关键．通过比较平方数确定和的整数部分，从而得出a的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴a的整数部分是3． 故答案为：3． 【变式1】．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知的整数部分是，小数部分是，则的值是（  ） A．−3 B．​ C．3 D．​ 【答案】C 【分析】此题主要考查了无理数的估算，通过估算的值，确定的整数部分a 和小数部分b，然后代入表达式计算即可． 【详解】解：∵ ，即 ， ∴ ， ∴整数部分，小数部分 ， ∴ ． 故选：C． 【变式2】．（25-26八年级上·陕西西安·期中），，均为实数，且，是的整数部分． (1)______，______，______． (2)求的算术平方根． 【答案】(1)1；；6 (2)5 【分析】本题考查了平方根，无理数大小估算，算术平方根和偶次幂的非负性，熟练掌握相关概念及运算是解题的关键． （1）根据非负数的性质可得，从而求出a，b的值，再利用无理数大小估算求出c的值； （2）把a，b，c的值代入，再根据平方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵c是的整数部分， ∴； （2）解：当，时， ， ∴的算术平方根为． 【变式3】．（25-26八年级上·四川巴中·期中）同学们知道，所以的整数部分是1，小数部分是． 已知：且的立方根是它本身，的算术平方根是2． (1)直接写出：______，______； (2)求的平方根； (3)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 【答案】(1)1，4 (2)±3 (3) 【分析】本题考查了立方根、算术平方根、平方根的定义及无理数整数部分与小数部分的确定，解题的关键是掌握立方根、算术平方根的概念，以及无理数整数部分与小数部分的区分方法． （1）根据“立方根是本身的正数”和“算术平方根的定义”分别求、； （2）代入、计算，再求其平方根； （3）先计算的值，确定其整数部分与小数部分，再求． 【详解】（1）解：立方根是本身的正数为，故；算术平方根为的数是，故． 故答案为：；． （2）解：，的平方根是 答：的平方根是． （3）解：， ∵， ∴，，． 答：的值是． 题型09开方运算的规律探究 方法技巧：①平方根规律：被开方数的小数点向右(左)移动位，算术平方根的小数点向右(左)移动位(如，，)； ②立方根规律：被开方数的小数点向右(左)移动位，立方根的小数点向右(左)移动位(如，，)； ③倍数关系：若()，则，。 【典例1】．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）小明利用计算器得到，．根据这些数据猜想： ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根，算术平方根的规律计算，理解题意，找出计算规律是关键．根据材料提示找出规律即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【变式1】．（25-26八年级上·上海·期中）已知，，，，则的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根，算术平方根，熟练掌握其性质是解题的关键．根据立方根的性质：被开立方数的小数点向左（或向右）移动三位，那么其立方根的小数点向左（或向右）移动一位即可求得答案． 【详解】解：由，得； ∵，， 故 故答案为：． 【变式2】．（25-26八年级上·山东青岛·期中）观察下表，我们可以发现被开方数和它的算术平方根的变化规律： a 1 100 10000 1000000 1 10 100 1000 根据发现的规律，若，，那么的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查的是算术平方根的探索规律题． 通过观察表格，发现被开方数每扩大或缩小100倍，其算术平方根相应地扩大或缩小10倍．已知和，比较可知是的倍，因此是3的 倍． 【详解】解：由表格规律可知，被开方数与算术平方根满足： 被开方数每扩大或缩小100倍，其算术平方根相应地扩大或缩小10倍． 已知，， 因为，即， 所以． 故答案为：． 【变式3】．（25-26八年级上·安徽·阶段练习）观察规律并回答下列问题：，，，…． (1)______，______； (2)若，，则______；（用含的代数式表示） (3)当时，根据上述规律比较与的大小关系． 【答案】(1)， (2) (3)当时，；当时，；当时， 【分析】本题考查了立方根、与立方根有关的规律探索，正确发现一般规律是解题关键． （1）根据已知可得被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则立方根的小数点向右（或向左）移动1位，由此即可得； （2）根据上述规律和可得，由此即可得； （3）根据立方根的性质可得，，再根据上述规律可得，，则、和三种情况进行分析即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则立方根的小数点向右（或向左）移动1位， ∴，， 故答案为：，． （2）解：∵，，且， ∴， ∴， 故答案为：． （3）（3）由题意知，，． ①当时，； ②当时，，此时； ③当时，． 综上，当时，；当时，；当时，． 题型10实数与数轴综合 方法技巧：①实数与数轴一一对应：数轴上右边的点表示的数大于左边的点； ②求数轴上点表示的数：利用勾股定理求线段长度(如边长为1的正方形对角线为)，再结合起点坐标计算； ③化简含绝对值、根号的式子：先根据数轴判断字母正负(如)，再化简，。 【典例1】．（25-26七年级上·江苏·月考）如果数轴上点A表示，则A点与原点距离为 ． 【答案】 【分析】此题重点考查学生对数轴上的点的认识，把握点到原点的距离是解题的关键． 先估计的大小，再求A到原点的距离． 【详解】因为，， 所以A点与原点距离为， 故答案为：． 【变式1】．（25-26八年级上·上海普陀·期中）如图，已知点、、是数轴上的三个点，且点是线段的中点，若点、所对应的实数依次是、，则点所对应的实数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数与数轴，数轴上两点之间的距离．根据点是线段的中点得到，再由数轴上两点之间的距离公式求解． 【详解】解：点所对应的实数是， 故选：D． 【变式2】．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向左爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)实数的值是 ； (2)求的值； (3)在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的立方根． 【答案】(1) (2)1 (3)2 【分析】本题考查数轴上两点的距离公式，实数的混合运算，非负数的性质，求一个数的立方根． （1）由题意可直接求出的值是； （2）将（1）所求的值代入计算即可； （3）根据相反数的定义可得出，再根据绝对值和算术平方根的非负性可求出，，进而可求出的立方根． 【详解】（1）解：实数m的值是． 故答案为：； （2） ． ． （3）∵与互为相反数， ∴ ∴， ∴， ∴， 则的立方根为． 【变式3】．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个大正方形．       (1)则大正方形的边长为______； (2)将图1中的正方形放到数轴上，如图2，点表示的数为－1，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，把点翻滚到数轴上时，记为第一次翻滚；点翻滚到数轴上时记为第二次翻滚，经过三次翻滚，点滚到数轴上的点时，点表示的数为_________； (3)是否存在正整数，使得该正方形经过次翻滚后，其顶点、、、中某个点与数轴上的2025重合？答：_________（填“存在”或“不存在”）； (4)在（2）的基础上以数2对应的点为折点，将数轴向右对折，则点与数_______对应的点重合． 【答案】(1) (2) (3)不存在 (4) 【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根，读懂题意是解题的关键． （1）根据题意可求出正方形的面积，进而得到正方形的边长； （2）根据点A表示的数和正方形的边长即可得到点P表示的数； （3）设存在正整数n，则，由进行判断即可求解； （4）设点D与数x对应的点重合，根据对折可得，，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，正方形的面积为：， ∴边长为：； 故答案为：； （2）∵点A表示的数为，正方形的边长为， ∴第一次翻滚后B表示的数为， 第二次翻滚后C表示的数为， 第三次翻滚后D表示的数为， ∵经过三次翻滚，点D滚到数轴上的点P， ∴点P表示的数为； 故答案为：； （3）设存在正整数n，则， ∴， ∵n为正整数， ∴为有理数，而为无理数， ∴上述等式不成立，即不存在正整数n； 故答案为：不存在； （4）设点D与数x对应的点重合， 由题意得：， 解得：， ∴点D与数对应的点重合． 故答案为：． 题型11数的开方实际应用 方法技巧：①常见场景：正方体体积求棱长()、正方形面积求边长()、长方形折叠问题(利用勾股定理求对角线长度)； ②单位统一：先统一长度单位(如），再代入公式计算； ③结果验证：实际问题中边长、长度需为正数，结果需符合实际精度要求（如保留整数或一位小数）。 【典例1】．（25-26八年级上·上海闵行·期中）如图①，由8个同样大小的正方体组成一个“二阶魔方”，整个魔方的体积为．图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，若把正方形放到数轴上，如图②．使得点与重合．若以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴交于点，那么点在数轴上表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出正方形的边长． 先用立方体的体积公式求出魔方的棱长，然后再求出侧面的面积，进而可求出的边长，进而可求出点代表的数． 【详解】解：∵魔方的体积为， ∴魔方的棱长为：， ∴侧面面积为：， ∴正方形的面积为：， ∴正方形的边长为：， ∴点与重合．若以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴交于点，点在数轴上表示的数为， 故答案为： ． 【变式1】．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形），若每个小正方形的边长为1，点表示的数为． (1)图中正方形的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？ (2)若阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为，求的值； (3)若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点滚到与点重合时，记为第一次翻滚，如图所示，翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推，请直接回答： ①点表示的数为多少？ ②若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，经过2025次翻滚后与数轴上的点重合，点表示的数为多少？ 【答案】(1)13；；在3和4之间； (2) (3)①；② 【分析】本题考查实数与数轴，算术平方根，无理数的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四周四个小直角三角形的面积，据此求解面积即可；再利用算术平方根的定义求出边长，最后利用无理数的估算方法即可得到答案； （2）利用无理数估算的方法即可求得和；将和代入计算即可； （3）①根据点表示的数和正方形的边长即可得到点P表示的数，②根据每次翻滚增加正方形边长，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得，正方形的面积为， ∴正方形的边长为； ∵， ∴， ∴在3和4之间； （2）解：由（1）可得的整数部分为3，小数部分为， ∴， ∴； （3）解：①由题意得，点P表示的数为； ②∵正方形的边长为， ∴每翻滚一次，相当于向右运动， ∵经过2025次翻滚后与数轴上的点重合， ∴点表示的数为 【变式2】．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确列出算式，是解题的关键： （1）根据直角三角形的面积公式列式计算即可； （2）利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）解：由题意，三角形的面积为； （2）由题意， ． 【变式3】．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）【阅读与思考】请阅读下面材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，．所以． 小明：，． 这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以． 任务： (1)猜想：当，时，和之间存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算： ； ． (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积． 【答案】(1) (2)①24；②77 (3)15 【分析】本题考查了两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积的关系，解题的关键是： （1）根据已知可得，即可求解； （2）①根据关系得，即可求解； ②根据关系得，即可求解； （3）可得面积为，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：①； ②； （3）解：根据题意，得， 答：这个长方形的面积15． 题型12新定义运算与开方结合 方法技巧：①理解新定义：明确运算规则(如定义)，将新运算转化为常规开方运算； ②注意取值范围：新运算中被开方数需满足非负性(如，为任意实数)； ③代入计算：按规则分步运算，先算括号内，再算开方(如)。 【典例1】．（25-26七年级上·福建三明·期中）定义一种新运算“”：对于任意的有理数a，b，，例如． (1)计算：，． (2)若，求m的值； (3)判断运算“”是否满足交换律与结合律，并说明理由． 【答案】(1)1，4 (2)或 (3)运算“”是满足交换律，不满足结合律，理由见解析 【分析】本题考查了新定义运算的理解与应用，绝对值方程的求解及运算律的判断与证明． （1）直接应用新运算“”的定义，分别计算单步运算和带括号的复合运算，先算括号内的和再取绝对值； （2）根据新定义运算将转化为绝对值方程，利用绝对值的几何意义得到两个一元一次方程，求解得m的两个解； （3）对于交换律：验证与是否相等，通过加法交换律和绝对值的非负性证明两者结果一致；对于结合律：通过选取具体数值计算左右两边的结果，发现结果不相等，从而说明结合律不成立． 【详解】（1）解：， ． （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴或． （3）解：运算“”是满足交换律，不满足结合律． 理由：∵，， ∴， ∴运算“”是满足交换律， 假设，，， ∵，， ∴， ∴运算“”不满足结合律． 【变式1】．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）小海说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．”然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．小华看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？请计算 （括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）． 【答案】 【分析】本题考查新定义下的运算，绝对值，有理数的加法，掌握知识点是解题的关键． 根据给定的算式，分析“*”运算的法则：当两个数同号时，结果为它们的绝对值之和；当两个数异号时，结果为它们的绝对值之和的相反数；当有一个数为0时，结果为另一个数的绝对值（始终为非负）．先计算括号内的表达式，再计算外层的即可． 【详解】解：首先计算：由于有一个数为0，结果为另一个数的绝对值，即，∴． 然后计算：由于两数异号，结果为它们的绝对值之和的相反数，即． 故答案为：． 【变式2】．（25-26七年级上·北京朝阳·期中）我们知道、、，那么谁的平方等于负数呢？ 我们定义：的平方等于，即，叫作虚数单位． 这样我们即可知，、… 有了虚数之后，数的范围便拓展了，我们把实数和虚数的复合，形如（、为实数）的数叫作复数，叫作这个数的实部，叫作这个数的虚部，复数有如下特点： ①它的加减法和乘法运算，与整式的加减法运算类似，如： ； ②若两个复数的实部相等，且虚部互为相反数，则称这两个复数为共轭复数．如：的共轭复数为． (1)填空： ①；②______； ③______；④______； (2)若是的共轭复数，求的值； (3)已知一个复数（为正数）与它的共轭复数之和为，与它的共轭复数之差为，求的值． 【答案】(1)①或；②；③；④14 (2)3 (3)0 【分析】本题考查了新定义实数的运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据运算法则计算即可得解； （2）根据共轭复数的定义求出，，代入所求式子计算即可得解； （3）由题意可得一个复数（为正数）的共轭复数为，从而求出，，代入所求式子计算即可得解． 【详解】（1）解：①，， 故答案为：或； ②， 故答案为：； ③， 故答案为：； ④， 故答案为：； （2）解：∵是的共轭复数，，即，其共轭复数为 ∴，， ∴； （3）解：由题意可得一个复数（为正数）的共轭复数为， ∵一个复数（为正数）与它的共轭复数之和为，与它的共轭复数之差为， ∴，， ∴，， ∴． 【变式3】．（25-26七年级上·河南开封·期中）【知识迁移】我们已经知道：求若干个相同有理数（均不等于0）的乘法运算叫作乘方．类比乘方的定义，我们规定：求若干个相同有理数（均不等于0）的除法运算叫作除方． 如：，等，我们把记作，读作“2的3次商”，记作读作“的4次商”．一般地，我们把个相除记作，读作“的次商”． 根据以上信息，完成下列问题． (1)直接写出结果：_______，_______． (2)关于除方，下列说法错误的是（   ） A．任何非零数的2次商都等于1 B．对于任何正整数， C．除零外的互为相反数的两个数的偶次商都相等，奇数次商互为相反数 D．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数 (3)深入思考：除法运算能转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式：_______，_______，_______（其中，为正整数） (4)综合应用：算一算：． 【答案】(1)；． (2)B (3)；； (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算、有理数乘方运算、有理数的乘法运算律等知识点，理解新定义是解题的关键． （1）直接利用题中的新定义运算计算求值即可； （2）用题中的新定义运算逐项分析判断即可； （3）直接利用题中的新定义运算计算求值即可； （4）先利用题中的新定义运算法则原式，然后运用含的有理数混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：，． 故答案为：；． （2）解：A．任何非零数的2次商都等于1，故该选项说法正确，不符合题意； B．根据定义，表示个相除，由除方和乘方的转化关系可得，，因为为偶数，所以，因此，原说法错误，故该选项符合题意； C．除零外的互为相反数的两个数的偶数次商都相等，奇数次商互为相反数，说法正确，不符合题意； D．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，说法正确，不符合题意． 故选：B． （3）解：， ， ． 故答案为：；；． （4）解： ． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10章 数的开方 教学目标 1.掌握平方根、算术平方根、立方根的定义、表示方法及性质，明确平方与开平方、立方与开立方的互逆关系。 2.理解无理数、实数的概念，能对实数进行分类，知道实数与数轴上的点一一对应。 3.熟练进行开方运算，能估算无理数的大致范围，会进行简单的实数大小比较与混合运算。 4.能运用开方知识解决实际问题及相关方程求解，辨析概念易错点。 5.体会数系扩张的意义，培养数感与严谨的数学思维。 教学重难点 1.重点 （1）平方根、算术平方根、立方根的概念辨析与规范表示。 （2）开方运算的法则与实际应用。 （3）实数的概念、分类及与数轴的对应关系。 （4）无理数的识别与估算方法。 2.难点 （1）平方根与算术平方根的区别与联系。 （2）无理数“夹逼法”估算的精度控制与逻辑推理。 （3）实数混合运算中符号、运算顺序的准确把握。 （4）含平方根、立方根的非负性问题应用。 考点01平方根的概念与性质 1.平方根定义：如果一个数的平方等于，那么这个数叫作的平方根（记作，）； 2.算术平方根定义：正数的正的平方根叫作的算术平方根（记作，），0的算术平方根是0； 核心性质：①正数有两个平方根，互为相反数； ②0的平方根和算术平方根均为0； ③负数没有平方根； ④算术平方根具有双重非负性（且）。 考点02立方根的概念与性质 1.立方根定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫作的立方根（记作）； 2.核心性质：①任意实数都有且只有一个立方根； ②正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0； ③立方根与立方运算互为逆运算（，）。 考点03开方运算（开平方与开立方） 1.开平方：求非负数平方根的运算，被开方数必须是非负数； 2.开立方：求任意实数立方根的运算，被开方数可为任意实数； 3.运算关系：开平方与平方互为逆运算，开立方与立方互为逆运算； 4.解方程：①（）的解为； ②的解为。 考点04无理数与实数的概念 1.无理数定义：无限不循环小数（常见形式：开方开不尽的数，如、；含的数，如；无限不循环小数，如）； 2.实数定义：有理数和无理数统称为实数； 3.实数分类：①按定义分为有理数（有限小数或循环小数）和无理数（无限不循环小数）； ②按正负分为正实数、0、负实数。 考点05实数与数轴的关系 1.核心结论：实数与数轴上的点一一对应； 2.应用：①在数轴上表示无理数（如利用正方形对角线、勾股定理构造长度为无理数的线段）； ②根据数轴上点的位置判断实数的大小、符号及绝对值化简。 考点06实数的大小比较 1.基本法则：①正数>0>负数； ②两个正数，绝对值大的数大； ③两个负数，绝对值大的数小； ④数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数； 2.常用方法：数轴比较法、绝对值法、估算法、平方（立方）法、近似值法、中间值法、作差法、特殊值法。 考点07实数的运算 1.运算依据：有理数的运算法则（加、减、乘、除、乘方）和运算律（交换律、结合律、分配律）在实数范围内仍然适用； 2.运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右，有括号先算括号内的； 3.特殊运算：①非负实数的开平方运算； ②任意实数的开立方运算； ③无理数的近似计算（精确到指定位数）。 考点08算术平方根的非负性应用 核心性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0（常见非负数：、、）； 典型题型：已知，求、、的值或相关代数式的值。 考点09无理数的估算与整数、小数部分 估算方法：利用“夹逼法”确定无理数的取值范围（如，）； 整数与小数部分：若（为正整数），则的整数部分为，小数部分为。 考点10开方运算的实际应用 1.几何应用：①求正方形的边长（已知面积，边长为面积的算术平方根）； ②求正方体的棱长（已知体积，棱长为体积的立方根）； ③利用勾股定理求线段长度（结果含无理数）； 2.实际问题：解决与体积、面积相关的实际问题（如蓄水池棱长计算、材料裁剪中的长度计算等）。 题型01平方根与算术平方根的辨析 方法技巧：①明确平方根（表示为，，正数有两个互为相反数的平方根）与算术平方根（表示为，，唯一非负）的定义区别； ②牢记0的平方根和算术平方根均为0，负数没有平方根； ③判断时先化简被开方数，再根据定义验证。 【典例1】．（25-26八年级上·上海松江·期中）下列说法正确的是（    ） A．4的平方根是2 B．的平方根是 C．4是2的算术平方根 D．的算术平方根是2 【变式1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）下面的说法中，正确的是（    ） A．一个数的算术平方根一定是正数 B．的算术平方根是2 C．是的算术平方根 D．如果，那么没有意义 【变式2】．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）若一个正数的平方根分别为和，则这个正数是（   ） A．7 B．49 C．3 D．9 【变式3】．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）下列命题中正确的是（    ） A．4的平方根是2 B．16的负的平方根是 C．任何数的平方根都是正数 D．任何数的算术平方根都是正数 题型02直接求平方根、立方根 方法技巧：①平方根：被开方数需满足，结果为，化简时先分解因数（如）；②立方根：被开方数为任意实数，结果为，牢记；③特殊数速记：，，，。 【典例1】．（25-26八年级上·甘肃天水·期中）16的平方根是（   ） A．4 B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级上·浙江温州·期中）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·江苏宿迁·月考）下列说法不正确的是（  ） A．的算术平方根是 B． C．的平方根是 D．的立方根是 【变式3】．（25-26八年级上·福建漳州·期中）的立方根为 ． 题型03利用开方运算解方程 方法技巧：①平方型方程（或）：先化为（或），再开平方得（或），注意； ②立方型方程（或）：直接开立方得（或），无需考虑符号； ③解方程后需检验结果是否符合题意（如实际问题中边长为正）。 【典例1】．（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）解方程： 【变式1】．（25-26八年级上·山东济南·期中）解方程： (1)； (2)． 【变式2】．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）解方程 (1) (2) 【变式3】．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 题型04无理数的识别与实数分类 方法技巧：①无理数判断标准：无限不循环小数（含开方开不尽的数，如；含的数，如；规律不循环小数，如）； ②实数分类：按定义分为有理数（有限小数、循环小数）和无理数，按正负分为正实数、0、负实数； ③注意（有理数）、（无理数）的区分。 【典例1】．（25-26八年级上·四川巴中·期中）在下列各数中，，，，，无理数个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】．（25-26七年级上·山东泰安·期中）下列各数：，，，（每相邻的和之间的个数逐次加），，，其中是无理数的有（   ）个． A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·浙江温州·期中）已知下列实数：①②③，④0，⑤⑥⑦，⑧（每两个“3”之间依次多一个“1”）（只需填写序号）其中整数有：___________；分数有：___________；无理数有：___________． 【变式3】．（25-26七年级上·浙江金华·期中）请把下列各数的序号填入相应的集合中：①，②，③0，④，⑤，⑥，⑦，⑧2025，⑨…（每两个4之间的0依次多一个）． (1)整数集合：______…； (2)分数集合：______…； (3)负数集合：______…； (4)无理数集合：______…． 题型05算术平方根的双重非负性应用 方法技巧：①双重非负性：（算术平方根本身非负）且（被开方数非负）； ②常见题型：若或，则且； ③解题时先列不等式组确定字母取值范围，再代入求值。 【典例1】．（25-26八年级上·北京昌平·期中）已知，则 ． 【变式1】．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）若，则的立方根是 ． 【变式2】．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知a，b为实数，且，则 ． 【变式3】．（25-26八年级上·河北邢台·期中）已知实数a，b满足，则的立方根是 ． 题型06无理数的估算 方法技巧：①“夹逼法”核心：找到无理数所在的两个连续整数的平方(或立方)，如估算：，； ②估算整数部分：的整数部分为小于的最大整数，小数部分为整数部分； ③精度要求时，可进一步细化(如)。 【典例1】．（25-26八年级上·上海闵行·期中）的十分位上的数字是 ． 【变式1】．（25-26七年级上·浙江温州·期中）实数在两个相邻的正整数之间，这两个正整数是（   ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【变式2】．（25-26九年级上·重庆·期中）已知，则整数的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）估算 在哪两个整数之间（　　） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．不能确定 题型07实数的大小比较 方法技巧：①基础法则：正数>0>负数，两个负数比较绝对值大的反而小； ②常用方法：平方法(适用于正无理数，如比较与，平方后，故)、估算法(化为近似值比较)、作差法()； ③立方根比较：(任意实数适用)。 【典例1】．（25-26八年级上·陕西安康·期中）比较大小： ．（填“”或“”） 【变式1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）用估算法比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和； (3)和5． 【变式2】．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）“作差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，若，则；若，则；若，则． 例：比较和2的大小． 由“作差法”得，因为，所以，所以，所以． 请你根据上面的方法解决下列问题： (1)比较和1的大小； (2)比较和7的大小． 【变式3】．（25-26八年级上·山西运城·期中）本学期我们在《实数》中，学习了平方根和立方根，如表是平方根和立方根的部分内容． 平方根 立方根 定义 一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫作的平方根或二次方根． 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫作的立方根或三次方根． 运算 求一个数的平方根的运算，叫作开平方． 开平方与平方互为逆运算． 求一个数的立方根的运算，叫作开立方． 开立方与立方互为逆运算． 性质 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数 的立方根是负数． 表示 方法 正数的平方根可以用“”表示，读作 “正负根号”． 一个数的立方根可以用“”表示，读作 “三次根号”． 我们类比平方根和立方根的学习方法学习四次方根． (1)探究定义：类比平方根和立方根的定义，给四次方根下定义： ； (2)探究性质： ①的四次方根是 ；的四次方根是 ； ②类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质： ． (3)巩固与应用 ①计算： ； ②比较大小： ． 题型08求无理数的整数部分与小数部分 方法技巧：①步骤：先确定无理数的整数部分(为最大整数且)； ②小数部分无理数整数部分(如的整数部分为，小数部分为)； ③注意：小数部分一定为正数，负数的无理数需先变形(如的整数部分为，小数部分为)。 【典例1】．（25-26八年级上·山东济南·期中）已知，则的整数部分是 ． 【变式1】．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知的整数部分是，小数部分是，则的值是（  ） A．−3 B．​ C．3 D．​ 【变式2】．（25-26八年级上·陕西西安·期中），，均为实数，且，是的整数部分． (1)______，______，______． (2)求的算术平方根． 【变式3】．（25-26八年级上·四川巴中·期中）同学们知道，所以的整数部分是1，小数部分是． 已知：且的立方根是它本身，的算术平方根是2． (1)直接写出：______，______； (2)求的平方根； (3)若的整数部分是，小数部分是，求的值． 题型09开方运算的规律探究 方法技巧：①平方根规律：被开方数的小数点向右(左)移动位，算术平方根的小数点向右(左)移动位(如，，)； ②立方根规律：被开方数的小数点向右(左)移动位，立方根的小数点向右(左)移动位(如，，)； ③倍数关系：若()，则，。 【典例1】．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）小明利用计算器得到，．根据这些数据猜想： ． 【变式1】．（25-26八年级上·上海·期中）已知，，，，则的立方根是 ． 【变式2】．（25-26八年级上·山东青岛·期中）观察下表，我们可以发现被开方数和它的算术平方根的变化规律： a 1 100 10000 1000000 1 10 100 1000 根据发现的规律，若，，那么的值为 ． 【变式3】．（25-26八年级上·安徽·阶段练习）观察规律并回答下列问题：，，，…． (1)______，______； (2)若，，则______；（用含的代数式表示） (3)当时，根据上述规律比较与的大小关系． 题型10实数与数轴综合 方法技巧：①实数与数轴一一对应：数轴上右边的点表示的数大于左边的点； ②求数轴上点表示的数：利用勾股定理求线段长度(如边长为1的正方形对角线为)，再结合起点坐标计算； ③化简含绝对值、根号的式子：先根据数轴判断字母正负(如)，再化简，。 【典例1】．（25-26七年级上·江苏·月考）如果数轴上点A表示，则A点与原点距离为 ． 【变式1】．（25-26八年级上·上海普陀·期中）如图，已知点、、是数轴上的三个点，且点是线段的中点，若点、所对应的实数依次是、，则点所对应的实数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向左爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． (1)实数的值是 ； (2)求的值； (3)在数轴上还有两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的立方根． 【变式3】．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）如图1，由5个边长为1的小正方形组成的长方形，通过剪拼可以拼成一个大正方形．       (1)则大正方形的边长为______； (2)将图1中的正方形放到数轴上，如图2，点表示的数为－1，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，把点翻滚到数轴上时，记为第一次翻滚；点翻滚到数轴上时记为第二次翻滚，经过三次翻滚，点滚到数轴上的点时，点表示的数为_________； (3)是否存在正整数，使得该正方形经过次翻滚后，其顶点、、、中某个点与数轴上的2025重合？答：_________（填“存在”或“不存在”）； (4)在（2）的基础上以数2对应的点为折点，将数轴向右对折，则点与数_______对应的点重合． 题型11数的开方实际应用 方法技巧：①常见场景：正方体体积求棱长()、正方形面积求边长()、长方形折叠问题(利用勾股定理求对角线长度)； ②单位统一：先统一长度单位(如），再代入公式计算； ③结果验证：实际问题中边长、长度需为正数，结果需符合实际精度要求（如保留整数或一位小数）。 【典例1】．（25-26八年级上·上海闵行·期中）如图①，由8个同样大小的正方体组成一个“二阶魔方”，整个魔方的体积为．图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，若把正方形放到数轴上，如图②．使得点与重合．若以点为圆心，的长为半径画圆，与数轴交于点，那么点在数轴上表示的数为 ． 【变式1】．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形），若每个小正方形的边长为1，点表示的数为． (1)图中正方形的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？ (2)若阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为，求的值； (3)若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点滚到与点重合时，记为第一次翻滚，如图所示，翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推，请直接回答： ①点表示的数为多少？ ②若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，经过2025次翻滚后与数轴上的点重合，点表示的数为多少？ 【变式2】．（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 【变式3】．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）【阅读与思考】请阅读下面材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方法进行了验证： 小聪：，．所以． 小明：，． 这就说明和都是的算术平方根，而的算术平方根只有一个，所以． 任务： (1)猜想：当，时，和之间存在怎样的关系？ (2)运用以上结论，计算： ； ． (3)解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求这个长方形的面积． 题型12新定义运算与开方结合 方法技巧：①理解新定义：明确运算规则(如定义)，将新运算转化为常规开方运算； ②注意取值范围：新运算中被开方数需满足非负性(如，为任意实数)； ③代入计算：按规则分步运算，先算括号内，再算开方(如)。 【典例1】．（25-26七年级上·福建三明·期中）定义一种新运算“”：对于任意的有理数a，b，，例如． (1)计算：，． (2)若，求m的值； (3)判断运算“”是否满足交换律与结合律，并说明理由． 【变式1】．（25-26六年级上·上海杨浦·期中）小海说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．”然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：；；；；；．小华看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？请计算 （括号的作用与它在有理数运算中的作用一致）． 【变式2】．（25-26七年级上·北京朝阳·期中）我们知道、、，那么谁的平方等于负数呢？ 我们定义：的平方等于，即，叫作虚数单位． 这样我们即可知，、… 有了虚数之后，数的范围便拓展了，我们把实数和虚数的复合，形如（、为实数）的数叫作复数，叫作这个数的实部，叫作这个数的虚部，复数有如下特点： ①它的加减法和乘法运算，与整式的加减法运算类似，如： ； ②若两个复数的实部相等，且虚部互为相反数，则称这两个复数为共轭复数．如：的共轭复数为． (1)填空： ①；②______； ③______；④______； (2)若是的共轭复数，求的值； (3)已知一个复数（为正数）与它的共轭复数之和为，与它的共轭复数之差为，求的值． 【变式3】．（25-26七年级上·河南开封·期中）【知识迁移】我们已经知道：求若干个相同有理数（均不等于0）的乘法运算叫作乘方．类比乘方的定义，我们规定：求若干个相同有理数（均不等于0）的除法运算叫作除方． 如：，等，我们把记作，读作“2的3次商”，记作读作“的4次商”．一般地，我们把个相除记作，读作“的次商”． 根据以上信息，完成下列问题． (1)直接写出结果：_______，_______． (2)关于除方，下列说法错误的是（   ） A．任何非零数的2次商都等于1 B．对于任何正整数， C．除零外的互为相反数的两个数的偶次商都相等，奇数次商互为相反数 D．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数 (3)深入思考：除法运算能转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？试一试，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式：_______，_______，_______（其中，为正整数） (4)综合应用：算一算：． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $