专题02 实数的10类热考题型（压轴题专项训练）数学新教材华东师大版八年级上册

专题02 实数的10类热考题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、估算无理数的大小 1 类型二、无理数整数部分的有关计算 2 类型三、实数的性质 3 类型四、实数与数轴 3 类型五、实数的比较大小 5 类型六、实数的混合运算 5 类型七、实数运算的实际应用 6 类型八、程序流程图问题 8 类型九、新定义问题 9 类型十、规律探究问题 10 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 实数是有理数与无理数的统称，为本章节综合性核心板块，全部题型围绕无理数识别与估值、实数基本性质、数轴对应关系、大小比较、四则混合运算、实际应用、程序框图、新定义、规律探究九大核心模块展开。解题贯穿三条底线原则：一是无限不循环小数才是无理数，开方开不尽的数、含 π 的数、构造型无限不循环小数为三大典型无理数；二是实数与数轴上的点一一对应，相反数、绝对值、倒数性质在实数范围内完全适用；三是根式运算严格区分平方根与立方根的取值规则，运算结果化为最简二次根式，估算、分类讨论类题目务必检验取值范围。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、估算无理数的大小 典例精讲1（25-26八年级上·陕西西安·期末）满足的整数可以是_____（写出一个符合题意的数即可）． 题型归纳 1.特征：给出带根号、含 π 的无理数，确定其介于哪两个相邻整数之间，或估算近似取值，是实数基础必考小题。. 2.方法：① 对被开方数找相邻完全平方/立方数，锁定范围， ② 含 π 形式记住常用近似值代入判断。 3.易错提醒：平方数找错导致区间判定反向；混淆平方根与立方根估算逻辑；估算后忽略小数部分拆分 变式训练1（25-26八年级上·江苏徐州·期末）若，是两个连续整数，且，则 _______． 变式训练2（25-26八年级上·安徽宿州·期中）已知a，b为两个连续的整数，且．在平面直角坐标系中，点关于直线的对称点为N，则点N到原点的距离为______． 变式训练3（25-26八年级上·江苏无锡·期中）若有理数a满足，则有理数a的值可以是_____．（写出1个值即可） 变式训练4（25-26八年级上·河南鹤壁·期中）已知，则_______． 类型二、无理数整数部分的有关计算 典例精讲2（25-26八年级上·江西抚州·阶段检测）的整数部分是，小数部分是，则的值是________． 题型归纳 1.特征：已知无理数a，设其整数部分为m、小数部分为n，求m+n、代数式整体求值 2.方法：① 先用夹逼法确定无理数整数部分m； ② 小数部分n=原无理数 - 整数部分，代入代数式化简计算 3.易错提醒：负数无理数的整数部分取整错误；小数部分忘记用原数减去整数部分，直接照搬根式 变式训练1（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知是的整数部分，是的整数部分，则________． 变式训练2（25-26八年级上·山西临汾·期中）规定用符号表示一个实数的整数部分，例如，按此规定，_____． 变式训练3（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）阅读下面的文字，解答问题． 例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为， 请解答： (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)已知，小数部分是m，小数部分是n，且，请求出满足条件的x的值． 变式训练4（25-26八年级上·河南郑州·期中）观察：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为.请你观察上述的规律后解答下面的问题： (1)如果的整数部分为a，小数部分为b，求a﹣b的值； (2)已知a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根． 类型三、实数的性质 典例精讲3（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列说法正确的是（   ） A．实数是负数 B．实数的相反数是a C．实数的绝对值是a D．一定是正数 题型归纳 1.特征：考查实数范围内相反数、绝对值、倒数、非负性综合求值 2.方法：① 相反数：符号相反，和为 0；倒数：乘积为 1； ② 去绝对值先判断内部式子正负，正直接去括号，负整体变号； ③ 若干非负数之和为 0，则每一项单独等于 0，列方程组求解参数 3.易错提醒：负数绝对值化简符号出错；忽略二次根式被开方数隐藏条件；立方根错误套用非负性规则 变式训练1（24-25七年级下·北京·期中）下列说法正确的是（    ） A．绝对值是的数是5 B．的相反数是 C．的绝对值是 D．的相反数是 变式训练2（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）的倒数是______；的相反数是______，绝对值是______． 变式训练3（24-25七年级下·全国·阶段检测）的相反数是_______，绝对值是_______；若，则_______． 类型四、实数与数轴 典例精讲4（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，若数轴上的点A表示下列四个无理数中的一个，则这个无理数可能是（    ）． A． B． C． D． 题型归纳 1.特征：利用数轴上点的位置判断实数正负、大小，或根据距离求点表示的无理数、两点之间线段长度 2.方法： ① 数轴右边的数恒大于左边的数； ② 数轴上两点距离 = 右侧数-左侧数； ③ 借助正方形、圆滚动、勾股定理在数轴上构造表示无理数的点 3.易错提醒：数轴两点距离计算不加绝对值；勾股定理构造无理数时边长计算失误；分不清实数与数轴一一对应的完整表述 变式训练1（2025八年级上·全国·专题练习）如图，根据尺规作图痕迹，可以判断弧线与数轴的交点C表示的数是（    ） A． B． C． D． 变式训练2（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）设 在数轴上对应的点分别是A、B，则A、B两点间的距离是 （     ） A． B． C． D．或 变式训练3（25-26八年级上·湖南·期末）实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是______． 变式训练4（25-26八年级上·全国·课后作业）将直径为2的半圆（半圆的弧长为圆周长的一半）按如图所示的方式放置在数轴上，使直径的一端点P与原点O重合，直径与数轴垂直．让半圆沿数轴的正方向无滑动滚动至点P第一次落在数轴上，这时点P转到数轴上点的位置．那么，点对应的实数是多少？它是有理数还是无理数？ 类型五、实数的比较大小 典例精讲5（25-26七年级下·全国·单元复习）比较大小：___________1（填“>”“<”或“=”）． 题型归纳 1.特征：有理数、无理数、根式、含 π 数混合排序，根式之间比大小为高频考点 2.方法： ① 正数＞0＞负数，两个负数绝对值大的反而小； ② 同次根式：两边同时平方 / 立方去掉根号比较被开方数； ③ 作差法、作商法、近似取值法辅助判断 3.易错提醒：负数平方比较大小时不等号方向未反向；平方根、立方根混用平方 / 立方变形 变式训练1（2026·全国·模拟预测）若a为实数，则________．（填“”“”或“”） 变式训练2（25-26八年级上·陕西西安·期中）若，，则a______b（填“”“”或“”）． 变式训练3（2025八年级上·全国·专题练习）比较下列各组中两个数的大小： (1)和3； (2)和； (3)和； (4)和． 变式训练4（25-26八年级上·全国·课后作业）比较下列各组中两个数的大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)和． 类型六、实数的混合运算 典例精讲6（24-25八年级上·四川眉山·期末）计算：． 题型归纳 1.特征：融合开平方、开立方、绝对值、乘方、零次幂、负整数指数幂的综合计算题，为本章计算重难点 2.方法：遵循运算顺序：先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内 3.易错提醒：符号连续变号出错；二次根式化简不彻底；零次幂忽略底数不能为 0 的限制 变式训练1（2025八年级上·江苏扬州·专题练习）计算： (1)； (2)． 变式训练2（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）计算：． 变式训练3（25-26八年级上·江苏常州·期末）计算：． 变式训练4（25-26八年级上·广东深圳·期中）以下是小明同学做含有二次根式的式子的运算过程： 解：原式………① ………② ……………………③ (1)上面的运算过程中第___________步开始出现了错误． (2)请你写出完整的解答过程． 变式训练5（25-26八年级上·四川广元·期中）计算： (1) (2) 类型七、实数运算的实际应用 典例精讲7（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v______100千米/时．（填“”、“”或“”） 题型归纳 1.特征：结合正方形 / 正方体边长、面积体积、几何图形周长、材料裁剪等场景，列实数算式求解实际长度、数量 2.方法：根据几何公式列式，开平方结果舍去负根，开立方直接取唯一解，统一单位作答 3.易错提醒：实际问题未舍去平方根负解；面积与体积公式混淆；单位换算遗漏 变式训练1（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要____个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 变式训练2（25-26七年级下·陕西榆林·期中）陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为，宣纸面积为． (1)求宣纸的周长； (2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 变式训练3（25-26七年级下·安徽滁州·期中）有一块面积为平方米的正方形工料，李师傅准备用它沿着边的方向裁剪出一块面积为平方米的长方形工件，且要求长宽之比为，问李师傅能办到吗？若能，求出长方形的长和宽；若不能，请说明理由． 变式训练4（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 变式训练5（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，． (1)如果，求的长． (2)如果，求的长． 类型八、程序流程图问题 典例精讲8（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64的平方根时，输出的值的个数为（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型归纳 1.特征：给出带判断分支的运算流程图，输入实数按照流程规则逐步计算，循环迭代输出最终结果 2.方法：分步拆解流程图判定条件，逐一代入数值运算，满足循环条件重复计算，终止条件跳出流程 3.易错提醒：循环终止条件判断错误；多次迭代计算粗心算错；无理数代入化简不规范 变式训练1（25-26八年级上·四川乐山·期中）小明编写了一个程序，如图，若输入，则输出的值为（   ） A． B． C．3 D． 变式训练2（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图是小江在电脑上设计的一个程序框图，若输入的值为32，那么输出的值为（   ） A． B．2 C． D． 变式训练3（25-26八年级上·北京通州·期末）根据图中的程序，当输入的为时，输出的值是______． 变式训练4（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 类型九、新定义问题 典例精讲9（25-26八年级下·广西崇左·期末）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，方程的解为____________． 题型归纳 1.特征：创设课本未出现的运算规则、实数分类标准、根式运算符号，临时给出运算法则，套用规则列式计算或求参数 2.方法：① 读懂文字定义，翻译成代数式运算公式； ② 严格依照新规则代入实数、根式分步运算； ③ 涉及二次根式附加被开方数≥0 约束，最后检验结果合理性 3.易错提醒：照搬原有运算法则，违背新定义要求；带根号式子忽略取值范围限制 变式训练1（25-26八年级上·安徽合肥·期末）定义 “新运算问题”：对于有序数对定义如下的运算 “”：，对于点，若，则点在第______象限． 变式训练2（25-26八年级上·上海·阶段检测）规定用符号表示实数的整数部分，例如：，，填空：________． 变式训练3（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）在实数范围内定义运算“※”：，例如：． (1)若，，计算的值． (2)若，求x的值． (3)若，求的值． 类型十、规律探究问题 典例精讲10（25-26八年级上·重庆·期中）已知为实数，规定运算：，…，，按上述方法计算：当时，的值等于（   ） A． B． C． D．3 题型归纳 1.特征：给出一组实数等式、根式化简式子、数列排列，观察数字、根号结构变化，归纳通项并推导第n项 2.方法：拆分已知式子的不变部分与变化部分，用n表示变量，总结通用规律表达式，验证前几项无误后再代入求值 3.易错提醒：项数n起始值搞错；平方根、立方根小数点移动规律记混；归纳的通项无法满足前面示例 变式训练1（24-25七年级下·山东德州·阶段检测）规律探究设，，，…，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式训练2（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 变式训练3（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，这是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（   ） A． B． C． D． 变式训练4（25-26八年级上·安徽宿州·期中）观察下列各式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；…. 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第个等式：_____； (2)根据等式的规律，请写出第个等式；（是正整数，用含的式子表示） (3)计算：． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（     ） A．11 B．9 C．7 D．5 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）下列判断正确的是（　　） A．是整数，是有理数 B．是无限小数，是无理数 C．是分数，是有理数 D．3.1415926是小数，是无理数 3．（25-26八年级上·河北衡水·期末）对于实数、，定义运算“※”如下：，则关于的结果，下列说法正确的是(    ) A．平方根是 B．算术平方根是 C．立方根是 D．立方根是 4．（25-26八年级上·山东聊城·期末）在实数，，（每两个之间的个数依次加），，，，中．无理数的个数是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·山东菏泽·阶段检测）设n为正整数，且，则n的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．1 6．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）下列估算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）已知的整数部分是a，的小数部分是b，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，数轴上点表示，点表示，点是线段的中点，则点表示的数是_______． 9．（25-26八年级上·湖南·期末）若实数，满足，求________． 10．（25-26八年级上·山东济南·期末）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简____． 11．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）定义一种新运算F，规定（其中a，b均为非零常数），例如：，若，则______． 12．（25-26八年级上·山西运城·期末）【阅读理解】在没有计算器的古代，数学家们如何计算开平方呢？我们来学习利用完全平方公式：近似计算算术平方根的方法． 例如：求的近似值（结果精确到）． 解：因为，所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中， ②，其中； 小明以①的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以，即 因为比较小，所以将忽略不计，所以，即 得，故，即 (1)【尝试探究】请用②的形式求的近似值． (2)【比较分析】你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高？请说明理由． (3)利用材料中的方法，求的近似值时，可设_________．（用含有a的代数式表示，其中） 13．（25-26八年级上·福建漳州·期末）已知代数式（n为正整数）． (1)当时，_____（填得数），是_____（填“有理数”或“无理数”）；当时，_____（填得数），是_____（填“有理数”或“无理数”）； (2)可能是偶数吗？为什么？可能是奇数吗？为什么？ 14．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）阅读下列材料：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请你观察上述的规律后试解下面的问题： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的平方根； (2)，其中是整数部分，且，求． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实数的10类热考题型 目 录 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、估算无理数的大小 2 类型二、无理数整数部分的有关计算 2 类型三、实数的性质 7 类型四、实数与数轴 9 类型五、实数的比较大小 11 类型六、实数的混合运算 15 类型七、实数运算的实际应用 17 类型八、程序流程图问题 21 类型九、新定义问题 25 类型十、规律探究问题 28 —攻克高难压轴，突破思维上限 通法归纳—明晰核心解法，助力能力迁移 实数是有理数与无理数的统称，为本章节综合性核心板块，全部题型围绕无理数识别与估值、实数基本性质、数轴对应关系、大小比较、四则混合运算、实际应用、程序框图、新定义、规律探究九大核心模块展开。解题贯穿三条底线原则：一是无限不循环小数才是无理数，开方开不尽的数、含 π 的数、构造型无限不循环小数为三大典型无理数；二是实数与数轴上的点一一对应，相反数、绝对值、倒数性质在实数范围内完全适用；三是根式运算严格区分平方根与立方根的取值规则，运算结果化为最简二次根式，估算、分类讨论类题目务必检验取值范围。 题型精讲—精讲典型题法，夯实解题根基 类型一、估算无理数的大小 典例精讲1（25-26八年级上·陕西西安·期末）满足的整数可以是_____（写出一个符合题意的数即可）． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查了无理数的估算． 先判断出的取值范围，进而作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵且a是整数， ∴a可以是2或3． 故答案为：2（答案不唯一）． 题型归纳 1.特征：给出带根号、含 π 的无理数，确定其介于哪两个相邻整数之间，或估算近似取值，是实数基础必考小题。. 2.方法：① 对被开方数找相邻完全平方/立方数，锁定范围， ② 含 π 形式记住常用近似值代入判断。 3.易错提醒：平方数找错导致区间判定反向；混淆平方根与立方根估算逻辑；估算后忽略小数部分拆分 变式训练1（25-26八年级上·江苏徐州·期末）若，是两个连续整数，且，则 _______． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键． 通过估算的范围，确定连续整数和的值． 【详解】， ，即， ， 和是两个连续整数，且， ，， ． 故答案是：． 变式训练2（25-26八年级上·安徽宿州·期中）已知a，b为两个连续的整数，且．在平面直角坐标系中，点关于直线的对称点为N，则点N到原点的距离为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，两点距离计算公式，轴对称的性质，根据无理数的估算方法可得，则，根据轴对称的性质可得，据此利用两点距离计算公式求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵a，b为两个连续的整数，且， ∴， ∴点M的坐标为， ∵点关于直线的对称点为N， ∴， 故答案为：． 变式训练3（25-26八年级上·江苏无锡·期中）若有理数a满足，则有理数a的值可以是_____．（写出1个值即可） 【答案】2 【分析】本题考查了无理数的估算，准确估算和是解题关键．根据无理数和 的近似值，确定a的取值范围，再选择满足条件的有理数． 【详解】解：，， ∵，a为有理数， ∴a可以是2（答案不唯一，如3或4也可）． 故答案为：2． 变式训练4（25-26八年级上·河南鹤壁·期中）已知，则_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的估算、绝对值的性质以及整式的加减运算．根据绝对值的几何意义，由和，可知在和之间，因此，，求和后化简为常数即可解答． 【详解】因为，且由和，所以， 故，， 于是， 故答案为：． 类型二、无理数整数部分的有关计算 典例精讲2（25-26八年级上·江西抚州·阶段检测）的整数部分是，小数部分是，则的值是________． 【答案】 【分析】此题主要考查了无理数的估算能力，能够正确的估算出无理数的大小，是解答此类题的关键． 先估算的值，确定其整数部分a和小数部分b，再代入表达式进行计算． 【详解】解：，即 的整数部分是，小数部分是， ， 故答案为：． 题型归纳 1.特征：已知无理数a，设其整数部分为m、小数部分为n，求m+n、代数式整体求值 2.方法：① 先用夹逼法确定无理数整数部分m； ② 小数部分n=原无理数 - 整数部分，代入代数式化简计算 3.易错提醒：负数无理数的整数部分取整错误；小数部分忘记用原数减去整数部分，直接照搬根式 变式训练1（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）已知是的整数部分，是的整数部分，则________． 【答案】 【分析】本题考查无理数的整数部分估算，掌握相关知识是解决问题的关键．通过比较无理数与相邻整数的平方，确定其整数部分，再计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分； ∵， ∴， ∴的整数部分； ∴． 故答案为：． 变式训练2（25-26八年级上·山西临汾·期中）规定用符号表示一个实数的整数部分，例如，按此规定，_____． 【答案】 【分析】本题考查取整符号、无理数估算等知识，理解题中取整符号的意义，掌握无理数估算方法是解决问题的关键． 先估算的范围，再计算的范围，最后根据整数部分的定义求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ∴， 即的整数部分是， ∴， 故答案为：． 变式训练3（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）阅读下面的文字，解答问题． 例如：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为， 请解答： (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)已知，小数部分是m，小数部分是n，且，请求出满足条件的x的值． 【答案】(1)3，； (2)满足条件的x的值是． 【分析】本题主要考查的是估算无理数大小，掌握估算无理数大小的方法是解题的关键； （1）先估算出的大小，然后确定整数部分，小数部分即可； （2）根据的整数部分可求出和的整数部分，进而表示出小数部分m、n，最后代入求x的值即可． 【详解】（1）解：，即， ∴的整数部分为3，小数部分为； （2）解：∵， ∴，， ∴的整数部分为11，的整数部分为4， ∴小数部分是，的小数部分， ， ∴， ∴满足条件的x的值是． 变式训练4（25-26八年级上·河南郑州·期中）观察：∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为.请你观察上述的规律后解答下面的问题： (1)如果的整数部分为a，小数部分为b，求a﹣b的值； (2)已知a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握数的平方根是解题的关键． （1）按照例题仿写即可得出小数部分和整数部分，代入即可； （2）按照例题仿写即可得出小数部分和整数部分，代入即可． 【详解】（1）， 的整数部分为，小数部分为， ； （2）， ， 的整数部分，的小数部分， ， 的平方根为． 类型三、实数的性质 典例精讲3（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列说法正确的是（   ） A．实数是负数 B．实数的相反数是a C．实数的绝对值是a D．一定是正数 【答案】B 【分析】本题考查绝对值，相反数和负数，根据绝对值，相反数和负数的定义逐项判断解答即可． 【详解】解：A. 当时，实数是正数，原说法错误； B. 实数的相反数是a，说法正确； C. 当时，实数的绝对值是，原说法错误； D. 一定是非负数，原说法错误； 故选：B． 题型归纳 1.特征：考查实数范围内相反数、绝对值、倒数、非负性综合求值 2.方法：① 相反数：符号相反，和为 0；倒数：乘积为 1； ② 去绝对值先判断内部式子正负，正直接去括号，负整体变号； ③ 若干非负数之和为 0，则每一项单独等于 0，列方程组求解参数 3.易错提醒：负数绝对值化简符号出错；忽略二次根式被开方数隐藏条件；立方根错误套用非负性规则 变式训练1（24-25七年级下·北京·期中）下列说法正确的是（    ） A．绝对值是的数是5 B．的相反数是 C．的绝对值是 D．的相反数是 【答案】C 【分析】本题考查了实数的性质：实数的绝对值与相反数，与有理数的绝对值、相反数的意义相同；根据绝对值与相反数的意义逐项解答即可． 【详解】解：A、绝对值是的数是，故说法错误； B、的相反数是，故说法错误； C、的绝对值是，故说法正确； D、的相反数是，故说法错误； 故选：C． 变式训练2（25-26八年级上·山东青岛·阶段检测）的倒数是______；的相反数是______，绝对值是______． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查了分母有理化，求一个数的相反数，倒数和绝对值，乘积为1的两个数互为倒数，只有符号不同的两个数互为相反数，负数的绝对值是它的相反数，据此逐一求解即可． 【详解】解：的倒数为． 的相反数为． ∵， ∴的绝对值为， 故答案为：；；． 变式训练3（24-25七年级下·全国·阶段检测）的相反数是_______，绝对值是_______；若，则_______． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查了实数的性质．根据相反数的定义以及绝对值的性质解答即可． 【详解】解：的相反数是， 的绝对值是； ∵， ∴． 故答案为：；； 类型四、实数与数轴 典例精讲4（25-26八年级上·上海·阶段检测）如图，若数轴上的点A表示下列四个无理数中的一个，则这个无理数可能是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴、无理数的估算，根据无理数的估算、实数与数轴的关系即可解答，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：、因为，所以该选项不符合题意； 、因为，所以该选项不符合题意； 、因为，∴，所以该选项不符合题意； 、因为，所以该选项符合题意； 故选：D． 题型归纳 1.特征：利用数轴上点的位置判断实数正负、大小，或根据距离求点表示的无理数、两点之间线段长度 2.方法： ① 数轴右边的数恒大于左边的数； ② 数轴上两点距离 = 右侧数-左侧数； ③ 借助正方形、圆滚动、勾股定理在数轴上构造表示无理数的点 3.易错提醒：数轴两点距离计算不加绝对值；勾股定理构造无理数时边长计算失误；分不清实数与数轴一一对应的完整表述 变式训练1（2025八年级上·全国·专题练习）如图，根据尺规作图痕迹，可以判断弧线与数轴的交点C表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴． 根据勾股定理可求出点到原点的距离，进而求出点到原点的距离，再根据点的位置确定点所表示的数． 【详解】∵点表示的数为3， 点到原点的距离为3， 由图可得， 点到原点的距离． ∵点到原点的距离和点到原点的距离相等， 点到原点的距离为， 点表示的数为． 故选：D． 变式训练2（2025八年级上·江苏泰州·专题练习）设 在数轴上对应的点分别是A、B，则A、B两点间的距离是 （     ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键． 根据数轴上两点间距离的定义进行解答即可． 【详解】解：由题意得，A、B两点间的距离是， 故选：B． 变式训练3（25-26八年级上·湖南·期末）实数、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是______． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴，实数的运算，根据数轴可得，据此计算算术平方根和绝对值，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴ ， 故答案为：． 变式训练4（25-26八年级上·全国·课后作业）将直径为2的半圆（半圆的弧长为圆周长的一半）按如图所示的方式放置在数轴上，使直径的一端点P与原点O重合，直径与数轴垂直．让半圆沿数轴的正方向无滑动滚动至点P第一次落在数轴上，这时点P转到数轴上点的位置．那么，点对应的实数是多少？它是有理数还是无理数？ 【答案】，无理数 【分析】本题主要考查了实数与数轴， 根据周长公式求出，再根据无理数的定义判断即可． 【详解】解：根据题意可知为直径为2的圆的周长一半加上直径， 即， 所以点对应的数是，是无理数． 类型五、实数的比较大小 典例精讲5（25-26七年级下·全国·单元复习）比较大小：___________1（填“>”“<”或“=”）． 【答案】> 【分析】此题考查了实数的大小比较，掌握是解决问题的关键． 通过比较分子的大小，由于分母相同，将问题转化为比较与3的大小，进一步比较与2的大小，利用平方比较法得出结论． 【详解】∵与1比较大小，且， ∴比较分子与3的大小， ∵（理由：）， ∴， ∴． 故答案为：． 题型归纳 1.特征：有理数、无理数、根式、含 π 数混合排序，根式之间比大小为高频考点 2.方法： ① 正数＞0＞负数，两个负数绝对值大的反而小； ② 同次根式：两边同时平方 / 立方去掉根号比较被开方数； ③ 作差法、作商法、近似取值法辅助判断 3.易错提醒：负数平方比较大小时不等号方向未反向；平方根、立方根混用平方 / 立方变形 变式训练1（2026·全国·模拟预测）若a为实数，则________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查实数的大小比较，无理数的估算．先估算，通过计算两式的差值并判断其正负，从而比较大小． 【详解】解：∵，即， ∴， ∵，且， ∴． 故答案为：． 变式训练2（25-26八年级上·陕西西安·期中）若，，则a______b（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较、无理数的估算，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键．先求出，再估算，则，从而可得，由此即可得． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式训练3（2025八年级上·全国·专题练习）比较下列各组中两个数的大小： (1)和3； (2)和； (3)和； (4)和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握实数大小比较的法则． 利用平方法逐项比较实数的大小即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴； （4）解：∵，，且， ∴． 变式训练4（25-26八年级上·全国·课后作业）比较下列各组中两个数的大小： (1)和； (2)和； (3)和； (4)和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】题目主要考查无理数的大小估算，实数的大小比较，熟练掌握估算方法是解题关键． （1）根据实数的大小比较方法即可求解； （2）根据题意得，，即可求解； （3）先平方，再利用作差法比较即可； （4）先平方，然后利用作差法比较即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴； （3）∵， ∴； （4）∵， ∴． 类型六、实数的混合运算 典例精讲6（24-25八年级上·四川眉山·期末）计算：． 【答案】 【分析】先计算有理数的乘方运算，求算术平方根、立方根、化简绝对值，然后计算加减法即可． 【详解】解： ． 题型归纳 1.特征：融合开平方、开立方、绝对值、乘方、零次幂、负整数指数幂的综合计算题，为本章计算重难点 2.方法：遵循运算顺序：先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内 3.易错提醒：符号连续变号出错；二次根式化简不彻底；零次幂忽略底数不能为 0 的限制 变式训练1（2025八年级上·江苏扬州·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先算算术平方根和立方根，再算加减； （2）先算算术平方根和绝对值，再算加减． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 变式训练2（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了立方根、零指数幂、算术平方根等知识点，掌握相关定义是解题的关键，按顺序从左到右依次计算即可． 【详解】解：原式 变式训练3（25-26八年级上·江苏常州·期末）计算：． 【答案】7 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算立方根和算术平方根，再计算绝对值和乘方，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 变式训练4（25-26八年级上·广东深圳·期中）以下是小明同学做含有二次根式的式子的运算过程： 解：原式………① ………② ……………………③ (1)上面的运算过程中第___________步开始出现了错误． (2)请你写出完整的解答过程． 【答案】(1)① (2)见解析 【分析】本题考查二次根式的运算，实数的混合运算，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）根据算术平方根，立方根，绝对值，实数的运算逐步判断； （2）根据算术平方根，立方根，绝对值，实数的运算计算即可． 【详解】（1）解：，第①步开始出现了错误． 故答案为：①． （2）解：原式 ． 变式训练5（25-26八年级上·四川广元·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算． （1）先计算开方和绝对值，再计算加减即可； （2）先计算开方和绝对值，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型七、实数运算的实际应用 典例精讲7（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v______100千米/时．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数运算的应用，根据题意代入计算即可得出答案． 【详解】解：千米/时， ∴ 故答案为：>． 题型归纳 1.特征：结合正方形 / 正方体边长、面积体积、几何图形周长、材料裁剪等场景，列实数算式求解实际长度、数量 2.方法：根据几何公式列式，开平方结果舍去负根，开立方直接取唯一解，统一单位作答 3.易错提醒：实际问题未舍去平方根负解；面积与体积公式混淆；单位换算遗漏 变式训练1（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，一共需要____个图2这样的杯子．（单位：）（温馨提示：） 【答案】13 【分析】本题考查了整式的混合运算，利用圆柱的体积公式表示出瓶子中大圆柱与小圆柱的体积，以及杯子的体积，即可得到结果. 【详解】解：瓶子中大圆柱的容积为， 瓶子中小圆柱容积， 杯子的容积为， 则所需杯子个数为， 则一共需要13个这样的杯子. 变式训练2（25-26七年级下·陕西榆林·期中）陕北剪纸是国家非物质文化遗产，是扎根黄土高原、流传千年的经典民间传统艺术．它历史悠久，多在春节、婚嫁等民俗活动中用作窗花、喜花装饰．风格粗犷古朴、造型简练夸张、大红喜庆，题材涵盖花鸟瑞兽、民俗生活、吉祥纹样，承载着陕北人民对美好生活的祝愿，是黄土地独有的文化瑰宝．现有一张长方形红色宣纸，长、宽之比为，宣纸面积为． (1)求宣纸的周长； (2)剪纸匠人想利用这张宣纸裁出一张面积为的完整圆形纸胚来创作花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由．（取3） 【答案】(1) (2)能够裁出来，理由如下： 设圆形纸胚的半径为， 由题意得：， 解得：， ∵圆形纸胚的直径为，宣纸的宽为，且， ∴， ∴能够裁出来 【分析】（1）设这张宣纸的长为，宽为，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设圆形纸胚的半径为，由题意易得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：设这张宣纸的长为，宽为，由题意得： ， 解得：（负根舍去）， ∴这张宣纸的长为，宽为， ∴这张宣纸的周长为； 答：宣纸的周长为 （2）略 变式训练3（25-26七年级下·安徽滁州·期中）有一块面积为平方米的正方形工料，李师傅准备用它沿着边的方向裁剪出一块面积为平方米的长方形工件，且要求长宽之比为，问李师傅能办到吗？若能，求出长方形的长和宽；若不能，请说明理由． 【答案】能办到；长方形的长和宽分别为米和米 【分析】先求得长方形的长为，正方形的边长为，比较大小，即可求解． 【详解】解：设长方形的长为米，则宽为米， 则由题意得，解得（取正值）， 所以长为米，宽为米， 因为面积为平方米的正方形的边长为， 因为，所以， 所以李师傅能办到，长方形的长和宽分别为米和米． 变式训练4（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确列出算式，是解题的关键： （1）根据直角三角形的面积公式列式计算即可； （2）利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）解：由题意，三角形的面积为； （2）由题意， ． 变式训练5（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，． (1)如果，求的长． (2)如果，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的应用，求三角形的面积， 根据三角形的面积公式求出，进而得出答案． 【详解】（1）解：在中，，且， ∴， 则，， 解得； （2）解：在中，，且， ∴， 则，， 解得． 类型八、程序流程图问题 典例精讲8（25-26八年级上·黑龙江大庆·期末）小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入的值是有理数64的平方根时，输出的值的个数为（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查程序流程图与实数的计算、算术平方根、立方根等知识点，理解流程图是解题的关键． 先求出有理数64的平方根，再求出算术平方根，然后根据流程图计算输出结果． 【详解】解：有理数64的平方根是， 的算术平方根为是无理数，则输出， 而没有算术平方根，故不输出， ∴输出的值只有1个， 故选：B． 题型归纳 1.特征：给出带判断分支的运算流程图，输入实数按照流程规则逐步计算，循环迭代输出最终结果 2.方法：分步拆解流程图判定条件，逐一代入数值运算，满足循环条件重复计算，终止条件跳出流程 3.易错提醒：循环终止条件判断错误；多次迭代计算粗心算错；无理数代入化简不规范 变式训练1（25-26八年级上·四川乐山·期中）小明编写了一个程序，如图，若输入，则输出的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了程序式计算，熟练掌握程序式计算是解题的关键．根据流程图分别代入计算，根据计算结果判断即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴的倒数为， ∴， 故选：A． 变式训练2（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图是小江在电脑上设计的一个程序框图，若输入的值为32，那么输出的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查程序设计与实数运算，求立方根，求算术平方根． 根据程序框图，将代入，按照运算法则计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 的算术平方根为， ∴输出的值为． 故选：C． 变式训练3（25-26八年级上·北京通州·期末）根据图中的程序，当输入的为时，输出的值是______． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的立方根，算术平方根，读懂题意是解题的关键．根据流程图逐步求解即可． 【详解】解：∵当，， ∴， ∵不是无理数，进入循环， 当，， ∴， ∵不是无理数，进入循环， 当，， ∴， ∵是无理数，退出循环， ∴输出． 故答案为：． 变式训练4（25-26八年级上·河南平顶山·期中）如图，这是一个数值转换器． (1)当输入x的值为9时，输出______． (2)小明输入了下面的三个备选数据中的某一个，转换器在运算时显示“运算无意义”．请你判断输入x的值可能是哪一个数据？并说明理由．备选数据：4，，． (3)小明输入了某个x的值后得到了，请你写出2个不同的x值． 【答案】(1) (2) 解：输入x的值可能是，理由如下： ∵运算无意义，即输入的数没有算术平方根， ∴输入的数为负数， ∴输入x的值可能是； (3)2或4 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，无理数的识别，正确理解题意是解题的关键． （1）先计算9的算术平方根，由结果为无理数则输出，若为有理数则把计算的结果作为新数输入再取算术平方根，直至结果为无理数输出即可； （2）运算无意义，则输入的数没有算术平方根，即输入的数为负数，据此可得答案； （3）第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为的平方，第二次取算术平方根后输出的结果为，则输入的数为的平方的平方，据此可得所有可能输入的数，进而得到答案． 【详解】（1）解：是有理数， 是无理数， ∴当输入x的值为9时，输出； （2）略 （3）解：当第一次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为2， 当第二次取算术平方根后输出的结果为时，则第一次取算术平方根后的结果为2， ∴输入的数为， 同理可得当第三次取算术平方根后输出的结果为时，则输入的数为，……， ∴输入的数可以为2或4． 类型九、新定义问题 典例精讲9（25-26八年级下·广西崇左·期末）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，方程的解为____________． 【答案】 【分析】根据新定义的运算规则，将原方程转化为一元二次方程，再利用直接开平方法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 解得． 题型归纳 1.特征：创设课本未出现的运算规则、实数分类标准、根式运算符号，临时给出运算法则，套用规则列式计算或求参数 2.方法：① 读懂文字定义，翻译成代数式运算公式； ② 严格依照新规则代入实数、根式分步运算； ③ 涉及二次根式附加被开方数≥0 约束，最后检验结果合理性 3.易错提醒：照搬原有运算法则，违背新定义要求；带根号式子忽略取值范围限制 变式训练1（25-26八年级上·安徽合肥·期末）定义 “新运算问题”：对于有序数对定义如下的运算 “”：，对于点，若，则点在第______象限． 【答案】一 【分析】本题考查了新定义运算，判断点所在的象限，读懂题目信息，理解“”的运算方法是解题的关键．根据新运算规则表示出，结合，得到和的值，从而确定点的坐标，并判断象限即可． 【详解】解：由运算定义，． ， ，， 点的坐标为， 点在第一象限． 故答案为：一． 变式训练2（25-26八年级上·上海·阶段检测）规定用符号表示实数的整数部分，例如：，，填空：________． 【答案】2 【分析】此题考查了估算无理数的大小，理解题中的新规定是解本题的关键．根据题目先判断的整数部分，再根据加减法即可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 变式训练3（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）在实数范围内定义运算“※”：，例如：． (1)若，，计算的值． (2)若，求x的值． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据，并代入，计算即可得出结果； （2）根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果； （3）根据，进行化简，再整体代入计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：由题意可得：， 整理可得：， 解得：； （3）解：∵， ∴ ． 类型十、规律探究问题 典例精讲10（25-26八年级上·重庆·期中）已知为实数，规定运算：，…，，按上述方法计算：当时，的值等于（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了实数的运算，数字规律探索，找到规律是解题的关键． 通过计算序列的前几项，发现序列呈现周期为3的循环规律，根据2025除以3的余数即可确定的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴序列每3项循环一次：． ∵，余数为0， ∴． 故选C． 题型归纳 1.特征：给出一组实数等式、根式化简式子、数列排列，观察数字、根号结构变化，归纳通项并推导第n项 2.方法：拆分已知式子的不变部分与变化部分，用n表示变量，总结通用规律表达式，验证前几项无误后再代入求值 3.易错提醒：项数n起始值搞错；平方根、立方根小数点移动规律记混；归纳的通项无法满足前面示例 变式训练1（24-25七年级下·山东德州·阶段检测）规律探究设，，，…，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是算术平方根及算式的变化规律，观察式子的结果，得出一般规律． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 变式训练2（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了实数与数轴、估算无理数的大小以及探索规律，通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解题的关键．利用表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，在计算1、，得出规律即可解决． 【详解】解：由题意可得表示的数是， ∵右侧最近的整数点为， ∴表示的数是2， ∴， ∴表示的数是，表示的数是3， ∴， 同理可得表示的数是，表示的数是4，， 表示的数是，表示的数是5，， 可知以，两个数一环出现， ∵， ∴， 故选：A． 变式训练3（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，这是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前（）行的数据的个数是解题的关键． 观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出行的数据的个数，再加上得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可。 【详解】前行的数据的个数为， 所以，第10行从左到右数第7个数的被开方数是， 所以，第10行从左向右数第7个数是． 故选B． 变式训练4（25-26八年级上·安徽宿州·期中）观察下列各式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；…. 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第个等式：_____； (2)根据等式的规律，请写出第个等式；（是正整数，用含的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2)第个等式为 (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探究与化简计算，通过观察等式特征总结规律是解题的关键． （1）通过分析已知等式中被开方数的分子、分母与等式序号的关系，推导第个等式的形式； （2）归纳每个等式中被开方数的分子、分母及结果与正整数的关联，得出第个等式的通用表达式； （3）利用总结的规律将每个根号内的式子转化为分数形式，通过约分简化根号内的乘积，最终计算出结果． 【详解】（1）解：被开方中，分子为，分母为，结果为， 第个等式：分子为，分母为，结果为， 第个等式：． （2）解：根据第（1）问得出的结论，第个等式为． （3）解：原式 ． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．（25-26八年级上·四川宜宾·期中）已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（     ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】A 【分析】先根据算术平方根的定义求出，再通过估算无理数的大小得到，最后计算得到结果． 【详解】解：∵的算术平方根是， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵y是的整数部分， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）下列判断正确的是（　　） A．是整数，是有理数 B．是无限小数，是无理数 C．是分数，是有理数 D．3.1415926是小数，是无理数 【答案】A 【分析】本题考查有理数与无理数的定义，根据定义逐一判断每个选项的正误即可得到答案． 【详解】解：A选项，∵，2是整数，整数属于有理数， ∴该判断正确． B选项，∵是分数，分数属于有理数， ∴该判断错误． C选项，∵是无理数， ∴仍是无理数，不是有理数， ∴该判断错误． D选项，∵3.1415926是有限小数，有限小数属于有理数， ∴该判断错误． 故选：A． 3．（25-26八年级上·河北衡水·期末）对于实数、，定义运算“※”如下：，则关于的结果，下列说法正确的是(    ) A．平方根是 B．算术平方根是 C．立方根是 D．立方根是 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，平方根、算术平方根、立方根的定义．先根据新定义运算求出的值，再结合平方根、算术平方根、立方根的定义判断选项 【详解】解：∵ ∴ ∵实数范围内，负数没有平方根与算术平方根，故A、B选项错误 又∵ ∴的立方根是，故C选项错误，D选项正确 故选：D． 4．（25-26八年级上·山东聊城·期末）在实数，，（每两个之间的个数依次加），，，，中．无理数的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数的判断，先将所给的实数进行化简，再根据无理数的定义进行判断即可．解题的关键是掌握无理数的定义：无限不循环小数．也考查了有理数的分类． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是整数，属于有理数； （每两个之间的个数依次加）是无限不循环小数，属于无理数； ，是整数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 是无限不循环小数，属于无理数； ∴ 无理数的个数是． 故选：B． 5．（25-26八年级上·山东菏泽·阶段检测）设n为正整数，且，则n的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的估算，首先根据，得出，即可得出n的值． 【详解】解：∵ ∴， ∵n为正整数，且， ∴， 故选：B． 6．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）下列估算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算． 先估算出的大小，再估算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 7．（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）已知的整数部分是a，的小数部分是b，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查无理数的估算，掌握无理数的取值范围是解题的关键． 先估算的整数部分，再求的小数部分，最后计算即可． 【详解】∵，即， ∴， ∴， ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分， ∴， 故选D． 8．（25-26八年级上·广东茂名·期中）如图，数轴上点表示，点表示，点是线段的中点，则点表示的数是_______． 【答案】 【分析】设点表示的数为，结合题意可得，进一步可得答案． 【详解】解：设点表示的数为， ∵数轴上点表示，点表示，点是线段的中点， ∴，即， ∴． 9．（25-26八年级上·湖南·期末）若实数，满足，求________． 【答案】5 【分析】本题考查了平方项和算术平方根的非负性，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确计算． 利用非负数的性质，平方项和算术平方根均非负，和为零则每个部分为零，解出x和y的值后代入表达式计算． 【详解】由和，且， 得和， 即， 解得，． ． 故答案为：5． 10．（25-26八年级上·山东济南·期末）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简____． 【答案】b 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，二次根式的性质，绝对值的意义，根据实数a、b在数轴上对应点的位置判断出a，的正负是解答本题的关键．先根据实数a、b在数轴上对应点的位置判断出a，的正负，然后根据二次根式的性质和绝对值的意义化简即可． 【详解】解：由数轴知，，， ， ∴． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）定义一种新运算F，规定（其中a，b均为非零常数），例如：，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算． 根据新定义运算，由已知条件求出，再代入的表达式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 12．（25-26八年级上·山西运城·期末）【阅读理解】在没有计算器的古代，数学家们如何计算开平方呢？我们来学习利用完全平方公式：近似计算算术平方根的方法． 例如：求的近似值（结果精确到）． 解：因为，所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中， ②，其中； 小明以①的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以，即 因为比较小，所以将忽略不计，所以，即 得，故，即 (1)【尝试探究】请用②的形式求的近似值． (2)【比较分析】你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高？请说明理由． (3)利用材料中的方法，求的近似值时，可设_________．（用含有a的代数式表示，其中） 【答案】(1)9.22 (2) 解：②的形式精确度更高 理由： ∵更接近 ∴②的形式精确度更高 （答案不唯一）比如： ∵85更接近81 ∴②的形式精确度更高 (3)或． 【分析】本题考查完全平方公式的应用及无理数近似值的估算． （1）先通过夹逼法确定的整数范围：，因此设（），和题干的对应；利用完全平方公式展开，忽略极小的二次项（因为，远小于一次项，对结果影响可忽略），把二次方程降为一次方程求解；最后计算近似值，结果精确到0.01． （2）这一问是误差分析，本质是比较两种近似方法的误差大小：两种方法的误差都来自“忽略的二次项”：形式①忽略，形式②忽略；误差的大小由和的大小决定：、越小，、就越小，忽略带来的误差就越小，精确度越高；计算两种形式的、，对比大小即可得出结论。 （3）先找相邻的两个完全平方数，确定的整数范围；结合的要求，选择“整数”或“整数”的形式；注意：更接近，因此优先设（也可设）． 【详解】（1）解：因为，所以 即 因为比较小，所以将忽略不计， 所以，即 得， 故 （2）略 （3）解：因为，，且， 所以， 又，因此可设或（二者均可以） 【点睛】这道题完整呈现了古代开平方近似算法的核心逻辑： 夹逼定界：先确定无理数的整数范围，把开平方转化为“整数±小量”的形式； 平方降次：利用完全平方公式展开，忽略极小的二次项，把二次方程转化为一次方程求解； 误差分析：通过比较忽略的小量大小，判断近似值的精确度； 方法迁移：将方法推广到任意无理数的近似计算． 易错点： （1）中展开完全平方公式时符号错误，或忽略的合理性； （2）中混淆误差来源，错误认为、越大精确度越高； （3）中设式错误，未满足的要求，或选错整数基准． 13．（25-26八年级上·福建漳州·期末）已知代数式（n为正整数）． (1)当时，_____（填得数），是_____（填“有理数”或“无理数”）；当时，_____（填得数），是_____（填“有理数”或“无理数”）； (2)可能是偶数吗？为什么？可能是奇数吗？为什么？ 【答案】(1)，无理数，，无理数 (2) 解：不可能是偶数，也不可能是奇数， 理由：假设是偶数，则是偶数， 即是偶数①， ∵n是正整数， ∴是偶数， ∵3是奇数， ∴是奇数②， ∴①和②矛盾， ∴不是偶数， 当时，，此时，不是奇数， 当时，假设是奇数，不妨设（且k为整数）， ∴， 整理得， ∵为偶数且1为奇数， ∴为奇数， ∵是偶数， ∴不成立， ∴不是奇数， 综上所述，不可能是偶数，也不可能是奇数． 【分析】本题考查了二次根式的化简与分类、整数的奇偶性及反证法的应用． （1）分别代入和计算的值，再分别判断和的数的类型即可； （2）先假设是偶数，通过开方推导可得出其不是偶数；当时，，此时，不是奇数，当时，假设是奇数，不妨设（且k为整数），通过计算推导可证得不是奇数． 【详解】（1）解：当时，， ∵5不是完全平方数， ∴是无理数， 当时，， ∵7不是完全平方数， ∴是无理数， 故答案为：，无理数，，无理数． （2）略 14．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）阅读下列材料：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请你观察上述的规律后试解下面的问题： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的平方根； (2)，其中是整数部分，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根的估算以及实数的运算性质，核心是利用“夹逼法”确定无理数的范围，从而分离出整数部分和小数部分，再代入计算． （1）先确定和的范围，得到小数部分和整数部分，再代入计算的值，最后求其平方根； （2）先确定的范围，得到整数部分和小数部分，再代入计算的值． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的小数部分； ∵，即， ∴的整数部分； 则， ∵1的平方根为， ∴的平方根为； （2）∵，即， ∴，即， ∴的整数部分，小数部分； 则. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $